1: Що таке лінійна алгебра
- Page ID
- 63270
1.1 Вступ до MAT 67
Цей клас цілком може бути одним з ваших перших класів математики, який усуває розрив між переважно орієнтованими на обчислення класами нижчого поділу та абстрактною математикою, що зустрічається на більш просунутих курсах математики. Мета цього класу триразова:
- Ви дізнаєтеся Лінійну алгебру, яка є однією з найбільш широко використовуваних математичних теорій навколо. Лінійна алгебра знаходить застосування практично в кожній галузі математики, включаючи багатовимірне обчислення, диференціальні рівняння та теорію ймовірностей. Він також широко застосовується в таких галузях, як фізика, хімія, економіка, психологія та інженерія. Ви навіть покладаєтеся на методи лінійної алгебри кожного разу, коли використовуєте пошук в Інтернеті, як Google, Глобальна система позиціонування (GPS) або мобільний телефон.
- Ви придбаєте обчислювальні навички для розв'язання лінійних систем рівнянь, виконання операцій над матрицями, обчислення власних значень, пошуку детермінант матриць.
- У налаштуванні Лінійної алгебри вас познайомлять з абстракцією. Ми разом розвиватимемо теорію лінійної алгебри, а ви навчитеся писати докази.
Лекції в основному розвиватимуть теорію лінійної алгебри, а дискусійні сесії будуть зосереджені на обчислювальних аспектах. Лекції та дискусійні секції йдуть рука об руку, і важливо, щоб ви відвідували обидва. Вправи для кожної глави поділяються на більш орієнтовані на обчислення вправи та вправи, які зосереджені на коректурі письма. Є також деякі дуже короткі веб-роботи домашні набори, щоб переконатися, що у вас є деякі основні навички. Ви вже можете спробувати перший, який вводить деякі логічні поняття, натиснувши нижче: посилання Webwork.
1.2 Що таке лінійна алгебра?
Лінійна алгебра - галузь математики, спрямована на розв'язування систем лінійних рівнянь з кінцевим числом невідомих. Зокрема, хотілося б отримати відповіді на наступні питання:
- Характеристика розв'язків: Чи існують розв'язки заданої системи лінійних рівнянь? Скільки існує рішень?
- Пошук рішень: як виглядає набір рішень? Які існують рішення?
Лінійна алгебра - це систематична теорія щодо розв'язків систем лінійних рівнянь.
Приклад 1.2.1. Візьмемо наступну систему двох лінійних рівнянь в двох невідомих\(x_1\) і\(x_2\):
\ begin {рівняння*}\ ліворуч. \ begin {масив} {rl} 2x_1 + x_2 &= 0\\ x_1 - x_2 &= 1\ end {масив}\ право\}. \ end {рівняння*}
Дана система має унікальне рішення для\(x_1,x_2 \in \mathbb{R}\), а саме\(x_1=\frac{1}{3}\) і\(x_2=-\frac{2}{3}\). Таке рішення можна знайти декількома різними способами. Один підхід полягає в тому, щоб спочатку вирішити одне з невідомих в одному з рівнянь, а потім підставити результат в інше рівняння. Ось, наприклад, ми можемо вирішити, щоб отримати
\[ x_1 = 1 + x_2 \]
з другого рівняння. Потім, підставляючи це замість\( x_1\) першого рівняння, ми маємо
\[ 2(1 + x_2 ) + x_2 = 0.\]
З цього,\( x_2 = −\frac{2}{3}\). Потім, шляхом подальшої підміни,
\[ x_{1} = 1 + \left(-\frac{2}{3}\right) = \frac{1}{3}. \]
Крім того, ми можемо застосувати більш системний підхід у усуненні змінних. Тут, наприклад, ми можемо відняти\(2\) раз друге рівняння з першого рівняння, щоб отримати\(3x_2=-2\). Тоді негайно, що\(x_2=-\frac{2}{3}\) і, підставляючи це значення\(x_2\) в першому рівнянні, що\(x_1=\frac{1}{3}\).
Приклад 1.2.2. Візьмемо наступну систему двох лінійних рівнянь в двох невідомих\(x_1\) і\(x_2\):
\ begin {рівняння*}\ ліворуч. \ begin {масив} {rl} x_1 + x_2 &= 1\\ 2x_1 + 2x_2 &= 1\ end {масив}\ право\}. \ end {рівняння*}
Тут ми можемо усунути змінні, додавши\(-2\) раз перше рівняння до другого рівняння, що призводить до\(0=-1\). Це, очевидно, протиріччя, і, отже, ця система рівнянь не має рішення.
Приклад 1.2.3. Візьмемо наступну систему одного лінійного рівняння в двох невідомих\(x_1\) і\(x_2\):
\ begin {рівняння*} x_1 - 3x_2 = 0. \ end {рівняння*}
При цьому існує нескінченно багато рішень, які дає безліч\(\{x_2 = \frac{1}{3}x_1 \mid x_1\in \mathbb{R}\}\). Ви можете думати про це рішення, встановленому як лінію в евклідовій площині\(\mathbb{R}^{2}\):
Взагалі система\(m\) лінійних рівнянь в\(n\) невідомих\(x_1,x_2,\ldots,x_n\) являє собою сукупність рівнянь виду
\ begin {рівняння}\ мітка {eq:лінійна система}\ ліворуч. \ begin {масив} {rl} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 +\ cdots + a_ {1n} x_n &= b_1\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 +\ cdots + a_ {2n} x_n &= b_2\\ vdots\ qquad\\ vdots\\ a_ {m1} x_1 + a_ {м2} x_2 +\ cdots + a_ {mn} x_n &= b_m\ end {масив}\ право\},\ тег {1.2.1}\ кінець {рівняння}
де коефіцієнти (як правило, дійсні або комплексні числа) перед невідомими\(x_j\), а ті -\(b_i\) це також фіксовані дійсні або комплексні числа.\(a_{ij}\) Розв'язок являє собою набір чисел,\(s_1,s_2,\ldots,s_n\) таких, що, підставляючи\(x_1=s_1,x_2=s_2,\ldots,x_n=s_n\) невідомі, всі рівняння в системі 1.2.1 утримують. Лінійна алгебра - це теорія, яка стосується розв'язків і структури розв'язків для лінійних рівнянь. У міру просування цього курсу ви побачите, що є багато тонкощів у повному розумінні рішень для таких рівнянь.
1.3 Системи лінійних рівнянь
1.3.1 Лінійні рівняння
Перш ніж продовжувати, переформулюємо поняття системи лінійних рівнянь на мову функцій. Це також допоможе нам трохи краще зрозуміти прикметник ``лінійний». Функція\(f\) - це карта
\ begin {рівняння} f: X\ до Y\ tag {1.3.1}\ кінець {рівняння}
від набору\(X\) до набору\(Y\). Множина\(X\) називається доменом функції, а множина\(Y\) називається цільовим простором або кодоменом функції. Рівняння - це
\ begin {рівняння} f (x) =y,\ tag {1.3.2}\ end {рівняння}
де\(x \in X\) і\(y \in Y\). (Якщо ви не знайомі з абстрактними поняттями множин і функцій, зверніться до Додатку А.)
Приклад 1.3.1. \(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\)Дозволяти бути функцією\(f(x)=x^3-x\). Далі\(f(x)=x^3-x=1\) йде рівняння. Домен і цільовий простір є сукупністю дійсних чисел\(\mathbb{R}\) в даному випадку.
У цій установці система рівнянь - це просто ще один вид рівняння.
Приклад 1.3.2. \(X=Y=\mathbb{R}^2=\mathbb{R} \times \mathbb{R}\)Дозволяти бути декартовим добутком множини дійсних чисел. Потім визначте функцію\(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) як
\ begin {рівняння} f (x_1, x_2) = (2x_1+x_2, x_1-x_2),\ tag {1.3.3}\ end {рівняння}
і набір\(y=(0,1)\). Потім рівняння\(f(x)=y\), де\(x=(x_1,x_2)\in \mathbb{R}^2\), описує систему лінійних рівнянь Прикладу 1.2.1.
Наступне питання, на яке ми повинні відповісти: ``що таке лінійне рівняння?» Виходячи з визначення рівняння, лінійне рівняння - це будь-яке рівняння, визначене ``лінійною» функцією,\(f\) яка визначається на ``лінійному» просторі (він же векторний простір, як визначено в розділі 4.1). Про все це ми детально розповімо в майбутніх лекціях, але продемонструємо основні риси «лінійного» простору на прикладі\(\mathbb{R}^2\). Візьміть\(x=(x_1,x_2), y=(y_1,y_2) \in \mathbb{R}^2\). Визначено дві «лінійні» операції\(\mathbb{R}^2\), а саме додавання та скалярне множення:
\ begin {вирівнювання} x+y &: = (x_1+y_1, x_2+y_2) &&\ text {(векторне додавання)}\ тег {1.3.4}\ cx &: = (cx_1, cx_2) &&\ text {(скалярне множення).} \ tag {1.3.5}\ кінець {вирівнювання}
А ``лінійна» функція\(\mathbb{R}^{2}\) - це функція\(f\), яка взаємодіє з цими операціями наступним чином:
\ почати {вирівняти} f (cx) &= cf (x)\ тег {1.3.6}\\ f (x+y) & = f (x) + f (y). \ tag {1.3.7}\ кінець {вирівнювання}
Ви повинні перевірити самі, чи функція\(f\) в прикладі 1.3.2 має ці дві властивості.
1.3.2 Нелінійні рівняння
(Системи) Лінійні рівняння є дуже важливим класом (систем) рівнянь. Ви дізнаєтеся методи в цьому класі, які можуть бути використані для вирішення будь-яких систем лінійних рівнянь. З іншого боку, нелінійні рівняння значно важче вирішити. Прикладом може служити квадратне рівняння, таке як
\ begin {рівняння} x^2 + x -2 =0,\ tag {1.3.8}\ end {рівняння}
який, без абсолютно очевидних причин, має рівно два рішення\(x=-2\) і\(x=1\). Зіткніть це з рівнянням
\ begin {рівняння} x^2 + x +2 =0,\ tag {1.3.9}\ end {рівняння}
який не має розв'язків у множині\(\mathbb{R}\) дійсних чисел. Замість цього він має два складних рішення\(\frac{1}{2}(-1\pm i\sqrt{7}) \in \mathbb{C}\), де\(i=\sqrt{-1}\). (Комплексні числа більш детально розглянуті в главі 2.) Загалом, нагадаємо, що квадратне рівняння\(x^2 +bx+c=0\) має два розв'язки
\[ x = -\frac{b}{2} \pm \sqrt{\frac{b^2}{4}-c}.\]
1.3.3 Лінійні перетворення
\(\mathbb{R}^2\)Безліч можна розглядати як евклідову площину. У цьому контексті лінійні функції форми\(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) або\(f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2\) можуть інтерпретуватися геометрично як ``рухи» в площині і називаються лінійними перетвореннями.
Приклад 1.3.3. Нагадаємо наступну лінійну систему з прикладу 1.2.1:
\ begin {рівняння*}\ ліворуч. \ begin {масив} {rl} 2x_1 + x_2 &= 0\\ x_1 - x_2 &= 1\ end {масив}\ право\}. \ end {рівняння*}
Кожне рівняння можна інтерпретувати як пряму лінію в площині, при цьому\((x_1,x_2)\) розв'язки лінійної системи задаються множиною всіх точок, які одночасно лежать на обох лініях. У цьому випадку дві лінії зустрічаються лише в одному місці, що відповідає унікальному рішенню лінійної системи, як показано на наступному малюнку:
Цей приклад можна легко узагальнити до обертання на будь-який довільний кут за допомогою Lemma 2.3.2. Зокрема, коли точки в\(\mathbb{R}^{2}\) розглядаються як комплексні числа, то ми можемо використовувати так звану полярну форму для комплексних чисел, щоб моделювати ``рух» обертання. (Cf. коректурно-письмова вправа 5 у вправах для глави 2.)
1.3.4 Застосування лінійних рівнянь
Лінійні рівняння спливають у багатьох різних контекстах. Наприклад, можна розглядати похідну\(\frac{df}{dx}(x)\) диференційовної функції\(f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}\) як лінійне наближення\(f\). Це стає очевидним, коли ви дивитеся на ряд Тейлора функції,\(f(x)\) зосередженої навколо точки\(x=a\) (як видно в курсі, як MAT 21C):
\ begin {рівняння} f (x) = f (a) +\ frac {df} {dx} (a) (х-а) +\ cdots. \ tag {1.3.10}\ кінець {рівняння}
Зокрема, ми можемо скласти графік лінійної частини ряду Тейлора порівняно з початковою функцією, як на наступному малюнку:
Оскільки\(f(a)\) і\(\frac{df}{dx}(a)\) є просто дійсними числами,\(f(a) + \frac{df}{dx}(a) (x-a)\) є лінійною функцією в єдиній змінній\(x\).
Аналогічно, якщо\(f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m\) це багатовимірна функція, то все ще можна розглядати похідну\(f\) як форму лінійного наближення для\(f\) (як видно в курсі, як MAT 21D).
Що робити, якщо змінних нескінченно багато\(x_1, x_2,\ldots\)? При цьому система рівнянь має вигляд
\ begin {рівняння*}\ ліворуч. \ begin {масив} {rl} a_ {11} x_1 + a_ {12} x_2 +\ cdots &= y_1\ a_ {21} x_1 + a_ {22} x_2 +\ cdots &= y_2\\ cdots &\ end {масив}\ право\}. \ end {рівняння*}
Отже, суми в кожному рівнянні нескінченні, і тому нам доведеться мати справу з нескінченними рядами. Це, зокрема, означає, що виникають питання збіжності, де збіжність залежить від\(x=(x_1,x_2,\ldots)\) нескінченної послідовності змінних. Ці питання не виникнуть у цьому курсі, оскільки нас цікавлять лише кінцеві системи лінійних рівнянь у скінченній кількості змінних. Однак інші теми, в яких ці питання виникають, включають
- Диференціальні рівняння (як в курсі типу MAT 22B або MAT 118AB);
- Фур'є аналіз (як в курсі типу MAT 129);
- Реальний і комплексний аналіз (як в курсі, як MAT 125AB, MAT 185AB, MAT 201ABC або MAT 202).
У таких курсах, як MAT 150ABC та MAT 250ABC, Лінійна алгебра також виникає при вивченні таких речей, як симетрії, лінійні перетворення та теорія алгебри Лі.