1.9: Вправи

Вправи

Вправа$\PageIndex{1}$

Графічно знайдіть точку,$\left( x_{1},y_{1}\right)$ яка лежить на обох лініях,$x+3y=1$ і$4x-y=3.$ Тобто прорисуйте кожну лінію і подивіться, де вони перетинаються.

Відповідь

$\begin{array}{c} x+3y=1 \\ 4x-y=3 \end{array}$, Рішення є:$\left[ x=\frac{10}{13},y=\frac{1}{13}\right]$.

Вправа$\PageIndex{2}$

Графічно знайдіть точку перетину двох ліній$3x+y=3$ і$x+2y=1.$ Тобто намалюйте кожну пряму і подивіться, де вони перетинаються.

Відповідь

$\begin{array}{c} 3x+y=3 \\ x+2y=1 \end{array}$, Рішення є:$\left[ x=1,y=0\right]$

Вправа$\PageIndex{3}$

Чи три лінії,,$x + 2y = 1$$2x − y = 1$, і$4x + 3y = 3$ мають спільну точку перетину? Якщо так, знайдіть точку, а якщо ні, скажіть, чому вони не мають такої спільної точки перетину.

Відповідь

$\begin{array}{c}x+2y=1 \\ 2x-y=1\\4x+3y=3\end{array}$, Рішення полягає в:$\left[ x=\frac{3}{5},y=\frac{1}{5}\right]$

Вправа$\PageIndex{4}$

Чи три площини,$x+y−3z = 2$,$2x+y+z = 1$, і$3x+2y−2z = 0$ мають спільну точку перетину? Якщо так, знайдіть його, а якщо ні, скажіть, чому немає такого пункту.

Відповідь

Рішення не існує. Ви можете переконатися в цьому, написавши розширену матрицю і виконуючи операції з рядками. $\left[\begin{array}{cccc}1&1&-3&2 \\ 2&1&1&1 \\ 3&2&-2&0\end{array}\right]$, Ряд ешелону форми:$\left[\begin{array}{cccc}1&0&4&0 \\ 0&1&-7&0 \\ 0&0&0&1\end{array}\right]$. Таким чином, одне з рівнянь говорить$0=1$ в еквівалентній системі рівнянь.

Вправа$\PageIndex{5}$

У чотири рази вага Гастона на$150$ кілограми більше, ніж вага Ікабода. У чотири рази вага Ікабода становить$660$ кілограми менше, ніж у сімнадцять разів перевищує вагу Гастона. Чотири рази вага Гастона плюс вага Зігфріда дорівнює$290$ фунтам. Брунхільда врівноважувала б усіх трьох інших. Знайдіть ваги чотирьох людей.

Відповідь

$\begin{array}{c}4g-I=150 \\ 4I-17g=-660 \\ 4g+s=290 \\ g+I+s-b=0\end{array}$, Рішення полягає в:$\left\{ g=60, I=90, b=200, s=50\right\}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Розглянемо наступну доповнену матрицю, в якій$\ast$ позначається довільне число і$\blacksquare$ позначає ненульове число. Визначте, чи відповідає дана доповнена матриця. Якщо послідовно, чи є рішення унікальним? $$\left[ \begin{array}{ccccc|c} \blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & \blacksquare & \ast & \ast & 0 & \ast \\ 0 & 0 & \blacksquare & \ast & \ast & \ast \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \ast \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення існує, але не є унікальним.

Вправа$\PageIndex{7}$

Розглянемо наступну доповнену матрицю, в якій$\ast$ позначається довільне число і$\blacksquare$ позначає ненульове число. Визначте, чи відповідає дана доповнена матриця. Якщо послідовно, чи є рішення унікальним? $$\left[ \begin{array}{ccc|c} \blacksquare & \ast & \ast & \ast \\ 0 & \blacksquare & \ast & \ast \\ 0 & 0 & \blacksquare & \ast \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Рішення існує і є унікальним.

Вправа$\PageIndex{8}$

Розглянемо наступну доповнену матрицю, в якій$\ast$ позначається довільне число і$\blacksquare$ позначає ненульове число. Визначте, чи відповідає дана доповнена матриця. Якщо послідовно, чи є рішення унікальним? $$\left[ \begin{array}{ccccc|c} \blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & \blacksquare & 0 & \ast & 0 & \ast \\ 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \ast & \ast \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare & \ast \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{9}$

Розглянемо наступну доповнену матрицю, в якій$\ast$ позначається довільне число і$\blacksquare$ позначає ненульове число. Визначте, чи відповідає дана доповнена матриця. Якщо послідовно, чи є рішення унікальним? $$\left[ \begin{array}{ccccc|c} \blacksquare & \ast & \ast & \ast & \ast & \ast \\ 0 & \blacksquare & \ast & \ast & 0 & \ast \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \blacksquare & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \ast & \blacksquare \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Може бути рішення. Якщо так, то їх нескінченно багато.

Вправа$\PageIndex{10}$

Припустимо, система рівнянь має менше рівнянь, ніж змінних. Чи обов'язково така система буде послідовною? Якщо так, поясніть, чому, а якщо ні, наведіть приклад, який не є послідовним.

Відповідь

Ні. Розглянемо$x+y+z=2$ і$x+y+z=1.$

Вправа$\PageIndex{11}$

Якщо система рівнянь має більше рівнянь, ніж змінних, чи може вона мати рішення? Якщо так, наведіть приклад, а якщо ні, скажіть, чому б і ні.

Відповідь

Вони можуть мати рішення. Наприклад,$x+y=1,2x+2y=2,3x+3y=3$ навіть має нескінченний набір рішень.

Вправа$\PageIndex{12}$

Знайдіть$h$ такі, що $$\left[ \begin{array}{rr|r} 2 & h & 4 \\ 3 & 6 & 7 \end{array} \right]\nonumber$$ є доповненою матрицею неузгодженої системи.

Відповідь

$h=4$

Вправа$\PageIndex{13}$

Знайдіть$h$ такі, що $$\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & h & 3 \\ 2 & 4 & 6 \end{array} \right]\nonumber$$ є доповненою матрицею послідовної системи.

Відповідь

Будь-яка$h$ буде працювати.

Вправа$\PageIndex{14}$

Знайдіть$h$ такі, що $$\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 1 & 4 \\ 3 & h & 12 \end{array} \right]\nonumber$$ є доповненою матрицею послідовної системи.

Відповідь

Будь-яка$h$ буде працювати.

Вправа$\PageIndex{15}$

Виберіть$h$ і$k$ такі, щоб показана розширена матриця мала кожне з наступних:

1. одне рішення
2. немає рішення
3. нескінченно багато рішень

$$\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & h & 2 \\ 2 & 4 & k \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Якщо$h\neq 2$ буде унікальне рішення для будь-якого$k$. Якщо$h=2$ і$k\neq 4,$ немає рішень. Якщо$h=2$ і$k=4,$ то існує нескінченно багато рішень.

Вправа$\PageIndex{16}$

Виберіть$h$ і$k$ такі, щоб показана розширена матриця мала кожне з наступних:

1. одне рішення
2. немає рішення
3. нескінченно багато рішень

$$\left[ \begin{array}{rr|r} 1 & 2 & 2 \\ 2 & h & k \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Якщо$h\neq 4,$ тоді є рівно одне рішення. Якщо$h=4$ і$k\neq 4,$ тоді рішень немає. Якщо$h=4$ і$k=4,$ то існує нескінченно багато рішень.

Вправа$\PageIndex{17}$

Визначте, чи послідовна система. Якщо так, то чи унікальне рішення? $$\begin{array}{c} x+2y+z-w=2 \\ x-y+z+w=1 \\ 2x+y-z=1 \\ 4x+2y+z=5 \end{array}\nonumber$$

Відповідь

Рішення немає. Система непослідовна. Ви можете побачити це з доповненої матриці. $\left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 2 & 1 & -1 & 2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & -1 & 0 & 1 \\ 4 & 2 & 1 & 0 & 5 \end{array} \right]$, Зменшена рядно-ешелонна форма:$\left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & 0 \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{2}{3} & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] .$

Вправа$\PageIndex{18}$

Визначте, чи послідовна система. Якщо так, то чи унікальне рішення? $$\begin{array}{c} x+2y+z-w=2 \\ x-y+z+w=0 \\ 2x+y-z=1 \\ 4x+2y+z=3 \end{array}\nonumber$$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[ w=\frac{3}{2}y-1,x=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}y,z=\frac{1}{3 }\right]$

Вправа$\PageIndex{19}$

Визначте, які матриці знаходяться в скороченому рядно-ешелоновій формі.

1. $\left[ \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 7 \end{array} \right]$
2. $\left[ \begin{array}{rrrr} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$
3. $\left[ \begin{array}{rrrrrr} 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \end{array} \right]$

Відповідь

1. Це не так.
2. Це один.
3. Це один.

Вправа$\PageIndex{20}$

Рядок зменшуємо наступну матрицю, щоб отримати рядно-ешелонову форму. Потім продовжують отримувати зменшену рядно-ешелонову форму. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 2 & -1 & 3 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & -2 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{21}$

Рядок зменшуємо наступну матрицю, щоб отримати рядно-ешелонову форму. Потім продовжують отримувати зменшену рядно-ешелонову форму. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 0 & 0 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & -1 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{22}$

Рядок зменшуємо наступну матрицю, щоб отримати рядно-ешелонову форму. Потім продовжують отримувати зменшену рядно-ешелонову форму. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 3 & -6 & -7 & -8 \\ 1 & -2 & -2 & -2 \\ 1 & -2 & -3 & -4 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{23}$

Рядок зменшуємо наступну матрицю, щоб отримати рядно-ешелонову форму. Потім продовжують отримувати зменшену рядно-ешелонову форму. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 2 & 4 & 5 & 15 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ 1 & 2 & 2 & 6 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{24}$

Рядок зменшуємо наступну матрицю для отримання рядно-ешелонової форми. Потім продовжують отримувати зменшену рядно-ешелонову форму. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 4 & -1 & 7 & 10 \\ 1 & 0 & 3 & 3 \\ 1 & -1 & -2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{25}$

Рядок зменшуємо наступну матрицю для отримання рядно-ешелонової форми. Потім продовжують отримувати зменшену рядно-ешелонову форму. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 5 & -4 & 2 \\ 1 & 2 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{26}$

Рядок зменшуємо наступну матрицю для отримання рядно-ешелонової форми. Потім продовжують отримувати зменшену рядно-ешелонову форму. $$\left[ \begin{array}{rrrr} -2 & 3 & -8 & 7 \\ 1 & -2 & 5 & -5 \\ 1 & -3 & 7 & -8 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{27}$

Знайдіть рішення системи, доповнена матриця якої $$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 4 & 2 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{28}$

Знайдіть рішення системи, доповнена матриця якої $$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 2 & 0 & 2 \\ 2 & 0 & 1 & 1 \\ 3 & 2 & 1 & 3 \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Зменшена рядно-ешелонова форма є$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -\frac{1}{4} &\frac{3}{4} \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] .$ Отже, рішення має форму$z=t,y=\frac{3}{4}+t\left( \frac{1}{4}\right) ,x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}t$ де$t\in \mathbb{R}$.

Вправа$\PageIndex{29}$

Знайдіть рішення системи, доповнена матриця якої $$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 4 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Зменшена форма ряду-ешелону - це$\left[ \begin{array}{rrr|r} 1 & 0 & 4 & 2 \\ 0 & 1 & -4 & -1 \end{array} \right]$ і так рішення$z=t,y=4t,x=2-4t.$

Вправа$\PageIndex{30}$

Знайдіть рішення системи, доповнена матриця якої $$\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 2 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Зменшена рядно-ешелонна форма є$\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 0 & 0 & 9 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & -4 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -7 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 6 & 1 \end{array} \right]$ і так$x_{5}=t,x_{4}=1-6t,x_{3}=-1+7t,x_{2}=4t,x_{1}=3-9t$.

Вправа$\PageIndex{31}$

Знайдіть рішення системи, доповнена матриця якої $$\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2 & 2 & 2 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Відповідь

Зменшена рядно-ешелонна форма є$\left[ \begin{array}{rrrrr|r} 1 & 0 & 2 & 0 & -\frac{1}{2} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{2} & \frac{3}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]$. Тому нехай$x_{5}=t,x_{3}=s.$ Тоді інші змінні задаються$x_{4}=-\frac{1}{2}-\frac{3}{2}t,x_{2}=\frac{3}{2}-t\frac{1}{2} ,,x_{1}=\frac{5}{2}+\frac{1}{2}t-2s.$

Вправа$\PageIndex{32}$

Знайти рішення системи рівнянь,$7x+14y+15z=22,$$2x+4y+3z=5,$ і$3x+6y+10z=13.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[ x=1-2t,z=1,y=t\right]$

Вправа$\PageIndex{33}$

Знайти рішення системи рівнянь,$3x-y+4z=6,$$y+8z=0,$ і$-2x+y=-4.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[ x=2-4t,y=-8t,z=t\right]$

Вправа$\PageIndex{34}$

Знайти рішення системи рівнянь,$9x-2y+4z=-17,$$13x-3y+6z=-25,$ і$-2x-z=3.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[x=-1,y=2,z=-1\right]$

Вправа$\PageIndex{35}$

Знайти розв'язку системи рівнянь,$65x+84y+16z=546,$$81x+105y+20z=682,$ і$84x+110y+21z=713.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[ x=2,y=4,z=5\right]$

Вправа$\PageIndex{36}$

Знайти рішення системи рівнянь,$8x+2y+3z=-3,8x+3y+3z=-1,$ і$4x+y+3z=-9.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[ x=1,y=2,z=-5\right]$

Вправа$\PageIndex{37}$

Знайти рішення системи рівнянь,$-8x+2y+5z=18,-8x+3y+5z=13,$ і$-4x+y+5z=19.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[x=-1,y=-5,z=4\right]$

Вправа$\PageIndex{38}$

Знайти розв'язку системи рівнянь,$3x-y-2z=3,$$y-4z=0,$ і$-2x+y=-2.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[ x=2t+1,y=4t,z=t\right]$

Вправа$\PageIndex{39}$

Знайти рішення системи рівнянь,$-9x+15y=66,-11x+18y=79$,$-x+y=4$, і$z=3$.

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[x=1,y=5,z=3\right]$

Вправа$\PageIndex{40}$

Знайти рішення системи рівнянь,$-19x+8y=-108,$$-71x+30y=-404,$$-2x+y=-12,$$4x+z=14.$

Відповідь

Рішення полягає в:$\left[ x=4,y=-4,z=-2\right]$

Вправа$\PageIndex{41}$

Припустимо, система рівнянь має менше рівнянь, ніж змінних, і ви знайшли рішення цієї системи рівнянь. Чи можливо, що ваше рішення єдине? Поясніть.

Відповідь

Ні. Розглянемо$x+y+z=2$ і$x+y+z=1.$

Вправа$\PageIndex{42}$

Припустимо, система лінійних рівнянь має$2\times 4$ доповнену матрицю, а останній стовпець - шарнірну колонку. Чи може система лінійних рівнянь бути послідовною? Поясніть.

Відповідь

Ні. Це призвело б до$0=1.$

Вправа$\PageIndex{43}$

Припустимо, матриця коефіцієнтів системи$n$ рівнянь зі$n$ змінними має властивість, що кожен стовпець є поворотним стовпчиком. Чи випливає, що система рівнянь повинна мати рішення? Якщо так, чи має рішення бути унікальним? Поясніть.

Відповідь

Так. Має унікальне рішення.

Вправа$\PageIndex{44}$

Припустимо, існує унікальне рішення системи лінійних рівнянь. Що повинно бути правдою щодо поворотних стовпців у доповненій матриці?

Відповідь

Останній стовпець не повинен бути шарнірною колоною. Решта стовпчиків кожен повинен бути шарнірними стовпчиками.

Вправа$\PageIndex{45}$

Температура стійкого стану пластини вирішує рівняння Лапласа,$\Delta u=0.$ Один із способів наближення рішення полягає в тому, щоб розділити пластину на квадратну сітку і вимагати, щоб температура на кожному вузлі дорівнювала середньому температурі на чотирьох сусідніх вузлах.$u$ На наступній картинці цифри представляють спостережувану температуру в зазначених вузлах. Знайти температуру на внутрішніх вузлах, позначену$x,y,z,$ і$w$. Одним з рівнянь є$z={0.05in}\frac{1}{4}\left( 10+0+w+x\right)$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Відповідь

Вам потрібно$\begin{array}{c} \frac{1}{4}\left( 20+30+w+x\right) -y=0 \\ \frac{1}{4}\left( y+30+0+z\right) -w=0 \\ \frac{1}{4}\left( 20+y+z+10\right) -x=0 \\ \frac{1}{4}\left( x+w+0+10\right) -z=0 \end{array}$, Рішення це:$\left[ w=15,x=15,y=20,z=10\right] .$

Вправа$\PageIndex{46}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 4 & -16 & -1 & -5 \\ 1 & -4 & 0 & -1 \\ 1 & -4 & -1 & -2 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{47}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 3 & 6 & 5 & 12 \\ 1 & 2 & 2 & 5 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{48}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & -1 & 0 & 3 \\ 1 & 4 & 1 & 0 & -8 \\ 1 & 4 & 0 & 1 & 2 \\ -1 & -4 & 0 & -1 & -2 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{49}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrr} 4 & -4 & 3 & -9 \\ 1 & -1 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & -3 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{50}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrrr} 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 7 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 7 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{51}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrr} 4 & 15 & 29 \\ 1 & 4 & 8 \\ 1 & 3 & 5 \\ 3 & 9 & 15 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{52}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrrr} 0 & 0 & -1 & 0 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & -2 & -18 \\ 1 & 2 & 2 & -1 & -11 \\ -1 & -2 & -2 & 1 & 11 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{53}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrrr} 1 & -2 & 0 & 3 & 11 \\ 1 & -2 & 0 & 4 & 15 \\ 1 & -2 & 0 & 3 & 11 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{54}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrr} -2 & -3 & -2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ -3 & 0 & -3 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{55}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrrr} 4 & 4 & 20 & -1 & 17 \\ 1 & 1 & 5 & 0 & 5 \\ 1 & 1 & 5 & -1 & 2 \\ 3 & 3 & 15 & -3 & 6 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{56}$

Знайдіть ранг наступної матриці. $$\left[ \begin{array}{rrrrr} -1 & 3 & 4 & -3 & 8 \\ 1 & -3 & -4 & 2 & -5 \\ 1 & -3 & -4 & 1 & -2 \\ -2 & 6 & 8 & -2 & 4 \end{array} \right]\nonumber$$

Вправа$\PageIndex{57}$

Припустимо,$A$ це$m\times n$ матриця. Поясніть, чому ранг завжди не більше$A$$\min \left( m,n\right) .$

Відповідь

Це тому, що ви не можете мати більше$\min \left( m,n\right)$ ненульових рядків у формі зменшеного рядка ешелону. Нагадаємо, що кількість шарнірних стовпчиків таке ж, як і кількість ненульових рядків з опису цієї зменшеної строково-ешелонової форми.

Вправа$\PageIndex{58}$

Вкажіть, чи можливі кожний з наступних наборів даних для матричного рівняння$AX=B$. Якщо є можливість, опишіть набір рішень. Тобто скажіть, чи існує унікальне рішення, немає рішення або нескінченно багато рішень. Тут$\left[ A |B \right]$ позначає доповнену матрицю.

1. $A$є$5\times 6$ матрицею,$rank\left( A\right) =4$ і$rank\left[ A|B \right] =4.$
2. $A$є$3\times 4$ матрицею,$rank\left( A\right) =3$ і$rank\left[ A|B\right] =2.$
3. $A$є$4\times 2$ матрицею,$rank\left( A\right) =4$ і$rank\left[ A|B \right] =4.$
4. $A$є$5\times 5$ матрицею,$rank\left( A\right) =4$ і$rank\left[ A|B \right] =5.$
5. $A$являє собою$4\times 2$ матрицю,$rank\left( A\right) =2$ і$rank\left[ A|B \right] =2$.

Відповідь

1. Це говорить$B$ знаходиться в прольоті чотирьох колон. При цьому колони не є самостійними. Нескінченний набір рішень.
2. Цього, безумовно, не може статися. Якщо додати в інший стовпець, ранг не стане менше.
3. $B$Це говорить, що в прольоті колон і колони повинні бути незалежними. Ви не можете мати ранг рівний 4, якщо у вас є тільки два стовпці.
4. $B$Це говорить не в прольоті колон. У цьому випадку рішення системи рівнянь, представленої доповненою матрицею, не існує.
5. В цьому випадку існує унікальне рішення, так як колони$A$ є незалежними.

Вправа$\PageIndex{59}$

Розглянемо систему$-5x+2y-z=0$ і$-5x-2y-z=0.$ Обидва рівняння дорівнюють нулю і так$-5x+2y-z=-5x-2y-z$, що еквівалентно$y=0.$ Чи слідує це$x$ і$z$ може дорівнювати чомусь? Зверніть увагу$x=1$, що коли$z=-4,$ і$y=0$ підключені до рівнянь, рівняння не рівні$0$. Чому?

Відповідь

Це не законні операції рядків. Вони не зберігають набір розчину системи.

Вправа$\PageIndex{60}$

Збалансуйте наступні хімічні реакції.

1. $KNO_{3}+H_{2}CO_{3}\rightarrow K_{2}CO_{3}+HNO_{3}$
2. $AgI+Na_{2}S\rightarrow Ag_{2}S+NaI$
3. $Ba_{3}N_{2}+H_{2}O\rightarrow Ba\left( OH\right) _{2}+NH_{3}$
4. $CaCl_{2}+Na_{3}PO_{4}\rightarrow Ca_{3}\left( PO_{4}\right) _{2}+NaCl$

Вправа$\PageIndex{61}$

У розділі про безрозмірні змінні було помічено, що$\rho V^{2}AB$ має одиниці сили. Опишіть систематичний спосіб отримання таких комбінацій змінних, які дадуть щось, що має одиниці сили.

Вправа$\PageIndex{62}$

Розглянемо наступну схему з чотирьох контурів.

Малюнок$\PageIndex{2}$

Струм в амперах в чотирьох ланцюгах позначається$I_{1},I_{2},I_{3},I_{4}$ і мається на увазі, що рух йде в напрямку проти годинникової стрілки. Якщо$I_{k}$ закінчується негативним, то це просто означає, що струм тече за годинниковою стрілкою.

На наведеній вище схемі верхній лівий ланцюг повинен дати рівняння $$2I_{2}-2I_{1}+5I_{2}-5I_{3}+3I_{2}=5\nonumber$$ Для ланцюга зліва внизу ви повинні мати $$4I_{1}+I_{1}-I_{4}+2I_{1}-2I_{2}=-10\nonumber$$ Записати рівняння для кожного з двох інших ланцюгів, а потім дати рішення отриманої системи рівнянь.

Відповідь

Інші два рівняння $$\begin{aligned} 6I_{3}-6I_{4}+I_{3}+I_{3}+5I_{3}-5I_{2} &=-20 \\ 2I_{4}+3I_{4}+6I_{4}-6I_{3}+I_{4}-I_{1} &=0\end{aligned}$$ Тоді система є $$\begin{array}{c} 2I_{2}-2I_{1}+5I_{2}-5I_{3}+3I_{2}=5 \\ 4I_{1}+I_{1}-I_{4}+2I_{1}-2I_{2}=-10 \\ 6I_{3}-6I_{4}+I_{3}+I_{3}+5I_{3}-5I_{2}=-20 \\ 2I_{4}+3I_{4}+6I_{4}-6I_{3}+I_{4}-I_{1}=0 \end{array}\nonumber$$ Рішення таке: $$\begin{aligned} I_{1}&= -\frac{750}{373} \\ I_{2}&= -\frac{1421}{1119} \\ I_{3}&= -\frac{3061}{1119} \\ I_{4}&= -\frac{1718}{1119}\end{aligned}$$

Вправа$\PageIndex{63}$

Розглянемо наступну схему з трьох контурів.

Малюнок$\PageIndex{3}$

Струм в амперах в чотирьох ланцюгах позначається$I_{1},I_{2},I_{3}$ і мається на увазі, що рух йде в напрямку проти годинникової стрілки. Якщо$I_{k}$ закінчується негативним, то це просто означає, що струм тече за годинниковою стрілкою.

Знайти$I_{1},I_{2},I_{3}$.

Відповідь

У вас є $$\begin{aligned} 2I_{1}+5I_{1}+3I_{1}-5I_{2} &= 10 \\ I_{2}- I_{3} +3I_{2}+7I_{2}+5I_{2}-5I_{1} &=-12 \\ 2I_{3}+4I_{3}+4I_{3}+I_{3}-I_{2} &= 0\end{aligned}$$ Спрощення цього дає $$\begin{aligned} 10I_{1}-5I_{2} &= 10 \\ -5I_{1} + 16I_{2}- I_{3} &=-12 \\ -I_{2} + 11I_{3} &=0\end{aligned}$$ Рішення дається $$I_{1}=\frac{218}{295},I_{2}=-\frac{154}{295},I_{3}=-\frac{14}{295}\nonumber$$