13.3: Деякі загальні математичні символи та скорочення

{{Template.dropdown {шлях:» /алгебра/лінійна_алгебра "}}}

Цей додаток містить досить довгий список поширених математичних символів, а також список деяких поширених латинських скорочень і словосполучень. Хоча вам не обов'язково знадобляться всі включені символи для вивчення лінійної алгебри, цей список, сподіваюся, тим не менше дасть вам уявлення про те, звідки береться велика частина наших сучасних математичних позначень.

Двійкові відносини

• \(=\)(знак рівності) означає «такий же, як» і вперше був введений у книзі 1557 року «Whetstone of Witte» лікарем і математиком Робертом Рекордом (c.~1510—1558). Він написав: «Я встановлюю, як я часто роблю в робочому використанні, пара паралелей або ліній Gemowe однієї довжини, таким чином:\(=\kern-1.75pt=\kern-1.75pt=\kern-1.75pt=\kern-1.75pt=\), тому що ні 2 речі можуть бути більш рівними». (Знак рівності Recorde був значно довшим, ніж той, у сучасному використанні, і заснований на ідеї «Gemowe» або «однакових» рядків, де «Gemowe» означає «близнюк» і походить від того ж кореня, що і назва сузір'я «Близнюки».)
• Роберт Рекорд також ввів знак плюса, "\(+\)«, і знак мінус,"\(-\) «, в Whetstone of Witte.
• \(<\)(Знак менше) означає «строго менше, ніж», а\(>\) (знак більше) означає «строго більше, ніж». Вони вперше з'явилися в книзі Artis Analyticae Praxis ad Aequationes Algebraicas Resolvendas («Аналітичні мистецтва, застосовані до вирішення алгебраїчних рівнянь») математика та астронома Томаса Гарріота (1560—1621), яка була опублікована посмертно в 1631 році.
• Пізніше П'єр Бугер (1698—1758) уточнив їх до\(\leq\) («менше або дорівнює») і\(\geq\) («більше або дорівнює») у 1734 році. Буже іноді називають «батьком морської архітектури» через його фундаментальної роботи в теорії морського судноплавства.
• \(:=\)(Знак дорівнює за визначенням) означає «дорівнює за визначенням». Це поширена альтернативна форма символу "\(=_{\mathrm{\scriptscriptstyle Def}}\)«, остання вперше з'явилася в книзі Логіка Математіка 1894 року логіка Чезаре Буралі-Форті (1861—1931). Інші поширені альтернативні форми символу "\(=_{\mathrm{\scriptscriptstyle Def}}\)" включають "\(\stackrel{\mathrm{\scriptscriptstyle def}}{=}\)" і "\(\equiv\)«, причому"\(\equiv\) "особливо поширені в прикладній математиці.
• \(\approx\)(приблизно знак дорівнює) означає «приблизно дорівнює» і був вперше представлений у книзі 1892 року Застосування еліптичних функцій математиком Альфредом Грінгіллом (1847—1927).

Інші сучасні символи для «приблизно дорівнює» включають\(\doteq\) "" (читається як «майже дорівнює»),\(\cong\) "(читається як «конгруентна»), "\(\simeq\)" (читається як «схоже на»),\(\asymp\) "" (читати як «асимптотично дорівнює») та "\(\propto\)" (читати як «пропорційно»). Використання варіюється, і вони іноді використовуються для позначення різного ступеня «приблизної рівності» в заданому контексті.

Деякі символи з математичної логіки

• \(\therefore\)(три крапки) означає «отже» і вперше з'явилася в друкованому вигляді в книзі Теуше алгебра 1659 року («Навчи себе алгебри») математика Йоганна Рана (1622—1676). Алгебра Теуша також містить перше використання obelus, "\(\div\)«, для позначення ділення.
• \(\because\)(перевернуті крапки) означає «тому що» і, здається, вперше з'явився в книзі 1805 р. Математичний супутник джентльмена. Однак набагато частіше (і менш неоднозначно) просто скорочувати «тому що» як «б/с».
• \(\ni\)(такий, що знак) означає «за умови, що» і вперше з'явився в 1906 році видання Formulaire de mathematiques логіка Джузеппе Пеано (1858—1932). Однак набагато частіше (і менш неоднозначно) просто скорочувати «такий, що» як «s.t.».

Є дві вагомі причини уникати використання "\(\ni\)" замість «такого, що». Перш за все, абревіатура «s.t.» значно більше наводить на думку про своє значення, ніж «\(\ni\)». Можливо, що важливіше, однак, символ\(\ni\) "" зараз зазвичай використовується як означає «містить як елемент», що є логічним продовженням використання безперечно стандартного символу "\(\in\)" для означати «міститься як елемент в».

• \(\Rightarrow\)(мається на увазі знак) означає «логічно означає, що», і\(\Leftarrow\) (мається на увазі під знаком) означає «логічно мається на увазі». Обидва мають неясне історичне походження. (Наприклад, «якщо йде дощ, то він ллється» еквівалентно сказати «йде дощ,\(\Rightarrow\) він ллється».)
• \(\iff\)(символ iff) означає «if і only if» (скорочено «iff») і використовується для з'єднання двох логічно рівнозначних математичних тверджень. (Наприклад, «йде дощ, якщо він ллється» означає одночасно, що «якщо йде дощ, то ллється» і що «якщо ллється, то йде дощ». Іншими словами, твердження «\(\iff\)йде дощ, ллється» означає одночасно, що «\(\Rightarrow\)йде дощ, ллється» і «йде дощ,\(\Leftarrow\) він ллється».) Абревіатура «iff» приписується математику Полу Халмосу (1916—2006).
• \(\forall\)(універсальний квантор) означає «для всіх» і вперше був використаний у публікації 1935 Untersuchungen ueber das logische Schliessen («Дослідження логічних міркувань») логіка Герхарда Гентцена (1909—1945). Він назвав його Все-Зейчен («весь характер») за аналогією з символом "\(\exists\)«, що означає «існує».
• \(\exists\)({екзистенціальний квантор) означає «існує» і вперше був використаний у виданні Formulaire de mathematiques 1897 року логіком Джузеппе Пеано (1858—1932).
• \(\Box\)(надгробний камінь Halmos} або символ Halmos) означає «Q.E.D.», що є абревіатурою латинської фрази quod erat demonstrandum («що повинно було бути доведено»). «Q.E.D.» був найпоширенішим способом символізувати кінець логічного аргументу протягом багатьох століть, але сучасній конвенції про «надгробку» зараз взагалі віддають перевагу як тому, що його легше писати, так і тому, що він візуально більш компактний. Символ "\(\Box\)" вперше став популярним математиком Полом Халмосом (1916—2006).

Деякі позначення з теорії множин

• \(\subset\)(включено в знак) означає «є підмножиною» і\(\supset\) (включений знак) означає «має як підмножина». Обидва символи були введені в книзі 1890 Vorlesungen uber die Algebra der Logik («Лекції з алгебри логіки») логіка Ернста Шредера (1841—1902).
• \(\in\)(знаходиться в знаку) означає «є елементом» і вперше з'явився в 1895 виданні Formulaire de mathematiques логіка Джузеппе Пеано (1858—1932). Спочатку Пеано використовував грецьку букву\(\epsilon\) "" (а саме. ~ перша буква латинського слова est для «is»). Сучасний стилізований варіант цього символу пізніше був введений в книзі 1903 року «Принципи математики» логіка і філософа Бетранда Рассела (1872—1970).

Також часто використовується символ "\(\ni\)" для означення «містить як елемент», що не слід плутати з більш архаїчним використанням "\(\ni\)" для означати «такий, що».

• \(\cup\)(знак об'єднання) означає «взяти елементи, які знаходяться в будь-якому наборі», а\(\cap\) (знак перетину) означає «взяти елементи, які мають спільні два набори». Вони обидва були введені в книзі 1888 року Calcolo geometrico другий l'Ausdehnungslehre di H. Grassmann preceduto dale operazioni della logica deduttiva («Геометричне обчислення, засноване на вченні Г. Грассмана, передували операції дедуктивної логіки») логік Джузеппе Пеано (1858— 1932).
• \(\emptyset\)(нульовий набір або порожній набір) означає «набір без будь-яких елементів у ньому» і вперше був використаний у книзі 1939 року Elements de mathematiques Ніколя Бурбакі. (Бурбакі - це колективний псевдонім для групи в першу чергу європейських математиків, які написали багато математичних книг разом.) Він був запозичений одночасно з норвезького, датського та фарерського алфавітів членом групи Андре Вейлем (1906—1998).
• \(\infty\)(нескінченність) позначає «кількість або число довільно великої величини» і вперше з'явилося в друку в публікації 1655 року De Sectionibus Conicus («Тракт на конічних перерізах») математика Джона Уолліса (1616—1703). Можливі пояснення вибору Уолліса "\(\infty\)" включають його схожість із символом "\(oo\)" (використовується стародавніми римлянами для позначення числа 1000), до кінцевої літери грецького алфавіту\(\omega\) (символічно використовується для позначення «кінцевого» числа) та до простої кривої, яка називається «лемніскатом», які можна нескінченно проходити з невеликими зусиллями.

Деякі важливі цифри в математиці

• \(\pi\)(Ставлення окружності до діаметра кола) позначає число\(3.141592653589\ldots\), і вперше був використаний в книзі 1706 року Synopsis palmariorum mathesios («Нове введення в математику») математиком Вільямом Джонсом (1675—1749). Використання\(\pi\) для позначення цього числа було тоді популяризовано великим математиком Леонардом Ейлером (1707—1783) у своїй книзі 1748 року «Вступ до нескінченного аналізу». (Припускається, що Джонс вибрав букву "\(\pi\)", оскільки це перша буква в грецькому слові perimetron\(\pi\epsilon\rho\iota\mu\epsilon\tau\rho o \nu\), що приблизно означає «навколо».)
• \(e\)\(= \lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}\)(Натуральний логарифм бази, також іноді званий числом Ейлера) позначає число\(2.718281828459\ldots\), і вперше був використаний в 1728 рукописі Meditatio в Experimenta вибух tormentorum nuper instituta («Медитація на експерименти, зроблені недавно на стрільбі з гармати») Леонарда Ейлера. (Припускається, що Ейлер вибрав "\(e\)", оскільки це перша буква латинського слова для «експоненціальної».) Математик Едмунд Ландау (1877—1938) колись писав, що «Лист тепер\(e\) може більше не використовуватися для позначення нічого, крім цієї позитивної універсальної константи».
• \(i\)\(= \sqrt{-1}\)(уявна одиниця) вперше була використана в 1777 мемуарах Інституції calculi integralis («Основи інтегрального числення») Леонарда Ейлера. П'ять найважливіших чисел в математиці широко вважаються (по порядку)\(0\)\(1\),\(i\),\(\pi\), і\(e\). Ці цифри навіть чудово пов'язані рівнянням\(e^{i \pi} + 1 = 0\), яке фізик Річард Фейнман (1918—1988) колись назвав «найчудовішою формулою в математиці».
• \(\gamma\)\(= \lim_{n \to \infty} (\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} - \ln{n})\)(константа Ейлера-Машероні, також відома як просто постійна Ейлера), «Анотації до інтегрального числення Ейлера») геометром Лоренцо Машероні (1750—1800). Число широко\(\gamma\) вважається шостим найважливішим числом в математиці через його часту появу у формулах з теорії чисел та прикладної математики. Однак на момент написання цієї статті досі навіть не відомо, чи\(\gamma\) є навіть ірраціональним числом.
• \(\phi\)\(= \frac{1}{2}(1+\sqrt{5})\)(Золоте співвідношення) позначає число%\(1.618033988749 \ldots\). Вперше його використання було віднесено до% американського математика містера Марка Барра в «Криві життя: облік спіральних утворень та їх застосування до зростання в природі, до науки та мистецтва: з особливим посиланням на рукописи Леонардо да Вінчі (1914)} сер Теодор Андреа Кук (1867—1928): «Символ\(\phi\) отримав цю пропорцію частково тому, що він має звичний звук для тих, хто постійно бореться,\(\pi\) і частково тому, що це\(1^{\textrm{st}}\) буква імені Федій, у скульптурі якого це число, як видно, переважає, коли відстань між Вимірюються виразні точки».

Число також часто називають «\(\phi\)божественною пропорцією» або «золотою пропорцією», і воно з давніх-давен визнано особливо естетичним співвідношенням довжин сторін прямокутника. Такий прямокутник називається «золотим прямокутником».

Деякі поширені латинські скорочення та фрази

• тобто (id est) означає «тобто» або «іншими словами». (Він використовується для перефразування щойно зробленого твердження, а не означає «наприклад», і завжди слідує кома.)
• наприклад (exampli gratia) означає «наприклад». (Зазвичай він використовується для наведення прикладу щойно зробленого твердження і завжди супроводжується комою.)
• а саме. (videlicet) означає «а саме» або «більш конкретно». (Він використовується для уточнення заяви, яка тільки що була зроблена шляхом надання додаткової інформації і ніколи не супроводжується комою.)
• і т.д. (і так далі) означає «і так далі» або «і так далі». (Він використовується для припущення, що читач повинен зробити висновок про подальші приклади зі списку, який вже розпочато і, як правило, за яким не слід кома.)
• та ін. (et alii) означає «та інші». (Він використовується замість перерахування кількох авторів, минулих першого і ніколи не слідує кома.) Абревіатура «et al.» ~може також використовуватися замість et alibi}, що означає «і в іншому місці».
• cf. (conferre) означає «порівняти з» або «побачити також». (Він використовується або для порівняння, або для віднесення читача до де-небудь ще, щоб вони могли знайти більше інформації, і за ним ніколи не слідує кома.)
• q.v. (Це відео) означає «які бачать» або «йти шукати його, якщо ви зацікавлені». (Він використовується для перехресного посилання на інший письмовий твір або іншу частину тієї ж письмової роботи, і за нею ніколи не слідує кома.) Форма множини «q.v.» ~is «q.q.»
• v.s. (vide supra) означає «див. вище». (Він використовується для того, щоб мати на увазі, що більше інформації можна знайти до поточного пункту письмового твору і ніколи не слідує кома.)
• N.B. (Nota Bene) означає «добре зауважте» або «зверніть увагу на наступне». (Він використовується для того, щоб мати на увазі, що мудрий читач буде приділяти особливо пильну увагу тому, що слід, і ніколи не слідує кома. CF.~Абревіатура «дієслово. ~sap.»)
• дієслово. сік. (verbum sapienti sat est) означає «достатньо слова мудрому» або «достатньо вже було сказано». (Він використовується для того, щоб мати на увазі, що, хоча щось все ще може бути несказане, було сказано достатньо, щоб читач міг зробити висновок про весь сенс.)
• проти (проти) означає «проти» або «на відміну від». (Він використовується для контрасту двох речей і ніколи не супроводжується комою.) Абревіатура «vs.» ~також часто пишеться як «v.»
• в. (приблизно) означає «навколо» або «поблизу». (Він використовується при наближенні, як правило, для дати, і ніколи не слідує кома.) Абревіатура «c.» ~також зазвичай пишеться як «ca.», «cir. », або «коло».
• екс ліб. (ex libris) означає «з бібліотеки». (Він використовується для позначення права власності на книгу і ніколи не супроводжується комою.).
• навпаки означає «навпаки» і використовується для вказівки на те, що підтекст може бути логічно скасований. (Це іноді скорочується як «v.v.»)
• a fortiori означає «від сильних» або «важливіше».
• апріорі означає «від до факту» і посилається на міркування, яке робиться, поки подія ще має відбутися.
• a posteriori означає «після факту» і посилається на міркування, яке робиться після того, як подія вже сталася.
• ad hoc означає «до цього» і посилається на міркування, специфічні для події, як вона відбувається. (Такі міркування розглядаються як не узагальнюючі для інших ситуацій.)
• ad infinitum означає «до нескінченності» або «без межі».
• ad nauseam означає «викликає морську хворобу» або «до надмірного».
• mutatis mutandis означає «зміна того, що потребує зміни» або «з внесенням необхідних змін».
• non sequitur означає «це не слід» і посилається на те, що недоречно в логічному аргументі. (Це іноді скорочено як «non seq.»)
• Чоловік передав сюрприз, Каледонія! означає, «Промінь мене вгору, Скотті!»
• Illud Latine dici non potest означає «Ви не можете сказати, що латинською».
• Quid quid latine dictum sit, Altum videtur означає щось на кшталт: «Все, що сказано латинською мовою, буде звучати глибоко».

Template:Shilling