7.1: Теорема Коші

Вступ

Наша головна мета - краще розуміння часткового часткового розширення заданої передавальної функції. Що стосується прикладу, який закрив обговорення комплексної диференціації, див. Рівняння - У цьому рівнянні ми знайшли

$$(zI-B)^{-1} = \frac{1}{z-\lambda_{1}}P_{1}+\frac{1}{(z-\lambda_{1})^2}D_{1}+\frac{1}{z-\lambda_{2}}P_{2} \nonumber$$

де$P_{j}$ і$D_{j}$ насолоджуватися дивовижними властивостями

$$\begin{align*} BP_{1} &= P_{1}B \\[4pt] &= \lambda_{1}P_{1}+D_{1} \end{align*}$$

і

$$BP_{2} = P_{2}B = \lambda_{2}P_{2} \nonumber$$

$$P_{1}+P_{2} = I \nonumber$$

$$P_{1}^{2} = P_{1} \nonumber$$

$$P_{2}^{2} = P_{2} \nonumber$$

і

$$D_{1}^{2} = 0 \nonumber$$

$$P_{1}D_{1} = D_{1}P_{1} \nonumber$$

$$= D_{1} \nonumber$$

і

$$P_{2}D_{1} = D_{1}P_{2} = 0$$

Для того, щоб показати, що це завжди відбувається, тобто, що це не примха, вироблена конкретним$B$, нам потрібні кілька додаткових інструментів з теорії складних змінних. Зокрема, нам потрібен той факт, що часткові часткові розширення можуть здійснюватися шляхом комплексної інтеграції.

Інтеграція складних функцій над складними кривими

Ми будемо інтегрувати складні функції над складними кривими. Така крива параметризується однією комплексною значеною або, що еквівалентно, двома дійсними значеннями, функцією (ами) дійсного параметру (зазвичай позначається$t$). Точніше,

$$C \equiv \{z(t) = x(t)+iy(t) | a \le t \le b\} \nonumber$$

Наприклад, якщо$x(t) = y(t) = t$ while$a = 0$ і$b = 1$, то$C$ це відрізок лінії, що приєднується$0+i0$ до$1+i$.

Тепер ми визначаємо

$$\int f(z) dz = \equiv \int_{a}^{b} f(z(t)) z'(t) dt \nonumber$$

Наприклад, якщо$C = \{t+it | 0 \le t \le 1\}$ як зазначено вище, а$f(z) = z$ потім

$$\int z dz = \int_{0}^{1} (t+it) (1+i) dt = \int_{0}^{1} t-t+i2t dt = i \nonumber$$

в той час$C$ як якщо одиниця кола,$\{e^{it} | 0 \le t \le 2\pi\}$ то

$$\int z dz =\in_{0}^{2\pi} e^{it}ie^{it} dt = i \int_{0}^{2\pi} e^{i2t} dt = i \int_{0}^{2\pi} \cos(2t)+i \sin(2t) dt = 0 \nonumber$$

Залишившись з одиничним колом, але тепер інтегруючи,$f(z) = \frac{1}{z}$ ми знаходимо

$$\int z^{-1} dz = \int_{0}^{2 \pi} e^{-(it)}ie^{it} dt = 2\pi i \nonumber$$

Узагальнюємо цей розрахунок до довільних (цілих) степеней над довільними колами. Точніше, для цілого числа мм і фіксованого комплексу$(z-a)^{m}$ над

$$C(a,r) \equiv \{a+re^{it} | 0 \le t \le 2\pi\} \nonumber$$

коло радіуса з$r$ центром$a$

$$\int (z-a)^{m} dz = \int_{0}^{2\pi} (a+re^{it}-a)^{m} rie^{it} dt \nonumber$$

$$= ir^{m+1} \int_{0}^{2\pi} e^{i(m+1)t} dt \nonumber$$

$$\int (z-a)^{m} dz = ir^{m+1} \int_{0}^{2\pi} \cos((m+1)t)+i \sin((m+1)t) dt = \left \{ \begin{array}{cc} {2\pi i}&{\text{if} m = -1}\\ {0}&{\text{otherwise}} \end{array} \right . \nonumber$$

При інтеграції більш загальних функцій часто зручно виражати інтеграл з точки зору його реальної і уявної частин. Точніше

$$\begin{align*} \int f(z) dz &=\int u(x,y)+iv(x,y) dx+i \int u(x,y)+iv(x,y) dy \\[4pt] &=\int u(x,y)dx - \int v(x,y) dy+i \int v(x,y)dx+i \int u(x,y) dy \\[4pt] &=\int_{a}^{b} u(x(t), y(t))x'(t)-v(x(t), y(t))y'(t) dt+i \int_{a}^{b} u(x(t), y(t))y'(t)+v(x(t), y(t))x'(t) dt \end{align*}$$

Другий рядок має викликати спогади про:

Теорема Гріна

Якщо$C$ замкнута крива$M$ і$N$ є безперервно диференційованими дійсними функціями на$C_{in}$, область укладена$C$, то

$$\int M dx+ \int N dy = \iint \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} dxdy \nonumber$$

Застосовуючи це до ситуації вище, ми знаходимо, поки$C$ закрито, що

$$\int f(z) dz = -\iint \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} dxdy+ i \iint \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} dxdy \nonumber$$

На перший погляд здається, що теорема Гріна служить лише для каламутних вод. Згадуючи рівняння Коши-Рімана, однак, ми виявимо, що кожен з цих подвійних інтегралів насправді однаково нуль! Коротко ми довели:

Теорема Коші

Якщо$f$ диференціюється на і в замкнутій кривій$C$ тоді$\int f(z) dz = 0$.

Строго кажучи, для того, щоб викликати теорему Гріна, ми вимагаємо не тільки того, щоб ff була диференційованою, але й щоб її похідна насправді була безперервною. Однак це просто обмеження нашого простого способу доказування; Теорема Коші вірна, як зазначено.

Ця теорема разом з тим$C(a,r) \equiv \{a+re^{it} | 0 \le t \le 2\pi\}$ дозволяє інтегрувати кожну правильну раціональну функцію. Точніше, якщо$q = \frac{f}{g}$ де$f$ многочлен ступеня не більше$m-1$ і$g$ є поліном mth ступеня з h різних нулів$\{\lambda_{j} | j = \{1, \cdots, h\}\}$ при відповідних кратності$\{m_{j} | j = \{1, \cdots, h\}\}$ ми виявили, що

$$q(z) = \sum_{j = 1}^{h} \sum_{k = 1}^{m_{j}} \frac{q_{j,k}}{(z-\lambda_{j})^{k}} \nonumber$$

Спостерігайте тепер, що якщо ми виберемо$r_{j}$ настільки малий, що$\lambda_{j}$ є єдиним нулем$g$$C_{j} \equiv C(\lambda_{j}, r_{j})$ оточеного тоді теоремою Коші.

$$\int q(z) dz = \sum_{k = 1}^{m_{j}} q_{j,k} \int \frac{1}{(z-\lambda_{j})^k} dz \nonumber$$

У Рівнянні ми виявили, що кожен, за винятком першого, з інтегралів під сумою фактично дорівнює нулю. Отже,

$$\int q(z) dz = 2\pi i q_{j,1} \nonumber$$

Маючи$q_{j,1}$ в руці, скажімо, з цього рівняння або залишку, можна розглядати рівняння як засіб для обчислення зазначеного інтеграла. Протилежне читання, тобто те, що інтеграл є зручним засобом вираження$q_{j,1}$, виявиться настільки ж корисним. З огляду на це, відзначимо, що залишки решти можуть бути обчислені як інтеграли добутку q та відповідного коефіцієнта. Точніше,

$$\int q(z)(z-\lambda_{j})^{k-1} dz = 2\pi i q_{j,k} \nonumber$$

Можна змусити повірити, що точність цього результату обумовлена особливим вибором кривої та функції. Побачимо...