2.2: Множення матриць
- T/F: Вектори стовпців використовуються в цьому тексті більше, ніж вектори рядків, хоча деякі інші тексти роблять навпаки.
- T/F: Щоб помножитиA\times B, кількість рядівA іB повинні бути однаковими.
- T/F: Запис у 2-му рядку та 3-му стовпці виробуAB походить від множення 2-го рядуA з 3-м стовпцемB.
- Назвіть дві властивості множення матриці, які також містять для «регулярного множення» чисел.
- Назвіть властивість «регулярного множення» чисел, яка не утримується для множення матриці.
- Т/Ф:A^{3} = A\cdot A\cdot A
У попередньому розділі ми виявили, що визначення додавання матриць було дуже інтуїтивним, і ми закінчили цей розділ, обговорюючи той факт, що врешті-решт ми хотіли б знати, що означає множення матриць разом.
У дусі останнього розділу візьміть ще один дикий удар: що ви думаєте
\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\times\:\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{2}&{2}\end{array}\right] \nonumber
означає?
Ви, швидше за все, здогадалися
\left[\begin{array}{cc}{1}&{-2}\\{6}&{8}\end{array}\right] \nonumber
але це, по суті, не так. ^{1}Фактична відповідь:
\left[\begin{array}{cc}{5}&{3}\\{11}&{5}\end{array}\right] . \nonumber
Якщо ви можете подивитися на цей приклад і раптом зрозуміти, як саме працює множення матриць, то ви, напевно, розумніші автора. Хоча множення матриці не важко, воно не настільки інтуїтивно зрозуміле, як додавання матриці.
Щоб ще більше каламутні води (перш ніж ми їх розчистимо), розглянемо
\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\times\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right] . \nonumber
Наш досвід з останнього розділу дозволить нам повірити, що це не визначено, але наша впевненість, мабуть, трохи похитнулася. По суті, це множення визначено, і воно
\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{11}&{5}&{-4}\end{array}\right] . \nonumber
Ви можете побачити деяку схожість у цій відповіді на те, що ми отримали раніше, але знову ж таки, ймовірно, недостатньо, щоб по-справжньому розібратися.
Тож давайте зробимо крок назад і прогресуємо повільно. Перше, що ми хотіли б зробити, це визначити спеціальний тип матриці, який називається вектором.
m\times 1Матриця називається вектором стовпця.
1\times nМатриця називається рядковим вектором.
Хоча зараз це не очевидно, вектори стовпців стануть набагато кориснішими для нас, ніж вектори рядків. Тому ми часто опускаємо слово «колонка» при зверненні до векторів стовпців, і ми просто називаємо їх «векторами». ^{2}
Ми використовували великі літери для позначення матриць; ми використовуємо малі літери зі стрілкою зверху, щоб позначити вектори рядків і стовпців. Прикладом вектора рядків є
\vec{u}=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{2}&{-1}&{0}\end{array}\right] \nonumber
і прикладом вектора стовпця є
\vec{v}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\\{8}\end{array}\right] . \nonumber
Перш ніж ми дізнаємося, як множити матриці в цілому, дізнаємося, що означає множення вектора рядка на вектор-стовпчик.
\vec{u}Дозволяти бути1\times n рядок вектор з записамиu_{1},\: u_{2},\cdots ,\: u_{n} і нехай\vec{v} бути векторn\times 1 стовпця з записамиv_{1},\: v_{2},\cdots ,\: v_{n}. Твір\vec{u} і\vec{v}, позначається\vec{u}\cdot\vec{v} або\vec{u}\vec{v}, є
\sum_{i=1}^{n}u_{i}v_{i}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\cdots +u_{n}v_{n} . \nonumber
Не хвилюйтеся, якщо це визначення не має негайного сенсу. Це дійсно легка концепція; приклад зробить речі більш зрозумілими.
Нехай
\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right],\:\vec{v}=\left[\begin{array}{cccc}{2}&{0}&{1}&{-1}\end{array}\right],\:\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right],\:\vec{y}=\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\\{5}\\{0}\end{array}\right] .\nonumber
Знайдіть такі продукти.
- \vec{u}\vec{x}
- \vec{v}\vec{y}
- \vec{u}\vec{y}
- \vec{u}\vec{v}
- \vec{x}\vec{u}
Рішення
- \vec{u}\vec{x}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right]=1(-2)+2(4)+3(3)=15
- \vec{v}\vec{y}=\left[\begin{array}{cccc}{2}&{0}&{1}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\\{5}\\{0}\end{array}\right]=2(1)+0(2)+1(5)-1(0)=7
- \vec{u}\vec{y}не визначено; визначення Множення вектора рядка на вектор стовпця вказує, що для множення вектора рядка та вектора стовпця вони повинні мати однакову кількість записів.
- \vec{u}\vec{v}не визначено; ми знаємо лише як множити вектори рядків на вектори стовпців. Ми не визначили, як множити два вектори рядків (загалом, це неможливо зробити).
- Продукт\vec{x}\vec{u} визначений, але ми поки не знаємо, як це зробити. Зараз ми знаємо лише, як помножити вектор рядка на вектор стовпця; ми не знаємо, як помножити вектор стовпця на вектор рядка. (Правильно:\vec{u}\vec{x}\neq\vec{x}\vec{u}!
Тепер, коли ми розуміємо, як помножити вектор рядка на вектор стовпця, ми готові визначити множення матриці.
AДозволятиm\times r матриця, іB нехайr\times n матриця. МатричнийA добуток іB, щоA\cdot B позначаєтьсяAB, або просто, -m\times n матриця, записM якої вi^{\text{th}} рядку іj^{\text{th}} стовпці єi^{\text{th}} добутком рядкаA іj^{\text{th}} стовпця B.
Це може допомогти проілюструвати це таким чином. Нехай матрицяA є рядки\vec{a_1},\vec{a_2},\cdots,,\vec{a_m} і нехайB мають стовпці\vec{b_1}\vec{b_2},,\cdots,\vec{b_n}. Таким чиномA виглядає
\left[\begin{array}{ccc}{-}&{\vec{a_{1}}}&{-}\\{-}&{\vec{a_{2}}}&{-}\\{}&{\vdots}&{}\\{-}&{\vec{a_{m}}}&{-}\end{array}\right] \nonumber
де символи «-» просто служать нагадуванням про те, що вони\vec{a_i} представляють рядки, іB виглядає як
\left[\begin{array}{cccc}{|}&{|}&{}&{|}\\{\vec{b_{1}}}&{\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{b_{n}}}\\{|}&{|}&{}&{|}\end{array}\right] \nonumber
де знову ж таки, «|» символи просто нагадують нам, що\vec{b_{i}} представляють вектори стовпців. Тоді
AB=\left[\begin{array}{cccc}{\vec{a_{1}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{1}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{1}}\vec{b_{n}}} \\ {\vec{a_{2}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{2}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{2}}\vec{b_{n}}} \\ {\vdots}&{\vdots}&{\ddots}&{\vdots}\\{\vec{a_{m}}\vec{b_{1}}}&{\vec{a_{m}}\vec{b_{2}}}&{\cdots}&{\vec{a_{m}}\vec{b_{n}}}\end{array}\right] \nonumber
Дві швидкі замітки про це визначення. По-перше, зверніть увагу, що для тогоB, щоб помножитиA і, кількість стовпцівA повинна бути такою ж, як кількість рядківB (ми називаємо їх «внутрішніми розмірами»). По-друге, отримана матриця має таку ж кількість рядків, якA і стільки ж стовпців, що іB (ми називаємо їх «зовнішніми розмірами»).
\begin{array}{c}{\text{final dimensions are the outer}}\\{\text{dimensions}}\\{\overbrace{(m\times \underbrace{r)\times (r}\times n)}}\\{\text{these inner dimensions}}\\{\text{must match}}\end{array}\nonumber
Звичайно, це матиме набагато більше сенсу, коли ми побачимо приклад.
Перегляньте добуток матриці, який ми бачили на початку цього розділу; помножте
\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right] \nonumber
Рішення
Назвемо нашу першу матрицюA і другуB. Ми повинні спочатку перевірити, щоб побачити, що ми можемо насправді виконати це множення. МатрицяA є2\times 2 іB є2\times 3. «Внутрішні» розміри збігаються, тому ми можемо обчислити виріб; «зовнішні» розміри говорять нам, що виріб буде2\times 3. Нехай
AB=\left[\begin{array}{ccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber
Давайте знайдемо значення кожного з записів.
Записm_{11} знаходиться в першому рядку і першому стовпчику; тому, щоб знайти його значення, нам потрібно помножити перший рядокA на перший стовпецьB. Таким чином
m_{11}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right] \nonumber =1 (1) +2 (2) =5. \ номер\]
Отже, тепер ми знаємо, що
AB=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber
Закінчуючи перший ряд, маємо
m_{12}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-1}\\{2}\end{array}\right]=1(-1)+2(2)=3 \nonumber
використовуючи перший рядокA і другий стовпчикB, і
m_{13}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{0}\\{-1}\end{array}\right]=1(0)+2(-1)=-2 \nonumber
використовуючи перший рядA і третій стовпчикB. Таким чином, ми маємо
AB=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\end{array}\right] . \nonumber
Щоб обчислити другий рядAB, множимо на другий рядA. знаходимо
m_{21}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]=11, \nonumber
m_{22}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{-1}\\{2}\end{array}\right]=5, \nonumber
і
m_{23}=\left[\begin{array}{cc}{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{0}\\{-1}\end{array}\right]=-4 . \nonumber
Таким чином
AB=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-1}&{0}\\{2}&{2}&{-1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{5}&{3}&{-2}\\{11}&{5}&{-4}\end{array}\right] . \nonumber
Помножити
\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\\{5}&{2}\\{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cccc}{1}&{1}&{1}&{1}\\{2}&{6}&{7}&{9}\end{array}\right] . \nonumber
Рішення
Давайте спочатку перевіримо, щоб переконатися, що цей продукт визначено. Знову викликаючи першу матрицюA і другуB, ми бачимо, щоA це3\times 2 матриця іB є2\times4 матрицею; внутрішні розміри збігаються, так що продукт визначається, а твір буде3\times 4 матрицею,
AB=\left[\begin{array}{cccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}&{m_{14}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}&{m_{24}} \\ {m_{31}}&{m_{32}}&{m_{33}}&{m_{34}}\end{array}\right] . \nonumber
Ми продемонструємо, як обчислити деякі записи, після чого дамо остаточну відповідь. Читач може заповнити подробиці того, як обчислювалася кожна запис.
m_{11}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{2}\end{array}\right]=-1 . \nonumber
m_{13}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{-1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\end{array}\right]=-6 . \nonumber
m_{23}=\left[\begin{array}{cc}{5}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{7}\end{array}\right]=19 . \nonumber
m_{24}=\left[\begin{array}{cc}{5}&{2}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{9}\end{array}\right]=23 . \nonumber
m_{32}=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{6}\end{array}\right]=16 . \nonumber
m_{34}=\left[\begin{array}{cc}{-2}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{c}{1}\\{9}\end{array}\right]=25 . \nonumber
До цих пір ми обчислили це багато зAB:
AB=\left[\begin{array}{cccc}{-1}&{m_{12}}&{-6}&{m_{14}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{19}&{23}\\{m_{31}}&{16}&{m_{33}}&{25}\end{array}\right] . \nonumber
Кінцевим продуктом є
AB=\left[\begin{array}{cccc}{-1}&{-5}&{-6}&{-8}\\{9}&{17}&{19}&{23}\\{4}&{16}&{19}&{25}\end{array}\right] . \nonumber
Помножте, якщо можливо
\left[\begin{array}{ccc}{2}&{3}&{4}\\{9}&{8}&{7}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{cc}{3}&{6}\\{5}&{-1}\end{array}\right] . \nonumber
Рішення
Знову назвемо першу матрицюA and the second B. Checking the dimensions of each matrix, we see that A is a 2\times 3 matrix, whereas B is a 2\times2 matrix. The inner dimensions do not match, therefore this multiplication is not defined.
У\PageIndex{1} прикладі нам сказали, що продукт\vec{x}\vec{u} був визначений, де
\vec{x}=\left[\begin{array}{c}{-2}\\{4}\\{3}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\end{array}\right] , \nonumber
хоча нам не показали, що це за продукт. Знайти\vec{x}\vec{u}.
Рішення
Знову ж таки, нам потрібно перевірити, щоб переконатися, що розміри працюють правильно (пам'ятайте, що хоча ми маємо на увазі\vec{u} і\vec{x} як вектори, вони, по суті, просто матриці).
Вектор стовпця\vec{x} має розміри3\times1, тоді як вектор рядків\vec{u} має розміри1\times 3. Оскільки внутрішні розміри збігаються, матричний продукт визначається; зовнішні розміри говорять нам, що виріб буде3\times3 матрицею, як показано нижче:
\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{m_{11}}&{m_{12}}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{m_{23}}\\{m_{31}}&{m_{32}}&{m_{33}}\end{array}\right] . \nonumber
Щоб обчислити записm_{11}, множимо перший рядок\vec{x} на перший стовпець\vec{u}. З чого складається перший ряд\vec{x}? Просто число-2. З чого складається перша колонка\vec{u}? Просто цифра 1. Таким чиномm_{11} = -2. (Це здається дивним, але через перевірку, ви можете побачити, що ми дійсно дотримуємося правил.)
А як щодо вступуm_{12}? Знову множимо перший ряд\vec{x} на перший стовпець\vec{u}; тобто множимо-2(2). Отжеm_{12} = -4.
А як щодоm_{23}? Помножте другий ряд\vec{x} на третій стовпець\vec{u}; множте4(3), такm_{23} = 12.
Один останній приклад:m_{31} походить від множення третього рядка\vec{x}, який дорівнює 3, на перший стовпець\vec{u}, який дорівнює 1. Томуm_{31} = 3.
Поки що ми обчислили
\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{-4}&{m_{13}}\\{m_{21}}&{m_{22}}&{12}\\{3}&{m_{32}}&{m_{33}}\end{array}\right] . \nonumber
Виконавши всі 9 множень, знаходимо
\vec{x}\vec{u}=\left[\begin{array}{ccc}{-2}&{-4}&{-6}\\{4}&{8}&{12}\\{3}&{6}&{9}\end{array}\right] . \nonumber
У цьому останньому прикладі ми побачили «нестандартне» множення (принаймні, воно відчувалося нестандартним). Вивчаючи записи цієї матриці, здається, що є кілька різних закономірностей, які можна побачити серед записів. (Пам'ятайте, що математики люблять шукати закономірності. Також пам'ятайте, що спочатку ми часто здогадуємося неправильно; не лякайтеся і намагайтеся визначити деякі закономірності.)
У розділі 2.1 ми визначили нульову матрицю\mathbf{0}, яка мала приємну властивість щодо додавання матриць (тобтоA+\mathbf{0}=A для будь-якої матриціA). У наступному прикладі ми визначимо матрицю, яка добре працює з множенням, а також деякі мультиплікативні властивості. Наприклад, ми дізналися, як1\cdot A=A; чи є матриця, яка діє як число 1? Тобто, чи можемо ми знайти матрицюX деX\cdot A=A? ^{3}
Нехай
\begin{array}{cc}{A=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right],}&{B=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]}\\ {C=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\end{array}\right],} &{I=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right] .}\end{array}\nonumber
Знайдіть такі продукти.
- AB
- BA
- A\mathbf{0}_{3\times 4}
- AI
- IA
- I^{2}
- BC
- B^{2}
Рішення
Ми знайдемо кожен продукт, але ми залишаємо деталі кожного обчислення читачеві.
- AB=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{6}&{6}&{6}\\{0}&{0}&{0}\\{-7}&{-7}&{-7}\end{array}\right]
- BA=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{-13}&{11}\\{1}&{-13}&{11}\\{1}&{-13}&{11}\end{array}\right]
- A\mathbf{0}_{3\times 4}=\mathbf{0}_{3\times 4}.
- AI=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]
- IA=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{2}&{3}\\{2}&{-7}&{5}\\{-2}&{-8}&{3}\end{array}\right]
- Ми формально не визначили, щоI^{2} означає, але ми могли б, ймовірно, зробити розумну здогадку, щоI^{2}=I\cdot I. Таким чином
I^{2}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right]\nonumber - BC=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{2}&{1}&{0}\\{0}&{2}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\end{array}\right]
- B^{2}=BB=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]\:\left[\begin{array}{ccc}{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\\{1}&{1}&{1}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\\{3}&{3}&{3}\end{array}\right]
Цей приклад просто сповнений цікавих ідей; майже важко подумати, з чого почати.
Цікава ідея #1: Зверніть увагу, що в нашому прикладіAB\neq BA! Коли ми мали справу з числами, ми звикли до цієї думкиab = ba. З матрицями множення не є комутативним. (Звичайно, ми можемо знайти особливі ситуації, коли це працює. Загалом, хоча, це не так.)
Цікава ідея #2: Прямо перед цим прикладом ми задавалися питанням, чи існує матриця, яка «діяла як число 1», і здогадалися, що це може бути матриця всіх 1s. Однак ми з'ясували, що така матриця не працює таким чином; в нашому прикладі,AB\neq A. Ми знайшли цеAI=IA=A. Існує мультиплікативна ідентичність; це просто не те, що ми думали, що це буде. І так само1^2 = 1,I^{2}=I.
Цікава ідея #3: Коли ми маємо справу з числами, ми добре знайомі з поняттям «Якщоax = bx, то»a=b. (До тих пір, покиx\neq 0.) Зауважте, що, в нашому прикладіBB=BC, поки щоB\neq C. Загалом, просто томуAX=BX, що ми не можемо зробити висновок про цеA=B.
Множення матриць виявляється дуже дивною операцією. Ми дуже звикли множити числа, і ми знаємо купу властивостей, які тримають при використанні цього типу множення. Однак при множенні матриць ми, мабуть, задаємо два питання: «Що працює?» і «Що не працює?» Ми відповімо на ці питання; спочатку ми зробимо приклад, який демонструє деякі речі, які працюють.
Нехай
A=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right],\quad B=\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\quad\text{and}\quad C=\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] . \nonumber
Знайдіть наступне:
- A(B+C)
- AB+AC
- A(BC)
- (AB)C
Рішення
Ми обчислимо кожен з них, не показуючи всіх проміжних кроків. Майте на увазі порядок операцій: речі, які з'являються всередині дужок, обчислюються першими.
- \begin{aligned}A(B+C)&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right]\right) \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{3}&{2}\\{2}&{1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{7}&{4}\\{17}&{10}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber
- \begin{aligned}AB+AC&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{7}&{-1}\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}{4}&{5}\\{10}&{11}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{7}&{4}\\{17}&{10}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber
- \begin{aligned}A(BC)&=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right]\right) \\ &=\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{3}&{3}\\{1}&{-1}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{13}&{5}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber
- \begin{aligned}(AB)C&=\left(\left[\begin{array}{cc}{1}&{2}\\{3}&{4}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{1}&{1}\\{1}&{-1}\end{array}\right]\right) \left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{3}&{-1}\\{7}&{-1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{2}&{1}\\{1}&{2}\end{array}\right] \\ &=\left[\begin{array}{cc}{5}&{1}\\{13}&{5}\end{array}\right]\end{aligned} \nonumber
Дивлячись на наш приклад, ми повинні помітити дві речі. По-перше, це виглядає так, як «розподільна властивість» володіє; тобтоA(B+C)=AB+AC. Це приємно, оскільки багато алгебраїчних прийомів, про які ми дізналися в минулому (при виконанні «звичайної алгебри») все одно працюватимуть. По-друге, це виглядає так, як «асоціативне властивість» має; тобтоA(BC)=(AB)C. Це приємно, бо це говорить нам, що коли ми множимо кілька матриць разом, ми не повинні бути особливо обережними, в якому порядку ми множимо певні пари матриць разом. ^{4}
Проводячи важливу теорему, давайте визначимо матрицю, яку ми бачили в попередньому прикладі. ^{5}
n\times nМатриця з 1 по діагоналі і нулями в іншому місці - цеn\times n ідентифікаційна матриця, позначенаI_{n}. Коли контекст робить вимір ідентичності чітким, індекс, як правило, опускається.
Зверніть увагу, що в той час як нульова матриця може бути різних форм і розмірів, ідентичність матриця завжди квадратна матриця. Нижче ми показуємо кілька матриць ідентичності.
I_{2}=\left[\begin{array}{cc}{1}&{0}\\{0}&{1}\end{array}\right],\quad I_{3}=\left[\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{1}\end{array}\right],\quad I_{4}=\left[\begin{array}{cccc}{1}&{0}&{0}&{0}\\{0}&{1}&{0}&{0}\\{0}&{0}&{1}&{0}\\{0}&{0}&{0}&{1}\end{array}\right] \nonumber
У наших прикладах вище ми бачили приклади речей, які працюють, а не працюють. Однак ми повинні бути обережними щодо того, що доводять приклади. Якби хтось стверджував, щоAB=BA це завжди правда, потрібно було б лише показати їм один приклад, де вони були помилковими, і ми б знали, що людина помилялася. Однак, якщо хтось стверджує, щоA(B+C)=AB+AC це завжди правда, ми не можемо довести це лише одним прикладом. Нам потрібно щось більш потужне, нам потрібен справжній доказ.
У цьому тексті ми відмовляємося від більшості доказів. Читач повинен знати, однак, що коли ми висловлюємо щось у теоремі, є доказ, який підтримує те, що ми заявляємо. Наше виправдання виходить з чогось сильнішого, ніж просто приклади.
Тепер дамо добру новину про те, що працює при роботі з множенням матриць.
Властивості множення матриць
ДозволятиA,B іC бути матриці з розмірами, так що наступні операції мають сенс, і нехайk бути скалярним. Наступні рівності дотримуються:
- A(BC) = (AB)C(Асоціативна власність)
- A(B + C) = AB + ABі
(B + C)A = BA + CA (розподільна власність) - k(AB) = (kA)B = A(kB)
- AI = IA = A
Вище поле містить деякі дуже хороші новини, і, ймовірно, деякі дуже дивовижні новини. Матриця множення, ймовірно, здається нам, як дуже дивна операція, так що ми, ймовірно, не були б здивовані, якби нам сказали, щоA(BC)\neq (AB)C. Це дуже приємна річ, яку має асоціативна власність.
Коли ми ближче до кінця цього розділу, ми піднімаємо ще одне питання позначення. ВизначаємоA^{0}=I. Якщоn є натуральним числом, ми визначаємо
\begin{array}{c}{A^{n}=\underbrace{A\cdot A\cdot\cdots\cdot A.}} \\ {\quad n\text{ times}}\end{array} \nonumber
З цифрами ми звиклиa^{-n} = \frac{1}{a^n}. Чи працюють негативні показники і з матрицями? Відповідь - так, начебто. Ми повинні бути обережними, і ми розглянемо цю тему докладно, як тільки ми визначимо зворотну матрицю. Наразі, однак, ми визнаємо той фактA^{-1}\neq\frac{1}{A}, що,\frac{1}{A} бо не має сенсу; ми не знаємо, як «розділити» матрицею.
Закінчуємо цей розділ нагадуванням про деякі речі, які не працюють з множенням матриць. Хороша новина полягає в тому, що в цьому списку насправді є лише дві речі.
- Матричне множення не є комутативним; тобтоAB\neq BA.
- Загалом, просто томуAX=BX, що ми не можемо зробити висновок про цеA=B.
Погана новина полягає в тому, що ці ідеї з'являються в багатьох місцях, де ми їх не очікуємо. Наприклад, ми звикли до(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2. \nonumber чого(A+B)^{2}? Все, що ми скажемо тут, це
(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2}; \nonumber
ми залишаємо це читачеві, щоб розібратися, чому.
Наступний розділ присвячений візуалізації векторів стовпців і «перегляду» того, як деякі з цих арифметичних властивостей працюють разом.
Виноски
[1] Я думаю, ви могли б визначити множення таким чином. Якщо ви віддаєте перевагу такому типу множення, напишіть власну книгу.
[2] У цьому тексті вектори рядків використовуються лише в цьому розділі, коли ми обговорюємо множення матриць, тоді як ми будемо широко використовувати вектори стовпців. Інші тексти чудово використовують вектори рядків, але мало використовують вектори стовпців. Це питання переваги та традиції: «більшість» текстів більше використовують вектори стовпців.
[3] Ми зробили припущення в розділі 2.1, що, можливо, матриця всіх 1s буде працювати.
[4] Будьте обережні: приABC спільному обчисленні ми можемо спочатку помножитиAB абоBC, але ми не можемо змінити порядок, в якому ці матриці з'являються. Ми не можемо множитиBA абоAC, наприклад.
[5] Наступне визначення використовує термін, який ми не будемо визначати до визначення Діагональ, діагональна матриця, трикутні матриці в розділі 3.1: діагональ. Коротше кажучи, «діагональна матриця» - це та, в якій єдиними ненульовими записами є «діагональні записи». Прикладів, наведених тут і у вправах, повинно вистачити, поки ми не зустрінемося з повним визначенням пізніше.