1: Вступ
Прочитавши цю главу, ви повинні мати можливість
- визначити, що таке матриця.
- визначити спеціальні типи матриць, і
- визначити, коли дві матриці рівні.
Як виглядає матриця?
Матриці є скрізь. Якщо ви використовували електронну таблицю, наприклад Excel або записані цифри в таблиці, ви використовували матрицю. Матриці роблять подання чисел чіткіше і полегшують програмування обчислень. Подивіться на матрицю нижче про продаж шин в магазині Blowoutr'us — наведено по кварталах і марці шин.
TirestoneMichiganCopperQ1. Q2. Q3. Q4[2520325101525616727]
Якщо хтось хоче знати, скільки мідних шин було продано в четвертому кварталі, ми йдемо по рядку Мідь і стовпець Q 4 і знаходимо, що це 27.
Отже, що таке матриця?
Матриця являє собою прямокутний масив елементів. Елементи можуть бути символічними виразами або/і числами. [A]Матриця позначається
[A]=[a11a12.......a1na21a22.......a2n⋮⋮am1am2.......amn]
iРядок[A] маєn елементи і є
[ai1ai2....ain]
і стовпецьj[A] маєm елементи і є
[a1ja2j⋮amj]
Кожна матриця має рядки та стовпці, і це визначає розмір матриці. Якщо матриця[A] маєm рядки іn стовпці, розмір матриці позначається знакомm×n. Матриця також[A] може бути позначена,[A]m×n щоб показати, що[A] це матриця зm рядками іn стовпцями.
Кожен запис в матриці називається записом або елементом матриці і позначається тим,aij деi знаходиться номер рядка іj номер стовпця елемента.
Матриця для прикладу продажу шин може бути позначена матрицею [A] як
[A]=[2520325101525616727]
Є 3 рядки і 4 колонки, тому розмір матриці дорівнює3×4. У наведеній вище[A] матриці,a34=27.
Які існують особливі типи матриць?
Вектор: Вектор - це матриця, яка містить лише один рядок або один стовпець. Існує два типи векторів — вектори рядків та вектори стовпців.
Рядок вектор:
Якщо матриця[B] має один рядок, вона називається вектором рядків\boldsymbol{\lbrack B\rbrack = \lbrack b_{1} \;b_{2}\ldots\ldots b_{n}\rbrack\ \} іn є розмірністю вектора рядка.
Наведіть приклад вектора рядка.
Рішення
[B]=[25 20 3 2 0]
приклад вектора рядка розмірності 5.
Вектор стовпця:
Якщо матриця[C] має один стовпець, вона називається вектором стовпця
[C]=[c1⋮⋮cm]
іm є розмірністю вектора.
Наведіть приклад вектора стовпця.
Рішення
[C]=[2556]
приклад вектора стовпця розмірності 3.
Підматриця:
Якщо деякі рядки або/і стовпці матриці[A] видаляються (рядки або стовпці не можуть бути видалені), решта матриці називається підматрицею[A].
Знайти деякі підматриці матриці
[A]=[4623−12]
Рішення
[4623−12], [463−1], [462],[4],[22]
є деякими з підматриць[A]. Чи можете ви знайти інші підматриці[A]?
Квадратна матриця:
Якщо кількістьm рядків матриці дорівнює числуn стовпців матриці[A], тобтоm=n, то[A] називається квадратною матрицею. Записиa11,a22,...,ann називаються діагональними елементами квадратної матриці. Іноді діагональ матриці також називають основною або основною матриці.
Наведемо приклад квадратної матриці.
Рішення
[A]=[25203510156157]
квадратна матриця, оскільки вона має однакову кількість рядків і стовпців, тобто 3. Діагональні елементи[A] єa11=25, a22=10, a33=7.
Верхня трикутна матриця:
n×nМатриця, для якоїaij=0, i>j для всіхi,j називається верхньої трикутної матрицею. Тобто всі елементи нижче діагональних записів дорівнюють нулю.
Наведемо приклад верхньої трикутної матриці.
Рішення
[A]=[10−700−0.00160015005]
являє собою верхню трикутну матрицю.
Нижня трикутна матриця:
n×nМатриця, для якоїaij=0, j>i для всіхi,j називається нижньої трикутної матрицею. Тобто всі елементи над діагональними записами дорівнюють нулю.
Наведемо приклад нижньої трикутної матриці.
Рішення
[A]=[1000.3100.62.51]
являє собою нижню трикутну матрицю.
Діагональна матриця:
Квадратна матриця з усіма недіагональними елементами рівними нулю називається діагональної матрицею, тобто ненульовими можуть бути тільки діагональні записи квадратної матриці, (aij=0, i≠j).
Наведіть приклади діагональної матриці.
Рішення
[A]=[30002.10005]
являє собою діагональну матрицю.
Будь-які або всі діагональні записи діагональної матриці можуть дорівнювати нулю. Наприклад
[A]=[30002.10000]
також є діагональною матрицею.
Матриця ідентичності:
Діагональна матриця з усіма діагональними елементами, рівними 1, називається тотожною матрицею, (aij=0, i≠jдля всіхi,j іaii=1 для всіхi).
Наведіть приклад матриці ідентичності.
Рішення
[A]=[1000010000100001]
є матрицею ідентичності.
Нульова матриця:
Матриця, всі записи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею, (aij=0для всіхi іj).
Наведіть приклади нульової матриці.
Рішення
[A]=[000000000]
[B]=[000000]
[C]=[000000000000]
[D]=[000]
всі приклади нульової матриці.
Тридіагональні матриці:
Тридіагональна матриця - це квадратна матриця, в якій всі елементи, що не на наступних, дорівнюють нулю - велика діагональ, діагональ вище великої діагоналі, і діагональ нижче великої діагоналі.
Наведемо приклад тридіагональної матриці.
Рішення
[A]=[2400239000520036]
являє собою тридіагональну матрицю.
Чи мають неквадратні матриці діагональні записи?
Так, дляm×n матриці[A] діагональні записи знаходятьсяa11,a22...,ak−1,k−1,akk деk=min{m, n}.
Які діагональні записи
[A]=[3.25672.93.25.67.8]
Рішення
Діагональні елементи[A] єa11=3.2 and a22=7.
Діагонально домінуюча матриця:
n×nКвадратна матриця[A] - це домінуюча по діагоналі матриця, якщо
|aii|≥n∑j=1i≠j|aij| for i=1,2,....,n
тобто для кожного рядка абсолютне значення (також зване величиною) діагонального елемента більше або дорівнює сумі абсолютних значень інших елементів цього рядка.
Наведіть приклади матриць, які є домінуючими по діагоналі і тих, які не є домінуючими по діагоналі.
Рішення
- Матриця
[A]=[15672−4.1−2326]
являє собою діагонально домінуючу матрицю.
Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.
Ряд 1: Чи є|a11|≥|a12|+|a13|? Так, тому що
|a11|=|15|,|a12|+|a13|=|6|+|7|=13,15≥13
Ряд 2: Чи є|a22|≥|a21|+|a23|? Так, тому що
|a22|=|−4.1|=4.1,|a21|+|a23|=|2|+|−2|=4,4.1≥4
Ряд 3: Чи є|a33|≥|a31|+|a32|? Так, тому що
|a33|=|6|,|a31|+|a32|=|3|+|2|=5,6≥5
- Матриця
[A]=[−15692−4−23−25]
являє собою діагонально домінуючу матрицю.
Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.
Ряд 1: Чи є|a11|≥|a12|+|a13|? Так, тому що
|a11|=|15|,|a12|+|a13|=|6|+|9|=15,15≥15
Ряд 2: Чи є|a22|≥|a21|+|a23|? Так, тому що
|a22|=|−4|=4,|a21|+|a23|=|2|+|−2|=4,4≥4
Ряд 3: Чи є|a33|≥|a31|+|a32|? Так, тому що
|a33|=|5|,|a31|+|a32|=|3|+|2|=5,5≥5
- Матриця
[A]=[−15692−4.1−23−25]
являє собою діагонально домінуючу матрицю.
Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.
Ряд 1: Чи є|a11|≥|a12|+|a13|? Так, тому що
|a11|=|15|,|a12|+|a13|=|6|+|9|=15,15≥15
Ряд 2: Чи є|a22|≥|a21|+|a23|? Так, тому що
|a22|=|−4.1|=4,|a21|+|a23|=|2|+|−2|=4,4.1≥4
Ряд 3: Чи є|a33|≥|a31|+|a32|? Так, тому що
|a33|=|5|,|a31|+|a32|=|3|+|2|=5,5≥5
- Матриця
[A]=[25516481144121]
не є домінуючою по діагоналі матрицею.
Чому? Тому що для кожного рядка відповідь на питання нижче не є так.
Ряд 1: Чи є|a11|≥|a12|+|a13|? Так, тому що
|a11|=|25|,|a12|+|a13|=|5|+|1|=6,25≥6
Ряд 2: Чи є|a22|≥|a21|+|a23|? Ні, тому що
|a22|=|8|=8,|a21|+|a23|=|64|+|1|=65,8<65
Ряд 3: Чи є|a33|≥|a31|+|a32|? Ні, тому що
|a33|=|1|,|a31|+|a32|=|144|+|12|=156,1<156
Слабка по діагоналі домінуюча матриця
Відповідь проста — визначення слабкої (ly) діагонально домінантної матриці ідентичне визначенню діагонально домінантної матриці, оскільки нерівність, яка використовується для перевірки, є слабкою нерівністю більшою або рівною (≥).
Строго по діагоналі домінуючі матриці:
n×nКвадратна матриця - це строго по діагоналі домінуюча матриця, якщо
|aii|>n∑j=1i≠j|aij| for i=1,2,....,n
тобто для кожного ряду абсолютне значення діагонального елемента строго більше суми абсолютних значень інших елементів цього ряду.
Наведіть приклади строго по діагоналі домінантних матриць і не строго по діагоналі домінуючих матриць.
Рішення
- Матриця
[A]=[15672−4.1−2326]
є строго по діагоналі домінуючою матрицею
Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.
Ряд 1: Чи є|a11|≥|a12|+|a13|? Так, тому що
|a11|=|15|,|a12|+|a13|=|6|+|7|=13,15>13.
Ряд 2: Чи є|a22|≥|a21|+|a23|? Так, тому що
|a22|=|−4.1|=4.1,|a21|+|a23|=|2|+|−2|=4,4.1>4
Ряд 3: Чи є|a33|≥|a31|+|a32|? Так, тому що
|a33|=|6||a31|+|a32|=|3|+|2|=5,6>5б) Матриця
[A]=[13672−4.1−2326]
це не строго по діагоналі домінуюча матриця
Чому? Тому що для кожного рядка відповідь на питання нижче не є так.
Ряд 1: Чи є|a11|≥|a12|+|a13|? Ні, тому що
|a11|=|13|,|a12|+|a13|=|6|+|7|=13,13≯
Ряд 2: Чи є\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|? Так, тому що
\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber
Ряд 3: Чи є\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|? Так, тому що
\left|a_{33}\right|=|6|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber
- Матриця
[A]=\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber
не є строго по діагоналі домінуючою матрицею.
Чому? Тому що для кожного рядка відповідь на питання нижче не є так.
Ряд 1: Чи є\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|? Так, тому що
\left|a_{11}\right|=|25|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25>6\nonumber
Ряд 2: Чи є\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|? Ні, тому що
\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber
Ряд 3: Чи є\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|? Ні, тому що
\left|a_{33}\right|=|1||| a_{31}|+| a_{32}|=| 144|+| 12 \mid=156, 1<156\nonumber
Незведена діагонально домінуюча матриця
n \times nКвадратна матриця - це незведена по діагоналі домінуюча матриця, якщо
[A]\ \text{is irreducible},\nonumber
\left|a_{ii}\right| \geq \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for } i=1,2,....,n\ \text{and}\nonumber
\left|a_{ii}\right| > \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for at least one row, } i=1,2,....,n\nonumber
Друга умова означає, що для кожного рядка абсолютне значення (також зване величиною) діагонального елемента більше або дорівнює сумі абсолютних значень інших елементів цього рядка. Третя умова означає, що принаймні для одного ряду абсолютне значення (також зване величиною) діагонального елемента більше суми абсолютних значень інших елементів цього рядка.
Наведіть приклади матриць, які є безповоротно домінуючими по діагоналі і тих, які не є безповоротно домінуючими по діагоналі.
Рішення
- Матриця
[A]=\begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}\nonumber
є незведеним по діагоналі домінуючою матрицею.
Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - Так.
Чи є[A] незвідним? Так.
Ряд 1: Чи є\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|? Так, тому що
\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,15>13 .\nonumber
Ряд 2: Чи є\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|? Так, тому що
\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber
Ряд 3: Чи є\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|? Так, тому що
\left|a_{33}\right|=|6|\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber
Чи дотримується нерівність строго хоча б для одного ряду? Так, це задовольняється для рядків 1, 2 та 3.
- Матриця
[A]=\begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber
це не незведена діагонально домінуюча матриця.
Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - це не так.
Чи є[A] незвідним? Так.
Ряд 1: Чи є\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|? Так, тому що
\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber
Ряд 2: Чи є\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|? Так, тому що
\left|a_{22}\right|=|-4|=4, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4 \geq 4\nonumber
Ряд 3: Чи є\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|? Так, тому що
\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber
Чи дотримується нерівність строго хоча б для одного ряду? Ні.
- Матриця
[A]=\begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber
є незведеним по діагоналі домінуючою матрицею.
Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - Так.
Чи є[A] незвідним? Так.
Ряд 1: Чи є\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|? Так, тому що
\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber
Ряд 2: Чи є\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|? Так, тому що
\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1 \geq 4\nonumber
Ряд 3: Чи є\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|? Так, тому що
\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber
Чи дотримується нерівність строго хоча б для одного ряду? Так, це задоволено для Row 2.
- Матриця
[A]=\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber
не є незведеним по діагоналі домінуючою матрицею.
Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - це не так.
Чи є[A] незвідним? Так.
Ряд 1: Чи є\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|? Так, тому що
\left|a_{11}\right|=|25|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25>6\nonumber
Ряд 2: Чи є\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|? Ні, тому що
\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber
Ряд 3: Чи є\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|? Ні, тому що
\left|a_{33}\right|=|1||| a_{31}|+| a_{32}|=| 144|+| 12 \mid=156, 1<156\nonumber
Немає необхідності перевіряти умови суворої нерівності..
Незведена матриця:
Квадратна матриця називається скорочуваною матрицею, якщо таке вірно. Візьміть індексиi=1,2,....,n і подивіться, чи можна їх розділити на дві неповні непорожні множиниi_1,i_2,....,i_\alpha іj_1,j_2,....,j_\beta такі, що
n=\alpha + \beta,\ \text{and}\nonumber
і
a_{i_k j_l}=0,\ k=1,2,....,\alpha\ \text{and}\ l=1,2,....,\beta\nonumber
Якщо квадратна матриця не піддається скороченню, її називають нескорочуваною матрицею.
Квадратна матриця[A] називається скорочуваною матрицею тоді і тільки тоді[P], коли для будь-якої матриці збурень множення матриці[P]^T[A][P] призводить до блоку верхньої трикутної матриці.
Наведіть приклади нескорочуваних і скорочуваних матриць.
Рішення
- Матриця
\begin{bmatrix} 0 & 5 & 7 \\ 8 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & 0 \end{bmatrix}\nonumber
являє собою незведену матрицю.
- Матриця
\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 6 \\ 10 & 0 & 0 \end{bmatrix}\nonumber
являє собою зведену матрицю. Чому? Візьміть індексиi=1,2,3 і подивіться, що їх можна розділити на дві неповні непорожні множини 1 і 2,3 такі, що,
\alpha = 1, \beta = 2,\ \text{giving}\ \alpha + \beta = 1+2 = 3,\ \text{and}\nonumber
a_{i_k j_l}=0,\ k=1 \ \text{and}\ l = 1,2\nonumber
Наслідки діагонально домінантних матриць
Якщо квадратна матриця строго по діагоналі домінуюча
-
то матриця несингулярна.
-
то якщо матриця симетрична з невід'ємними діагональними записами, матриця позитивна напіввизначена.
-
то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Гаусса-Зайделя завжди буде сходитися.
-
то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Йордана завжди буде сходитися.
-
то якщо діагональні записи матриці позитивні, то дійсні частини власних значень матриці позитивні.
-
то якщо діагональні записи матриці негативні, то дійсні частини власних значень матриці негативні.
-
тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для усунення Гаусса не потрібно поворот.
-
тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для факторизації LU не потрібно поворот.
Якщо квадратна матриця нескоротна по діагоналі домінуюча
-
то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Гаусса-Зайделя завжди буде сходитися.
-
то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Йордана завжди буде сходитися.
-
матриця несингулярна.
Якщо квадратна матриця є домінуючою по діагоналі (її також називають слабо діагонально домінуючою)
-
тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для усунення Гаусса не потрібно поворот.
-
тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для факторизації LU не потрібно поворот.
Рівні матриці:
Дві матриці [A] і [B] рівні, якщо розмір [A] і [B] однаковий (кількість рядків і стовпців [A] однакові, як у [B]) іa_{ij} = b_{ij} для всіх i і j.
Що б зробити
[A] = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix}\nonumber
бути рівним
[B] = \begin{bmatrix} b_{11} & 3 \\ 6 & b_{22} \\ \end{bmatrix}\nonumber
Рішення
Дві матриці[A] і[B] дорівнювали б, якщоb_{11} = 2 іb_{22} = 7.
Ключові умови:
Матриця
Вектор
Підматриця
Квадратна матриця
Рівні матриці
Нульова матриця
Матриця ідентичності
Діагональна матриця
Верхня трикутна матриця
Нижня трикутна матриця
Тридіагональна матриця
Вступ Вікторина
Дляn \times n верхньої трикутної\left\lbrack A \right\rbrack матриці
(А)a_{ij} = 0,i > j
(Б)a_{ij} = 0,j > i
(С)a_{ij} \neq 0,i > j
(D)a_{ij} \neq 0,j > i
Яка з цих квадратних матриць строго по діагоналі домінуюча?
(А)\begin{bmatrix} 5 & 7 & 0 \\ 3 & - 6 & 2 \\ 2 & 2 & 9 \\ \end{bmatrix}
(Б)\begin{bmatrix} 7 & - 5 & - 2 \\ 6 & - 13 & - 7 \\ 6 & - 7 & - 13 \\ \end{bmatrix}
(С)\begin{bmatrix} 8 & - 5 & - 2 \\ 6 & - 14 & - 7 \\ 6 & - 7 & - 13 \\ \end{bmatrix}
(D)\begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 14 & 7 \\ 6 & 7.5 & 14 \\ \end{bmatrix}
Порядок наступної матриці
\begin{bmatrix} 4 & - 6 & - 7 & 2 \\ 3 & 2 & - 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber
(А)4 \times 2
(Б)2 \times 4
(С)8 \times 1
(D) не визначено
Зробити наступні дві матриці рівними
\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & - 6 & 7 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber
\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & p & 7 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber значенняp є
(А)- 6
(Б)6
(С)0
(D)7
Щоб квадратнаn \times n матриця\left\lbrack A \right\rbrack була ідентифікаційною матрицею,
(А)a_{ij} \neq 0,i = j;a_{ij} = 0,i = j
(Б)a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} = 1,i = j
(С)a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} = i,i = j
(D)a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} > 0,i = j
Щоб наступна квадратна матриця була домінуючою по діагоналі, значенняp має бути
\begin{bmatrix} 6 & - 2 & - 4 \\ 7 & 9 & 1 \\ 8 & - 5 & p \\ \end{bmatrix} \nonumber
(A) більше або дорівнює 13
(B) більше 3
(C) більше або дорівнює 3
(D) більше 13
Вступ Вправа
Напишіть приклад вектора рядка розмірності 4.
- Відповідь
-
\begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}
Напишіть приклад вектора стовпця розмірності 4.
- Відповідь
-
\ \begin{bmatrix} 5 \\ - 7 \\ 3 \\ 2.5 \\ \end{bmatrix}
Напишіть приклад квадратної матриці порядку4 \times 4.
- Відповідь
-
\ \begin{bmatrix} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ - 2 & 3 & 5 & 1 \\ 1.5 & 6 & 7 & 8 \\ 1.1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix}
Напишіть приклад тридіагональної матриці порядку4 \times 4.
- Відповідь
-
\ \begin{bmatrix} 6 & 3 & 0 & 0 \\ 2.1 & 2 & 2.2 & 0 \\ 0 & 6.2 & - 3 & 3.5 \\ 0 & 0 & 2.1 & 4.1 \\ \end{bmatrix}
Напишіть приклад ідентичності матриці порядку5 \times 5.
- Відповідь
-
\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}
Напишіть приклад верхньої трикутної матриці порядку4 \times 4.
- Відповідь
-
\ \begin{bmatrix} 6 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}
Напишіть приклад нижньої трикутної матриці порядку4 \times 4.
- Відповідь
-
\ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 0 \\ 5 & 3 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}
Які з цих матриць строго по діагоналі домінують?
- \left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{bmatrix}
- \left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & - 5 \\ \end{bmatrix}
- \left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 6 & - 8 & 2 \\ 7 & - 5 & 12 \\ \end{bmatrix}
- Відповідь
-
(A) Так (B) Ні (C) Ні
Знайти всі підматриці
\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber
- Відповідь
-
\left\lbrack 10 \right\rbrack\left\lbrack - 7 \right\rbrack,\left\lbrack 0 \right\rbrack,\left\lbrack - 0.001 \right\rbrack,\left\lbrack 6 \right\rbrack\begin{bmatrix} 10 \\ 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} - 7 \\ - .001 \\ \end{bmatrix},,\begin{bmatrix} 0 \\ 6 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 10 & - 7 \\ 0 & - 0.001 \\ \end{bmatrix},\begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} - 7 & 0 \\ - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix},\left\lbrack 10, - 7 \right\rbrack,\left\lbrack 10,0 \right\rbrack\left\lbrack - 7,0 \right\rbrack,\left\lbrack 0,6 \right\rbrack,\left\lbrack 0, - 0.001 \right\rbrack,\left\lbrack - 0.001,6 \right\rbrack.
Якщо
\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}, \nonumber
що єb_{11} іb_{12} в
\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \nonumber
якщо\lbrack B\rbrack = 2\lbrack A\rbrack.
- Відповідь
-
\ 8, - 2
Є матричними
\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber
і матриця
\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ - 7 & - 0.001 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber
рівний?
- Відповідь
-
Ні
Квадратна матриця\lbrack A\rbrack нижча трикутна, якщо
- a_{ij} = 0дляi > j
- a_{ij} = 0дляj > i
- a_{ij} = 0дляi = j
- a_{ij} = 0дляi + j = odd\ integer
- Відповідь
-
Б
Квадратна матриця\lbrack A\rbrack верхня трикутна, якщо
- a_{ij} = 0дляi > j
- a_{ij} = 0дляj > i
- a_{ij} = 0дляi = j
- a_{ij} = 0дляi + j = odd\ integer
- Відповідь
-
A