5: Проліт і основи
- Page ID
- 63263
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Інтуїція, ймовірно, говорить вам,\(\mathbb{R}^2\) що літак має другий вимір і що простір, в якому ми живемо,\(\mathbb{R}^3\) має три виміри. Ви, напевно, також дізналися з фізики, що простор-час має чотири виміри і що теорії струн - це моделі, які можуть жити в десяти вимірах. У цьому розділі ми дамо математичне визначення розмірності векторного простору. Для цього нам спочатку знадобляться поняття лінійного прольоту, лінійної незалежності та основи векторного простору.
- 5.1: Лінійний проліт
- Лінійний проліт (або просто проліт) множини векторів у векторному просторі є перетином усіх підпросторів, що містять цю множини. Таким чином, лінійний проліт множини векторів є векторним простором.
- 5.2: Лінійна незалежність
- Зараз ми будемо визначати поняття лінійної незалежності переліку векторів. Ця концепція буде надзвичайно важливою в наступних розділах, і особливо, коли ми вводимо основи та розмірність векторного простору.
- 5.3: Основи
- Основою скінченновимірного векторного простору є охоплюючий список, який також є лінійно незалежним. Ми побачимо, що всі основи для скінченновимірних векторних просторів мають однакову довжину. Ця довжина потім буде називатися розмірністю нашого векторного простору.
- 5.4: Вимір
- Тепер ми підійшли до важливого визначення розмірності скінченновимірного векторного простору.