Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.3: Формула відстані

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    66068

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Попередній розділ навчив, як будувати точки в прямокутній координатній площині. Цей розділ вчить, як знайти відстань між будь-якими двома точками на площині. Наприклад, знайти відстань точок\((x_1, y_1)\) і\((x_2, y_2)\) розглянути наступну формулу:

    Визначення: Формула відстані

    Відстань d між двома точками,\(P_1(x_1, y_1)\) а\(P_2(x_2, y_2)\) в площині задається:

    \(d = \sqrt {(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1)} ^2\)

    Приклад Template:index

    Знайти відстань між точками\((−5, 2)\) і\((3, 4)\)

    Рішення

    Дозволяти\(P_1(−5, 2)\) і\(P_2(3, 4)\) бути дві точки в площині і нехай\(x_1 = −5\),\(y_1 = 2\),\(x_2 = 3\), і\(y_2 = 4\).

    Використовуючи формулу відстані з заданими значеннями:

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2 } \\&= \sqrt{ (3 − (−5))^2 + (4 − 2)^2}\\& = \sqrt{ (3 + 5)^2 + (2)^2 } \\ &= \sqrt{ 8 ^2 + 2^2} \\ &= \sqrt{64 + 4 }\\ &= \sqrt{ 68 } \\&= 2\sqrt{17}\end{aligned}\)

    Тому відстань між двома заданими точками дорівнює\(2\sqrt{17}\).

    Приклад Template:index

    Знайти відстань між точками\((−2.5, −1)\) і\((−3, −1.5)\).

    Рішення

    Дозволяти\(P_1(−2.5, −1)\) і\(P_2(−3, −1.5)\) бути точки в площині і нехай\(x_1 = −2.5\)\(y_1 = −1\),\(x_2 = −3\) і\(y_2 = −1.5\).

    Потім за допомогою формули відстані з заданими значеннями виходить,

    \(\begin{aligned} d &= \sqrt{(x_2 − x_1) ^2 + (y_2 − y_1) ^2}\\& = \sqrt{[−3 − (−2.5)]^2 + [−1.5 − (−1)]^2 } \\&= \sqrt{ (−3 + 2.5)^2 + (−1.5 + 1)^2} \\&= \sqrt{ (−0.5)^2 + (−0.5)^2 } \\&= \sqrt{ 0.25 + 0.25 }\\ &= \sqrt{0.5 } \\&\approx 0.71 \end{aligned}\)

    Тому відстань між двома заданими точками становить приблизно 0,71.

    Вправа Template:index
    1. Знайти відстань між\(P_1(−3, −1.5)\) і\(P_2(−2.5, − 1)\). Порівняйте відповідь з відповіддю в прикладі 2. Що можна зробити висновок?
    2. Знайти відстань між\((−3, 6)\) і\((2, 4)\)
    3. Знайти відстань між точками\(\left( \dfrac{1 }{2} , − \dfrac{10 }{4}\right)\) і\(\left(− \dfrac{14 }{4} , − \dfrac{5 }{2}\right )\)
    4. Чому використовується формула відстані?