6: Метод гаусової елімінації для вирішення одночасних лінійних рівнянь
- Page ID
- 105554
Після успішного завершення цього заняття ви повинні вміти
- написати алгоритм розв'язання множини одночасних лінійних рівнянь методом елімінації Наївного Гауса
- розв'язувати множину одночасних лінійних рівнянь за допомогою елімінації Наївного Гаусса.
- використовувати кроки ліквідації вперед методу Гаусса для пошуку детермінанти квадратної матриці,
- перерахувати теореми, пов'язані з детермінантою матриць,
- співвідносити нульове і ненульове значення визначника квадратної матриці з існуванням або неіснуванням зворотної матриці.
- перерахуйте підводні камені методу ліквідації Наївного Гауса
- показати підводні камені методу ліквідації Наївного Гауса на прикладах
- написати алгоритм розв'язання множини одночасних лінійних рівнянь за допомогою гаусової елімінації з частковим поворотом.
- розв'язувати множину одночасних лінійних рівнянь методом елімінації Гаусса з частковим поворотом
Як множина рівнянь вирішується чисельно методом гаусової елімінації?
Однією з найпопулярніших методик вирішення одночасних лінійних рівнянь є метод гауссова елімінації. Підхід призначений для розв'язання загальної множини\(n\) рівнянь і\(n\) невідомих
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + a_{23}x_{3} + \ldots + a_{2n}x_{n} = b_{2}\\ &\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + a_{n3}x_{3} + \ldots + a_{nn}x_{n} = b_{n} \end{split} \nonumber \]
Гауссова ліквідація складається з двох етапів
- Попереднє усунення невідомих: На цьому кроці невідоме усувається в кожному рівнянні, починаючи з першого рівняння. Таким чином, рівняння зводяться до одного рівняння і одного невідомого в кожному рівнянні.
- Заміна назад: На цьому кроці, починаючи з останнього рівняння, знайдено кожне з невідомих.
Вперед ліквідація невідомих:
На першому кроці ліквідації, перший невідомий,\(x_{1}\) усувається з усіх рядів нижче першого ряду. Перше рівняння вибирається як шарнірне рівняння для усунення\(x_{1}\). Отже, для усунення\(x_{1}\) у другому рівнянні одне ділить перше рівняння на\(a_{11}\) (звідси називається шарнірним елементом), а потім множить його на\(a_{21}\). Це те саме, що множення першого рівняння на\(a_{21}/a_{11}\) дати
\[a_{21}x_{1} + \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}x_{2} + \ldots + \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n}x_{n} = \frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1} \nonumber \]
Тепер це рівняння можна відняти з другого рівняння, щоб дати
\[\left( a_{22} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12} \right)x_{2} + \ldots + \left( a_{2n} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n} \right)x_{n} = b_{2} - \frac{a_{21}}{a_{11}}b_{1} \nonumber \]
або
\[{a^\prime }_{22}x_{2} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2} \nonumber \]
де
\[\begin{split} &{a^\prime }_{22} = a_{22} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{12}\\ &\vdots\\ &{a^\prime }_{2n} = a_{2n} - \frac{a_{21}}{a_{11}}a_{1n}\end{split} \nonumber \]
Ця процедура усунення\(x_{1}\), тепер повторюється для третього рівняння до\(n^{th}\) рівняння для зменшення множини рівнянь як
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &{a^\prime }_{22}x_{2} + {a^\prime }_{23}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2}\\ &{a^\prime }_{32}x_{2} + {a^\prime }_{33}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{3n}x_{n} = {b^\prime }_{3}\\ &\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &{a^\prime }_{n2}x_{2} + {a^\prime }_{n3}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{\text{nn}}x_{n} = {b^\prime }_{n} \end{split} \nonumber \]
Це кінець першого кроку ліквідації вперед. Тепер для другого кроку ліквідації вперед ми починаємо з другого рівняння як рівняння стрижня і\({a^\prime }_{22}\) як шарнірного елемента. Отже, для усунення\(x_{2}\) в третьому рівнянні одне ділить друге рівняння на\({a^\prime }_{22}\) (стрижневий елемент), а потім помножити його на\({a^\prime }_{32}\). Це те саме, що множення другого рівняння на\(\displaystyle {a^\prime }_{32}/{a^\prime }_{22}\) і віднімання його з третього рівняння. Це робить коефіцієнт\(x_{2}\) нульовим в третьому рівнянні. Ця ж процедура тепер повторюється для четвертого рівняння, поки\(n^{\text{th}}\) рівняння не дасть.
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &{a^\prime }_{22}x_{2} + {a^\prime }_{23}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2}\\ &{a^{\prime\prime}}_{33}x_{3} + \ldots + {a^{\prime\prime}}_{3n}x_{n} = {b^{\prime\prime}}_{3}\\ &\vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &{a^{\prime\prime}}_{n3}x_{3} + \ldots + {a^{\prime\prime}}_{\text{nn}}x_{n} = {b^{\prime\prime}}_{n} \end{split} \nonumber \]
Наступні кроки ліквідації вперед проводяться за допомогою третього рівняння як шарнірного рівняння і так далі. Тобто буде сукупна кількість\(n - 1\) кроків вперед ліквідації. В кінці\(n - 1\) кроків ліквідації вперед отримуємо набір рівнянь, які виглядають так:
\[\begin{split} &a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + a_{13}x_{3} + \ldots + a_{1n}x_{n} = b_{1}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {a^\prime }_{22}x_{2} + {a^\prime }_{23}x_{3} + \ldots + {a^\prime }_{2n}x_{n} = {b^\prime }_{2}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {a^{\prime\prime}}_{33}x_{3} + \ldots + {a^{\prime\prime}}_{3n}x_{n} = {b{\prime\prime}}_{3}\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \vdots\\ &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ a_{nn}^{\left( n - 1 \right)}x_{n} = b_{n}^{\left( n - 1 \right)}\end{split} \nonumber \]
Заміна спини:
Тепер рівняння вирішуються, починаючи з останнього рівняння, оскільки воно має лише одне невідоме.
\[x_{n} = \frac{b_{n}^{(n - 1)}}{a_{nn}^{(n - 1)}} \nonumber \]
Тоді друге останнє рівняння, тобто\((n - 1)^{th}\) рівняння, має два невідомих:\(x_{n}\) і\(x_{n - 1}\), але вже\(x_{n}\) відомо. Це зводить\((n - 1)^{th}\) рівняння також до одного невідомого. Зворотне заміщення, отже, може бути представлено для всіх рівнянь формулою
\[x_{i} = \frac{b_{i}^{\left( i - 1 \right)} - \displaystyle\sum_{j = i + 1}^{n}{a_{ij}^{\left( i - 1 \right)}x_{j}}}{a_{ii}^{\left( i - 1 \right)}}\ \text{for }i = n - 1,\ \ n - 2,\ldots\ ,\ 1 \nonumber \]
і
\[x_{n} = \frac{b_{n}^{(n - 1)}}{a_{nn}^{(n - 1)}} \nonumber \]
Швидкість вгору ракети наведена в три різні часи в таблиці 1.
| Час, т (с) | Швидкість, v (м/с) |
|---|---|
| \(5\) | \(106.8\) |
| \(8\) | \(177.2\) |
| \(12\) | \(279.2\) |
Дані про швидкість апроксимуються поліномом як
\[v\left( t \right) = a_{1}t^{2} + a_{2}t + a_{3},5 \leq t \leq 12 \nonumber \]
Коефіцієнти\(a_{1},a_{2},anda_{3}\) для вищевказаного виразу задаються
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Знайдіть значення за\(a_{1},a_{2},and\ a_{3}\) допомогою методу елімінації Наївного Гауса. Знайти швидкість в\(t = 6,7.5,9,11\) секундах.
Рішення
Розширена матриця
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 & | & 106.8 \\ 64 & 8 & 1 & | & 177.2 \\ 144 & 12 & 1 & | & 279.2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Вперед ліквідація невідомих
Оскільки існує три рівняння, то буде два кроки подальшого усунення невідомих.
Перший крок
Розділіть Row\(1\) на,\(25\) а потім помножте його на\(64\), тобто помножте Row\(1\) на\(64/25 = 2.56\).
\[\left( \begin{matrix} \left\lbrack 25 \right.\ & \ 5 & \ \ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \\ \end{matrix}106.8\rbrack \right) \times 2.56\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 64 \right.\ & 12.8 & 2.56 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ |\ \ 273.408\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка\(2\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 64 & \ \ \ \ 8 & \ \ \ \ \ 1 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ |\ \ & 177.2\rbrack \\- \lbrack\begin{matrix} 64 & 12.8 & 2.56 \\ \end{matrix}\ \ | & 273.408\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ \end{matrix} & - 96.208 \\ \end{matrix}} \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} | \ \ \ \ \ \ \ 106.8 \\ \ |\ - 96.208 \\ |\ \ \ \ \ \ \ 279.2 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
Розділіть Row\(1\) на,\(25\) а потім помножте його на\(144\), тобто помножте Row\(1\) на\(144/25 = 5.76\).
\[\left( \begin{matrix} \left\lbrack 25 \right.\ & \ \ \ \ 5 & \ \ \ 1 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ |\ \ \ \ \ \ \ \ \ 106.8\rbrack \right) \times 5.76\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\left\lbrack \begin{matrix} 144 & 28.8 & 5.76 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \right|\ \ \ \ \ \ 615.168\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка\(3\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 144 & 12 & \ \ \ \ \ \ 1 \\ \end{matrix}\ \ \ \ | & 279.2\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 144 & 28.8 & 5.76 \\ \end{matrix}\ \ \ | & 615.168\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & - 16.8 & - 4.76 \\ \end{matrix} & - 335.968 \\ \end{matrix}} \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & - 16.8 & - 4.76 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} |\ \ \ \ \ \ \ \ \ 106.8 \\ |\ \ - 96.208 \\| - 335.968 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
Другий крок
Тепер ми ділимо Row\(2\) на,\(-4.8\) а потім помножити на\(-16.8\), тобто помножити Row\(2\) на\(-16.8/-4.8 = 3.5\).
\[\left( \left\lbrack 0 - 4.8\ \ - 1.56\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right|\ \ \ - 96.208\rbrack\ \right) \times 3.5\ \text{gives Row 2 as} \nonumber \]
\[\left\lbrack 0 - 16.8\ - 5.46\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \right| - 336.728\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка\(3\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \ \ \ \lbrack\begin{matrix} 0 & -16.8 & -4.76\ \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ | & -335.968\rbrack \\ \ -\ \lbrack \begin{matrix} 0 & -16.8 & -5.46\ \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ | & -336.728\rbrack \\ \end{matrix}}{\begin{matrix} \ \ \ \ \ \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ \ 0 & \ \ \ \ \ \ 0.7 \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0.76 \ \ \ \end{matrix}} \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\left\lbrack \begin{matrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \begin{matrix} |\ \ \ \ \ \ 106.8 \\ \ \ |\ - 96.208 \\ |\ \ \ \ \ \ \ \ 0.76 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]
\[\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ - 96.208 \\ 0.76 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Заміна спини
З третього рівняння
\[0.7a_{3} = 0.76 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{3} &= \frac{0.76}{0.7}\\ &= 1.08571 \end{split} \nonumber \]
Підставивши значення\(a_{3}\) в другому рівнянні,
\[- 4.8a_{2} - 1.56a_{3} = - 96.208 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{2} &= \frac{- 96.208 + 1.56a_{3}}{- 4.8}\\ &= \frac{- 96.208 + 1.56 \times 1.08571}{- 4.8}\\ &= 19.6905\end{split} \nonumber \]
Підставляючи значення\(a_{2}\) і\(a_{3}\) в першому рівнянні,
\[25a_{1} + 5a_{2} + a_{3} = 106.8 \nonumber \]
\[\begin{split} a_{1} &= \frac{106.8 - 5a_{2} - a_{3}}{25}\\ &= \frac{106.8 - 5 \times 19.6905 - 1.08571}{25}\\ &= 0.290472 \end{split} \nonumber \]
Звідси вектор розв'язку
\[\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.290472 \\ 19.6905 \\ 1.08571 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Поліном, який проходить через три точки даних, тоді
\[\begin{split} v\left( t \right) &= a_{1}t^{2} + a_{2}t + a_{3}\\ &= 0.290472t^{2} + 19.6905t + 1.08571,\ \ 5 \leq t \leq 12 \end{split} \nonumber \]
Оскільки ми хочемо знайти швидкість в\(t = 6,7.5,9\)\(11\) секундах, ми могли б просто підставити кожне значення\(t\) в\(v\left( t \right) = 0.290472t^{2} + 19.6905t + 1.08571\) і знайти відповідну швидкість. Наприклад, при\(t = 6\)
\[\begin{split} v\left( 6 \right) &= 0.290472\left( 6 \right)^{2} + 19.6905\left( 6 \right) + 1.08571\\ &= 129.686\ \ m/s \end{split} \nonumber \]
Однак ми також могли знайти всі необхідні значення швидкості при\(t\) =\(6, 7.5, 9, 11\) секундах за допомогою множення матриці.
\[v\left( t \right) = \left\lbrack 0.290472\ \ 19.6905 \ \ 1.08571 \right\rbrack\begin{bmatrix} t^{2} \\ t \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Отже, якщо ми хочемо, щоб знайти\(v\left( 6 \right),v\left( 7.5 \right),v\left( 9 \right),v\left( 11 \right),\) це дається
\[\begin{split} \begin{matrix}\left\lbrack v\left( 6 \right)v\left( 7.5 \right)v\left( 9 \right)v\left( 11 \right) \right\rbrack \end{matrix} &= \left\lbrack 0.290472 \ \ 19.6905\ \ 1.08571 \right\rbrack\begin{bmatrix} 6^{2} & 7.5^{2} & 9^{2} & 11^{2} \\ 6 & 7.5 & 9 & 11 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack 0.290472 \ \ 19.6905 \ \ 1.08571 \right\rbrack\begin{bmatrix} 36 & 56.25 & 81 & 121 \\ 6 & 7.5 & 9 & 11 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack 129.686 \ \ 165.104\ \ 201.828 \ \ 252.828 \right\rbrack \end{split} \nonumber \]
\[v(6) = 129.686\ m/s \nonumber \]
\[v(7.5) = 165.1\ 04\ m/s \nonumber \]
\[v(9) = 201.828\ m/s \nonumber \]
\[v(11) = 252.828\ m/s \nonumber \]
Чи можемо ми використовувати методи елімінації Наївного Гаусса, щоб знайти детермінант квадратної матриці?
Одним з найбільш ефективних способів знайти детермінант квадратної матриці є використання наступних двох теорем про детермінант матриць, пов'язаних з елімінацією Наївного Гаусса.
\(\lbrack A\rbrack\)Дозволяти бути\(n \times n\) матрицею. Потім, якщо\(\lbrack B\rbrack\) це\(n \times n\) матриця, яка є результатом додавання або віднімання кратного одному рядку в інший рядок, то\(det(A) = det(B)\) (Те ж саме вірно для операцій стовпців також).
\(\lbrack A\rbrack\)Дозволяти\(n \times n\) матриця, яка верхня трикутна, нижня трикутна або діагональна, то
\[\begin{split} \det(A) &= a_{11} \times a_{22} \times ... \times a_{ii} \times ... \times a_{nn}\\ &= \prod_{i = 1}^{n}a_{ii} \end{split} \nonumber \]
Це означає, що якщо ми застосуємо кроки ліквідації вперед методу елімінації Наївного Гаусса, детермінант матриці залишається незмінним відповідно до Теореми\(\PageIndex{1}\). Тоді оскільки в кінці кроків ліквідації вперед отримана матриця є верхньою трикутною, визначник буде задаватися теоремою\(\PageIndex{2}\).
Знайдіть детермінант
\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Рішення
Пам'ятайте, у прикладі 1 ми провели кроки вперед ліквідації невідомих, використовуючи метод ліквідації Наївного Гауса далі,\(\lbrack A\rbrack\) щоб дати
\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Згідно з теоремою 2
\[\begin{split} det(A) &= det(B)\\ &= 25 \times ( - 4.8) \times 0.7\\ &= - 84.00 \end{split} \nonumber \]
Що робити, якщо я не можу знайти детермінант матриці за допомогою методу ліквідації Наївного Гауса, наприклад, якщо я отримаю поділ на нуль задачі під час методу ліквідації Наївного Гаусса?
Ну а можна застосувати гаусову елімінацію з частковим поворотом. Однак визначник отриманої верхньої трикутної матриці може відрізнятися знаком. Наступна теорема застосовується на додаток до попередніх двох, щоб знайти визначник квадратної матриці.
\(\lbrack A\rbrack\)Дозволяти бути\(n \times n\) матрицею. Потім, якщо матриця, яка\(\lbrack B\rbrack\) є результатом перемикання одного рядка з іншим рядком, то\(det(B) = - det(A)\).
Знайдіть детермінант
\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Рішення
Закінчення подальших ліквідаційних кроків гауссової ліквідації з частковим поворотом ми б отримали
\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & 2.5 & 5 \\ 0 & 0 & 6.002 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
\[\begin{split} \det\left( B \right) &= 10 \times 2.5 \times 6.002\\ &= 150.05 \end{split} \nonumber \]
Оскільки ряди були переключені один раз під час поступових ліквідаційних етапів гаусової ліквідації з частковим поворотом,
\[\begin{split} \det\left( A \right) &= - det(B)\\ &= - 150.05 \end{split} \nonumber \]
Довести
\[\det(A) = \frac{1}{\det\left( A^{- 1} \right)} \nonumber \]
Рішення
\[\lbrack A\rbrack\lbrack A\rbrack^{- 1} = \lbrack I\rbrack \nonumber \]
\[\det(AA^{- 1}) = det(I) \nonumber \]
\[\det(A)\det(A^{-1}) = 1 \nonumber \]
\[\det(A) = \frac{1}{\det(A^{-1})} \nonumber \]
Якщо\({\lbrack A\rbrack}\)\({n \times n}\) матриця і\({\det(A) \neq 0}\), які ще твердження еквівалентні їй?
- \(\lbrack A\rbrack\)є оборотним.
- \(\lbrack A\rbrack^{- 1}\)існує.
- \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack C\rbrack\)має унікальне рішення.
- \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack X\rbrack = \lbrack 0\rbrack\)рішення є\(\lbrack X\rbrack = \lbrack{0}\rbrack\).
- \(\lbrack A\rbrack\ \lbrack A\rbrack^{- 1} = \lbrack I\rbrack = \lbrack A\rbrack^{- 1}\ \lbrack A\rbrack\).
Чи є якісь підводні камені методу ліквідації Наївного Гауса?
Так, є два підводні камені методу ліквідації Наївного Гауса.
Розподіл на нуль: Можливе поділ на нуль під час початку\(n - 1\) кроків ліквідації вперед.
Наприклад
\[5x_{2} + 6x_{3} = 11 \nonumber \]
\[4x_{1} + 5x_{2} + 7x_{3} = 16 \nonumber \]
\[9x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} = 15 \nonumber \]
призведе до ділення на нуль на першому кроці прямого усунення, оскільки коефіцієнт\(x_{1}\) у першому рівнянні дорівнює нулю, як це видно, коли ми запишемо рівняння у матричній формі.
\[\begin{bmatrix} 0 & 5 & 6 \\ 4 & 5 & 7 \\ 9 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 11 \\ 16 \\ 15 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Але як щодо рівнянь нижче: Чи є ділення на нуль задачею?
\[5x_{1} + 6x_{2} + 7x_{3} = 18 \nonumber \]
\[10x_{1} + 12x_{2} + 3x_{3} = 25 \nonumber \]
\[20x_{1} + 17x_{2} + 19x_{3} = 56 \nonumber \]
Написано в матричній формі,
\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 10 & 12 & 3 \\ 20 & 17 & 19 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\25 \\ 56 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
немає питання поділу на нуль на першому кроці ліквідації вперед. Шарнірним елементом є коефіцієнт\(x_{1}\) в першому рівнянні, 5, і це ненульове число. Однак в кінці першого кроку ліквідації вперед отримаємо наступні рівняння в матричному вигляді:
\[\begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 0 & 0 & - 11 \\ 0 & - 7 & - 9 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18 \\ - 11 \\ - 16 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Тепер на початку\(2^{nd}\) кроку ліквідації вперед коефіцієнт\(x_{2}\) в Рівнянні 2 буде використовуватися як стрижневий елемент. Цей елемент дорівнює нулю і, отже, створить поділ на нуль задачу.
Тому важливо враховувати, що можливість поділу на нуль може виникнути на початку будь-якого кроку ліквідації вперед.
Метод усунення Наївного Гауса схильний до помилок округлення. Це вірно, коли існує велика кількість рівнянь, оскільки помилки поширюються. Також, якщо відбувається віднімання чисел один від одного, це може створити великі помилки. Дивіться приклад нижче.
Запам'ятайте приклад 2, де ми використовували ліквідацію Наївного Гауса для вирішення
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[- 3x_{1} - 2.249x_{2} + 7x_{3} = 1.751 \nonumber \]
\[5x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 9 \nonumber \]
використання шести значущих цифр з рубкою в ваших розрахунках? Повторіть задачу, але тепер використовуйте п'ять значущих цифр з рубкою в своїх розрахунках.
Рішення
Написання в матричному вигляді
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ - 3 & - 2.249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Вперед ліквідація невідомих
Перший крок
Розділіть Рядок 1 на 20, а потім помножте його на —3, тобто помножте Рядок 1 на\(- 3/20 = - 0.15\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 0.15\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack - 3 \right.\ & - 2.25 & \left. \ - 1.5 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 6.75 \right\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка 2
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} -3 & \ \ \ -2.249 & \ \ \ \ \ 7 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ | & 1.751\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack -3 & \ \ \ \ -2.25 \ \ -1.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -6.75\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ 0.001 & \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ 8.501 \end{matrix}} \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Розділіть Рядок 1 на 20 і потім помножте його на\(5\), тобто помножте Рядок 1 на\(5/20 = 0.25\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times 0.25\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 5 \right.\ & 3.75 & \left. \ 2.5 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 11.25 \right\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка 3
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 5 & \ \ \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ 3 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & 9\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 5 & \ \ \ \ 3.75 \ \ \ \ \ 2.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 11.25\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ -2.75 \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix} & \ -2.25 \end{matrix}} \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ - 2.25 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Другий крок
Тепер для другого кроку вилучення вперед ми будемо використовувати рядок 2 як рівняння зведення та усунемо рядок 3: Стовпець 2.
Розділіть Рядок 2 на,\(0.001\) а потім помножте його на\(-2.75\), тобто помножте Рядок 2 на\(- 2.75/0.001 = - 2750\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0.001 & 8.5 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 8.501 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 2750\ \text{gives Row 2 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & - 2.75 & \left. \ - 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 23377.75 \right\rbrack \nonumber \]
Переписування в межах 5 значущих цифр з рубкою
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & - 2.75 & \left. \ - 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 23377 \right\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка 3
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ -2.75 & \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & -2.25\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 0 & \ \ \ \ -2.75 \ \ \ \ \ -23375 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -23377\rbrack \\ \end{matrix}}{\begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 23375 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ 23374 \end{matrix}} \nonumber \]
Переписування в межах 6 значущих цифр з рубкою
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0 & \left. \ 23375 \right\rbrack \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 23374 \right\rbrack \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 0 & 0 & 23375 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 23374 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
На цьому завершуються кроки ліквідації вперед.
Заміна спини
Тепер ми можемо вирішити вищевказані рівняння шляхом зворотної підстановки. З третього рівняння
\[\begin{split} 23375x_{3} &= 23374\\ x_{3} &= \frac{23374}{23375}\\ &= 0.99995 \end{split} \nonumber \]
Підставляємо значення\(x_{3}\) у другому рівнянні
\[0.001x_{2} + 8.5x_{3} = 8.501 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{2} &= \frac{8.501 - 8.5x_{3}}{0.001}\\ &= \frac{8.501 - 8.5 \times 0.99995}{0.001}\\ &= \frac{8.501 - 8.499575}{0.001}\\ &= \frac{8.501 - 8.4995}{0.001}\\ &= \frac{0.0015}{0.001}\\ &= 1.5 \end{split} \nonumber \]
Підставляючи значення\(x_{3}\) і\(x_{2}\) в першому рівнянні,
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{1} &= \frac{45 - 15x_{2} - 10x_{3}}{20}\\ &= \frac{45 - 15 \times 1.5 - 10 \times 0.99995}{20}\\ &= \frac{45 - 22.5 - 9.9995}{20}\\ &= \frac{22.5 - 9.9995}{20}\\ &= \frac{12.5005}{20}\\ &= \frac{12.500}{20}\\ &= 0.625 \end{split} \nonumber \]
Звідси рішення є
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0.625 \\ 1.5 \\ 0.99995 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Порівняйте це з точним рішенням
\[\left\lbrack X \right\rbrack = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Які методи вдосконалення методу елімінації Наївного Гауса?
Як видно в прикладі 3, помилки округлення були великими, коли п'ять значущих цифр використовувалися на відміну від шести значущих цифр. Одним із методів зменшення похибки округлення було б використання більш значущих цифр, тобто використання подвійної або чотирьохрядної точності для представлення чисел. Однак це не уникне можливого поділу на нульові помилки в методі ліквідації Наївного Гауса. Щоб уникнути поділу на нуль, а також зменшити (не усунути) похибку округлення, методом вибору є гаусове усунення з частковим поворотом.
Чим гаусова елімінація з частковим поворотом відрізняється від ліквідації Наївного Гауса?
Два методи однакові, за винятком того, що на початку кожного кроку усунення вперед перемикання рядів здійснюється на основі наступного критерію. Якщо є\(n\) рівняння, то є кроки ліквідації\(n - 1\) вперед. На початку\(k^{th}\) кроку ліквідації вперед знаходить максимум
\[\left| a_{kk} \right|,\left| a_{k + 1,k} \right|,\ldots\ldots,\left| a_{nk} \right| \nonumber \]
Тоді якщо максимум цих значень знаходиться\(\left| a_{pk} \right|\) в\(p^{th}\) рядку\(k \leq p \leq n\), то перемикають рядки\(p\) і\(k\).
Інші кроки ліквідації вперед такі ж, як метод ліквідації Наївного Гауса. Кроки заміни спини залишаються точно такими ж, як метод ліквідації Наївного Гауса.
У попередніх двох прикладах ми використовували ліквідацію Naive Gauss для вирішення
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[- 3x_{1} - 2.249x_{2} + 7x_{3} = 1.751 \nonumber \]
\[5x_{1} + x_{2} + 3x_{3} = 9 \nonumber \]
використання п'яти і шести значущих цифр з рубкою в розрахунках. Використовуючи п'ять значущих цифр з рубкою, знайдено рішення було
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 0.625 \\ 1.5 \\ 0.99995 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Цим відрізняється від точного рішення
\[\begin{split} \left\lbrack X \right\rbrack &= \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]
Знайдіть рішення за допомогою гаусової елімінації з частковим поворотом, використовуючи п'ять значущих цифр з рубкою у ваших розрахунках.
Рішення
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ - 3 & - 2.249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Вперед ліквідація невідомих
Тепер для першого кроку подальшого усунення абсолютне значення елементів першого стовпця нижче рядка 1 дорівнює
\[\left| 20 \right|,\left| - 3 \right|,\left| 5 \right| \nonumber \]
або
\[20,\ 3,\ 5 \nonumber \]
Отже, найбільше абсолютне значення знаходиться в рядку\(1\). Отже, відповідно до гаусової елімінації з частковим поворотом, перемикач знаходиться між рядком\(1\) і рядком,\(1\) щоб дати
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ - 3 & - 2.249 & 7 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 1.751 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Розділіть Row\(1\) на,\(20\) а потім помножте його на\(-3\), тобто помножте Row\(1\) на\(\displaystyle - 3/20 = - 0.15\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 0.15\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack - 3 \right.\ & - 2.25 & \left. \ - 1.5 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack - 6.75 \right\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка\(2\)
\[\frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} -3 & \ \ \ -2.249 & \ \ \ \ \ 7 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ | & 1.751\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack -3 & \ \ \ \ -2.25 \ \ -1.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & -6.75\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ 0.001 & \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ 8.501 \end{matrix}} \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 5 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ 9 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Розділіть Row\(1\) на,\(20\) а потім помножте його на\(5\), тобто помножте Row\(1\) на\(5/20 = 0.25\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack 45 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times 0.25\ \text{gives Row 1 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 5 \right.\ & 3.75 & \left. \ 2.5 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 11.25 \right\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка\(3\)
\[\displaystyle \frac{\begin{matrix} \ \ \lbrack\begin{matrix} 5 & \ \ \ \ \ \ 1 & \ \ \ \ \ \ 3 \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ | & 9\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 5 & \ \ \ \ 3.75 \ \ \ \ \ 2.5 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 11.25\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \ \begin{matrix} \begin{matrix} 0 &\ -2.75 \ \ \ \ \ \ 0.5 \\ \end{matrix} & \ -2.25 \end{matrix}} \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ 8.501 \\ - 2.25 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Це кінець першого кроку ліквідації вперед.
Тепер для другого кроку ліквідації вперед абсолютне значення елементів другого стовпця нижче Рядка 1 дорівнює
\[\left| 0.001 \right|,\left| - 2.75 \right| \nonumber \]
або
\[0.001,\ 2.75 \nonumber \]
Отже, найбільша абсолютна величина знаходиться в рядку\(3\). Таким чином, Row\(2\) перемикається з Row\(3\), щоб дати
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ 0 & 0.001 & 8.5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ - 2.25 \\ 8.501 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Розділіть Row\(2\) на,\(-2.75\) а потім помножте його на\(0.001\), тобто помножте Row\(2\) на\(0.001/ - 2.75 = - 0.00036363\).
\[\begin{pmatrix} \begin{bmatrix} 0 & - 2.75 & 0.5 \\ \end{bmatrix} & \left\lbrack - 2.25 \right\rbrack \\ \end{pmatrix} \times - 0.00036363\ \text{gives Row 2 as} \nonumber \]
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0.00099998 & \left. \ - 0.00018182 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 0.00081816 \right\rbrack \nonumber \]
Відніміть результат з рядка\(3\)
\[\displaystyle \frac{\begin{matrix} \ \ \ \lbrack \begin{matrix} 0 & \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0.001 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.5 \\ \end{matrix} \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ | & 8.501\rbrack \\ - \begin{matrix} \lbrack 0 & \ \ \ \ 0.00099998 \ \ \ \ \ -0.00018182 \ \ \\ \end{matrix}\ \ \ | & 0.00081816\rbrack \\ \end{matrix}}{\ \ \begin{matrix} \ \begin{matrix} 0 &\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.50018182 \\ \end{matrix} & \ \ \ \ \ \ \ \ \ 8.50018184 \end{matrix}} \nonumber \]
Переписування в межах\(5\) значущих цифр з рубкою
\[\begin{matrix} \left\lbrack 0 \right.\ & 0 & \left. \ 8.5001 \right\rbrack \\ \end{matrix}\ \ \ \ \ \ \ \ \left\lbrack 8.5001 \right\rbrack \nonumber \]
щоб отримати отримані рівняння як
\[\begin{bmatrix} 20 & 15 & 10 \\ 0 & - 2.75 & 0.5 \\ 0 & 0 & 8.5001 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 45 \\ - 2.25 \\ 8.5001 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Заміна спини
\[8.5001x_{3} = 8.5001 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{3} &= \frac{8.5001}{8.5001}\\ &= 1 \end{split} \nonumber \]
Підставляємо значення\(x_{3}\) в рядку\(2\)
\[- 2.75x_{2} + 0.5x_{3} = - 2.25 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{2} &= \frac{- 2.25 - 0.5x_{2}}{- 2.75}\\ &= \frac{- 2.25 - 0.5 \times 1}{- 2.75}\\ &= \frac{- 2.25 - 0.5}{- 2.75}\\ &= \frac{- 2.75}{- 2.75}\\ &= 1\end{split} \nonumber \]
Підставляємо значення\(x_{3}\) і\(x_{2}\) в рядку 1
\[20x_{1} + 15x_{2} + 10x_{3} = 45 \nonumber \]
\[\begin{split} x_{1} &= \frac{45 - 15x_{2} - 10x_{3}}{20}\\ &= \frac{45 - 15 \times 1 - 10 \times 1}{20}\\ &= \frac{45 - 15 - 10}{20}\\ &= \frac{30 - 10}{20}\\ &= \frac{20}{20}\\ &= 1 \end{split} \nonumber \]
Метод елімінації Гаусса для розв'язання одночасних лінійних рівнянь
Метою подальших кроків ліквідації в методі ліквідації Наївного Гауса є зменшення матриці коефіцієнтів до a (a) _____________ матриці.
(A) діагональ
(B) ідентичність
(С) нижній трикутний
(D) верхній трикутний
Ділення на нуль під час кроків прямої елімінації при наївному гаусовому усуненні множини рівнянь\(\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack X \right\rbrack = \left\lbrack C \right\rbrack\) передбачає матрицю коефіцієнтів.\(\left\lbrack A \right\rbrack\)
(A) є оборотним
(B) є неодниною
(C) може бути одниною або неодниною
(D) є одниною
Використання комп'ютера з чотирма значущими цифрами з рубкою, рішення для усунення Наївного Гауса для
\[\begin{matrix} 0.0030x_{1} + 55.23x_{2} = 58.12 \\ 6.239x_{1} - 7.123x_{2} = 47.23 \\ \end{matrix} \nonumber \]є
(А)\(x_{1} = 26.66;\ x_{2} = 1.051\)
(Б)\(x_{1} = 8.769;\ x_{2} = 1.051\)
(С)\(x_{1} = 8.800;\ x_{2} = 1.000\)
(D)\(x_{1} = 8.771;\ x_{2} = 1.052\)
Використовуючи комп'ютер з чотирма значущими цифрами з рубкою, гаусова елімінація з частковим поворотним рішенням для
\[\begin{matrix} 0.0030x_{1} + 55.23x_{2} = 58.12 \\ 6.239x_{1} - 7.123x_{2} = 47.23 \\ \end{matrix} \nonumber \]є
(А)\(x_{1} = 26.66;\ x_{2} = 1.051\)
(Б)\(x_{1} = 8.769;\ x_{2} = 1.051\)
(С)\(x_{1} = 8.800;\ x_{2} = 1.000\)
(D)\(x_{1} = 8.771;\ x_{2} = 1.052\)
Наприкінці поступових етапів ліквідації методу наївного Гаусса на наступних рівняннях:
\[\begin{bmatrix} {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 9.2307 \times 1}{0}^5 & {0} & {0} \\ {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 5.4619 \times 1}{0}^5 & {- 4.2857 \times 1}{0}^7 & {5.4619 \times 1}{0}^5 \\ {- 6.5} & {- 0.15384} & {6.5} & {0.15384} \\ {0} & {0} & {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 3.6057 \times 1}{0}^5 \\ \end{bmatrix}{\ \ }\begin{bmatrix} {c}_1 \\ {c}_2 \\ {c}_3 \\ {c}_4 \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {- 7.887 \times 1}{0}^3 \\ {0} \\ {0.007} \\ {0} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
отримані рівняння в матричному вигляді задаються
\[\begin{bmatrix} {4.2857 \times 1}{0}^7 & {- 9.2307 \times 1}{0}^5 & {0} & {0} \\ {0} & {3.7688 \times 1}{0}^5 & {- 4.2857 \times 1}{0}^7 & {5.4619 \times 1}{0}^5 \\ {0} & {0} & {- 26.9140} & {0.579684} \\ {0} & {0} & {0} & {5.62500 \times 1}{0}^5 \\ \end{bmatrix}{\ \ }\begin{bmatrix} {c}_1 \\ {c}_2 \\ {c}_3 \\ {c}_4 \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {- 7.887 \times 1}{0}^3 \\ {7.887 \times 1}{0}^3 \\ {1.19530 \times 1}{0}^-2 \\ {1.90336 \times 1}{0}^4 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Визначником вихідної матриці коефіцієнтів є
(А)\({0.00}\)
(Б)\({4.2857 \times 1}{0}^7\)
(С)\({5.486 \times 1}{0}^19\)
(D)\({- 2.445 \times 1}{0}^20\)
Наведені наступні дані для швидкості руху ракети в залежності від часу. Щоб знайти швидкість на\(t = 21s\), вам пропонується використовувати квадратичний многочлен,\(v(t) = at^{2} + {bt} + c\) щоб наблизити профіль швидкості.
| \(t\) | \((s)\) | 0 | 14 | 15 | 20 | 30 | 35 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \ (t\) ">\(v(t)\) | \ (s)\) ">\((m/s)\) | 0 | 227.04 | 362.78 | 517.35 | 602.97 | 901.67 |
Правильний набір рівнянь, які знайдуть a, b і c є
(А)\(\begin{bmatrix} {176} & {14} & {1} \\ {225} & {15} & {1} \\ {400} & {20} & {1} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a} \\ {b} \\ {c} \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {227.04} \\ {362.78} \\ {517.35} \\ \end{bmatrix}\)
(Б)\(\begin{bmatrix} {225} & {15} & {1} \\ {400} & {20} & {1} \\ {900} & {30} & {1} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a} \\ {b} \\ {c} \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {362.78} \\ {517.35} \\ {602.97} \\ \end{bmatrix}\)
(С)\(\begin{bmatrix} {0} & {0} & {1} \\ {225} & {15} & {1} \\ {400} & {20} & {1} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} {a} \\ {b} \\ {c} \\ \end{bmatrix}{=}\begin{bmatrix} {0} \\ {362.78} \\ {517.35} \\ \end{bmatrix}\)
(D)\(\begin{bmatrix} 400 & 20 & 1 \\ 900 & 30 & 1 \\ 1225 & 35 & 1 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 517.35 \\ 602.97 \\ 901.67 \\ \end{bmatrix}\)
Метод елімінації Гаусса для розв'язання одночасних лінійних рівнянь
Використовуйте ліквідацію Наївного Гауса, щоб вирішити
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]
Припустимо, що ви використовуєте комп'ютер з чотирма значущими цифрами з рубкою. Використовуйте метод усунення Наївного Гауса для вирішення
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]
Для
\[[A]= \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ - 3 & 2.099 & 6 \\ 5 & - 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Знайти детермінанту [А] за допомогою поступового етапу ліквідації наївного методу Гаусса.
Наприкінці поступових кроків ліквідації з використанням наївного методу елімінації Гаусса на матриці коефіцієнтів.
\[[A]= \begin{bmatrix} 25 & c & 1 \\ 64 & a & 1 \\ 144 & b & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
[A] зводиться до
\[[B]= \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 0 & - 4.8 & - 1.56 \\ 0 & 0 & 0.7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]
Що таке детермінант\([A]\)?
Використання гаусової елімінації з частковим поворотом для розв'язання
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]
Припустімо, що ви використовуєте комп'ютер з чотирма значущими цифрами з рубкою, використовуйте гаусове усунення з частковим поворотом для вирішення
\[{4x_{1} + x_{2} - x_{3} = - 2} \nonumber \]\[{5x_{1} + x_{2} + 2x_{3} = 4} \nonumber \]\[{6x_{1} + x_{2} + x_{3} = 6} \nonumber \]