Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

4: Операції унарної матриці

Цілі навчання

Прочитавши цю главу, ви повинні мати можливість:

  1. знати, що таке унарні операції,
  2. знайти транспонування квадратної матриці та її зв'язок до симетричних матриць,
  3. знайти слід матриці, і
  4. знайти детермінант матриці методом кофактора.

Що таке транспонування матриці?

[A]Дозволяти бутиm×n матрицею. Потім[B] відбувається транспонування[A] якщоbji=aij для всіхi іj. Тобто,ith рядок і елементjth стовпця[A] єjth рядком іith стовпцем елемента[B]. Зверніть увагу,[B] будеn×m матриця. Транспонування[A] позначається символом[A]T.

Приклад 1

Знайдіть транспонування

[A]=[2520325101525616727]

Рішення

Транспонування[A] є

[A]T=[2520325101525616727]

Зверніть увагу, транспонування вектора рядка є вектором стовпця, а транспонування вектора стовпця є рядковим вектором.

Також зауважте, що транспонуванням транспонування матриці є сама матриця. Тобто,

([A]T)T=[A]

Крім того,

([A]+[B])T=[A]T+[B]T; (cA)T=cAT

Що таке симетрична матриця?

Квадратна матриця[A] з дійсними елементами булаaij=aji заi=1, 2,  , n іj=1, 2,  , n називається симетричною матрицею. Це те ж саме, що говорити, що якщо[A]=[A]T, то[A]T є симетричною матрицею.

Приклад 2

Наведіть приклад симетричної матриці

Рішення

[A]=[21.23.263.221.58689.3]

Являє собою симетричну матрицю якa12=a21=3.2,  a13=a31=6 іa13=a31=8.

Що таке косиметрична матриця?

n×nМатриця є косою симетричною ifaij=aji, fori=1,  , n іj=1,  , n. Це те ж саме, що

[A]=[A]T

Приклад 3

Наведіть приклад кососиметричної матриці

Рішення

[012105250]

Є косою симетричною матрицею якa12=a21=1;  a13=a31=2; a23=a32=5. Так якaii=aii тільки якщоaii=0, всі діагональні елементи кососиметричної матриці повинні бути нульовими.

Що таке слід матриці?

Слідомn×n матриці[A] є сумою діагональних записів[A]. Тобто

tr[A]=ni=1aii

Приклад 4

Знайдіть слід:

[A]=[1567242326]

Рішення

tr[A]=ni=1aii=15+(4)+6=17

Приклад 5

Продажі шин задаються маркою (рядами) та кварталами (стовпцями) для розташування магазину Blowout r'usA, як показано нижче

[A]=[2556201016315722527]

Де рядки представляють продажі шин Tirestone, Michigan та Copper, а стовпці представляють номери кварталів 1, 2, 3, 4.

Знайдіть загальну річну виручку магазину,A якщо ціни на шини варіюються по кварталах наступним чином

[B]=[33.2540.1925.0330.0138.0222.0235.0241.0327.0330.0538.2322.95]

Де рядки представляють вартість кожної шини, виготовленої Tirestone, Michigan та Copper, а стовпці представляють номери кварталів.

Рішення

[C]=[B]T

Приклад 6

Місце розташування магазину Blowout r'usA та продажі шин задаються маркою (у рядах) та чвертями (у стовпцях), як показано нижче

[A]=[2556201016315722527]=[33.2540.1925.0330.0138.0222.0235.0241.0327.0330.0538.2322.95]=[33.2530.0135.0230.0540.1938.0241.0338.2325.0322.0227.0322.95]

Визнайте тепер, що якщо ми знайдемо[A][C], ми отримаємо

[D]=[A][C]=[2556201016315722527][33.2530.0135.0230.0540.1938.0241.0338.2325.0322.0227.0322.95]=[159719651193174321521325173621691311]

Діагональні елементи дають продажі кожної марки шин на весь рік. Тобто

d11=$1597(Продаж вагонних каменів)

d22=$2152(Мічиган продажів)

d33=$1597(Продаж міді)

Загальний річний обсяг продажів всіх трьох марок шин становить

3i=1dii=1597+2152+1311=$5060

І це слід матриці[D].

Визначте детермінант матриці.

Визначником квадратної матриці є єдине унікальне дійсне число, відповідне матриці. Для[A] матриці детермінант позначається|A| абоdet. Тому не використовуйте\left\lbrack A \right\rbrack і\left| A \right| взаємозамінні.

Для2 \times 2 матриці

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{bmatrix} \nonumber

\det\left( A \right) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \nonumber

Як обчислити детермінант будь-якої квадратної матриці?

\left\lbrack A \right\rbrackДозволяти бутиn \times n матрицею. Мінор записуa_{ij} позначаєтьсяM_{ij} і визначається як визначник\left( n - 1 \right) \times \left( n - 1 \right) підматриці\left\lbrack A \right\rbrack, де підматриця отримується шляхом видаленняi^{th} рядка іj^{th} стовпця матриця\left\lbrack A \right\rbrack. Потім детермінант задається

\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}}{\ for\ any\ }i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber

або

\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}}{\ for\ any\ }j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber

Поєднайте це з\det\left( A \right) = a_{11}1 \times 1 матрицею\left\lbrack A \right\rbrack, ми завжди можемо зменшити детермінант матриці до детермінант1 \times 1 матриць. Число\left( - 1 \right)^{i + j}M_{ij} називається кофакторомa_{ij} і позначається символомc_{ij}. Формулу для детермінанти потім можна записати як

\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{n}{a_{ij}C_{ij}}{\ for\ any\ }i = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber

або

\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{n}{a_{ij}C_{ij}}{\ for\ any\ }j = 1,\ 2,\ \ldots\ ,\ n \nonumber

Детермінанти, як правило, не обчислюються за допомогою цього методу, оскільки він стає обчислювально-інтенсивним для великих матриць. Дляn \times n матриці потрібні арифметичні операції пропорційніn!.

Приклад 6

Знайдіть детермінант

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

Спосіб 1:

\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}{\ \ for\ \ any\ \ }i = 1,\ \ 2,\ \ 3} \nonumber

Вибираємоi = 1 в формулі

\begin{split} \det\left( A \right) &= \sum_{j = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{1 + j}a_{1j}M_{1j}}\\ &= \left( - 1 \right)^{1 + 1}a_{11}M_{11} + \left( - 1 \right)^{1 + 2}a_{12}M_{12} + \left( - 1 \right)^{1 + 3}a_{13}^{\ }\ M_{13}\\ &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13} \end{split} \nonumber

\begin{split} M_{11} &= \left| \begin{matrix} 8 & 1 \\ 12 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 4 \end{split} \nonumber

\begin{split} M_{12} &= \left| \begin{matrix} 64 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 80 \end{split} \nonumber

\begin{split} M_{13} &= \left| \begin{matrix} 64 & 8 \\ 144 & 12 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 384 \end{split} \nonumber

\begin{split} det(A) &= a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}\\ &= 25\left( - 4 \right) - 5\left( - 80 \right) + 1\left( - 384 \right)\\ &= - 100 + 400 - 384\\ &= - 84 \end{split} \nonumber

Також для тогоi = 1,

\det\left( A \right) = \sum_{j = 1}^{3}{a_{1j}C_{1j}} \nonumber

\begin{split} C_{11} &= \left( - 1 \right)^{1 + 1}M_{11}\\ &= M_{11}\\ &= - 4 \end{split} \nonumber

\begin{split} C_{12} &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}M_{12}\\ &= - M_{12}\\ &= 80 \end{split} \nonumber

\begin{split} C_{13} &= \left( - 1 \right)^{1 + 3}M_{13}\\ &= M_{13}\\ &= - 384 \end{split} \nonumber

\begin{split} \det\left( A \right) &= a_{11}C_{11} + a_{21}C_{21} + a_{31}C_{31}\\ &= (25)\left( - 4 \right) + (5)\left( 80 \right) + (1)\left( - 384 \right)\\ &= - 100 + 400 - 384\\ &= - 84 \end{split} \nonumber

Спосіб 2:

\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + j}a_{ij}M_{ij}} \ for\ any\ j = 1,\ 2,\ 3 \nonumber

Вибираємоj = 2 в формулі

\begin{split} \det\left( A \right) &= \sum_{i = 1}^{3}{\left( - 1 \right)^{i + 2}a_{i2}M_{i2}}\\ &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}a_{12}M_{12} + \left( - 1 \right)^{2 + 2}a_{22}M_{22} + \left( - 1 \right)^{3 + 2}a_{32}M_{32}\\ &= - a_{12}M_{12} + a_{22}M_{22} - a_{32}M_{32} \end{split} \nonumber

\begin{split} M_{12} &= \left| \begin{matrix} 64 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 80 \end{split} \nonumber

\begin{split} M_{22} &= \left| \begin{matrix} 25 & 1 \\ 144 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 119 \end{split} \nonumber

\begin{split} M_{32} &= \left| \begin{matrix} 25 & 1 \\ 64 & 1 \\ \end{matrix} \right|\\ &= - 39 \end{split} \nonumber

\begin{split} det(A) &= - a_{12}M_{12} + a_{22}M_{22} - a_{32}M_{32}\\ &= - 5( - 80) + 8( - 119) - 12( - 39)\\ &= 400 - 952 + 468\\ &= - 84 \end{split} \nonumber

З точки зору кофакторів дляj = 2,

\det\left( A \right) = \sum_{i = 1}^{3}{a_{i2}C_{i2}} \nonumber

\begin{split} C_{12} &= \left( - 1 \right)^{1 + 2}M_{12}\\ &= - M_{12}\\ &= 80 \end{split} \nonumber

\begin{split} C_{22} &= \left( - 1 \right)^{2 + 2}M_{22}\\ &= M_{22}\\ &= - 119 \end{split} \nonumber

\begin{split} C_{32} &= \left( - 1 \right)^{3 + 2}M_{32}\\ &= - M_{32}\\ &= 39 \end{split} \nonumber

\begin{split} \det\left( A \right) &= a_{12}C_{12} + a_{22}C_{22} + a_{32}C_{32}\\ &= (5)\left( 80 \right) + (8)\left( - 119 \right) + (12)\left( 39 \right)\\ &= 400 - 952 + 468\\ &= - 84 \end{split} \nonumber

Чи існує зв'язок між det (AB), і det (A) і det (B)?

Так, якщо\lbrack A\rbrack і\lbrack B\rbrack квадратні матриці однакового розміру, то

det({AB}) = det(A)det(B) \nonumber

Чи існують інші теореми, які важливі для пошуку визначника квадратної матриці?

Теорема 1: Якщо рядок або стовпчик вn \times n матриці\lbrack A\rbrack дорівнює нулю, тоdet(A) = 0.

Теорема 2:\lbrack A\rbrack Дозволяти бутиn \times n матрицею. Якщо ряд пропорційний іншому ряду, тоdet(A) = 0.

Теорема 3:\lbrack A\rbrack Дозволяти бутиn \times n матрицею. Якщо стовпчик пропорційний іншому стовпцю, тоdet(A) = 0.

Теорема 4:\lbrack A\rbrack Дозволяти бутиn \times n матрицею. Якщо стовпчик або рядок множиться на,k щоб отримати матрицюk, тоdet(B) = kdet(A).

Теорема 5:\lbrack A\rbrack Дозволяти бутиn \times n верхня або нижня трикутна матриця, тоdet(A) = \overset{n}{\underset{i = 1}{\Pi}}a_{ii}.

Приклад 7

Що таке детермінант

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 6 & 3 \\ 0 & 3 & 7 & 4 \\ 0 & 4 & 9 & 5 \\ 0 & 5 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

Оскільки один із стовпців (перший стовпець у наведеному вище прикладі\lbrack A\rbrack) дорівнює нулю,det(A) = 0.

Приклад 8

Що таке детермінант

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 6 & 4 \\ 3 & 2 & 7 & 6 \\ 5 & 4 & 2 & 10 \\ 9 & 5 & 3 & 18 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

det(A)дорівнює нулю, тому що четвертий стовпець

\begin{bmatrix} 4 \\ 6 \\ 10 \\ 18 \\ \end{bmatrix} \nonumber

в 2 рази більше першого стовпця

\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Приклад 9

Якщо визначник

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

є- 84, то що є визначальним фактором

\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 10.5 & 1 \\ 64 & 16.8 & 1 \\ 144 & 25.2 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

Оскільки другий стовпець в\lbrack B\rbrack 2,1 рази перевищує другий стовпець\lbrack A\rbrack

det(B) = 2.1det(A) \nonumber

= (2.1)( - 84) \nonumber

= - 176.4 \nonumber

приклад 10

З огляду на детермінанту

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

є- 84, що є детермінантою

\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

Так як просто\lbrack B\rbrack виходить, віднімаючи другий ряд\lbrack A\rbrack на 2,56 рази перший ряд\lbrack A\rbrack,

\begin{split} det(B) &= det(A)\\ &= - 84 \end{split} \nonumber

Приклад 11

Що таке детермінант

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix} \nonumber

Рішення

Так як\lbrack A\rbrack являє собою верхню трикутну матрицю

\begin{split} \det\left( A \right) &= \prod_{i = 1}^{3}a_{ii}\\ &= a_{11} \times a_{22} \times a_{33}\\ &= 25 \times ( - 4.8) \times 0.7\\ &= - 84 \end{split} \nonumber

Унарна матриця операцій Вікторина

Вікторина 1

Якщо визначник4 \times 4 матриці задається як 20, то визначник 5 дорівнює

(А)100

(Б)12500

(С)25

(D)62500

Вікторина 2

Якщо матричний\left\lbrack A \right\rbrack\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack добуток визначено, то\left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \right)^{T} є

(А)\left\lbrack C \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack A \right\rbrack^{T}

(Б)\left\lbrack A \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack C \right\rbrack^{T}

(С)\left\lbrack A \right\rbrack\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack^{T}

(D)\left\lbrack A \right\rbrack^{T}\ \left\lbrack B \right\rbrack\ \left\lbrack C \right\rbrack

Вікторина 3

Слід матриці

\begin{bmatrix} 5 & 6 & - 7 \\ 9 & - 11 & 13 \\ - 17 & 19 & 23 \\ \end{bmatrix} \nonumber

є

(А)17

(Б)39

(С)40

(D)110

Вікторина 4

Квадратнаn \times n\left\lbrack A \right\rbrack матриця симетрична, якщо

(A)a_{ij} = a_{ji},\ i = j для всіхi,j

(B)a_{ij} = a_{ji},\ i \neq j для всіхi,j

(C)a_{ij} = - a_{ji},\ i = j для всіхi,j

(D)a_{ij} = - a_{ji},\ i \neq j для всіхi,j

Вікторина 5

Визначник матриці

\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & 3 & 8 \\ 0 & 9 & a \\ \end{bmatrix}

становить 50. Значення a тоді

(А)0.6667

(Б)24.67

(С)-23.33

(D)5.556

Вікторина 6

\left\lbrack A \right\rbrackявляє собою5 \times 5 матрицю, а матриця\left\lbrack B \right\rbrack отримується заRow\ 1 допомогою рядкових операцій заміни наRow\ 3, а потімRow\ 3 замінюється лінійною комбінацією2 \times Row\ 3 + 4 \times Row\ 2. Якщо\det\left( A \right) = 17,\det\left( B \right) то дорівнює

(А)12

(Б)-34

(С)-112

(D)112

Унарні матричні операції вправа

Вправа 1

Нехай

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 3 & 6 \\ 7 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}.

Знайти\lbrack A\rbrack^{T}

Відповідь

\begin{bmatrix} 25 & 7 \\ 3 & 9 \\ 6 & 2 \\ \end{bmatrix}

Вправа 2

Якщо\lbrack A\rbrack і\lbrack B\rbrack є двомаn \times n симетричними матрицями, покажіть,\lbrack A\rbrack + \lbrack B\rbrack що також симетрично. Підказка: Нехай\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack

Відповідь

c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}для всіх i, j.

і

c_{ji} = a_{ji} + b_{ji}для всіх i, j.
c_{ji} = a_{ij} + b_{ij}як\left\lbrack A \right\rbrack і\left\lbrack B \right\rbrack симетричні

Звідсиc_{ji} = c_{ij}.

Вправа 3

Наведіть приклад4 \times 4 симетричної матриці.

Вправа 4

Наведіть приклад4 \times 4 кососиметричної матриці.

Вправа 5

У чому слід

  1. \left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 7 & 2 & 3 & 4 \\ - 5 & - 5 & - 5 & - 5 \\ 6 & 6 & 7 & 9 \\ - 5 & 2 & 3 & 10 \\ \end{bmatrix}
  2. Для

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix}

Знайти детермінант\lbrack A\rbrack використання кофакторного методу.

Відповідь

а)19
б)- 150.05

Вправа 6

det(3\lbrack A\rbrack)n \times nматриці є

  1. 3det(A)
  2. 3det(A)
  3. 3^{n}det(A)
  4. 9det(A)
Відповідь

C

Вправа 7

Для5 \times 5\lbrack A\rbrack матриці перший рядок міняється п'ятим рядком, визначник отриманої матриці\lbrack B\rbrack дорівнює

  1. det(A)
  2. - det(A)
  3. 5det(A)
  4. 2det(A)
Відповідь

A

Вправа 8

\det\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}є

  1. 0
  2. 1
  3. -1
  4. \infty
Відповідь

C

Вправа 9

Не використовуючи кофакторний метод знаходження детермінант, знайти детермінант

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

0: Чи можете ви відповісти чому?

Вправа 10

Не використовуючи кофакторний метод знаходження детермінант, знайти детермінант

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 2 & 3 \\ 6.6 & 7.7 & 2.2 & 3.3 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

0: Чи можете ви відповісти чому?

Вправа 11

Не використовуючи кофакторний метод знаходження детермінант, знайти детермінант

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 6 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 9 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

5 \times 3 \times 6 \times 9 = 810: Чи можете ви відповісти чому?

Вправа 12

З огляду на матрицю

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}

і

det(A) = - 32400

знайти детермінант

  1. \left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1141 & 81 & 9 & - 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}
  2. \left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 1 & 5 \\ 512 & 64 & 1 & 8 \\ 1157 & 89 & 1 & 13 \\ 8 & 4 & 1 & 2 \\ \end{bmatrix}
  3. \left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}
  4. \left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 8 & 4 & 2 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ \end{bmatrix}
  5. \left\lbrack D \right\rbrack = \begin{bmatrix} 125 & 25 & 5 & 1 \\ 512 & 64 & 8 & 1 \\ 1157 & 89 & 13 & 1 \\ 16 & 8 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix}
Відповідь

А) -32400 Б) 32400 В) 32400 Г) -32400 Д) -64800

Вправа 13

Що таке транспонування

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 & 2 \\ 5 & 10 & 15 & 25 \\ 6 & 16 & 7 & 27 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

\left\lbrack A \right\rbrack^{T} = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 6 \\ 20 & 10 & 16 \\ 3 & 15 & 7 \\ 2 & 25 & 27 \\ \end{bmatrix}

Вправа 14

Які значення відсутніх чисел зроблять цю матрицю кососиметричною?

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 3 & ? \\ ? & 0 & ? \\ 21 & ? & 0 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

\begin{bmatrix} 0 & 3 & - 21 \\ - 3 & 0 & 4 \\ 21 & - 4 & 0 \\ \end{bmatrix}

Вправа 15

Які значення відсутнього числа зроблять цю матрицю симетричною?

\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 3 & ? \\ ? & 6 & 7 \\ 21 & ? & 5 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

\begin{bmatrix} 2 & 3 & 21 \\ 3 & 6 & 7 \\ 21 & 7 & 5 \\ \end{bmatrix}

Вправа 16

Знайдіть детермінант
\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 5 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

Визначник\left\lbrack A \right\rbrack є,25\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ 12 & 5 \\ \end{bmatrix} - 5\begin{bmatrix} 64 & 1 \\ 144 & 5 \\ \end{bmatrix} + 1\begin{bmatrix} 64 & 8 \\ 144 & 12 \\ \end{bmatrix} \nonumber \begin{split} &=25(28) - 5(176) + 1( - 384)\\ &= -564 \end{split} \nonumber

Вправа 17

Що таке детермінант верхньої трикутної матриці\lbrack A\rbrack, яка має порядокn \times n?

Відповідь

Визначником верхньої трикутної матриці є добуток її діагональних елементів,\prod_{i = 1}^{n}a_{ii}

Вправа 18

З огляду на детермінанту

\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & a \\ \end{bmatrix}

є- 564, знайтиa.

Відповідь

 

det(A) = - 120a + 36

120a + 36 = 564

a = 5

Вправа 19

Чому детермінант наступної матриці дорівнює нулю?
\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 5 \\ 6 & 9 & 2 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

Перший рядок матриці дорівнює нулю, отже, визначник матриці дорівнює нулю.

Вправа 20

Чому детермінант наступної матриці дорівнює нулю?
\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 2 & 3 \\ 6.6 & 7.7 & 2.2 & 3.3 \\ \end{bmatrix}

Відповідь

Рядок 4 матриці в 1,1 рази Рядок 3. Значить, його детермінанта дорівнює нулю.

Вправа 21

Показати, що якщо\lbrack A\rbrack\ \lbrack B\rbrack = \lbrack I\rbrack, де\lbrack A\rbrack\ ,\ \lbrack B\rbrack і\lbrack I\rbrack є матрицямиn \times n розміру і\lbrack I\rbrack є тототожною матрицею, тоdet(A) \neq 0 іdet(B) \neq 0.

Відповідь

Ми це знаємоdet(AB) = det(A)det(B).

[A][B] = [I] \nonumber det(AB) = det(I) \nonumber

det(I) = \prod_{i = 1}^{n}{a_{ii} = \prod_{i = 1}^{n}1} = 1 \nonumber det(A)det(B) = 1 \nonumber

Тому,

det(A) \neq 0і

det(B) \neq 0.