3: Двійкові матричні операції

Last updated
Save as PDF

Page ID: 105548

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Прочитавши цю главу, ви повинні мати можливість:

додавання, віднімання і множення матриць, і
застосовувати правила бінарних операцій над матрицями.

Як додати дві матриці?

Дві матриці$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ можуть бути додані тільки в тому випадку, якщо вони однакового розміру. Додавання потім відображається як

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \nonumber \]

де

\[c_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \nonumber \]

Приклад 1

Додайте наступні дві матриці.

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix}$$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix}$

Рішення

\[\begin{split} \left\lbrack C \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 5 + 6 & 2 + 7 & 3 - 2 \\ 1 + 3 & 2 + 5 & 7 + 19 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 11 & 9 & 1 \\ 4 & 7 & 26 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Приклад 2

Blowout r'us магазин має два місця розташування магазинів$A$ і$B$, і їх продажі шин задаються маркою (в рядах) і кварталами (у стовпцях), як показано нижче.

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 25 & 20 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & 10 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 25 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 & 16 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 27 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 20 & 5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 4 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 6 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 21 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 20 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

де рядки представляють продаж шин Tirestone, Michigan і Copper відповідно, а стовпці представляють номер чверті: 1, 2, 3 і 4. Який загальний обсяг продажів шин для двох місць за марками та кварталами?

Рішення

\[\begin{split} \left\lbrack C \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} \begin{matrix} 25 & 20 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 & 2 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 5 & 10 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 25 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 6 & 16 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 27 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \begin{matrix} 20 & 5 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 4 & 0 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 3 & 6 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 15 & 21 \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} 4 & 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 7 & 20 \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} \left( 25 + 20 \right) \\ \left( 5 + 3 \right) \\ \left( 6 + 4 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 20 + 5 \right) \\ \left( 10 + 6 \right) \\ \left( 16 + 1 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 3 + 4 \right) \\ \left( 15 + 15 \right) \\ \left( 7 + 7 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 2 + 0 \right) \\ \left( 25 + 21 \right) \\ \left( 27 + 20 \right) \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 45 \\ 8 \\ 10 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 25 \\ 16 \\ 17 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 7 \\ 30 \\ 14 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 46 \\ 47 \\ \end{matrix} \right\rbrack \end{split} \nonumber \]

Отже, якщо хтось хоче знати загальну кількість мідних шин, проданих у кварталі$4$ в двох місцях, ми б подивилися на Рядок$3$ - Колонка,$4$ щоб дати$c_{34} = 47$.

Як віднімати дві матриці?

Дві матриці$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ можуть бути віднімаються тільки в тому випадку, якщо вони однакового розміру. Віднімання потім відображається як

\[\left\lbrack D \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack \nonumber \]

де

\[d_{ij} = a_{ij} - b_{ij} \nonumber \]

Приклад 3

Відніміть матрицю$\left\lbrack B \right\rbrack$ з матриці$\left\lbrack A \right\rbrack$.

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

\[\begin{split} \left\lbrack D \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 6 & 7 & - 2 \\ 3 & 5 & 19 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} \left( 5 - 6 \right) & \left( 2 - 7 \right) & \left( 3 - \left( - 2 \right) \right) \\ \left( 1 - 3 \right) & \left( 2 - 5 \right) & \left( 7 - 19 \right) \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 1 & - 5 & 5 \\ - 2 & - 3 & - 12 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Приклад 4

Blowout r'us має два місця розташування магазинів,$A$$B$ і їх продажі шин задаються маркою (в рядах) і кварталами (у стовпцях), як показано нижче.

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack \begin{matrix} 20 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 21 \\ 20 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

де рядки представляють продаж шин Tirestone, Michigan і Copper відповідно, а стовпці представляють номер чверті: 1, 2, 3 і 4. Скільки більше шин$A$ продав магазин, ніж магазин$B$ кожної марки в кожному кварталі?

Рішення

\[\begin{split} \left\lbrack D \right\rbrack &= \left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack - \left\lbrack \begin{matrix} 20 \\ 3 \\ 4 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 4 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 0 \\ 21 \\ 20 \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} \left( 25 - 20 \right) \\ \left( 5 - 3 \right) \\ \left( 6 - 4 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 20 - 5 \right) \\ \left( 10 - 6 \right) \\ \left( 16 - 1 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 3 - 4 \right) \\ \left( 15 - 15 \right) \\ \left( 7 - 7 \right) \\ \end{matrix}\begin{matrix} \left( 2 - 0 \right) \\ \left( 25 - 21 \right) \\ \left( 27 - 20 \right) \\ \end{matrix} \right\rbrack\\ &= \left\lbrack \begin{matrix} 5 \\ 2 \\ 2 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 15 \\ 4 \\ 15 \\ \end{matrix}\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 7 \\ \end{matrix} \right\rbrack \end{split} \nonumber \]

Отже, якщо ви хочете знати, скільки більше мідних шин було продано в кварталі$4$ в магазині,$A$ ніж в магазині$B$,$d_{34} = 7$. Зверніть увагу, що це$d_{13} = - 1$ означає, що магазин$A$ продав на 1 менше шин Мічигану, ніж магазин$B$ в кварталі$3$.

Як помножити дві матриці?

Дві матриці$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ можуть бути перемножені тільки в тому випадку, якщо кількість стовпців$\left\lbrack A \right\rbrack$ дорівнює кількості рядків,$\left\lbrack B \right\rbrack$ щоб дати

\[\left\lbrack C \right\rbrack_{m \times n} = \left\lbrack A \right\rbrack_{m \times p}\left\lbrack B \right\rbrack_{p \times n} \nonumber \]

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack$ є$m \times p$ матрицею і$\left\lbrack B \right\rbrack$ є$p \times n$ матрицею, то отримана матриця$\left\lbrack C \right\rbrack$ є$m \times n$ матрицею.

Так як же обчислювати елементи$\left\lbrack C \right\rbrack$ матриці?

\[\begin{split} c_{ij} &= \sum_{k = 1}^{p}{a_{ik}b_{kj}}\\ &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{ip}b_{pj} \end{split} \nonumber \]

для кожного$i = 1,\ 2,\ \ldots\ \ ,\ m$ і$j = 1,\ 2,\ \ldots\ \ ,\ n$.

Якщо говорити простіше, то$i^{th}$ рядок і$j^{th}$ стовпець$\left\lbrack C \right\rbrack$ матриці в$\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$ обчислюється множенням$i^{th}$ рядка$\left\lbrack A \right\rbrack$ на$j^{th}$ стовпець $\left\lbrack B \right\rbrack$. Тобто

\[\begin{split} c_{ij} &= \left\lceil a_{i1}a_{i2}\ \ \ldots\ \ \ a_{\text{ip}} \right\rceil\begin{bmatrix} \begin{matrix} b_{1j} \\ b_{2j} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ b_{\text{pj}} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}\\ &= a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{\text{ip}}b_{\text{pj}}\\ &= \sum_{k = 1}^{p}{a_{\text{ik}}b_{\text{kj}}} \end{split} \nonumber \]

Приклад 5

Враховується

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & - 2 \\ 5 & - 8 \\ 9 & - 10 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Знайти

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \nonumber \]

Рішення

$c_{12}$можна знайти, помноживши перший ряд$\left\lbrack A \right\rbrack$ на другий стовпець$\left\lbrack B \right\rbrack$,

\[\begin{split} c_{12} &= \begin{bmatrix} 5 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -2 \\ -8 \\ -10 \\ \end{bmatrix}\\ &= \left( 5 \right)\left( - 2 \right) + \left( 2 \right)\left( - 8 \right) + \left( 3 \right)\left( - 10 \right)\\ &= -56 \end{split} \nonumber \]

Аналогічно можна знайти і інші елементи,$\left\lbrack C \right\rbrack$ щоб дати

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 52 & - 56 \\ 76 & - 88 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Приклад 6

Місце розташування магазину Blowout r'us$A$ та продажі шин задаються маркою (у рядах) та чвертями (у стовпцях), як показано нижче

де рядки представляють продаж шин Tirestone, Michigan і Copper відповідно, а стовпці представляють номер чверті: 1, 2, 3 і 4. Знайдіть квартальні продажі магазину,$A$ якщо нижче вказані ціни на кожну шину:

вагонний камінь =$\$33.25$
Мічиган =$\$40.19$
Мідь =$\$25.03$

Рішення

Відповідь дається множенням цінової матриці на кількість продажів магазину$A$. Матриця цін є$\begin{bmatrix} 33.25 & 40.19 & 25.03 \\ \end{bmatrix}$, тому поквартальні продажі магазину$A$ будуть задаватися:

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 33.25 & 40.19 & 25.03 \\ \end{bmatrix}\left\lbrack \begin{matrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 20 \\ 10 \\ 16 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 3 \\ 15 \\ 7 \\ \end{matrix}\begin{matrix} 2 \\ 25 \\ 27 \\ \end{matrix} \right\rbrack \nonumber \]

\[c_{ij} = \sum_{k = 1}^{3}{a_{ik}b_{kj}} \nonumber \]

\[\begin{split} c_{11} &= \sum_{k = 1}^{3}{a_{1k}b_{k1}}\\ &= a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} + a_{13}b_{31}\\ &= \left( 33.25 \right)\left( 25 \right) + \left( 40.19 \right)\left( 5 \right) + \left( 25.03 \right)\left( 6 \right)\\ &= \text{\$} 1182.38 \end{split} \nonumber \]

Аналогічно

\[c_{12} = \$ 1467.38 \nonumber \]

\[c_{13} = \$ 877.81 \nonumber \]

\[c_{14} = \$ 1747.06 \nonumber \]

Тому кожен квартал продажів магазину$A$ в доларах задається чотирма стовпцями вектора рядка.

\[\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack 1182.38\ \ \ 1467.38\ \ \ 877.81\ \ \ 1747.06 \right\rbrack \nonumber \]

Пам'ятайте, оскільки ми множимо$1 \times 3$ матрицю на$3 \times 4$ матрицю, отримана матриця є$1 \times 4$ матрицею.

Що таке скалярне множення матриці?

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack$ є$m \times n$ матрицею і$k$ є дійсним числом, то$\left\lbrack A \right\rbrack$ множення на скаляр$k$ - це інша$m \times n$ матриця$\left\lbrack B \right\rbrack$, де

$b_{ij} = k\ a_{ij}$для всіх$i,\ j$.

Приклад 7

Нехай

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Знайти$2\left\lbrack A \right\rbrack$

Рішення

\[\begin{split} 2\left\lbrack A \right\rbrack &= 2\begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2 \times 2.1 & 2 \times 3 & 2 \times 2 \\ 2 \times 5 & 2 \times 1 & 2 \times 6 \\ \end{bmatrix}\\ & = \begin{bmatrix} 4.2 & 6 & 4 \\ 10 & 2 & 12 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Що таке лінійна комбінація матриць?

Якщо$\left\lbrack A_{1} \right\rbrack,\left\lbrack A_{2} \right\rbrack,\ \ldots\ ,\ \left\lbrack A_{p} \right\rbrack$ матриці однакового розміру і$k_{1},\ k_{2},\ \ldots\ ,\ k_{p}$ є скалярами, то

\[k_{1}\left\lbrack A_{1} \right\rbrack + k_{2}\left\lbrack A_{2} \right\rbrack + \ \ldots\ + k_{p}\left\lbrack A_{p} \right\rbrack \nonumber \]

називається лінійною комбінацією$\left\lbrack A_{1} \right\rbrack,\left\lbrack A_{2} \right\rbrack,\ \ldots\ ,\ \left\lbrack A_{p} \right\rbrack$.

Приклад 8

Якщо

\[\left\lbrack A_{1} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix},\ \left\lbrack A_{2} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix},\ \left\lbrack A_{3} \right\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 2.2 & 2 \\ 3 & 3.5 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

потім знайдіть

\[\left\lbrack A_{1} \right\rbrack + 2\left\lbrack A_{2} \right\rbrack - 0.5\left\lbrack A_{3} \right\rbrack \nonumber \]

Рішення

\[\left\lbrack A_{1} \right\rbrack + 2\left\lbrack A_{2} \right\rbrack - 0.5\left\lbrack A_{3} \right\rbrack \nonumber \]

\[\begin{split} &= \begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 2.1 & 3 & 2 \\ 5 & 1 & 6 \\ \end{bmatrix} - 0.5\begin{bmatrix} 0 & 2.2 & 2 \\ 3 & 3.5 & 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 \\ 3 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 4.2 & 6 & 4 \\ 10 & 2 & 12 \\ \end{bmatrix} - 0.5\begin{bmatrix} 0 & 1.1 & 1 \\ 1.5 & 1.75 & 3 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 9.2 & 10.9 & 5 \\ 11.5 & 2.25 & 10 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Які деякі правила бінарних матричних операцій?

Комутативний закон додавання

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ є$m \times n$ матрицями, то

\[\left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Асоціативний закон додавання

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack$$\left\lbrack B \right\rbrack$, і$\left\lbrack C \right\rbrack$ всі$m \times n$ матриці, то

\[\left\lbrack A \right\rbrack + \left( \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack \right) = \left( \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \right) + \left\lbrack C \right\rbrack \nonumber \]

Асоціативний закон множення

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack$$\left\lbrack B \right\rbrack$, і$\left\lbrack C \right\rbrack$ are$m \times n$$n \times p$, і$p \times r$ розмір матриць, відповідно, то

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \right) = \left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \right)\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber \]

і отриманий розмір матриці по обидва боки рівняння дорівнює$m \times p$.

Дистрибутивне право

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ є$m \times n$ розмірними матрицями, а$\left\lbrack C \right\rbrack$ і$\left\lbrack D \right\rbrack$$n \times p$ розмірними матрицями

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack C \right\rbrack + \left\lbrack D \right\rbrack \right) = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack D \right\rbrack \nonumber \]

\[\left( \left\lbrack A \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack \right)\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack + \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \nonumber \]

І отриманий розмір матриці по обидва боки рівняння є$m \times p$.

Приклад 9

Проілюструйте асоціативний закон множення матриць за допомогою

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix},\ \ \ \ \left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 6 \\ \end{bmatrix},\ \ \ \ \left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

\[\begin{split} \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 6 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 19 & 27 \\ 36 & 39 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack \right) &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 19 & 27 \\ 36 & 39 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 91 & 105 \\ 237 & 276 \\ 72 & 78 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 5 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 9 & 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 20 & 17 \\ 51 & 45 \\ 18 & 12 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left( \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \right)\left\lbrack C \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 20 & 17 \\ 51 & 45 \\ 18 & 12 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 91 & 105 \\ 237 & 276 \\ 72 & 78 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

Наведене вище ілюструє асоціативний закон множення матриць.

Чи є [А] [B] = [B] [A]?

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$ існує, кількість стовпців$\left\lbrack A \right\rbrack$ має збігатися з кількістю рядків,$\left\lbrack B \right\rbrack$ а якщо$\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$ існує, кількість стовпців$\left\lbrack B \right\rbrack$ має збігатися з кількістю рядків$\left\lbrack A \right\rbrack$. Тепер для$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$, отримана матриця з$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$ повинна бути однакового розміру. Це можливо тільки в тому випадку, якщо$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ квадратні і мають однаковий розмір. Вже тоді взагалі$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \neq \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$

приклад 10

Визначте, чи

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Для наступних матриць

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix},\ \ \ \ \left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

\[\begin{split} \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 15 & 27 \\ - 1 & 29 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\begin{split} \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack &= \begin{bmatrix} - 3 & 2 \\ 1 & 5 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 2 & 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} - 14 & 1 \\ 16 & 28 \\ \end{bmatrix} \end{split} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack \neq \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack \nonumber \]

Двійкові матричні операції Вікторина

Вікторина 1

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & - 3 \\ \end{bmatrix}$ і$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 \\ - 3 \\ \end{bmatrix}$ тоді$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack =$

(А)$\begin{bmatrix} - 8 \\ 23 \\ \end{bmatrix}$

(Б)$\begin{bmatrix} 10 & 12 \\ 14 & 9 \\ \end{bmatrix}$

(С)$\begin{bmatrix} - 2 & 5 \\ \end{bmatrix}$

(D) неможливо

Вікторина 2

$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$Щоб продукт був можливим

(A) кількість рядків$\left\lbrack A \right\rbrack$ повинна бути такою ж, як кількість стовпців$\left\lbrack B \right\rbrack$

(B) кількість стовпців$\left\lbrack A \right\rbrack$ повинна бути такою ж, як кількість рядків$\left\lbrack B \right\rbrack$

(D) кількість стовпців$\left\lbrack A \right\rbrack$ і$\left\lbrack B \right\rbrack$ повинна бути однаковою

Вікторина 3

Якщо$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 50 & 60 \\ 20 & - 30 \\ \end{bmatrix}$ тоді 6$\left\lbrack A \right\rbrack$ дорівнює

(А)$\begin{bmatrix} 50 & 360 \\ 120 & - 180 \\ \end{bmatrix}$

(Б)$\begin{bmatrix} 300 & 60 \\ 20 & - 30 \\ \end{bmatrix}$

(С)$\begin{bmatrix} 300 & 360 \\ 120 & - 180 \\ \end{bmatrix}$

(D)$\begin{bmatrix} 56 & 66 \\ 26 & - 24 \\ \end{bmatrix}$

Вікторина 4

$\left\lbrack A \right\rbrack$і$\left\lbrack B \right\rbrack$ квадратні матриці$n \times n$ порядку. Тоді$(\left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack)(\left\lbrack A \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack)$ дорівнює

(А)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} + \left\lbrack B \right\rbrack^{2} - 2\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$

(Б)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} + \left\lbrack B \right\rbrack^{2}$

(С)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} - \left\lbrack B \right\rbrack^{2}$

(D)$\left\lbrack A \right\rbrack^{2} + \left\lbrack B \right\rbrack^{2} - \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack - \left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$

Вікторина 5

$\left\lbrack A \right\rbrack$Наводиться прямокутна матриця і$c\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack$, потім вибираємо найбільш підходящу відповідь.

(А)$C = 0$

(Б)$C = 0$ і$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack$

(С)$C = 0$ або$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack 0 \right\rbrack$

(D)$C = 0$ і$\left\lbrack A \right\rbrack$ є ненульовою матрицею

Вікторина 6

Ви продаєте цукерки «Юпітер» і «Фікерс». Продажі в січні складають 25 і 30 Юпітер і Фікерс відповідно. У лютому продажі складають 75 і 35 Юпітер і Фікерс відповідно. Якщо бар Юпітера коштує 2 долари, а бар Fickers коштує 7 доларів, то якщо

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 30 \\ 75 & 35 \\ \end{bmatrix}, \;\; and \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}, \nonumber \]

загальна сума продажів у кожному місяці задається

(А)$\left\lbrack B \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack$

(Б)$\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$

(С)$2\left\lbrack A \right\rbrack$

(D)$7\left\lbrack A \right\rbrack$

Вправа на бінарні матричні операції

Вправа 1

Для наступних матриць

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 3 \\ - 1 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 0 \\ 2 \\ \end{matrix} \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}$,$\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}$,$\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} \begin{matrix} 5 \\ 3 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 2 \\ 5 \\ \end{matrix} \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix}$

Знайдіть, де це можливо

$4\lbrack A\rbrack + 5\lbrack C\rbrack$
$\lbrack A\rbrack\lbrack B\rbrack$
$\lbrack A\rbrack = 2\lbrack C\rbrack$

Відповідь

А.$= \begin{bmatrix} \begin{matrix} 37 \\ 11 \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 10 \\ 33 \\ \end{matrix} \\ 34 & 39 \\ \end{bmatrix}$

Б.$= \begin{bmatrix} 12 & - 3 \\ - 4 & 5 \\ 4 & 1 \\ \end{bmatrix}$

С.$= \begin{bmatrix} - 7 & - 4 \\ - 7 & - 8 \\ - 11 & - 13 \\ \end{bmatrix}$

Вправа 2

Замовлення на харчування приймаються з двох інженерних відділів на винос. Порядок наведено нижче.

Замовлення їжі:

\[\begin{matrix} \text{Mechanical} \\ \text{Civil} \\ \end{matrix}\overset{\begin{matrix} \begin{matrix} \text{Chicken} \\ \text{Sandwich} \\ \end{matrix} & \text{Fries} & \text{Drink} \\ \end{matrix}}{\begin{bmatrix} 25\ \ & 35 & \ \ 25 \\ 21\ \ & 20 & \ \ 21 \\ \end{bmatrix}} \nonumber \]

Однак у них є вибір придбання цієї їжі з трьох різних ресторанів. Їх ціни на три продукти харчування наведені нижче.

Матриця цін:

\[\begin{matrix} \text{Chicken} \ \ \text{Sandwich} \\ \text{Fries} \\ \text{Drink} \\ \end{matrix}\overset{\begin{matrix} \text{McFat} & \text{Burcholestrol} & \begin{matrix} \text{Kentucky} \\ \text{Sodium} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix}}{\begin{bmatrix} 2.42\ \ \ \ & 2.38 & \ \ 2.46 \\ 0.93\ \ \ \ & 0.90 & \ \ 0.89 \\ 0.95\ \ \ \ & 1.03 & \ \ 1.13 \\ \end{bmatrix}} \nonumber \]

Покажіть, скільки кожен відділ заплатить за своє замовлення в кожному ресторані. З якого ресторану було б економічніше замовити для кожного відділу?

Відповідь: Вартість в доларах - 116,80, 116,75, 120,90 для механічного відділу на трьох стиках швидкого харчування. Так що Бурхолестрол є найдешевшим для механічного відділу. Вартість в доларах 89,37, 89.61, 93.19 для цивільного відділу на трьох стиках швидкого харчування. McFat є найдешевшим для цивільного департаменту.

Вправа 3

Враховується

$\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 6 & 7 & 9 \\ 2 & 1 & 3 \\ \end{bmatrix}$

$\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 9 \\ 1 & 6 \\ \end{bmatrix}$

$\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 9 \\ 7 & 6 \\ \end{bmatrix}$

Проілюструйте розподільний закон бінарних матричних операцій

$\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack \right) = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack$

Відповідь

\[\left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 9 \\ 1 & 6 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 9 \\ 7 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[= \begin{bmatrix} 8 & 7 \\ 5 & 18 \\ 8 & 12 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left( \left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack C \right\rbrack \right) = \begin{bmatrix} 71 & 128 \\ 155 & 276 \\ 45 & 68 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 17 & 67 \\ 41 & 147 \\ 11 & 37 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 54 & 61 \\ 114 & 129 \\ 34 & 31 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack + \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack C \right\rbrack = \begin{bmatrix} 71 & 128 \\ 155 & 276 \\ 45 & 68 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Вправа 4

$\lbrack I\rbrack$Дозволяти бути матрицею$n \times n$ ідентичності. Покажіть, що$\lbrack A\rbrack\lbrack\lbrack I\rbrack = \lbrack I\rbrack\lbrack A\rbrack = \lbrack A\rbrack$ для кожної$n \times n$ матриці$\lbrack A\rbrack$.

Нехай$\left\lbrack C \right\rbrack_{n \times n} = \left\lbrack A \right\rbrack_{n \times n}\left\lbrack I \right\rbrack_{n \times n}$

Відповідь

Підказка:$c_{ij} = \sum_{p = 1}^{n}a_{ip}i_{pj}$

$= a_{i1}i_{1j} + \ldots\ldots + a_{i,j - 1}i_{j - 1,j} + a_{ij}i_{jj} + a_{i\left( j + 1 \right)}i_{\left( j + 1 \right)j} + \ldots\ldots + a_{in}i_{nj}$

Так як

$i_{ij} = 0$для$i \neq j$

$= 1$для$i = j$

$c_{ij} = a_{ij}$

Так$\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack I \right\rbrack$

Аналогічно вчинити і в іншому випадку

$\left\lbrack I \right\rbrack\left\lbrack A \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack$. Просто зробіть це!

Вправа 5

Розглянемо, що в країні є тільки дві комп'ютерні компанії. Компанії називаються Чувак і Імак. Щороку компанія Dude утримує 1/5 ^-ю своїх клієнтів, а решта переходять на Imac. Щороку Imac тримає ^1/3 числа своїх клієнтів, а решта переходять на чувак. Якщо в 2002 році, Чувак має$1/6^th$ ринок і Imac має$5/6^th$ ринок.

Який розподіл клієнтів між двома компаніями в 2003 році? Напишіть відповідь спочатку як множення двох матриць.
Яким буде розподіл, коли ринок стане стабільним?

Відповідь: В кінці 2002 року чувак має$\frac{1}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{2}{3} \times \frac{5}{6} = 0.589$.
Imac має$\frac{4}{5} \times \frac{1}{6} + \frac{1}{3} \times \frac{5}{6} = 0.411$
в матричній формі$\begin{bmatrix} \frac{1}{5} & \frac{2}{3} \\ \frac{4}{5} & \frac{1}{3} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{1}{6} \\ \frac{5}{6} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.589 \\ 0.411 \\ \end{bmatrix}$
Б. стабільний розподіл є [10/22 12/22] (Спробуйте зробити цю частину проблеми спочатку, знайшовши розподіл через п'ять років).

Вправа 6

Враховується

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 12.3 & - 12.3 & 10.3 \\ 11.3 & - 10.3 & - 11.3 \\ 10.3 & - 11.3 & - 12.3 \\ \end{bmatrix}$,

$\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ - 5 & 6 \\ 11 & - 20 \\ \end{bmatrix}$

$[A][B]$розмір матриці _______________

Відповідь: $3 \times 2$

Вправа 7

Враховується

$\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 12.3 & - 12.3 & 10.3 \\ 11.3 & - 10.3 & - 11.3 \\ 10.3 & - 11.3 & - 12.3 \\ \end{bmatrix}$,

$\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ - 5 & 6 \\ 11 & - 20 \\ \end{bmatrix}$

якщо$\left\lbrack C \right\rbrack = \left\lbrack A \right\rbrack\left\lbrack B \right\rbrack$, то$c_{31}$ = _____________________

Відповідь: $(10.3 \times 2) + (( - 5) \times ( - 11.3)) + (11 \times ( - 12.3)) = - 58.2$