4: Операції унарної матриці

Last updated
Save as PDF

Page ID: 105559

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Прочитавши цю главу, ви повинні мати можливість:

знати, що таке унарні операції,
знайти транспонування квадратної матриці та її зв'язок до симетричних матриць,
знайти слід матриці, і
знайти детермінант матриці методом кофактора.

Що таке транспонування матриці?

$\left\lbrack A \right\rbrack$Дозволяти бути$m \times n$ матрицею. Потім$\left\lbrack B \right\rbrack$ відбувається транспонування$\left\lbrack A \right\rbrack$ якщо$b_{ji} = a_{ij}$ для всіх$i$ і$j$. Тобто,$i^{th}$ рядок і елемент$j^{th}$ стовпця$\left\lbrack A \right\rbrack$ є$j^{th}$ рядком і$i^{th}$ стовпцем елемента$\left\lbrack B \right\rbrack$. Зверніть увагу,$\left\lbrack B \right\rbrack$ буде$n \times m$ матриця. Транспонування$\left\lbrack A \right\rbrack$ позначається символом$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}$.

Приклад 1

Знайдіть транспонування

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 25 & 20 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & 10 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 25 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 & 16 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 27 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

Транспонування$\left\lbrack A \right\rbrack$ є

\[\left\lbrack A \right\rbrack^{T} = \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} 25 \\ 20 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 \\ 2 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 5 \\ 10 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 15 \\ 25 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 6 \\ 16 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 7 \\ 27 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

Зверніть увагу, транспонування вектора рядка є вектором стовпця, а транспонування вектора стовпця є рядковим вектором.

Також зауважте, що транспонуванням транспонування матриці є сама матриця. Тобто,

\[\left( \left\lbrack A \right\rbrack^{T} \right)^{T} = \left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Крім того,

\[\left( \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \right)^{T} = \left\lbrack A \right\rbrack^{T} + \left\lbrack B \right\rbrack^{T};\ \left( {cA} \right)^{T} = cA^{T} \nonumber \]

Що таке симетрична матриця?

Квадратна матриця$\left\lbrack A \right\rbrack$ з дійсними елементами була$a_{ij} = a_{ji}$ за$i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n$ і$j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n$ називається симетричною матрицею. Це те ж саме, що говорити, що якщо$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack^{T}$, то$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}$ є симетричною матрицею.

Приклад 2

Наведіть приклад симетричної матриці

Рішення

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 21.2 & 3.2 & 6 \\ 3.2 & 21.5 & 8 \\ 6 & 8 & 9.3 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Являє собою симетричну матрицю як$a_{12} = a_{21} = 3.2,\ \ a_{13} = a_{31} = 6$ і$a_{13} = a_{31} = 8$.

Що таке косиметрична матриця?

$n \times n$Матриця є косою симетричною if$a_{ij} = - a_{ji}$, for$i = 1,\ \ldots\ ,\ n$ і$j = 1,\ \ldots\ ,\ n$. Це те ж саме, що

\[\left\lbrack A \right\rbrack = - \left\lbrack A \right\rbrack^{T} \nonumber \]

Приклад 3

Наведіть приклад кососиметричної матриці

Рішення

\[\begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ - 1 & 0 & - 5 \\ - 2 & 5 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Є косою симетричною матрицею як$a_{12} = - a_{21} = 1;\ \ a_{13} = - a_{31} = 2;\ a_{23} = - a_{32} = - 5$. Так як$a_{ii} = - a_{ii}$ тільки якщо$a_{ii} = 0$, всі діагональні елементи кососиметричної матриці повинні бути нульовими.

Що таке слід матриці?

Слідом$n \times n$ матриці$\left\lbrack A \right\rbrack$ є сумою діагональних записів$\left\lbrack A \right\rbrack$. Тобто

\[{tr}\left\lbrack A \right\rbrack = \sum_{i = 1}^{n}a_{ii} \nonumber \]

Приклад 4

Знайдіть слід:

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

\[\begin{split} {tr}\left\lbrack A \right\rbrack &= \sum_{i = 1}^{n}a_{ii}\\ &= 15 + \left( - 4 \right) + 6\\ &= 17 \end{split} \nonumber \]

Приклад 5

Продажі шин задаються маркою (рядами) та кварталами (стовпцями) для розташування магазину Blowout r'us$A$, як показано нижче

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

Де рядки представляють продажі шин Tirestone, Michigan та Copper, а стовпці представляють номери кварталів 1, 2, 3, 4.

Знайдіть загальну річну виручку магазину,$A$ якщо ціни на шини варіюються по кварталах наступним чином

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 33.25 \\ 40.19 \\ 25.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.01 \\ 38.02 \\ 22.02 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 35.02 \\ 41.03 \\ 27.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.05 \\ 38.23 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

Де рядки представляють вартість кожної шини, виготовленої Tirestone, Michigan та Copper, а стовпці представляють номери кварталів.

Рішення

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack^{T} \nonumber \]

Приклад 6

Місце розташування магазину Blowout r'us$A$ та продажі шин задаються маркою (у рядах) та чвертями (у стовпцях), як показано нижче

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack &= \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 33.25 \\ 40.19 \\ 25.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.01 \\ 38.02 \\ 22.02 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 35.02 \\ 41.03 \\ 27.03 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 30.05 \\ 38.23 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} 33.25 \\ 30.01 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 35.02 \\ 30.05 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 40.19 \\ 38.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 41.03 \\ 38.23 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 25.03 \\ 22.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 27.03 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\rbrack \end{split} \nonumber \]

Визнайте тепер, що якщо ми знайдемо$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack$, ми отримаємо

\[\begin{split} \left\lbrack D \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack\left\lbrack \begin{matrix} \begin{matrix} 33.25 \\ 30.01 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 35.02 \\ 30.05 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 40.19 \\ 38.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 41.03 \\ 38.23 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}\begin{matrix} \begin{matrix} 25.03 \\ 22.02 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 27.03 \\ 22.95 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} 1597 & 1965 & 1193 \\ 1743 & 2152 & 1325 \\ 1736 & 2169 & 1311 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Діагональні елементи дають продажі кожної марки шин на весь рік. Тобто

$d_{11} = \$ 1597$(Продаж вагонних каменів)

$d_{22} = \$ 2152$(Мічиган продажів)

$d_{33} = \$ 1597$(Продаж міді)

Загальний річний обсяг продажів всіх трьох марок шин становить

\[\begin{split} \sum_{i = 1}^{3}d_{ii} &= 1597 + 2152 + 1311\\ &= \text{\$} 5060 \end{split} \nonumber \]

І це слід матриці$\left\lbrack D \right\rbrack$.

Визначте детермінант матриці.

Визначником квадратної матриці є єдине унікальне дійсне число, відповідне матриці. Для$\left\lbrack A \right\rbrack$ матриці детермінант позначається$\left| A \right|$ або$\det\left( A \right)$. Тому не використовуйте$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left| A \right|$ взаємозамінні.

Для$2 \times 2$ матриці

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\det\left( A \right) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \nonumber \]

Як обчислити детермінант будь-якої квадратної матриці?

$\left\lbrack A \right\rbrack$Дозволяти бути$n \times n$ матрицею. Мінор запису$a_{ij}$ позначається$M_{ij}$ і визначається як визначник$\left( n - 1 \right) \times \left( n - 1 \right)$ підматриці$\left\lbrack A \right\rbrack$, де підматриця отримується шляхом видалення$i^{th}$ рядка і$j^{th}$ стовпця матриця$\left\lbrack A \right\rbrack$. Потім детермінант задається

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}}{\ for\ any\ }i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

або

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}}{\ for\ any\ }j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

Поєднайте це з$\det\left( A \right) = a_{11}$$1 \times 1$ матрицею$\left\lbrack A \right\rbrack$, ми завжди можемо зменшити детермінант матриці до детермінант$1 \times 1$ матриць. Число$\left( - 1 \right)^{i + j}M_{ij}$ називається кофактором$a_{ij}$ і позначається символом$c_{ij}$. Формулу для детермінанти потім можна записати як

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{n}{a_{ij}C_{ij}}{\ for\ any\ }i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

або

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{a_{ij}C_{ij}}{\ for\ any\ }j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber \]

Детермінанти, як правило, не обчислюються за допомогою цього методу, оскільки він стає обчислювально-інтенсивним для великих матриць. Для$n \times n$ матриці потрібні арифметичні операції пропорційні$n!$.

Приклад 6

Знайдіть детермінант

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

Спосіб 1:

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}{\ \ for\ \ any\ \ }i = 1,\ \ 2,\ \ 3} \nonumber \]

Вибираємо$i = 1$ в формулі

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= \sum_{j = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{1 + j}a_{1j}M_{1j}}\\ &= \left( - 1 \right)^{1 + 1}a_{11}M_{11} + \left( - 1 \right)^{1 + 2}a_{12}M_{12} + \left( - 1 \right)^{1 + 3}a_{13}^{\ }\ M_{13}\\ &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{11} &= \left| \begin{matrix} 8 & 1 \\ 12 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 4 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{12} &= \left| \begin{matrix} 64 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{13} &= \left| \begin{matrix} 64 & 8 \\ 144 & 12 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 384 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} det(A) &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}\\ &= 25\left( - 4 \right) - 5\left( - 80 \right) + 1\left( - 384 \right)\\ &= - 100 + 400 - 384\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Також для того$i = 1$,

\[\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{3}{a_{1j}C_{1j}} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{11} &= \left( - 1 \right)^{1 + 1}M_{11}\\ &= M_{11}\\ &= - 4 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{12} &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}M_{12}\\ &= - M_{12}\\ &= 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{13} &= \left( - 1 \right)^{1 + 3}M_{13}\\ &= M_{13}\\ &= - 384 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31}\\ &= (25)\left( - 4 \right) + (5)\left( 80 \right) + (1)\left( - 384 \right)\\ &= - 100 + 400 - 384\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Спосіб 2:

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}} \ for\ any\ j = 1,\ 2,\ 3 \nonumber \]

Вибираємо$j = 2$ в формулі

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= \sum_{i = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + 2}a_{i2}M_{i2}}\\ &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}a_{12}M_{12} + \left( - 1 \right)^{2 + 2}a_{22}M_{22} + \left( - 1 \right)^{3 + 2}a_{32}M_{32}\\ &= - a_{12}M_{12} + a_{22}M_{22} - a_{32}M_{32} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{12} &= \left| \begin{matrix} 64 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{22} &= \left| \begin{matrix} 25 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 119 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} M_{32} &= \left| \begin{matrix} 25 & 1 \\ 64 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 39 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} det(A) &= - a_{12}M_{12} + a_{22}M_{22} - a_{32}M_{32}\\ &= - 5( - 80) + 8( - 119) - 12( - 39)\\ &= 400 - 952 + 468\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

З точки зору кофакторів для$j = 2$,

\[\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{3}{a_{i2}C_{i2}} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{12} &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}M_{12}\\ &= - M_{12}\\ &= 80 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{22} &= \left( - 1 \right)^{2 + 2}M_{22}\\ &= M_{22}\\ &= - 119 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} C_{32} &= \left( - 1 \right)^{3 + 2}M_{32}\\ &= - M_{32}\\ &= 39 \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}\\ &= (5)\left( 80 \right) + (8)\left( - 119 \right) + (12)\left( 39 \right)\\ &= 400 - 952 + 468\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Чи існує зв'язок між det (AB), і det (A) і det (B)?

Так, якщо$\lbrack A\rbrack$ і$\lbrack B\rbrack$ квадратні матриці однакового розміру, то

\[det({AB}) = det(A)det(B) \nonumber \]

Чи існують інші теореми, які важливі для пошуку визначника квадратної матриці?

Теорема 1: Якщо рядок або стовпчик в$n \times n$ матриці$\lbrack A\rbrack$ дорівнює нулю, то$det(A) = 0$.

Теорема 2:$\lbrack A\rbrack$ Дозволяти бути$n \times n$ матрицею. Якщо ряд пропорційний іншому ряду, то$det(A) = 0$.

Теорема 3:$\lbrack A\rbrack$ Дозволяти бути$n \times n$ матрицею. Якщо стовпчик пропорційний іншому стовпцю, то$det(A) = 0$.

Теорема 4:$\lbrack A\rbrack$ Дозволяти бути$n \times n$ матрицею. Якщо стовпчик або рядок множиться на,$k$ щоб отримати матрицю$k$, то$det(B) = kdet(A)$.

Теорема 5:$\lbrack A\rbrack$ Дозволяти бути$n \times n$ верхня або нижня трикутна матриця, то$det(A) = \overset{n}{\underset{i = 1}{\Pi}}a_{ii}$.

Приклад 7

Що таке детермінант

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 7 & 4 \\ 0 & 4 & 9 & 5 \\ 0 & 5 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

Оскільки один із стовпців (перший стовпець у наведеному вище прикладі$\lbrack A\rbrack$) дорівнює нулю,$det(A) = 0$.

Приклад 8

Що таке детермінант

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 2 & 10 \\ 9 & 5 & 3 & 18 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

$det(A)$дорівнює нулю, тому що четвертий стовпець

\[\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 10 \\ 18 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

в 2 рази більше першого стовпця

\[\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Приклад 9

Якщо визначник

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

є$- 84$, то що є визначальним фактором

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 10.5 & 1 \\ 64 & 16.8 & 1 \\ 144 & 25.2 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

Оскільки другий стовпець в$\lbrack B\rbrack$ 2,1 рази перевищує другий стовпець$\lbrack A\rbrack$

\[det(B) = 2.1det(A) \nonumber \]

\[= (2.1)( - 84) \nonumber \]

\[= - 176.4 \nonumber \]

приклад 10

З огляду на детермінанту

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

є$- 84$, що є детермінантою

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

Так як просто$\lbrack B\rbrack$ виходить, віднімаючи другий ряд$\lbrack A\rbrack$ на 2,56 рази перший ряд$\lbrack A\rbrack$,

\[\begin{split} det(B) &= det(A)\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Приклад 11

Що таке детермінант

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

Так як$\lbrack A\rbrack$ являє собою верхню трикутну матрицю

\[\begin{split} \det\left( A \right) &= \prod_{i = 1}^{3}a_{ii}\\ &= a_{11} \times a_{22} \times a_{33}\\ &= 25 \times ( - 4.8) \times 0.7\\ &= - 84 \end{split} \nonumber \]

Унарна матриця операцій Вікторина

Вікторина 1

Якщо визначник$4 \times 4$ матриці задається як 20, то визначник 5 дорівнює

(А)$100$

(Б)$12500$

(С)$25$

(D)$62500$

Вікторина 2

Якщо матричний$\left\lbrack A \right\rbrack\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack$ добуток визначено, то$\left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \right)^{T}$ є

(А)$\left\lbrack C \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack A \right\rbrack^{T}$

(Б)$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack C \right\rbrack^{T}$

(С)$\left\lbrack A \right\rbrack\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack^{T}$

(D)$\left\lbrack A \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack$

Вікторина 3

Слід матриці

\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & - 7 \\ 9 & - 11 & 13 \\ - 17 & 19 & 23 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

(А)$17$

(Б)$39$

(С)$40$

(D)$110$

Вікторина 4

Квадратна$n \times n$$\left\lbrack A \right\rbrack$ матриця симетрична, якщо

(A)$a_{ij} = a_{ji},\ i = j$ для всіх$i,j$

(B)$a_{ij} = a_{ji},\ i \neq j$ для всіх$i,j$

(C)$a_{ij} = - a_{ji},\ i = j$ для всіх$i,j$

(D)$a_{ij} = - a_{ji},\ i \neq j$ для всіх$i,j$

Вікторина 5

Визначник матриці

$\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 8 \\ 0 & 9 & a \\ \end{bmatrix}$

становить 50. Значення a тоді

(А)$0.6667$

(Б)$24.67$

(С)$-23.33$

(D)$5.556$

Вікторина 6

$\left\lbrack A \right\rbrack$являє собою$5 \times 5$ матрицю, а матриця$\left\lbrack B \right\rbrack$ отримується за$Row\ 1$ допомогою рядкових операцій заміни на$Row\ 3$, а потім$Row\ 3$ замінюється лінійною комбінацією$2 \times Row\ 3 + 4 \times Row\ 2$. Якщо$\det\left( A \right) = 17$,$\det\left( B \right)$ то дорівнює

(А)$12$

(Б)$-34$

(С)$-112$

(D)$112$

Унарні матричні операції вправа

Вправа 1

Нехай

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 3 & 6 \\ 7 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$.

Знайти$\lbrack A\rbrack^{T}$

Відповідь: $\begin{bmatrix} 25 & 7 \\ 3 & 9 \\ 6 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Вправа 2

Якщо$\lbrack A\rbrack$ і$\lbrack B\rbrack$ є двома$n \times n$ симетричними матрицями, покажіть,$\lbrack A\rbrack + \lbrack B\rbrack$ що також симетрично. Підказка: Нехай$\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack$

Відповідь

$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$для всіх i, j.

$c_{ji} = a_{ji} + b_{ji}$для всіх i, j.
$c_{ji} = a_{ij} + b_{ij}$як$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ симетричні

Звідси$c_{ji} = c_{ij}.$

Вправа 3

Наведіть приклад$4 \times 4$ симетричної матриці.

Вправа 4

Наведіть приклад$4 \times 4$ кососиметричної матриці.

Вправа 5

У чому слід

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 7 & 2 & 3 & 4 \\ - 5 & - 5 & - 5 & - 5 \\ 6 & 6 & 7 & 9 \\ - 5 & 2 & 3 & 10 \\ \end{bmatrix}$
Для

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Знайти детермінант$\lbrack A\rbrack$ використання кофакторного методу.

Відповідь: а)$19$
б)$- 150.05$

Вправа 6

$det(3\lbrack A\rbrack)$$n \times n$матриці є

$3det(A)$
3$det(A)$
$3^{n}det(A)$
$9det(A)$

Відповідь: C

Вправа 7

Для$5 \times 5$$\lbrack A\rbrack$ матриці перший рядок міняється п'ятим рядком, визначник отриманої матриці$\lbrack B\rbrack$ дорівнює

$det(A)$
$- det(A)$
$5det(A)$
$2det(A)$

Відповідь: A

Вправа 8

$\det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$є

$0$
$1$
$-1$
$\infty$

Відповідь: C

Вправа 9

Не використовуючи кофакторний метод знаходження детермінант, знайти детермінант

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: $0$: Чи можете ви відповісти чому?

Вправа 10

Не використовуючи кофакторний метод знаходження детермінант, знайти детермінант

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 2 & 3 \\ 6.6 & 7.7 & 2.2 & 3.3 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: $0$: Чи можете ви відповісти чому?

Вправа 11

Не використовуючи кофакторний метод знаходження детермінант, знайти детермінант

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: $5 \times 3 \times 6 \times 9 = 810$: Чи можете ви відповісти чому?

Вправа 12

З огляду на матрицю

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$det(A) = - 32400$

знайти детермінант

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1141 & 81 & 9 & - 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 1 & 5 \\ 512 & 64 & 1 & 8 \\ 1157 & 89 & 1 & 13 \\ 8 & 4 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ \end{bmatrix}$
$\left\lbrack D \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 16 & 8 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: А) -32400 Б) 32400 В) 32400 Г) -32400 Д) -64800

Вправа 13

Що таке транспонування

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 & 2 \\ 5 & 10 & 15 & 25 \\ 6 & 16 & 7 & 27 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: $\left\lbrack A \right\rbrack^{T} = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 6 \\ 20 & 10 & 16 \\ 3 & 15 & 7 \\ 2 & 25 & 27 \\ \end{bmatrix}$

Вправа 14

Які значення відсутніх чисел зроблять цю матрицю кососиметричною?

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 3 & ? \\ ? & 0 & ? \\ 21 & ? & 0 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: $\begin{bmatrix} 0 & 3 & - 21 \\ - 3 & 0 & 4 \\ 21 & - 4 & 0 \\ \end{bmatrix}$

Вправа 15

Які значення відсутнього числа зроблять цю матрицю симетричною?

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 3 & ? \\ ? & 6 & 7 \\ 21 & ? & 5 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 21 \\ 3 & 6 & 7 \\ 21 & 7 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Вправа 16

Знайдіть детермінант
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 5 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: Визначник$\left\lbrack A \right\rbrack$ є,\[25\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 12 & 5 \\ \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 64 & 1 \\ 144 & 5 \\ \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 64 & 8 \\ 144 & 12 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]\[\begin{split} &=25(28) - 5(176) + 1( - 384)\\ &= -564 \end{split} \nonumber \]

Вправа 17

Що таке детермінант верхньої трикутної матриці$\lbrack A\rbrack$, яка має порядок$n \times n$?

Відповідь: Визначником верхньої трикутної матриці є добуток її діагональних елементів,$\prod_{i = 1}^{n}a_{ii}$

Вправа 18

З огляду на детермінанту

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & a \\ \end{bmatrix}$

є$- 564$, знайти$a$.

Відповідь

$det(A) = - 120a + 36$

$120a + 36 = 564$

$a = 5$

Вправа 19

Чому детермінант наступної матриці дорівнює нулю?
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: Перший рядок матриці дорівнює нулю, отже, визначник матриці дорівнює нулю.

Вправа 20

Чому детермінант наступної матриці дорівнює нулю?
$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 2 & 3 \\ 6.6 & 7.7 & 2.2 & 3.3 \\ \end{bmatrix}$

Відповідь: Рядок 4 матриці в 1,1 рази Рядок 3. Значить, його детермінанта дорівнює нулю.

Вправа 21

Показати, що якщо$\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack = \lbrack I\rbrack$, де$\lbrack A\rbrack\ $,$\ \lbrack B\rbrack$ і$\lbrack I\rbrack$ є матрицями$n \times n$ розміру і$\lbrack I\rbrack$ є тототожною матрицею, то$det(A) \neq 0$ і$det(B) \neq 0$.

Відповідь

Ми це знаємо$det(AB) = det(A)det(B)$.

\[[A][B] = [I] \nonumber \]\[det(AB) = det(I) \nonumber \]

\[det(I) = \prod_{i = 1}^{n}{a_{ii} = \prod_{i = 1}^{n}1} = 1 \nonumber \]\[det(A)det(B) = 1 \nonumber \]

Тому,

$det(A) \neq 0$і

$det(B) \neq 0$.