2.2: Множення матриць

Цілі навчання

• T/F: Вектори стовпців використовуються в цьому тексті більше, ніж вектори рядків, хоча деякі інші тексти роблять навпаки.
• T/F: Щоб помножити\(A\times B\), кількість рядів\(A\) і\(B\) повинні бути однаковими.
• T/F: Запис у 2-му рядку та 3-му стовпці виробу\(AB\) походить від множення 2-го ряду\(A\) з 3-м стовпцем\(B\).
• Назвіть дві властивості множення матриці, які також містять для «регулярного множення» чисел.
• Назвіть властивість «регулярного множення» чисел, яка не утримується для множення матриці.
• Т/Ф:\(A^{3} = A\cdot A\cdot A\)

У попередньому розділі ми виявили, що визначення додавання матриць було дуже інтуїтивним, і ми закінчили цей розділ, обговорюючи той факт, що врешті-решт ми хотіли б знати, що означає множення матриць разом.

У дусі останнього розділу візьміть ще один дикий удар: що ви думаєте

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\times\:\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{2}&{2}\end{array}\right] \nonumber \]

означає?

Ви, швидше за все, здогадалися

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{-2}\\{6}&{8}\end{array}\right] \nonumber \]

але це, по суті, не так. \(^{1}\)Фактична відповідь:

\[\left[\begin{array}{cc}{5}&{3}\\{11}&{5}\end{array}\right] . \nonumber \]

Якщо ви можете подивитися на цей приклад і раптом зрозуміти, як саме працює множення матриць, то ви, напевно, розумніші автора. Хоча множення матриці не важко, воно не настільки інтуїтивно зрозуміле, як додавання матриці.

Щоб ще більше каламутні води (перш ніж ми їх розчистимо), розглянемо

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\times\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right] . \nonumber \]

Наш досвід з останнього розділу дозволить нам повірити, що це не визначено, але наша впевненість, мабуть, трохи похитнулася. По суті, це множення визначено, і воно

\[\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{11}&{5}&{-4}\end{array}\right] . \nonumber \]

Ви можете побачити деяку схожість у цій відповіді на те, що ми отримали раніше, але знову ж таки, ймовірно, недостатньо, щоб по-справжньому розібратися.

Тож давайте зробимо крок назад і прогресуємо повільно. Перше, що ми хотіли б зробити, це визначити спеціальний тип матриці, який називається вектором.

Визначення: Вектори стовпців і рядків

\(m\times 1\)Матриця називається вектором стовпця.

\(1\times n\)Матриця називається рядковим вектором.

Хоча зараз це не очевидно, вектори стовпців стануть набагато кориснішими для нас, ніж вектори рядків. Тому ми часто опускаємо слово «колонка» при зверненні до векторів стовпців, і ми просто називаємо їх «векторами». \(^{2}\)

Ми використовували великі літери для позначення матриць; ми використовуємо малі літери зі стрілкою зверху, щоб позначити вектори рядків і стовпців. Прикладом вектора рядків є

\[\vec{u}=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{-1}&{0}\end{array}\right] \nonumber \]

і прикладом вектора стовпця є

\[\vec{v}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\\{8}\end{array}\right] . \nonumber \]

Перш ніж ми дізнаємося, як множити матриці в цілому, дізнаємося, що означає множення вектора рядка на вектор-стовпчик.

Визначення: Множення вектора рядка на вектор стовпця

\(\vec{u}\)Дозволяти бути\(1\times n\) рядок вектор з записами\(u_{1},\: u_{2},\cdots ,\: u_{n}\) і нехай\(\vec{v}\) бути вектор\(n\times 1\) стовпця з записами\(v_{1},\: v_{2},\cdots ,\: v_{n}\). Твір\(\vec{u}\) і\(\vec{v}\), позначається\(\vec{u}\cdot\vec{v}\) або\(\vec{u}\vec{v}\), є

\[\sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n} . \nonumber \]

Не хвилюйтеся, якщо це визначення не має негайного сенсу. Це дійсно легка концепція; приклад зробить речі більш зрозумілими.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Нехай

\[\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{cccc}{2}&{0}&{1}&{-1}\end{array}\right],\:\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right],\:\vec{y}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\\{5}\\{0}\end{array}\right] .\nonumber \]

Знайдіть такі продукти.

1. \(\vec{u}\vec{x}\)
2. \(\vec{v}\vec{y}\)
3. \(\vec{u}\vec{y}\)
4. \(\vec{u}\vec{v}\)
5. \(\vec{x}\vec{u}\)

Рішення

1. \(\vec{u}\vec{x}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right]=1(-2)+2(4)+3(3)=15\)
2. \(\vec{v}\vec{y}=\left[\begin{array}{cccc}{2}&{0}&{1}&{-1}\end{array}\right]\)\(\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\\{5}\\{0}\end{array}\right]=2(1)+0(2)+1(5)-1(0)=7\)
3. \(\vec{u}\vec{y}\)не визначено; визначення Множення вектора рядка на вектор стовпця вказує, що для множення вектора рядка та вектора стовпця вони повинні мати однакову кількість записів.
4. \(\vec{u}\vec{v}\)не визначено; ми знаємо лише як множити вектори рядків на вектори стовпців. Ми не визначили, як множити два вектори рядків (загалом, це неможливо зробити).
5. Продукт\(\vec{x}\vec{u}\) визначений, але ми поки не знаємо, як це зробити. Зараз ми знаємо лише, як помножити вектор рядка на вектор стовпця; ми не знаємо, як помножити вектор стовпця на вектор рядка. (Правильно:\(\vec{u}\vec{x}\neq\vec{x}\vec{u}\)!

Тепер, коли ми розуміємо, як помножити вектор рядка на вектор стовпця, ми готові визначити множення матриці.

Визначення: Множення матриць

\(A\)Дозволяти\(m\times r\) матриця, і\(B\) нехай\(r\times n\) матриця. Матричний\(A\) добуток і\(B\), що\(A\cdot B\) позначається\(AB\), або просто, -\(m\times n\) матриця, запис\(M\) якої в\(i^{\text{th}}\) рядку і\(j^{\text{th}}\) стовпці є\(i^{\text{th}}\) добутком рядка\(A\) і\(j^{\text{th}}\) стовпця \(B\).

Це може допомогти проілюструвати це таким чином. Нехай матриця\(A\) є рядки\(\vec{a_1}\),\(\vec{a_2}\),\(\cdots\),,\(\vec{a_m}\) і нехай\(B\) мають стовпці\(\vec{b_1}\)\(\vec{b_2}\),,\(\cdots\),\(\vec{b_n}\). Таким чином\(A\) виглядає

\[\left[\begin{array}{ccc}{-}&{\vec{a_{1}}}&{-}\\{-}&{\vec{a_{2}}}&{-}\\{}&{\vdots}&{}\\{-}&{\vec{a_{m}}}&{-}\end{array}\right] \nonumber \]

де символи «\(-\)» просто служать нагадуванням про те, що вони\(\vec{a_i}\) представляють рядки, і\(B\) виглядає як

\[\left[\begin{array}{cccc}{|}&{|}&{}&{|}\\{\vec{b_{1}}}&{\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{b_{n}}}\\{|}&{|}&{}&{|}\end{array}\right] \nonumber \]

де знову ж таки, «\(|\)» символи просто нагадують нам, що\(\vec{b_{i}}\) представляють вектори стовпців. Тоді

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{a_{1}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{1}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{1}}\vec{b_{n}}} \\ {\vec{a_{2}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{2}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{2}}\vec{b_{n}}} \\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{\vec{a_{m}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{m}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{m}}\vec{b_{n}}}\end{array}\right] \nonumber \]

Дві швидкі замітки про це визначення. По-перше, зверніть увагу, що для того\(B\), щоб помножити\(A\) і, кількість стовпців\(A\) повинна бути такою ж, як кількість рядків\(B\) (ми називаємо їх «внутрішніми розмірами»). По-друге, отримана матриця має таку ж кількість рядків, як\(A\) і стільки ж стовпців, що і\(B\) (ми називаємо їх «зовнішніми розмірами»).

\[\begin{array}{c}{\text{final dimensions are the outer}}\\{\text{dimensions}}\\{\overbrace{(m\times \underbrace{r)\times (r}\times n)}}\\{\text{these inner dimensions}}\\{\text{must match}}\end{array}\nonumber \]

Звичайно, це матиме набагато більше сенсу, коли ми побачимо приклад.

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Перегляньте добуток матриці, який ми бачили на початку цього розділу; помножте

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right] \nonumber \]

Рішення

Назвемо нашу першу матрицю\(A\) і другу\(B\). Ми повинні спочатку перевірити, щоб побачити, що ми можемо насправді виконати це множення. Матриця\(A\) є\(2\times 2\) і\(B\) є\(2\times 3\). «Внутрішні» розміри збігаються, тому ми можемо обчислити виріб; «зовнішні» розміри говорять нам, що виріб буде\(2\times 3\). Нехай

\[AB=\left[\begin{array}{ccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Давайте знайдемо значення кожного з записів.

Запис\(m_{11}\) знаходиться в першому рядку і першому стовпчику; тому, щоб знайти його значення, нам потрібно помножити перший рядок\(A\) на перший стовпець\(B\). Таким чином

\[m_{11}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right] \nonumber \]=1 (1) +2 (2) =5. \ номер\]

Отже, тепер ми знаємо, що

\[AB=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Закінчуючи перший ряд, маємо

\[m_{12}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-1}\\{2}\end{array}\right]=1(-1)+2(2)=3 \nonumber \]

використовуючи перший рядок\(A\) і другий стовпчик\(B\), і

\[m_{13}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{0}\\{-1}\end{array}\right]=1(0)+2(-1)=-2 \nonumber \]

використовуючи перший ряд\(A\) і третій стовпчик\(B\). Таким чином, ми маємо

\[AB=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Щоб обчислити другий ряд\(AB\), множимо на другий ряд\(A\). знаходимо

\[m_{21}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]=11, \nonumber \]

\[m_{22}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-1}\\{2}\end{array}\right]=5, \nonumber \]

і

\[m_{23}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{0}\\{-1}\end{array}\right]=-4 . \nonumber \]

Таким чином

\[AB=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{11}&{5}&{-4}\end{array}\right] . \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Помножити

\[\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{5}&{2}\\{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{1}\\{2}&{6}&{7}&{9}\end{array}\right] . \nonumber \]

Рішення

Давайте спочатку перевіримо, щоб переконатися, що цей продукт визначено. Знову викликаючи першу матрицю\(A\) і другу\(B\), ми бачимо, що\(A\) це\(3\times 2\) матриця і\(B\) є\(2\times4\) матрицею; внутрішні розміри збігаються, так що продукт визначається, а твір буде\(3\times 4\) матрицею,

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}&{m_{14}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}&{m_{24}} \\ {m_{31}}&{m_{32}}&{m_{33}}&{m_{34}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Ми продемонструємо, як обчислити деякі записи, після чого дамо остаточну відповідь. Читач може заповнити подробиці того, як обчислювалася кожна запис.

\[m_{11}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]=-1 . \nonumber \]

\[m_{13}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\end{array}\right]=-6 . \nonumber \]

\[m_{23}=\left[\begin{array}{cc}{5}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\end{array}\right]=19 . \nonumber \]

\[m_{24}=\left[\begin{array}{cc}{5}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{9}\end{array}\right]=23 . \nonumber \]

\[m_{32}=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{6}\end{array}\right]=16 . \nonumber \]

\[m_{34}=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{9}\end{array}\right]=25 . \nonumber \]

До цих пір ми обчислили це багато з\(AB\):

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{-1}&{m_{12}}&{-6}&{m_{14}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{19}&{23}\\{m_{31}}&{16}&{m_{33}}&{25}\end{array}\right] . \nonumber \]

Кінцевим продуктом є

\[AB=\left[\begin{array}{cccc}{-1}&{-5}&{-6}&{-8}\\{9}&{17}&{19}&{23}\\{4}&{16}&{19}&{25}\end{array}\right] . \nonumber \]

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Помножте, якщо можливо

\[\left[\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{9}&{8}&{7}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}{3}&{6}\\{5}&{-1}\end{array}\right] . \nonumber \]

Рішення

Знову назвемо першу матрицю\(A\) and the second \(B\). Checking the dimensions of each matrix, we see that \(A\) is a \(2\times 3\) matrix, whereas \(B\) is a \(2\times2\) matrix. The inner dimensions do not match, therefore this multiplication is not defined.

Приклад\(\PageIndex{5}\)

У\(\PageIndex{1}\) прикладі нам сказали, що продукт\(\vec{x}\vec{u}\) був визначений, де

\[\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right] , \nonumber \]

хоча нам не показали, що це за продукт. Знайти\(\vec{x}\vec{u}\).

Рішення

Знову ж таки, нам потрібно перевірити, щоб переконатися, що розміри працюють правильно (пам'ятайте, що хоча ми маємо на увазі\(\vec{u}\) і\(\vec{x}\) як вектори, вони, по суті, просто матриці).

Вектор стовпця\(\vec{x}\) має розміри\(3\times1\), тоді як вектор рядків\(\vec{u}\) має розміри\(1\times 3\). Оскільки внутрішні розміри збігаються, матричний продукт визначається; зовнішні розміри говорять нам, що виріб буде\(3\times3\) матрицею, як показано нижче:

\[\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\\{m_{31}}&{m_{32}}&{m_{33}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Щоб обчислити запис\(m_{11}\), множимо перший рядок\(\vec{x}\) на перший стовпець\(\vec{u}\). З чого складається перший ряд\(\vec{x}\)? Просто число\(-2\). З чого складається перша колонка\(\vec{u}\)? Просто цифра 1. Таким чином\(m_{11} = -2\). (Це здається дивним, але через перевірку, ви можете побачити, що ми дійсно дотримуємося правил.)

А як щодо вступу\(m_{12}\)? Знову множимо перший ряд\(\vec{x}\) на перший стовпець\(\vec{u}\); тобто множимо\(-2(2)\). Отже\(m_{12} = -4\).

А як щодо\(m_{23}\)? Помножте другий ряд\(\vec{x}\) на третій стовпець\(\vec{u}\); множте\(4(3)\), так\(m_{23} = 12\).

Один останній приклад:\(m_{31}\) походить від множення третього рядка\(\vec{x}\), який дорівнює 3, на перший стовпець\(\vec{u}\), який дорівнює 1. Тому\(m_{31} = 3\).

Поки що ми обчислили

\[\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{-4}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{12}\\{3}&{m_{32}}&{m_{33}}\end{array}\right] . \nonumber \]

Виконавши всі 9 множень, знаходимо

\[\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{-4}&{-6}\\{4}&{8}&{12}\\{3}&{6}&{9}\end{array}\right] . \nonumber \]

У цьому останньому прикладі ми побачили «нестандартне» множення (принаймні, воно відчувалося нестандартним). Вивчаючи записи цієї матриці, здається, що є кілька різних закономірностей, які можна побачити серед записів. (Пам'ятайте, що математики люблять шукати закономірності. Також пам'ятайте, що спочатку ми часто здогадуємося неправильно; не лякайтеся і намагайтеся визначити деякі закономірності.)
У розділі 2.1 ми визначили нульову матрицю\(\mathbf{0}\), яка мала приємну властивість щодо додавання матриць (тобто\(A+\mathbf{0}=A\) для будь-якої матриці\(A\)). У наступному прикладі ми визначимо матрицю, яка добре працює з множенням, а також деякі мультиплікативні властивості. Наприклад, ми дізналися, як\(1\cdot A=A\); чи є матриця, яка діє як число 1? Тобто, чи можемо ми знайти матрицю\(X\) де\(X\cdot A=A\)? \(^{3}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Нехай

\[\begin{array}{cc}{A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right],}&{B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]}\\ {C=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\end{array}\right],} &{I=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right] .}\end{array}\nonumber \]

Знайдіть такі продукти.

1. \(AB\)
2. \(BA\)
3. \(A\mathbf{0}_{3\times 4}\)
4. \(AI\)
5. \(IA\)
6. \(I^{2}\)
7. \(BC\)
8. \(B^{2}\)

Рішення

Ми знайдемо кожен продукт, але ми залишаємо деталі кожного обчислення читачеві.

1. \(AB=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{6}&{6}&{6}\\{0}&{0}&{0}\\{-7}&{-7}&{-7}\end{array}\right]\)
2. \(BA=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-13}&{11}\\{1}&{-13}&{11}\\{1}&{-13}&{11}\end{array}\right]\)
3. \(A\mathbf{0}_{3\times 4}=\mathbf{0}_{3\times 4}\).
4. \(AI=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\)
5. \(IA=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\)
6. Ми формально не визначили, що\(I^{2}\) означає, але ми могли б, ймовірно, зробити розумну здогадку, що\(I^{2}=I\cdot I\). Таким чином
   \[I^{2}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\nonumber \]
7. \(BC=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\end{array}\right]\)
8. \(B^{2}=BB=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\end{array}\right]\)

Цей приклад просто сповнений цікавих ідей; майже важко подумати, з чого почати.

Цікава ідея #1: Зверніть увагу, що в нашому прикладі\(AB\neq BA\)! Коли ми мали справу з числами, ми звикли до цієї думки\(ab = ba\). З матрицями множення не є комутативним. (Звичайно, ми можемо знайти особливі ситуації, коли це працює. Загалом, хоча, це не так.)

Цікава ідея #2: Прямо перед цим прикладом ми задавалися питанням, чи існує матриця, яка «діяла як число 1», і здогадалися, що це може бути матриця всіх 1s. Однак ми з'ясували, що така матриця не працює таким чином; в нашому прикладі,\(AB\neq A\). Ми знайшли це\(AI=IA=A\). Існує мультиплікативна ідентичність; це просто не те, що ми думали, що це буде. І так само\(1^2 = 1\),\(I^{2}=I\).

Цікава ідея #3: Коли ми маємо справу з числами, ми добре знайомі з поняттям «Якщо\(ax = bx\), то»\(a=b\). (До тих пір, поки\(x\neq 0\).) Зауважте, що, в нашому прикладі\(BB=BC\), поки що\(B\neq C\). Загалом, просто тому\(AX=BX\), що ми не можемо зробити висновок про це\(A=B\).
Множення матриць виявляється дуже дивною операцією. Ми дуже звикли множити числа, і ми знаємо купу властивостей, які тримають при використанні цього типу множення. Однак при множенні матриць ми, мабуть, задаємо два питання: «Що працює?» і «Що не працює?» Ми відповімо на ці питання; спочатку ми зробимо приклад, який демонструє деякі речі, які працюють.

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Нехай

\[A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad C=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] . \nonumber \]

Знайдіть наступне:

1. \(A(B+C)\)
2. \(AB+AC\)
3. \(A(BC)\)
4. \((AB)C\)

Рішення

Ми обчислимо кожен з них, не показуючи всіх проміжних кроків. Майте на увазі порядок операцій: речі, які з'являються всередині дужок, обчислюються першими.

1. \[\begin{aligned}A(B+C)&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right]\right) \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{2}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{7}&{4}\\{17}&{10}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]
2. \[\begin{aligned}AB+AC&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{7}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{10}&{11}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{7}&{4}\\{17}&{10}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]
3. \[\begin{aligned}A(BC)&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right]\right) \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{3}&{3}\\{1}&{-1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{13}&{5}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]
4. \[\begin{aligned}(AB)C&=\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\right) \left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{7}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{13}&{5}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber \]

Дивлячись на наш приклад, ми повинні помітити дві речі. По-перше, це виглядає так, як «розподільна властивість» володіє; тобто\(A(B+C)=AB+AC\). Це приємно, оскільки багато алгебраїчних прийомів, про які ми дізналися в минулому (при виконанні «звичайної алгебри») все одно працюватимуть. По-друге, це виглядає так, як «асоціативне властивість» має; тобто\(A(BC)=(AB)C\). Це приємно, бо це говорить нам, що коли ми множимо кілька матриць разом, ми не повинні бути особливо обережними, в якому порядку ми множимо певні пари матриць разом. \(^{4}\)

Проводячи важливу теорему, давайте визначимо матрицю, яку ми бачили в попередньому прикладі. \(^{5}\)

Визначення: Матриця ідентичності

\(n\times n\)Матриця з 1 по діагоналі і нулями в іншому місці - це\(n\times n\) ідентифікаційна матриця, позначена\(I_{n}\). Коли контекст робить вимір ідентичності чітким, індекс, як правило, опускається.

Зверніть увагу, що в той час як нульова матриця може бути різних форм і розмірів, ідентичність матриця завжди квадратна матриця. Нижче ми показуємо кілька матриць ідентичності.

\[I_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right],\quad I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right],\quad I_{4}=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}\right] \nonumber \]

У наших прикладах вище ми бачили приклади речей, які працюють, а не працюють. Однак ми повинні бути обережними щодо того, що доводять приклади. Якби хтось стверджував, що\(AB=BA\) це завжди правда, потрібно було б лише показати їм один приклад, де вони були помилковими, і ми б знали, що людина помилялася. Однак, якщо хтось стверджує, що\(A(B+C)=AB+AC\) це завжди правда, ми не можемо довести це лише одним прикладом. Нам потрібно щось більш потужне, нам потрібен справжній доказ.

У цьому тексті ми відмовляємося від більшості доказів. Читач повинен знати, однак, що коли ми висловлюємо щось у теоремі, є доказ, який підтримує те, що ми заявляємо. Наше виправдання виходить з чогось сильнішого, ніж просто приклади.

Тепер дамо добру новину про те, що працює при роботі з множенням матриць.

Теорема\(\PageIndex{1}\)

Властивості множення матриць

Дозволяти\(A\),\(B\) і\(C\) бути матриці з розмірами, так що наступні операції мають сенс, і нехай\(k\) бути скалярним. Наступні рівності дотримуються:

1. \(A(BC) = (AB)C\)(Асоціативна власність)
2. \(A(B + C) = AB + AB\)і
   \((B + C)A = BA + CA\) (розподільна власність)
3. \(k(AB) = (kA)B = A(kB)\)
4. \(AI = IA = A\)

Вище поле містить деякі дуже хороші новини, і, ймовірно, деякі дуже дивовижні новини. Матриця множення, ймовірно, здається нам, як дуже дивна операція, так що ми, ймовірно, не були б здивовані, якби нам сказали, що\(A(BC)\neq (AB)C\). Це дуже приємна річ, яку має асоціативна власність.

Коли ми ближче до кінця цього розділу, ми піднімаємо ще одне питання позначення. Визначаємо\(A^{0}=I\). Якщо\(n\) є натуральним числом, ми визначаємо

\[\begin{array}{c}{A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdot\cdots\cdot A.}} \\ {\quad n\text{ times}}\end{array} \nonumber \]

З цифрами ми звикли\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\). Чи працюють негативні показники і з матрицями? Відповідь - так, начебто. Ми повинні бути обережними, і ми розглянемо цю тему докладно, як тільки ми визначимо зворотну матрицю. Наразі, однак, ми визнаємо той факт\(A^{-1}\neq\frac{1}{A}\), що,\(\frac{1}{A}\) бо не має сенсу; ми не знаємо, як «розділити» матрицею.
Закінчуємо цей розділ нагадуванням про деякі речі, які не працюють з множенням матриць. Хороша новина полягає в тому, що в цьому списку насправді є лише дві речі.

1. Матричне множення не є комутативним; тобто\(AB\neq BA\).
2. Загалом, просто тому\(AX=BX\), що ми не можемо зробити висновок про це\(A=B\).

Погана новина полягає в тому, що ці ідеї з'являються в багатьох місцях, де ми їх не очікуємо. Наприклад, ми звикли до\[(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2. \nonumber \] чого\((A+B)^{2}\)? Все, що ми скажемо тут, це

\[(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}; \nonumber \]

ми залишаємо це читачеві, щоб розібратися, чому.

Наступний розділ присвячений візуалізації векторів стовпців і «перегляду» того, як деякі з цих арифметичних властивостей працюють разом.

Виноски

[1] Я думаю, ви могли б визначити множення таким чином. Якщо ви віддаєте перевагу такому типу множення, напишіть власну книгу.

[2] У цьому тексті вектори рядків використовуються лише в цьому розділі, коли ми обговорюємо множення матриць, тоді як ми будемо широко використовувати вектори стовпців. Інші тексти чудово використовують вектори рядків, але мало використовують вектори стовпців. Це питання переваги та традиції: «більшість» текстів більше використовують вектори стовпців.

[3] Ми зробили припущення в розділі 2.1, що, можливо, матриця всіх 1s буде працювати.

[4] Будьте обережні: при\(ABC\) спільному обчисленні ми можемо спочатку помножити\(AB\) або\(BC\), але ми не можемо змінити порядок, в якому ці матриці з'являються. Ми не можемо множити\(BA\) або\(AC\), наприклад.

[5] Наступне визначення використовує термін, який ми не будемо визначати до визначення Діагональ, діагональна матриця, трикутні матриці в розділі 3.1: діагональ. Коротше кажучи, «діагональна матриця» - це та, в якій єдиними ненульовими записами є «діагональні записи». Прикладів, наведених тут і у вправах, повинно вистачити, поки ми не зустрінемося з повним визначенням пізніше.