2: Вектори

Цілі навчання

Прочитавши цю главу, ви повинні мати можливість:

1. визначити вектор
2. додавання і віднімання векторів,
3. знайти лінійні комбінації векторів і їх зв'язок з сукупністю рівнянь,
4. пояснити, що означає мати лінійно незалежний набір векторів, і
5. знайти ранг набору векторів.

Що таке вектор?

Вектор - це сукупність чисел в певному порядку. Якщо це сукупність$n$ чисел, то її називають$n$ -мірним вектором. Отже, вектор,$\overrightarrow{A}$ заданий

$$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} \begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} \vdots \\ a_{n} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix} \notag$$

$n$-вимірний вектор стовпця з$n$ компонентами,$a_{1},a_{2},......,a_{n}$. Вище наведено вектор-стовпчик. Вектор рядка$\lbrack B\rbrack$ має вигляд,$\overrightarrow{B} = \lbrack b_{1},b_{2},....,b_{n}\rbrack$ де$\overrightarrow{B}$ є$n$ -мірним рядковим вектором з$n$ компонентами$b_{1},b_{2},....,b_{n}$.

Приклад 1

Наведіть приклад тривимірного вектора стовпця.

Рішення

Припустимо, що точка в просторі задається її$(x,y,z)$ координатами. Тоді якщо значення$x = 3,\ y = 2,\ z = 5$, то вектор стовпця, відповідний розташуванню точок

$$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} \notag$$

Коли два вектори рівні?

Два$\overrightarrow{B}$ вектори$\overrightarrow{A}$ і рівні, якщо вони однакової розмірності і якщо їх відповідні складові рівні.

Враховується

$$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix}\notag$$

і

$$\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}\notag$$

то$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{B}$ якщо$a_{i} = b_{i},\ \ i = 1,2,......,n$.

Приклад 2

Які значення невідомих компонентів в$\overrightarrow{B}$ if

$$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\notag$$

і

$$\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} b_{1} \\ 3 \\ 4 \\ b_{4} \\ \end{bmatrix}\notag$$

і$\overrightarrow{A} = \overrightarrow{B}$.

Рішення

$$b_{1} = 2,b_{4} = 1\notag$$

Як додати два вектори?

Два вектори можуть бути додані тільки в тому випадку, якщо вони мають однакову розмірність, а додавання задається

$$\begin{split} \lbrack A\rbrack + \lbrack B\rbrack &= \begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \\ \vdots \\ a_{n} + b_{n} \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag$$

Приклад 3

Додайте два вектори

$$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\notag$$

і

$$\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 5 \\ - 2 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Рішення

$$\begin{split} \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} &= \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \\ 1 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 5 \\ - 2 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2 + 5 \\ 3 - 2 \\ 4 + 3 \\ 1 + 7 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 7 \\ 8 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag$$

Приклад 4

У магазині продаються три марки шин: Tirestone, Michigan і Copper. У 1 кварталі продажі задаються вектором стовпця

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\notag$$

де ряди представляють три марки проданих шин — Tirestone, Michigan і Copper відповідно. У 2 кварталі продажі подаються по

$${\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 20 \\ 10 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Який загальний обсяг продажу кожної марки шин в першому півріччі?

Рішення

Загальний обсяг продажів буде надано

$$\begin{split} \overrightarrow{C} &= {\overrightarrow{A}}_{1} + {\overrightarrow{A}}_{2}\\ &= \begin{bmatrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 20 \\ 10 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 25 + 20 \\ 5 + 10 \\ 6 + 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 45 \\ 15 \\ 12 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag$$

Так, кількість проданих шин Tirestone становить 45, Мічиган - 15, а Мідь - 12 в першому півріччі.

Що таке нульовий вектор?

Нульовий вектор (також званий нульовим вектором) - це місце, де всі компоненти вектора дорівнюють нулю.

Приклад 5

Наведіть приклад нульового вектора або нульового вектора.

Рішення

Вектор

$$\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag$$

є прикладом нульового або нульового вектора.

Що таке одиничний вектор?

Одиничний вектор$\overrightarrow{U}$ визначається як

$$\overrightarrow{U} = \begin{bmatrix} u_{1} \\ u_{2} \\ \vdots \\ u_{n} \\ \end{bmatrix}\notag$$

де

$$\sqrt{u_{1}^{2} + u_{2}^{2} + u_{3}^{2} + \ldots + u_{n}^{2}} = 1\notag$$

приклад 6

Наведіть приклади тривимірних одиничних векторів-стовпців.

Рішення

Приклади включають

$$\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\ \text{etc}.\notag$$

Як помножити вектор на скаляр?

Якщо$k$ є скалярним і$\overrightarrow{A}$ є$n$ -мірним вектором, то

$$\begin{split} k\overrightarrow{A} &= k\begin{bmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ \vdots \\ a_{n} \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} ka_{1} \\ ka_{2} \\ \vdots \\ ka_{n} \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag$$

приклад 7

Що таке,$2\overrightarrow{A}$ якщо

$$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 25 \\ 20 \\ 5 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Рішення

$$\begin{split} 2\overrightarrow{A} &= 2\begin{bmatrix} 25 \\ 20 \\ 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 2 \times 25 \\ 2 \times 20 \\ 2 \times 5 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 50 \\ 40 \\ 10 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag$$

приклад 8

У магазині продаються три марки шин: Tirestone, Michigan і Copper. У 1 кварталі продажі задаються вектором стовпця

$$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 25 \\ 25 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Якщо мета полягає в тому, щоб збільшити продажі всіх шин мінімум на 25% в наступному кварталі, скільки кожної марки має бути продано?

Рішення

Оскільки мета полягає в тому, щоб збільшити продажі на 25%, можна було б помножити$\overrightarrow{A}$ вектор на 1,25,

$$\begin{split} \overrightarrow{B} &= 1.25\begin{bmatrix} 25 \\ 25 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\\ &= \begin{bmatrix} 31.25 \\ 31.25 \\ 7.5 \\ \end{bmatrix} \end{split}\notag$$

Так як кількість шин має бути цілим числом, можна сказати, що метою продажів є

$$\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 32 \\ 32 \\ 8 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Що ви маєте на увазі під лінійною комбінацією векторів?

Враховується

$${\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},......,{\overrightarrow{A}}_{m}\notag$$

як$m$ вектори однакової розмірності$n$, а$k_{1},k_{2},...,k_{m}$ якщо скаляри, то

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + ....... + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m}\notag$$

являє собою лінійну комбінацію$m$ векторів.

приклад 9

Знайти лінійні комбінації

(а)$\ \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}\ \text{and}$

(б)$\ \overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} - 3\overrightarrow{C}$

де

$$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 6 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 10 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Рішення

(a)\ почати {спліт}\\ overrightarrow {A} -\ переправа стрілка {B} &=\ почати {bmatrix} 2\\ 3\\ 6\\ кінець {bmatrix} -\ begin {bmatrix} 1\\ 2\\ кінець {bmatrix}\\\ =\ почати {bmatrix} 2 - 1\\ 3 - 1\\\\ кінець {bmatrix}\\\ кінець {bmatrix}\\ &=\ почати {bmatrix} 1\\ 2\\ 4\\ кінець {bmatrix}\ кінець {спліт}

(b)\ почати {спліт}\\ переправа стрілка {A} +\ переправа стрілка {B} - 3\ переправа стрілка {C} &=\ почати {bmatrix} 2\\ 3\\ 6\\ кінець {bmatrix} +\ почати {bmatrix} 1\\ 2\\ кінець {bmatrix} - 3\ begin {bmatrix} 10\\\ 1\\ 2\\\ кінець {bmatrix}\\ &=\ почати {bmatrix} 2 + 1 - 30\\ 3 + 1 - 3\ 6 + 2 - 6\\ кінець {bmatrix}\\ & ; =\ почати {bmatrix} - 27\\ 1\\ 2\\\ кінець {bmatrix}\ кінець {спліт}

Що ви маєте на увазі під лінійно незалежними векторами?

Безліч${\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{m}$ векторів вважається лінійно незалежним, якщо

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + ....... + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m} = \overrightarrow{0}\notag$$

має лише одне рішення

$$k_{1} = k_{2} = ...... = k_{m} = 0\notag$$

приклад 10

Три вектори

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix},\ \ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix},\ \ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\notag$$

лінійно незалежний?

Рішення

Написання лінійної комбінації трьох векторів

$$k_{1}\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag$$

дає

$$\begin{bmatrix} 25k_{1} + 5k_{2} + k_{3} \\ 64k_{1} + 8k_{2} + k_{3} \\ 144k_{1} + 12k_{2} + k_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Наведені вище рівняння мають тільки одне рішення,$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$. Однак як ми покажемо, що це єдине рішення? Це показано нижче.

Наведені вище рівняння є

$$25k_{1} + 5k_{2} + k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(1)\notag$$

$$64k_{1} + 8k_{2} + k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(2)\notag$$

$$144k_{1} + 12k_{2} + k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(3)\notag$$

Віднімання Ean (1) з Ean (2) дає

$$39k_{1} + 3k_{2} = 0\notag$$

$$k_{2} = - 13k_{1} \;\;\;\;\;\;\;(4)\notag$$

Множення Eqn (1) на 8 і віднімання його з Eqn (2), який спочатку помножений на 5 дає

$$120k_{1} - 3k_{3} = 0\notag$$

$$k_{3} = 40k_{1} \;\;\;\;\;\;\;(5)\notag$$

Пам'ятайте, що ми знайшли Ean (4) і Ean (5) тільки від Eans (1) і (2).

Заміна Eqn (4) і (5) в Eqn (3) для$k_{1}$ і$k_{2}$ дає

$$144k_{1} + 12( - 13k_{1}) + 40k_{1} = 0\notag$$

$$28k_{1} = 0\notag$$

$$k_{1} = 0\notag$$

Це означає, що$k_{1}$ має бути нульовим, і з'єднаним з (4) і (5),$k_{2}$ а$k_{3}$ також нулем. Тож єдиним рішенням є$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$. Отже, три вектори лінійно незалежні.

Приклад 11

Три вектори

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ 24 \\ \end{bmatrix}\notag$$

лінійно незалежний?

Рішення

За допомогою інспекції,

$${\overrightarrow{A}}_{3} = 2{\overrightarrow{A}}_{1} + 2{\overrightarrow{A}}_{2}\notag$$

або

$$- 2{\overrightarrow{A}}_{1} - 2{\overrightarrow{A}}_{2} + {\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag$$

Отже, лінійна комбінація

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + k_{3}{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag$$

має ненульове рішення

$$k_{1} = - 2,\ k_{2} = - 2,\ k_{3} = 1\notag$$

Значить, набір векторів лінійно залежить.

Що робити, якщо я не можу довести інспекцією, що робити? Поставте лінійну комбінацію трьох векторів, рівних нульовому вектору,

$$k_{1}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \\ \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ 24 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag$$

подарувати

$$k_{1} + 2k_{2} + 6k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(1)\notag$$

$$2k_{1} + 5k_{2} + 14k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(2)\notag$$

$$5k_{1} + 7k_{2} + 24k_{3} = 0 \;\;\;\;\;\;\;(3)\notag$$

Множення Eqn (1) на 2 та віднімання з Eqn (2) дає

$$k_{2} + 2k_{3} = 0\notag$$

$$k_{2} = - 2k_{3} \;\;\;\;\;\;\;(4)\notag$$

Множення Eqn (1) на 2.5 та віднімання з Eqn (2) дає

$$- 0.5k_{1} - k_{3} = 0\notag$$

$$k_{1} = - 2k_{3} \;\;\;\;\;\;\;(5)\notag$$

Пам'ятайте, що ми знайшли Ean (4) і Ean (5) тільки від Eans (1) і (2).

Замініть Eqn (4) і (5) на Eqn (3) для$k_{1}$ і$k_{2}$ дає

$$5\left( - 2k_{3} \right) + 7\left( - 2k_{3} \right) + 24k_{3} = 0\notag$$

$$- 10k_{3} - 14k_{3} + 24k_{3} = 0\notag$$

$$0 = 0\notag$$

Це означає, що будь-які значення, що задовольняють Eqns (4) і (5) будуть задовольняти Eqns (1), (2) і (3) одночасно.

Наприклад, вибрав

$k_{3} = 6$, потім

$k_{2} = - 12$від Ean (4), а

$k_{1} = - 12$від Еана (5).

Звідси ми маємо нетривіальне рішення$\begin{bmatrix} k_{1} & k_{2} & k_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} - 12 & - 12 & 6 \\ \end{bmatrix}$. Це означає, що три задані вектори лінійно залежні. Чи можете ви знайти інше нетривіальне рішення?

А як щодо наступних трьох векторів?

$$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 7 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6 \\ 14 \\ 25 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Вони лінійно залежні або лінійно незалежні?

Зауважте, що єдиною відмінністю цього набору векторів від попереднього є третій запис у третьому векторі. Отже, рівняння (4) та (5) залишаються дійсними. Який висновок ви робите, коли вставляєте рівняння (4) та (5) у третьому рівнянні:$5k_{1} + 7k_{2} + 25k_{3} = 0$? Що змінилося?

Приклад 12

Три вектори

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}\notag$$

лінійно незалежний?

Рішення

Запис лінійної комбінації трьох векторів і прирівнювання до нульового вектора

$$k_{1}\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix} + k_{2}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix} + k_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag$$

дає

$$\begin{bmatrix} 25k_{1} + 5k_{2} + k_{3} \\ 64k_{1} + 8k_{2} + k_{3} \\ 89k_{1} + 13k_{2} + 2k_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Крім того$k_{1} = k_{2} = k_{3} = 0$, можна знайти і інші рішення, для$k_{1},\ k_{2},\ k_{3}$ яких не рівні нулю. Наприклад,$k_{1} = 1,\ k_{2} = - 13,\ k_{3} = 40$ це також рішення, як

$$1\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix} - 13\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix} + 40\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Отже${\overrightarrow{A}}_{1},\ \ {\overrightarrow{A}}_{2},\ \ {\overrightarrow{A}}_{3}$, лінійно залежні.

Що ви маєте на увазі під рангом набору векторів?

З безлічі$n$ -мірних векторів максимальна кількість лінійно незалежних векторів в множині називається рангом множини векторів. Зауважте, що ранг векторів ніколи не може бути більшим за розмірність векторів.

приклад 13

Що таке ранг

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}?\notag$$

Рішення

Оскільки ми знайшли в прикладі 2.10,${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ які лінійно незалежні, ранг множини векторів${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ дорівнює 3. Якби нам дали інший вектор${\overrightarrow{A}}_{4}$, ранг множини векторів все одно становив${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3},{\overrightarrow{A}}_{4}$ би 3, оскільки ранг набору векторів завжди менше або дорівнює розмірності векторів і${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ які принаймні лінійно незалежні.

приклад 14

Що таке ранг

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix}?\notag$$

Рішення

У прикладі 2.12 ми виявили, що${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ лінійно${\overrightarrow{A}}_{1},\ {\overrightarrow{A}}_{2},\ {\overrightarrow{A}}_{3}$ залежні, ранг, отже, не 3, а менше 3. Це 2? Давайте виберемо два з трьох векторів

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 89 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 13 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Лінійна комбінація${\overrightarrow{A}}_{1}$ і${\overrightarrow{A}}_{2}$ дорівнює нулю має лише одне рішення — тривіальне рішення. Тому ранг дорівнює 2.

Приклад 15

Що таке ранг

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 2 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ 4 \\ \end{bmatrix},\ {\overrightarrow{A}}_{3} = \begin{bmatrix} 3 \\ 3 \\ 5 \\ \end{bmatrix}?\notag$$

Рішення

З огляду,

$${\overrightarrow{A}}_{2} = 2{\overrightarrow{A}}_{1},\notag$$

що має на увазі

$$2{\overrightarrow{A}}_{1} - {\overrightarrow{A}}_{2} + 0{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag$$

Звідси

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + k_{3}{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}\notag$$

має нетривіальне рішення.

Отже${\overrightarrow{A}}_{1},\ \ {\overrightarrow{A}}_{2},\ \ {\overrightarrow{A}}_{3}$, лінійно залежні, а отже, ранг трьох векторів не 3. Так як

$${\overrightarrow{A}}_{2} = 2{\overrightarrow{A}}_{1},\notag$$

${\overrightarrow{A}}_{1}\text{ and }{\overrightarrow{A}}_{2}$лінійно залежні, але

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{3}{\overrightarrow{A}}_{3} = \overrightarrow{0}.\notag$$

має тривіальне рішення як єдине рішення. Так${\overrightarrow{A}}_{1}$ і${\overrightarrow{A}}_{3}$ є лінійно незалежними. Ранг перерахованих вище трьох векторів - 2.

Довести, що якщо набір векторів містить нульовий вектор, множина векторів лінійно залежить.

${\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},.........,{\overrightarrow{A}}_{m}$Дозволяти набір$n$ -мірних векторів, то

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + \ \ldots\ + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m} = \overrightarrow{0}\notag$$

лінійна комбінація m векторів. Тоді припускаючи,${\overrightarrow{A}}_{1}$ що нульовий або нульовий вектор, будь-яке значення$k_{1}$ пов'язаного з$k_{2} = k_{3} = \ ..\ .\ = k_{m} = 0$ задовольнить вищевказане рівняння. Отже, множина векторів є лінійно залежною, оскільки існує більше одного розв'язку.

Довести, що якщо множина m векторів лінійно незалежна, то підмножина m векторів також повинна бути лінійно незалежною.

Нехай ця підмножина векторів буде

$${\overrightarrow{A}}_{a1},{\overrightarrow{A}}_{a2},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{\text{ap}}\notag$$

де$p < m$.

Тоді, якщо ця підмножина векторів лінійно залежить, лінійна комбінація

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{a1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{a2} + \ldots + k_{p}{\overrightarrow{A}}_{\text{ap}} = \overrightarrow{0}\notag$$

має нетривіальне рішення.

Так

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{a1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{a2} + \ldots + k_{p}{\overrightarrow{A}}_{\text{ap}} + 0{\overrightarrow{A}}_{a(p + 1)} + ....... + 0{\overrightarrow{A}}_{\text{am}} = \overrightarrow{0}\notag$$

також має нетривіальне рішення теж, де${\overrightarrow{A}}_{a\left( p + 1 \right)},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{\text{am}}$ знаходяться інші$(m - p)$ вектори. Однак це протиріччя. Тому підмножина лінійно незалежних векторів не може бути лінійно залежною.

Доведіть, що якщо набір векторів лінійно залежить, то принаймні один вектор може бути записаний як лінійна комбінація інших.

${\overrightarrow{A}}_{1},{\overrightarrow{A}}_{2},\ldots,{\overrightarrow{A}}_{m}$Дозволяти лінійно залежним множиною векторів, тоді існує набір скалярів

$k_{1},\ldots,k_{m}$не всі з яких дорівнюють нулю для лінійного комбінаційного рівняння

$$k_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + k_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + \ldots + k_{m}{\overrightarrow{A}}_{m} = \overrightarrow{0}.\notag$$

$k_{p}$Дозволяти бути одним з ненульових значень$k_{i},\ i = 1,\ldots,m$, тобто$k_{p} \neq 0$, то

$$A_{p} = - \frac{k_{2}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{2} - \ \ldots\ - \frac{k_{p - 1}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{p - 1} - \frac{k_{p + 1}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{p + 1} - \ \ldots\ - \frac{k_{m}}{k_{p}}{\overrightarrow{A}}_{m}\notag$$

і це доводить теорему.

Довести, що якщо розмірність множини векторів менше, ніж кількість векторів у множині, то множина векторів лінійно залежить.

Чи можете ви це довести?

Як можна використовувати вектори для запису одночасних лінійних рівнянь?

Якщо набір$m$ одночасних лінійних рівнянь з$n$ невідомими записується як

$$a_{11}x_{1} + \ \ldots\ + a_{1n}x_{n} = c_{1}\notag$$

$$a_{21}x_{1} + \ \ldots\ + a_{2n}x_{n} = c_{2}\notag$$

$$\begin{matrix} \vdots & & & \vdots \\ \vdots & & & \vdots \\ \end{matrix}\notag$$

$$a_{m1}x_{1} + \ \ldots\ + a_{\text{mn}}x_{n} = c_{n}\notag$$

де

$x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}$є невідомими, то в векторних позначеннях їх можна записати як

$$x_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + x_{2}{\overrightarrow{A}}_{2} + \ldots + x_{n}{\overrightarrow{A}}_{n} = \overrightarrow{C}\notag$$

де

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ \end{bmatrix}\notag$$

де

$${\overrightarrow{A}}_{1} = \begin{bmatrix} a_{11} \\ \vdots \\ a_{m1} \\ \end{bmatrix}\notag$$

$${\overrightarrow{A}}_{2} = \begin{bmatrix} a_{12} \\ \vdots \\ a_{m2} \\ \end{bmatrix}\notag$$

$${\overrightarrow{A}}_{n} = \begin{bmatrix} a_{1n} \\ \vdots \\ a_{\text{mn}} \\ \end{bmatrix}\notag$$

$${\overrightarrow{C}}_{1} = \begin{bmatrix} c_{1} \\ \vdots \\ c_{m} \\ \end{bmatrix}\notag$$

Тепер проблема стає, чи можна знайти скаляри$x_{1},x_{2},.....,x_{n}$ такі, що лінійна комбінація

$$x_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + .......... + x_{n}{\overrightarrow{A}}_{n}\notag$$

дорівнює тому$\overrightarrow{C}$, що

$$x_{1}{\overrightarrow{A}}_{1} + .......... + x_{n}{\overrightarrow{A}}_{n} = \overrightarrow{C}\notag$$

приклад 16

Напишіть

$$25x_{1} + 5x_{2} + x_{3} = 106.8\notag$$

$$64x_{1} + 8x_{2} + x_{3} = 177.2\notag$$

$$144x_{1} + 12x_{2} + x_{3} = 279.2\notag$$

як лінійна комбінація множини векторів, рівних іншому вектору.

Рішення

$$\begin{bmatrix} 25x_{1} & + 5x_{2} & + x_{3} \\ 64x_{1} & + 8x_{2} & + x_{3} \\ 144x_{1} & + 12x_{2} & + x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix}\notag$$

$$x_{1}\begin{bmatrix} 25 \\ 64 \\ 144 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 5 \\ 8 \\ 12 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 106.8 \\ 177.2 \\ 279.2 \\ \end{bmatrix}\notag$$

Яке визначення точкового добутку двох векторів?

$\overrightarrow{B} = \left\lbrack b_{1},b_{2},\ldots,b_{n} \right\rbrack$Дозволяти$\overrightarrow{A} = \left\lbrack a_{1},a_{2},\ldots,a_{n} \right\rbrack$ і бути двома n -мірними векторами. Потім крапковий добуток двох векторів$\overrightarrow{A}$ і$\overrightarrow{B}$ визначається як

$$\overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \ldots + a_{n}b_{n} = \sum_{i = 1}^{n}{a_{i}b_{i}}\notag$$

Точковий твір ще називають внутрішнім твором.

приклад 17

Знайти точковий добуток двох векторів$\overrightarrow{A}$ =$[4, 1, 2, 3]$ і$\overrightarrow{B}$ =$[3, 1, 7, 2].$

Рішення

$$\begin{split} \overrightarrow{A} \cdot \overrightarrow{B} &= \lbrack 4,1,2,3\rbrack\ .\ \lbrack 3,1,7,2\rbrack\\ &= \left( 4 \right)\left( 3 \right) + \left( 1 \right)\left( 1 \right) + \left( 2 \right)\left( 7 \right) + \left( 3 \right)\left( 2 \right)\\ &= 33 \end{split}\notag$$

Приклад 18

Лінійка продуктів потребує трьох видів гуми, як зазначено в таблиці нижче.

Гумовий тип	Вага (фунти)	Вартість за фунт ($)
A Б C	200 250 310	20.23 30.56 29.12

Використовуйте визначення точкового продукту, щоб знайти загальну ціну необхідної гуми.

Рішення

Вектор ваги задається

$$\overrightarrow{W} = \lbrack 200,250,310\rbrack\notag$$

а вектор вартості задається

$$\overrightarrow{C} = \lbrack 20.23,30.56,29.12\rbrack\notag$$

Загальна вартість гуми буде точковим добутком$\overrightarrow{W}$ і$\overrightarrow{C}$.

$$\begin{split} \overrightarrow{W} \cdot \overrightarrow{C} &= \lbrack 200,250,310\rbrack \cdot \lbrack 20.23,30.56,29.12\rbrack\\ &= (200)(20.23) + (250)(30.56) + (310)(29.12)\\ &= 4046 + 7640 + 9027.2\\ &= \text{\$} 20713.20 \end{split}\notag$$

Вектори Вікторина

Вікторина 1

Набір рівнянь

$$4x_{1} + 7x_{2} + 11x_{3} = 13\notag$$

$$17x_{1} + 39x_{2} + 23x_{3} = 31\notag$$

$$13x_{1} + 67x_{2} + 59x_{3} = 37\notag$$

також можна записати як

(А)$x_{1}\begin{bmatrix} 4 \\ 17 \\ 13 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 7 \\ 39 \\ 23 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 11 \\ 23 \\ 59 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 31 \\ 37 \\ \end{bmatrix}$

(Б)$4\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} + 39\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} + 59\begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 31 \\ 37 \\ \end{bmatrix}$

(С)$x_{1}\begin{bmatrix} 4 \\ 7 \\ 11 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 17 \\ 39 \\ 23 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 13 \\ 67 \\ 59 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 \\ 31 \\ 37 \\ \end{bmatrix}$

(D)$x_{1}\begin{bmatrix} 13 \\ 17 \\ 4 \\ \end{bmatrix} + x_{2}\begin{bmatrix} 67 \\ 39 \\ 7 \\ \end{bmatrix} + x_{3}\begin{bmatrix} 59 \\ 23 \\ 11 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 57 \\ 13 \\ 31 \\ \end{bmatrix}$

Вікторина 2

Величина вектора,$V = (5, - 3,2)$ дорівнює

(А)$4$

(Б)$10$

(С)$\sqrt{38}$

(D)$\sqrt{20}$

Вікторина 3

ранг вектора

$$\overset{\rightarrow}{A}\begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 7 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 6 \\ 9 \\ 21 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 7 \\ \end{bmatrix}\notag$$

є

(А)$1$

(Б)$2$

(С)$3$

(D)$4$

Вікторина 4

Якщо$\overrightarrow{A} = (5,2,3)$ і$\overrightarrow{B} = (6, - 7,3)$, то$4\overrightarrow{A} + 5\overrightarrow{B}$ є

(А)$(50, - 5,6)$

(Б)$(50, - 27,27)$

(С)$(11, - 5,6)$

(D)$(20,8,12)$

Вікторина 5

Точковий добуток двох векторів$\overset{\rightarrow}{A}$ і$\overset{\rightarrow}{B}$

$$\overset{\rightarrow}{A} = 3i + 5j + 7k\notag$$

$$\overset{\rightarrow}{B} = 11i + 13j + 17k\notag$$

більшість майже є

(А)$14.80$

(Б)$33.00$

(С)$56.00$

(D)$217.0$

Вікторина 6

Кут в градусах між двома векторами$\overrightarrow{u}$ і$\overrightarrow{v}$

$$\overset{\rightarrow}{u} = 3i + 5j + 7k\notag$$

$$\overset{\rightarrow}{v} = 11i + 13j + 17k\notag$$

більшість майже є

(А)$8.124$

(Б)$11.47$

(С)$78.52$

(D)$81.88$

Вектори вправи

Вправа 1

Для

$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 2 \\ 9 \\ - 7 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

знайти$\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}$ і$2\overrightarrow{A} - 3\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}$.

Відповідь

$\begin{bmatrix} 5 \\ 11 \\ - 2 \\ \end{bmatrix}$;$\begin{bmatrix} - 4 \\ 13 \\ - 28 \\ \end{bmatrix}$

Вправа 2

Є

$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1 \\ 4 \\ 25 \\ \end{bmatrix}$

лінійно незалежний?.

Який ранг вищевказаного набору векторів?

Відповідь

$3$

Вправа 3

Додайте сюди текст вправ.

Є

$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ 7 \\ \end{bmatrix}$

лінійно незалежний?.

Який ранг вищевказаного набору векторів?

Відповідь

3

Вправа 4

Є

$\overrightarrow{A} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 5 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{B} = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 10 \\ \end{bmatrix},\overrightarrow{C} = \begin{bmatrix} 1.1 \\ 2.2 \\ 5.5 \\ \end{bmatrix}$

лінійно незалежний?

Який ранг вищевказаного набору векторів?

Відповідь

Ні; 1

Вправа 5

Якщо набір векторів містить нульовий вектор, множина векторів лінійно

1. Незалежний
2. Залежний?

Відповідь

Б

Вправа 6

Якщо набір векторів лінійно незалежний, підмножина векторів лінійно

1. Незалежний.
2. Залежний.

Відповідь

A

Вправа 7

Якщо набір векторів лінійно залежний, то

1. Принаймні один вектор можна записати як лінійну комбінацію інших.
2. Принаймні один вектор є нульовим вектором.

Відповідь

A

Вправа 8

Якщо розмірність множини векторів менше кількості векторів у множині, то множина векторів лінійно

1. Залежний.
2. Незалежний.

Відповідь

A

Вправа 9

Знайти точковий добуток$\overrightarrow{A} = (2,1,2.5,3)$ і$\overrightarrow{B} = ( - 3,2,1,2.5)$

Відповідь

$6$

Вправа 10

Якщо$\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$ три ненульових вектора 2-вимірності, то

1. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$лінійно незалежні
2. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$лінійно залежні
3. $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v},\overrightarrow{w}$є одиничними векторами
4. $k_{1}\overrightarrow{u} + k_{2}\overrightarrow{v} + k_{3}\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$має унікальне рішення.

Відповідь

Б

Вправа 11

$\overrightarrow{u}$і$\overrightarrow{v}$ є двома ненульовими векторами розмірності$n$. Доведіть, що якщо$\overrightarrow{u}$ і$\overrightarrow{v}$ лінійно залежні, існує скалярний$q$ такий, що$\overrightarrow{v} = q\overrightarrow{u}$.

Відповідь

Підказка:

Почніть з$k_{1}\overrightarrow{u} + k_{2}\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Покажіть, що$k_{1} \neq 0$ і$k_{2} \neq 0$ тому$\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{u}$ і є ненульовими.

Звідси

$$\begin{split} \overrightarrow{\nu} &= - \frac{k_{1}}{k_{2}}\overrightarrow{u}\\ &=q\overrightarrow{u} \;\;\;\;\;\;\;\ q=- \frac{k_{1}}{k_{2}} \end{split}$$

Вправа 12

$\overrightarrow{u}$і$\overrightarrow{v}$ є двома ненульовими векторами розмірності$n$. Доведіть, що якщо є скалярний$q$ такий$\overrightarrow{v} = q\overrightarrow{u}$, що, то$\overrightarrow{u}$ і$\overrightarrow{v}$ лінійно залежать.

Відповідь

Підказка:

Так як

$\begin{matrix} \overrightarrow{v} = q\overrightarrow{u} \\ \overrightarrow{v} - q\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0} \\ \end{matrix}$

$q \neq 0$, інакше$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$

Отже, рівняння

$$k_{1}\overrightarrow{v} + k_{2}\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}\notag$$

має нетривіальне рішення

$$k_{1} = 1,k_{2} = q \neq 0.\notag$$