Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5: Система рівнянь

Цілі навчання

Прочитавши цю главу, ви повинні мати можливість:

  1. встановлення одночасних лінійних рівнянь у матричній формі і навпаки,
  2. зрозуміти поняття зворотної матриці,
  3. знати різницю між послідовною і непослідовною системою лінійних рівнянь, і
  4. дізнатися, що система лінійних рівнянь може мати унікальне рішення, без розв'язків або нескінченних розв'язків.

Матрична алгебра використовується для розв'язання систем рівнянь. Чи можете ви проілюструвати цю концепцію?

Матрична алгебра використовується для розв'язання системи одночасних лінійних рівнянь. Насправді, для багатьох математичних процедур, таких як розв'язання набору нелінійних рівнянь, інтерполяція, інтеграція та диференціальні рівняння, рішення зводяться до набору одночасних лінійних рівнянь. Проілюструємо на прикладі для інтерполяції.

Приклад 1

Швидкість вгору ракети наведена в три різні часи на наступній таблиці.

Таблиця 5.1. Дані про швидкість проти часу для ракети
Час, т Швидкість, v
(и) (м/с)
5 106.8
8 177.2
12 279.2

Дані про швидкість апроксимуються поліномом як

v(t)=at2+bt+c,5t12

Налаштуйте рівняння в матричній формі, щоб знайтиa,b,c коефіцієнти профілю швидкостей.

Рішення

Многочлен проходить через три точки даних,(t1,v1),(t2,v2),and(t3,v3) звідки з таблиці 5.1.

t1=5, v1=106.8

t2=8, v2=177.2

t3=12, v3=279.2

Вимога, щоv(t)=at2+bt+c проходить через три точки даних дає

v(t1)=v1=at21+bt1+c

v(t2)=v2=at22+bt2+c

v(t3)=v3=at23+bt3+c

Підстановка даних(t1,v1),(t2,v2), and (t3,v3) дає

a(52)+b(5)+c=106.8

a(82)+b(8)+c=177.2

a(122)+b(12)+c=279.2

або

25a+5b+c=106.8

64a+8b+c=177.2

144a+12b+c=279.2

Цей набір рівнянь можна переписати в матричному вигляді як

[25a+5b+c64a+8b+c144a+12b+c]=[106.8177.2279.2]

Вищевказане рівняння можна записати як лінійну комбінацію наступним чином:

a[2564144]+b[5812]+c[111]=[106.8177.2279.2]

і подальше використання множення матриці дає

[25516481144121][abc]=[106.8177.2279.2]

Вище наведено ілюстрацію того, навіщо потрібна матрична алгебра. Повний розв'язок множини рівнянь наведено далі в цьому розділі.

Загальний набірm лінійних рівнянь іn невідомих,

a11x1+a12x2++a1nxn=c1

a21x1+a22x2++a2nxn=c2

..........................................

..........................................

am1x1+am2x2+........+amnxn=cm

можна переписати в матричному вигляді як

[a11a12..a1na21a22..a2nam1am2..amn][x1x2xn]=[c1c2cm]

Позначаючи матриці по[A],[X], і[C], система рівняння дорівнює

[A] [X]=[C], Де[A] називається матрицею коефіцієнтів,[C] називається вектором правого боку і[X] називається вектором рішення.

Іноді[A] [X]=[C] системи рівнянь записуються в доповненому вигляді. Тобто

[A  C]=[a11a12......a1na21a22......a2nam1am2......amnc1c2cn]

Система рівнянь може бути послідовною або суперечливою. Що це означає?

Система рівнянь[A] [X]=[C] є послідовною, якщо є рішення, і вона непослідовна, якщо немає рішення. Однак послідовна система рівнянь не означає унікального рішення, тобто послідовна система рівнянь може мати унікальне рішення або нескінченні розв'язки (рис. 1).

image1.png
Малюнок5.1: Послідовна і непослідовна система рівнянь блок-схема.
Приклад 2

Наведіть приклади послідовної та непослідовної системи рівнянь.

Рішення
  1. Система рівнянь

[2413][xy]=[64]

є послідовною системою рівнянь, оскільки має унікальне рішення, тобто

[xy]=[11]

  1. Система рівнянь

[2412][xy]=[63]

також є послідовною системою рівнянь, але вона має нескінченні розв'язки, наведені нижче.

Розширюючи вищевказаний набір рівнянь,

2x+4y=6

x+2y=3

ви можете бачити, що вони є одним і тим же рівнянням. Отже, будь-яка комбінація(x,y), що задовольняє

2x+4y=6

це рішення. Наприклад,(x,y)=(1,1) це рішення. Інші рішення включають(x,y)=(0.5,1.25)(x,y)=(0,1.5), і так далі.

  1. Система рівнянь

[2412][xy]=[64]

є непослідовним, оскільки рішення не існує.

Як можна розрізнити послідовну і непослідовну систему рівнянь?

Система рівнянь[A] [X]=[C] узгоджена, якщо рангA дорівнює рангу доповненої матриці.[A  C]

Система рівнянь[A] [X]=[C] непослідовна, якщо ранг менше рангу доповненої матриці[A  C].A

Але, що ви маєте на увазі під рангом матриці?

Ранг матриці визначається як порядок найбільшої квадратної підматриці, детермінант якої не дорівнює нулю.

Приклад 3

Що таке ранг

[A]=[312205123]?

Рішення

Найбільша квадратна підматриця можлива порядку 3, і це саме[A] по собі. det(A)=230,З рангу[A]=3.

Приклад 4

Що таке ранг

[A]=[312205517]?

Рішення

Найбільша квадратна[A] підматриця має порядок 3, і це саме[A] по собі. Так якdet(A)=0, ранг менше 3.[A] Наступною найбільшою квадратною підматрицею буде2×2 матриця. Одна з квадратних підматриць[A] є

[B]=[3120]

іdet(B)=20. Звідси ранг[A] дорівнює 2. Немає необхідності дивитися на інші2×2 підматриці, щоб встановити, що ранг[A] дорівнює 2.

Приклад 5

Як тепер використовувати концепцію рангу, щоб знайти, якщо

[25516481144121][x1x2x3]=[106.8177.2279.2]

послідовна або непослідовна система рівнянь?

Рішення

Матриця коефіцієнтів дорівнює

[A]=[25516481144121]

і правий бічний вектор

[C]=[106.8177.2279.2]

Розширена матриця

[B]=[2551106.86481177.2144121279.2]

Оскільки немає квадратних підматриць порядку 4, як[B]3×3 матриця, ранг[B] є не більше3. Отже, давайте подивимося на квадратні підматриці порядку3; якщо будь-яка з цих квадратних підматриць має детермінант не дорівнює нулю, то ранг є3.[B] Наприклад, підматриця доповненої[B] матриці

[D]=[25516481144121]

маєdet(D)=840.

Звідси ранг доповненої матриці[B] дорівнює 3. Так як[A]=[D], ранг[A] дорівнює 3. Оскільки ранг доповненої матриці[B] дорівнює рангу матриці коефіцієнтів[A], система рівнянь узгоджена.

Приклад 6

Використовуйте поняття рангу матриці, щоб знайти, якщо

[2551648189132][x1x2x3]=[106.8177.2284.0]

послідовний або непослідовний?

Рішення

Матриця коефіцієнта задається

[A]=[2551648189132]

і з правого боку

[C]=[106.8177.2284.0]

Розширена матриця

[B]=[2551:106.86481:177.289132:284.0]

Оскільки немає квадратних підматриць порядку 4, як[B]4×3 матриця, ранг доповненої[B] становить максимум 3. Отже, давайте подивимося на квадратні підматриці[B] доповненої матриці порядку3 і подивимося, якщо будь-яка з них має детермінанти не рівні нулю. Наприклад, квадратна підматриця доповненої[B] матриці

[D]=[2551648189132]

маєdet(D)=0. Це означає, що нам потрібно дослідити інші квадратні підматриці порядку 3 доповненої матриці[B] і знайти їх детермінанти.

Тобто,

[E]=[51106.881177.2132284.0]

det(E)=0

[F]=[255106.8648177.28913284.0]

det(F)=0

[G]=[251106.8641177.2892284.0]

det(G)=0

Всі квадратні підматриці порядку3×3 доповненої матриці[B] мають нульовий детермінант. Так що ранг доповненої матриці[B] менше 3. Чи[B] дорівнює ранг доповненої матриці 2?. Однією з2×2 підматриць доповненої матриці[B] є

[H]=[255648]

і

det(H)=1200

Отже, ранг доповненої матриці[B] дорівнює 2.

Тепер нам потрібно знайти ранг матриці коефіцієнтів[B].

[A]=[2551648189132]

і

det(A)=0

Отже, ранг матриці[A] коефіцієнтів менше 3. Квадратна підматриця матриці коефіцієнта[A] дорівнює

[J]=[5181]

det(J)=30

Отже, ранг матриці коефіцієнтів[A] дорівнює 2.

Отже, ранг матриці[A] коефіцієнтів дорівнює рангу доповненої матриці[B]. Таким чином, система[A] [X]=[C] рівнянь послідовна.

Приклад 7

Використовуйте поняття рангу, щоб знайти, якщо

[2551648189132][x1x2x3]=[106.8177.2280.0]

є послідовним або непослідовним.

Рішення

Розширена матриця

[B]=[2551:106.86481:177.289132:280.0]

Оскільки немає квадратних підматриць порядку,4×4 оскільки доповнена матриця[B] є4×3 матрицею, ранг доповненої матриці[B] становить максимум 3. Отже, давайте подивимося на квадратні підматриці(B) доповненої матриці порядку 3 і подивимося, якщо будь-яка з3×3 підматриць має детермінант, не рівний нулю. Наприклад, квадратна підматриця3×3 порядку[B]

[D]=[2551648189132]

det

Отже, це означає, що нам потрібно вивчити інші квадратні підматриці доповненої матриці\lbrack B\rbrack

\left\lbrack E \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 1 & 106.8 \\ 8 & 1 & 177.2 \\ 13 & 2 & 280.0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

det(E) = 12.0 \neq 0.

Отже, ранг доповненої матриці\lbrack B\rbrack дорівнює 3.

Ранг матриці коефіцієнтів\lbrack A\rbrack - 2 з попереднього прикладу.

Оскільки ранг матриці\lbrack A\rbrack коефіцієнтів менше рангу доповненої матриці\lbrack B\rbrack, система рівнянь неузгоджена. Отже, рішення не існує для\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack.

Якщо рішення існує, як ми знаємо, чи є воно унікальним?

У системі рівнянь,\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack яка є послідовною, ранг матриці коефіцієнтів\lbrack A\rbrack такий же, як і доповнена матриця\lbrack A\left| C \right.\ \rbrack. Якщо крім того, ранг матриці коефіцієнтів\lbrack A\rbrack збігається з числом невідомих, то рішення унікальне; якщо ранг\lbrack A\rbrack матриці коефіцієнтів менше числа невідомих, то існують нескінченні розв'язки.

image2.jpg
Рисунок\PageIndex{2}: Блок-схема умов послідовної та непослідовної системи рівнянь.
Приклад 8

Ми виявили, що наступна система рівнянь

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber

є послідовною системою рівнянь. Чи має система рівнянь унікальне рішення або вона має нескінченні розв'язки?

Рішення

Матриця коефіцієнтів дорівнює

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

а права сторона

\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber

З'ясувавши, чи були наведені вище рівняння узгоджені в попередньому прикладі, ми виявили, що ранг матриці коефіцієнтів (A) дорівнює рангу розширеної матриці\left\lbrack A \ \vdots \ C \right\rbrack дорівнює 3.

Рішення є унікальним, оскільки число невідомих = 3 = ранг (A).

Приклад 9

Ми виявили, що наступна система рівнянь

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 89 & 13 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 284.0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

є послідовною системою рівнянь. Рішення унікальне або воно має нескінченні рішення.

Рішення

З'ясувавши, чи були наведені вище рівняння послідовними, ми виявили, що ранг матриці\lbrack A\rbrack коефіцієнтів дорівнює рангу доповненої матриці\left( A \ \vdots\ C \right) дорівнює 2.

Оскільки ранг\lbrack A\rbrack = 2 < кількість невідомих = 3, існують нескінченні розв'язки.

Якщо у нас більше рівнянь, ніж невідомих у [A] [X] = [C], чи означає це, що система непослідовна?

Ні, це залежить від рангу доповненої матриці\left\lbrack A\ \vdots \ C \right\rbrack і рангу\lbrack A\rbrack.

  1. Наприклад

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ 89 & 13 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ 284.0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

послідовний, так як

  • ранг доповненої матриці = 3
  • ранг матриці коефіцієнта = 3

Тепер, оскільки ранг (A) = 3 = кількість невідомих, рішення є не тільки послідовним, але й унікальним.

  1. Наприклад

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ 89 & 13 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ 280.0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

є непослідовним, так як

  • ранг доповненої матриці =4
  • ранг матриці коефіцієнта =3
  1. Наприклад

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 50 & 10 & 2 \\ 89 & 13 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 213.6 \\ 280.0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

послідовний, так як

  • ранг доповненої матриці = 2
  • ранг матриці коефіцієнта = 2

Але оскільки ранг\lbrack A\rbrack = 2 < кількість невідомих = 3, існують нескінченні рішення.

Послідовні системи рівнянь можуть мати тільки унікальне рішення або нескінченні розв'язки. Чи може система рівнянь мати більше одного, але не нескінченну кількість розв'язків?

Ні, ви можете мати тільки унікальне рішення або нескінченні рішення. Припустимо,\lbrack A\rbrack\lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack є два рішення\lbrack Y\rbrack і\lbrack Z\rbrack так, що

\lbrack A\rbrack\lbrack Y\rbrack = \lbrack C\rbrack \nonumber

\lbrack A\rbrack\lbrack Z\rbrack = \lbrack C\rbrack \nonumber

Якщоr константа, то з двох рівнянь

r\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack Y \right\rbrack = r\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

\left( 1 - r \right)\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack Z \right\rbrack = \left( 1 - r \right)\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

Додавання двох вищевказаних рівнянь дає

r\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack Y \right\rbrack + \left( 1 - r \right)\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack Z \right\rbrack = r\left\lbrack C \right\rbrack + \left( 1 - r \right)\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

\left\lbrack A \right\rbrack\left( r\left\lbrack Y \right\rbrack + \left( 1 - r \right)\left\lbrack Z \right\rbrack \right) = \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

Звідси

r\left\lbrack Y \right\rbrack + \left( 1 - r \right)\left\lbrack Z \right\rbrack \nonumber

це рішення

\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

Оскількиr є будь-який скалярний, існують нескінченні рішення для\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack форми

r\left\lbrack Y \right\rbrack + \left( 1 - r \right)\left\lbrack Z \right\rbrack \nonumber

Чи можете ви розділити дві матриці?

Якщо\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack = \lbrack C\rbrack визначено, це може здатися інтуїтивно зрозумілим\lbrack A\rbrack = \frac{\left\lbrack C \right\rbrack}{\left\lbrack B \right\rbrack}, але поділ матриці не визначено так. Однак зворотна матриця може бути визначена для певних типів квадратних матриць. Зворотна квадратна матриця\lbrack A\rbrack, якщо вона існує, позначається\lbrack A\rbrack^{- 1} таким, що

\lbrack A\rbrack\ \lbrack A\rbrack^{- 1} = \lbrack I\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}\lbrack A\rbrack \nonumber

Де\lbrack I\rbrack знаходиться матриця ідентичності.

Іншими словами, нехай[A] буде квадратна матриця. Якщо\lbrack B\rbrack є ще одна квадратна матриця такого ж розміру\lbrack B\rbrack\ \lbrack A\rbrack = \lbrack I\rbrack, що, то\lbrack B\rbrack є зворотною\lbrack A\rbrack. \lbrack A\rbrackпотім називається бути оборотним або несингулярним. Якщо\lbrack A\rbrack^{- 1} не існує,\lbrack A\rbrack називається незворотним або одниною.

Якщо\lbrack A\rbrack і\lbrack B\rbrack двіn \times n матриці такі що\lbrack B\rbrack\ \lbrack A\rbrack = \lbrack I\rbrack, то ці твердження також вірні.

[B]є оберненою[A]

[A]є оберненою[B]

[A]і[B] обоє обертаються

[A][B]=[I].

[A]і[B] обидва неоднини

всі стовпці[A] і[B] лінійно незалежні

всі ряди[A] і[B] лінійно незалежні.

приклад 10

Визначте, чи

\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \\ \end{bmatrix}\ \nonumber

є оберненою

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 5 & - 3 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

\begin{split} \lbrack B\rbrack\lbrack A\rbrack &= \ \ \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 5 & - 3 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\\ &= \lbrack I\rbrack \end{split} \nonumber

Так як

\ \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack I \right\rbrack, \nonumber

\lbrack B\rbrackє зворотним[A] і\lbrack A\rbrack є зворотним\lbrack B\rbrack.

Але ми також можемо показати, що

\begin{split} \lbrack A\rbrack\lbrack B\rbrack &= \begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 5 & - 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 5 & 3 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\\ &= \lbrack I\rbrack \end{split} \nonumber

показати, що\lbrack A\rbrack є зворотним\lbrack B\rbrack.

Чи можу я використовувати концепцію зворотної матриці для пошуку розв'язку множини рівнянь [A] [X] = [C]?

Так, якщо кількість рівнянь збігається з кількістю невідомих, матриця коефіцієнтів\lbrack A\rbrack є квадратною матрицею.

Враховується

\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack \nonumber

Потім, якщо\lbrack A\rbrack^{- 1} існує, множимо обидві сторони на\lbrack A\rbrack^{- 1}.

\lbrack A\rbrack^{- 1}\lbrack A\rbrack\lbrack X\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}\lbrack C\rbrack \nonumber

\lbrack I\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}\lbrack C\rbrack \nonumber

\lbrack X\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}\lbrack C\rbrack \nonumber

Це означає, що якщо ми можемо знайти\lbrack A\rbrack^{- 1}, вектор рішення\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack просто множення\lbrack A\rbrack^{- 1} і правий бік вектора,\lbrack C\rbrack.

Як знайти зворотну матрицю?

Якщо\lbrack A\rbrackn \times n матриця, то\lbrack A\rbrack^{- 1} єn \times n матрицею і відповідно до визначення зворотної матриці

\lbrack A\rbrack\ \lbrack A\rbrack^{- 1} = \lbrack I\rbrack \nonumber

Позначаючи

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdot & \cdot & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdot & \cdot & a_{2n} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdot & \cdot & a_{nn} \\ \end{bmatrix} \nonumber

\lbrack A\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} a_{11}^{'} & a_{12}^{'} & \cdot & \cdot & a_{1n}^{'} \\ a_{21}^{'} & a_{22}^{'} & \cdot & \cdot & a_{2n}^{'} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{n1}^{'} & a_{n2}^{'} & \cdot & \cdot & a_{nn}^{'} \\ \end{bmatrix} \nonumber

\lbrack I\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 0 & \cdot & \cdot & \cdot & 0 \\ 0 & 1 & & & & 0 \\ 0 & & \cdot & & & \cdot \\ \cdot & & & 1 & & \cdot \\ \cdot & & & & \cdot & \cdot \\ 0 & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Використовуючи визначення множення матриці, перший стовпець\lbrack A\rbrack^{- 1} матриці потім можна знайти шляхом вирішення

\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdot & \cdot & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdot & \cdot & a_{2n} \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdot & \cdot & a_{nn} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}^{'} \\ a_{21}^{'} \\ \cdot \\ \cdot \\ a_{n1}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ \cdot \\ \cdot \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Аналогічно можна знайти і інші стовпці\lbrack A\rbrack^{- 1} матриці, змінивши відповідним чином праву частину.

Приклад 11

Швидкість вгору ракети задається

Таблиця 5.2. Дані про швидкість проти часу для ракети
Час,t (с) Швидкість руху,v (м/с)
\ (t\) (s) ">5 \ (v\) (м/с) ">106.8
\ (t\) (s) ">8 \ (v\) (м/с) ">177.2
\ (t\) (s) ">12 \ (v\) (м/с) ">279.2

У попередньому прикладі ми хотіли наблизити профіль швидкості за

v\left( t \right) = at^{2} + {bt} + c,5 \leq t \leq 12 \nonumber

Ми виявили, що коефіцієнтиa,\ b,\ and\ c вv\left( t \right) задаються

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Спочатку знайдіть зворотне

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

а потім скористайтеся визначенням зворотного, щоб знайти коефіцієнтиa,\ b,\ and\ c.

Рішення

Якщо

\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} a_{11}^{'} & a_{12}^{'} & a_{13}^{'} \\ a_{21}^{'} & a_{22}^{'} & a_{23}^{'} \\ a_{31}^{'} & a_{32}^{'} & a_{33}^{'} \\ \end{bmatrix} \nonumber

є зворотним\lbrack A\rbrack, то

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}^{'} & a_{12}^{'} & a_{13}^{'} \\ a_{21}^{'} & a_{22}^{'} & a_{23}^{'} \\ a_{31}^{'} & a_{32}^{'} & a_{33}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

дає три множини рівнянь

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{11}^{'} \\ a_{21}^{'} \\ a_{31}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{12}^{'} \\ a_{22}^{'} \\ a_{32}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{13}^{'} \\ a_{23}^{'} \\ a_{33}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Розв'язування вищевказаних трьох наборів рівнянь окремо дає

\begin{bmatrix} a_{11}^{'} \\ a_{21}^{'} \\ a_{31}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.04762 \\ - 0.9524 \\ 4.571 \\ \end{bmatrix} \nonumber

\begin{bmatrix} a_{12}^{'} \\ a_{22}^{'} \\ a_{32}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 0.08333 \\ 1.417 \\ - 5.000 \\ \end{bmatrix} \nonumber

\begin{bmatrix} a_{13}^{'} \\ a_{23}^{'} \\ a_{33}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.03571 \\ - 0.4643 \\ 1.429 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Звідси

\lbrack A\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} 0.04762 & - 0.08333 & 0.03571 \\ - 0.9524 & 1.417 & - 0.4643 \\ 4.571 & - 5.000 & 1.429 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Зараз

\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

де

\left\lbrack X \right\rbrack = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} \nonumber

\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Використання визначення\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1},

\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber

\begin{bmatrix} 0.04762 & - 0.08333 & 0.03571 \\ - 0.9524 & 1.417 & - 0.4643 \\ 4.571 & - 5.000 & 1.429 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Звідси

\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2905 \\ 19.69 \\ 1.086 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Так

v\left( t \right) = 0.2905t^{2} + 19.69t + 1.086,5 \leq t \leq 12 \nonumber

Чи є інший спосіб знайти зворотну матрицю?

Для знаходження оберненої малих матриць зворотну матрицю можна знайти за

\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \frac{1}{\det\left( A \right)}{adj}\left( A \right) \nonumber

де

{adj}\left( A \right) = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & & C_{2n} \\ \vdots & & & \\ C_{n1} & C_{n2} & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix}^{T} \nonumber

деC_{ij} знаходяться кофакториa_{ij}. Матриця

\begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & \cdots & C_{1n} \\ C_{21} & C_{22} & \cdots & C_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ C_{n1} & \cdots & \cdots & C_{nn} \\ \end{bmatrix} \nonumber

сама називається матрицею кофакторів від[A]. Кофактори визначені в главі 4.

Приклад 12

Знайти зворотне

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

З прикладу 4.6 у розділі 04.06 ми знайшли

\det\left( A \right) = - 84 \nonumber

Далі нам потрібно знайти суміжні з\lbrack A\rbrack. КофакториA знаходяться наступним чином.

Неповнолітнім в'їздомa_{11} є

\begin{split} M_{11} &= \left| \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= \left| \begin{matrix} 8 & 1 \\ 12 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 4 \end{split} \nonumber

Кофакторами вступуa_{11} є

\begin{split} C_{11} &= \left( - 1 \right)^{1 + 1}M_{11}\\ &= M_{11}\\ &= - 4 \end{split} \nonumber

Неповнолітнім в'їздомa_{12} є

\begin{split} M_{12} &= \left| \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= \left| \begin{matrix} 64 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 80 \end{split} \nonumber

Кофактором входуa_{12} є

\begin{split} C_{12} &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}M_{12}\\ &= - M_{12}\\ &= - ( - 80)\\ &= 80 \end{split} \nonumber

Аналогічно

C_{13} = - 384 \nonumber

C_{21} = 7 \nonumber

C_{22} = - 119 \nonumber

C_{23} = 420 \nonumber

C_{31} = - 3 \nonumber

C_{32} = 39 \nonumber

C_{33} = - 120 \nonumber

Звідси матриця кофакторів\lbrack A\rbrack є

\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} - 4 & 80 & - 384 \\ 7 & - 119 & 420 \\ - 3 & 39 & - 120 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Суміжна матриця\lbrack A\rbrack - це\lbrack C\rbrack^{T},

\begin{split} {adj}\left( A \right) &= \left\lbrack C \right\rbrack^{T}\\ &= \begin{bmatrix} - 4 & 7 & - 3 \\ 80 & - 119 & 39 \\ - 384 & 420 & - 120 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber

Звідси

\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} &= \frac{1}{\det\left( A \right)}{adj}\left( A \right)\\ &= \frac{1}{- 84}\begin{bmatrix} - 4 & 7 & - 3 \\ 80 & - 119 & 39 \\ - 384 & 420 & - 120 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0.04762 & - 0.08333 & 0.03571 \\ - 0.9524 & 1.417 & - 0.4643 \\ 4.571 & - 5.000 & 1.429 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber

Якщо зворотна квадратна матриця [A] існує, чи є вона унікальною?

Так, зворотна квадратна матриця є унікальною, якщо вона існує. Доказ полягає в наступному. Припустимо, що зворотне\lbrack A\rbrack є\lbrack B\rbrack і якщо цей зворотний не є унікальним, то нехай інший зворотний\lbrack A\rbrack існувати називається\lbrack C\rbrack.

Якщо\lbrack B\rbrack є зворотним\lbrack A\rbrack, то

\lbrack B\rbrack\ \lbrack A\rbrack = \lbrack I\rbrack \nonumber

Помножте обидві сторони на\lbrack C\rbrack,

\lbrack B\rbrack\ \lbrack A\rbrack\ \lbrack C\rbrack = \lbrack I\rbrack\ \lbrack C\rbrack \nonumber

\lbrack B\rbrack\ \lbrack A\rbrack\ \lbrack C\rbrack = \lbrack C\rbrack \nonumber

Так[C] як обернена\lbrack A\rbrack,

\lbrack A\rbrack\ \lbrack C\rbrack = \lbrack I\rbrack\ \nonumber

Помножте обидві сторони на\lbrack B\rbrack,

\lbrack B\rbrack\ \lbrack I\rbrack\ = \lbrack C\rbrack \nonumber

\lbrack B\rbrack\ = \lbrack C\rbrack \nonumber

Це показує, що\lbrack B\rbrack і\lbrack C\rbrack однакові. Таким чином,\lbrack A\rbrack зворотне є унікальним.

Система рівнянь Вікторина

Вікторина 1

3 \times 4Матриця може мати ранг не більше

(А)3

(Б)4

(С)5

(D)12

Вікторина 2

Троє дітей — Джим, Корі і Девід отримують спадщину\text{\$} 2,253,453. Гроші покладені в три трасти, але не діляться порівну для початку. Корі отримує втричі більше, ніж Девід отримує, тому що Корі зробив «А» в класі доктора Коу. Кожна довіра вкладається в відсоток, що генерує інвестиції. Три трасти Джима, Корі і Девіда платять відсотки6\%8\%11\%, відповідно. Загальний інтерес всіх трьох трастів, об'єднаних в кінці першого року, становить\text{\$}190,740.57. Скільки грошей було вкладено в кожен траст? Рівняння в матричній формі

(А)\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ .06 & .08 & .11 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J \\ C \\ D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2253543 \\ 0 \\ 190740.57 \\ \end{bmatrix}

(Б)\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 3 \\ .06 & .08 & .11 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J \\ C \\ D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2253543 \\ 0 \\ 190740.57 \\ \end{bmatrix}

(С)\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 6 & 8 & 11 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J \\ C \\ D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2253543 \\ 0 \\ 190740.57 \\ \end{bmatrix}

(D)\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & - 3 \\ .06 & .08 & .11 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J \\ C \\ D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2253543 \\ 0 \\ 190740.57 \\ \end{bmatrix}

Вікторина 3

Яка з наведених матриць не має зворотного?

(А)\begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \\ \end{bmatrix}

(Б)\begin{bmatrix} 6 & 7 \\ 12 & 14 \\ \end{bmatrix}

(С)\begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 7 \\ \end{bmatrix}

(D)\begin{bmatrix} 0 & 6 \\ 7 & 0 \\ \end{bmatrix}

Вікторина 4

множина рівнянь

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 2 & 3 & 7 \\ 5 & 8 & 19 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\ 26 \\ 70 \\ \end{bmatrix} \nonumber

має

(A) немає рішення

(B) скінченна кількість розв'язків

(C) унікальне рішення

(D) нескінченні рішення

Вікторина 5

Враховуючи систему\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack де\left\lbrack A \right\rbrack -n \times n матриця та\left\lbrack X \right\rbrack та\left\lbrack C \right\rbrackn \times 1 матриці,\left\lbrack X \right\rbrack існує унікальне рішення, якщо

(А) ранг\left\lbrack A \right\rbrack = рангу\left\lbrack A \vdots C \right\rbrack

(B) ранг\left\lbrack A \right\rbrack = рангу\left\lbrack A \vdots C \right\rbrack = n

(C) ранг\left\lbrack A \right\rbrack < рангу\left\lbrack A \vdots C \right\rbrack

(D) ранг\left\lbrack A \right\rbrack = рангу\left\lbrack A \vdots C \right\rbrack < n

Вікторина 6

Якщо\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \begin{bmatrix} - 13 \\ 76 \\ 38 \\ \end{bmatrix} і\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & - 4 \\ - 8 & 2 & 16 \\ 2 & 4 & 8 \\ \end{bmatrix} тоді

(А)\left\lbrack X \right\rbrack = \begin{bmatrix} -13.000 \\ 864.00 \\ 582.00 \\ \end{bmatrix}

(Б) не можна знайти унікального\left\lbrack X \right\rbrack.

(С)\left\lbrack X \right\rbrack = \begin{bmatrix} -1.0000 \\ 2.0000 \\ 4.0000 \\ \end{bmatrix}

(D) рішення не\left\lbrack X \right\rbrack можливі

Вправа «Система рівнянь»

Вправа 1

Для набору\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack B\rbrack рівнянь існує унікальне рішення, якщо

  1. ранг (A) = ранг\left( A\ \vdots\ B \right)
  2. ранг (A) = ранг\left( A\ \vdots\ B \right) і ранг (A) = кількість невідомих
  3. ранг (А) = ранг\left( A\ \vdots\ B \right) і ранг (А) = кількість рядів (А).
Відповідь

Б

Вправа 2

ранг матриці

A = \begin{bmatrix} 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ 4 & 4 & 4 & 4 \\ \end{bmatrix}є

  1. 1
  2. 2
  3. 3
  4. 4
Вправа 3

3 \times 4Матриця може мати ранг не більше

  1. 3
  2. 4
  3. 5
  4. 12
Вправа 4

Якщо\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack має унікальне рішення, де порядок\lbrack A\rbrack є3 \times 3,\lbrack X\rbrack є3 \times 1, то ранг\lbrack A\rbrack є

  1. 2
  2. 3
  3. 4
  4. 5
Вправа 5

Показати, чи є наступна система рівнянь послідовною чи суперечливою. Якщо вони узгоджені, визначте, чи буде рішення унікальним або нескінченним існувати.

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 7 & 3 & 9 \\ 8 & 5 & 14 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 19 \\ 27 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

Послідовний; Нескінченні рішення

Вправа 6

Показати, чи є наступна система рівнянь послідовною чи суперечливою. Якщо вони узгоджені, визначте, чи буде рішення унікальним або нескінченним існувати.

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 7 & 3 & 9 \\ 8 & 5 & 14 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 19 \\ 28 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

Непослідовний

Вправа 7

Показати, чи є наступна система рівнянь послідовною чи суперечливою. Якщо вони узгоджені, визначте, чи буде рішення унікальним або нескінченним існувати.

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 7 & 3 & 9 \\ 8 & 5 & 13 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 19 \\ 28 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

Послідовний; Унікальний

Вправа 8

множина рівнянь

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 5 \\ 7 & 3 & 9 \\ 8 & 5 & 14 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 19 \\ 27 \\ \end{bmatrix}

має

  1. Унікальне рішення
  2. Немає рішення
  3. Нескінченні рішення
Відповідь

C

Вправа 9

Для яких значеньa волі має наступне рівняння

x_{1} + x_{2} + x_{3} = 4

x_{3} = 2

\left( a^{2} - 4 \right)x_{1} + x_{3} = a - 2

  1. Унікальне рішення
  2. Немає рішення
  3. Нескінченні рішення
Відповідь

Якщоa \neq + 2 \ \text{or} -2, тоді буде унікальне рішення Якщоa = + 2 \ or - 2, тоді рішення не буде.
Можливість нескінченних рішень не існує.

Вправа 10

Знайти, якщо

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & - 2.5 \\ - 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \nonumber

і

\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 0.3 & 0.25 \\ 0.2 & 0.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber

обернені один одному.

Відповідь

Так

Вправа 11

Знайти, якщо

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2.5 \\ 2 & 3 \\ \end{bmatrix} \nonumber

і

lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 0.3 & - 0.25 \\ 0.2 & 0.5 \\ \end{bmatrix} \nonumber

обернені один одному.

Відповідь

Ні

Вправа 12

Знайдіть

  1. матриця кофактора
  2. суміжній матриці

з

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 & - 7 & - 1 \\ 8 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Відповідь

\begin{bmatrix} - 34 & - 18 & 58 \\ - 19 & 7 & 29 \\ 3 & 5 & - 29 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - 34 & - 19 & 3 \\ - 18 & 7 & 5 \\ 58 & 29 & - 29 \\ \end{bmatrix}

Вправа 13

Знайти,\lbrack A\rbrack^{- 1} використовуючи будь-який метод для
\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 4 & 1 \\ 2 & - 7 & - 1 \\ 8 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} 2.931 \times 10^{- 1} & 1.638 \times 10^{- 1} & - 2.586 \times 10^{- 2} \\ 1.552 \times 10^{- 1} & - 6.034 \times 10^{- 2} & - 4.310 \times 10^{- 2} \\ - 5.000 \times 10^{- 1} & - 2.500 \times 10^{- 1} & 2.500 \times 10^{- 1} \\ \end{bmatrix}

Вправа 14

Доведіть, що якщо\lbrack A\rbrack і\lbrack B\rbrack обидва оборотні і квадратні матриці того ж порядку, то

(\lbrack A\rbrack\lbrack B\rbrack)^{- 1} = \lbrack B\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} \nonumber

Відповідь

\left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \right)^{- 1} = \left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} \nonumber

Нехай\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \nonumber

\begin{split} \left\lbrack C \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1} &= \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\\ &= \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack I \right\rbrack\\ &= \left\lbrack A \right\rbrack \end{split} \nonumber

Знову

\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack

\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack C \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \left\lbrack I \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \left\lbrack B \right\rbrack \end{split} \nonumber

Так

\left\lbrack C \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1} = \left\lbrack A \right\rbrack ;\;\;\;\;\;\;\ (1) \nonumber

\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack;\;\;\;\;\;\;\ (2) \nonumber

Від (1) і (2)

\left\lbrack C \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \nonumber

\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \nonumber

\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack A^{- 1} \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \nonumber

\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A^{- 1} \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack \nonumber

\left\lbrack B^{- 1} \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A^{- 1} \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack B \right\rbrack \nonumber \left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A^{- 1} \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack I \right\rbrack. \nonumber

Вправа 15

Що таке зворотна квадратна діагональна матриця? Чи завжди вона існує?

Відповідь

Підказка: Обернена квадратом n\times n діагональна матриця\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{a_{11}} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{a_{22}} & \cdots & 0 \\ 0 & & & \vdots \\ \vdots & \cdots & \cdots & \frac{1}{a_{nn}} \\ \end{bmatrix}
Отже, обернена існує, лише якщоa_{ii} \neq 0 для всіхi.

Вправа 16

\lbrack A\rbrackі\lbrack B\rbrack квадратні матриці. Якщо\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack = \lbrack 0\rbrack і\lbrack A\rbrack є оборотним, покажіть\lbrack B\rbrack = 0.

Відповідь

\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack \nonumber \left\lbrack A^{- 1} \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack 0 \right\rbrack \nonumber

Вправа 17

Якщо\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack\ \lbrack C\rbrack = \lbrack I\rbrack, де\lbrack A\rbrack,\lbrack B\rbrack і\lbrack C\rbrack знаходяться однакового розміру, покажіть, що\lbrack B\rbrack є оборотним.

Відповідь

Підказка:det({AB}) = det(A)det(B)

Вправа 18

Доведіть, якщо\lbrack B\rbrack є оборотним,\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack^{- 1} = \lbrack B\rbrack^{- 1}\lbrack A\rbrack якщо і тільки якщо\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack = \lbrack B\rbrack\lbrack A\rbrack

Відповідь

Підказка: помножте\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1} на обидві сторони,\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1} = \left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack^{- 1}

Вправа 19

Для
\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix}
\left\lbrack A \right\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} - 0.1099 & - 0.2333 & 0.2799 \\ - 0.2999 & - 0.3332 & 0.3999 \\ 0.04995 & 0.1666 & 6.664 \times 10^{- 5} \\ \end{bmatrix}
шоу

{det }\left( A \right) = \frac{1}{{det}\left( A^{- 1} \right)}. \nonumber

Вправа 20

Для яких значеньa має лінійна система

\begin{matrix} x + y = 2 \\ 6x + 6y = a \\ \end{matrix} \nonumber

  1. нескінченні рішення
  2. унікальне рішення
Відповідь

А.12

Б. неможливо

Вправа 21

Троє дітей - Джим, Корі і Девід отримують спадщину\$2,\$253,\$453. Гроші покладені в три трасти, але не діляться порівну для початку. Корі отримує втричі більше, ніж Девід, тому що Корі зробив «А» в класі доктора Коу. Кожна довіра вкладається в відсоток, що генерує інвестиції. Три трести Джима, Корі і Девіда платить відсотки6\%, 8\%, 11\%, відповідно. Загальний інтерес всіх трьох трастів, об'єднаних в кінці першого року, становить\$190,\$740.57. Скільки грошей було вкладено в кожен траст? Встановіть наступне як рівняння у вигляді матриці. Визначте невідомі. Не вирішуйте для невідомих.

Відповідь

J + C + D = \$2,\$253,\$453

C = 3D \nonumber

0.06J+0.08C+0.11D = \$190,740.57 \nonumber У матричній формі

\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 3 \\ 0.06 & 0.08 & 0.11 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} J \\ C \\ D \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2,253,453 \\ 0 \\ 190,740.57 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Вправа 22

Що таке ранг

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 7 \\ 6 & 10 & 13 \\ \end{bmatrix}? \nonumber

Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

У наведеній вище матриці 2 (Рядок 1) + Рядок 2 = Рядок 3. Значить, ранг менше 3. Рядок 1 і Рядок 2 лінійно незалежні. Значить, ранг матриці дорівнює 2.

Вправа 23

Що таке ранг

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 4 & 6 & 7 & 17 \\ 6 & 10 & 13 & 29 \\ \end{bmatrix}? \nonumber

Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

Визначник всіх3 \times 3 підматриць дорівнює нулю. Значить, ранг менше 3. Детермінант

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix} = - 4 \neq 0. \nonumber

Вправа 24

Що таке ранг

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & 6 \\ 4 & 6 & 7 & 18 \\ 6 & 10 & 13 & 30 \\ \end{bmatrix}? \nonumber

Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

У наведеній вище матриці 2 (Рядок 1) + Рядок 2 = Рядок 3. Отже, ранг менше 3, оскільки ряди 3 лінійно залежать. Детермінант

\begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix} = - 4 \neq 0. \nonumber

Значить, ранг є2.

Вправа 25

Скільки розв'язків має наступна система рівнянь

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 7 \\ 6 & 10 & 13 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 17 \\ 29 \\ \end{bmatrix}? \nonumber

Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

Ранг $ A = 2$\ РангA|C = 2\ Кількість невідомих =3.\ Існують нескінченні розв'язки, оскільки ранг A менший за кількість невідомих.

Вправа 26

Скільки розв'язків має наступна система рівнянь

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 6 & 7 \\ 6 & 10 & 13 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 18 \\ 30 \\ \end{bmatrix}? \nonumber

Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

РангA = 2\ Rank ofA|C = 2\ Число невідомих =3.\ Існують нескінченні розв'язки, оскільки ранг A менше числа невідомих.

Вправа 27

Будь-яким науковим методом знайдіть другий стовпець зворотного

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 13 \\ \end{bmatrix}. \nonumber

Відповідь

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 4 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 13 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X & a_{12}^{'} & X \\ X & a_{22}^{'} & X \\ X & a_{32}^{'} & X \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}

\begin{matrix} a_{12}^{'} + 2a_{22}^{'} = 0 \\ 4a_{12}^{'} + 5a_{22}^{'} = 1 \\ 13a_{32}^{'} = 0 \\ \end{matrix} \nonumber

Спрощення,

\begin{bmatrix} a_{12}^{'} \\ a_{22}^{'} \\ a_{32}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.667 \\ - 0.333 \\ 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Вправа 28

Просто випишіть зворотне (не потрібно показувати жодної роботи)

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Відповідь

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{4} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{5} \\ \end{bmatrix}

Вправа 29

Вирішити\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack B\rbrack для\lbrack X\rbrack\ якщо

\lbrack A\rbrack^{- 1} = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber

і

\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 7 \\ 2.5 \\ 6.012 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Відповідь

\begin{split} \lbrack X\rbrack = \lbrack A\rbrack - 1\lbrack B\rbrack\ &= \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 2 & 2 & 5 \\ 2 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7 \\ 2.5 \\ 6.012 \\ \end{bmatrix}\\ &=\begin{bmatrix} 52.5 \\ 49.06 \\ 50.072 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber

Вправа 30

\lbrack A\rbrack\ Дозволяти бути3 \times 3 матрицею. Припустимо

\lbrack X\rbrack = \begin{bmatrix} 7 \\ 2.5 \\ 6.012 \\ \end{bmatrix} \nonumber

є розв'язком однорідної множини рівнянь\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack 0\rbrack (права сторона - нульовий вектор порядку3 \times 1). Чи\lbrack A\rbrack має зворотний? Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

Враховується

\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack 0\rbrack
Якщо\lbrack A\rbrack^{- 1} існує, то
\lbrack A\rbrack^{- 1}\ \lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}\lbrack 0\rbrack
\lbrack I\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack 0\rbrack
\lbrack X\rbrack = \lbrack 0\rbrack
Це суперечить заданому значенню\lbrack X\rbrack. Значить,\lbrack A\rbrack^{- 1} не існує.

Вправа 31

Чи є множиною векторів

\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 25 \\ \end{bmatrix} \nonumber

лінійно незалежний? Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

Безліч векторів лінійно незалежні.

Вправа 32

Що таке ранг множини векторів

\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix}? \nonumber

Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

Оскільки3 вектори лінійно незалежні, як доведено вище, ранг 3 векторів є3.

Вправа 33

Що таке ранг

\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}? \nonumber

Обґрунтуйте свою відповідь.

Відповідь

За допомогою огляду,\overrightarrow{C} = \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}. Отже, вектори 3 лінійно залежні, а ранг менше 3. Лінійна комбінація\overrightarrow{A}\text{and}\ \overrightarrow{B}, тобтоK_{1}\overrightarrow{A} + K_{2}\overrightarrow{B} = 0 має тільки одне рішення K 1 = K 2 = 0. Тому ранг дорівнює 2.