1: Вступ

Цілі навчання

Прочитавши цю главу, ви повинні мати можливість

1. визначити, що таке матриця.
2. визначити спеціальні типи матриць, і
3. визначити, коли дві матриці рівні.

Як виглядає матриця?

Матриці є скрізь. Якщо ви використовували електронну таблицю, наприклад Excel або записані цифри в таблиці, ви використовували матрицю. Матриці роблять подання чисел чіткіше і полегшують програмування обчислень. Подивіться на матрицю нижче про продаж шин в магазині Blowoutr'us — наведено по кварталах і марці шин.

\[\begin{matrix} Tirestone\\ Michigan\\ Copper\\ \end{matrix} \stackrel{\mbox{Q1. Q2. Q3. Q4}}{\begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 & 2 \\ 5 & 10 &15 &25 \\ 6 & 16 &7 & 27 \\ \end{bmatrix}} \nonumber \]

Якщо хтось хоче знати, скільки мідних шин було продано в четвертому кварталі, ми йдемо по рядку Мідь і стовпець Q 4 і знаходимо, що це 27.

Отже, що таке матриця?

Матриця являє собою прямокутний масив елементів. Елементи можуть бути символічними виразами або/і числами. \(\lbrack A\rbrack\)Матриця позначається

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & {.......} & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & {.......} & a_{2n} \\ \vdots & & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & {.......} & a_{mn} \\ \end{bmatrix}\nonumber \]

\(i\)Рядок\(\lbrack A\rbrack\) має\(n\) елементи і є

\[\left\lbrack a_{i1}a_{i2}{....}a_{in} \right\rbrack \nonumber \]

і стовпець\(j\)\(\lbrack A\rbrack\) має\(m\) елементи і є

\[\begin{bmatrix} a_{1j} \\ a_{2j} \\ \vdots \\ a_{mj} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Кожна матриця має рядки та стовпці, і це визначає розмір матриці. Якщо матриця\(\lbrack A\rbrack\) має\(m\) рядки і\(n\) стовпці, розмір матриці позначається знаком\(m \times n\). Матриця також\(\lbrack A\rbrack\) може бути позначена,\(\lbrack A\rbrack_{m \times n}\) щоб показати, що\(\lbrack A\rbrack\) це матриця з\(m\) рядками і\(n\) стовпцями.

Кожен запис в матриці називається записом або елементом матриці і позначається тим,\(a_{ij}\) де\(i\) знаходиться номер рядка і\(j\) номер стовпця елемента.

Матриця для прикладу продажу шин може бути позначена матрицею [A] як

\[\ \lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 & 2 \\ 5 & 10 & 15 & 25 \\ 6 & 16 & 7 & 27 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Є 3 рядки і 4 колонки, тому розмір матриці дорівнює\(3 \times 4\). У наведеній вище\(\lbrack A\rbrack\) матриці,\(a_{34} = 27\).

Які існують особливі типи матриць?

Вектор: Вектор - це матриця, яка містить лише один рядок або один стовпець. Існує два типи векторів — вектори рядків та вектори стовпців.

Рядок вектор:

Якщо матриця\(\lbrack B\rbrack\) має один рядок, вона називається вектором рядків\(\lbrack B\rbrack = \lbrack b_{1} \;b_{2}\ldots\ldots b_{n}\rbrack\ \ \) і\(n\) є розмірністю вектора рядка.

Приклад 1

Наведіть приклад вектора рядка.

Рішення

\[\lbrack B\rbrack = \lbrack 25\ \ \ 20\ \ \ 3\ \ \ 2\ \ \ 0\rbrack\ \ \nonumber \]

приклад вектора рядка розмірності 5.

Вектор стовпця:

Якщо матриця\(\lbrack C\rbrack\) має один стовпець, вона називається вектором стовпця

\[\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} c_{1} \\ \vdots \\ \vdots \\ c_{m} \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

і\(m\) є розмірністю вектора.

Приклад 2

Наведіть приклад вектора стовпця.

Рішення

\[\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} 25 \\ 5 \\ 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

приклад вектора стовпця розмірності 3.

Підматриця:

Якщо деякі рядки або/і стовпці матриці\(\lbrack A\rbrack\) видаляються (рядки або стовпці не можуть бути видалені), решта матриці називається підматрицею\(\lbrack A\rbrack\).

Приклад 3

Знайти деякі підматриці матриці

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 3 & - 1 & 2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

\[\begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 \\ 3 & - 1 & 2 \\ \end{bmatrix},\ \ \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 3 & - 1 \\ \end{bmatrix},\ \ \begin{bmatrix} 4 & 6 & 2 \\ \end{bmatrix},\left\lbrack 4 \right\rbrack,\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

є деякими з підматриць\(\lbrack A\rbrack\). Чи можете ви знайти інші підматриці\(\lbrack A\rbrack\)?

Квадратна матриця:

Якщо кількість\(m\) рядків матриці дорівнює числу\(n\) стовпців матриці\(\lbrack A\rbrack\), тобто\(m = n\), то\(\lbrack A\rbrack\) називається квадратною матрицею. Записи\(a_{11},a_{22},...,a_{nn}\) називаються діагональними елементами квадратної матриці. Іноді діагональ матриці також називають основною або основною матриці.

Приклад 4

Наведемо приклад квадратної матриці.

Рішення

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 25 & 20 & 3 \\ 5 & 10 & 15 \\ 6 & 15 & 7 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

квадратна матриця, оскільки вона має однакову кількість рядків і стовпців, тобто 3. Діагональні елементи\(\lbrack A\rbrack\) є\(a_{11} = 25,\ \ a_{22} = 10,\ \ a_{33} = 7\).

Верхня трикутна матриця:

\(n \times n\)Матриця, для якої\(a_{ij} = 0,\ \ i > j\) для всіх\(i,j\) називається верхньої трикутної матрицею. Тобто всі елементи нижче діагональних записів дорівнюють нулю.

Приклад 5

Наведемо приклад верхньої трикутної матриці.

Рішення

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ 0 & 0 & 15005 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

являє собою верхню трикутну матрицю.

Нижня трикутна матриця:

\(n \times n\)Матриця, для якої\(a_{ij} = 0,\ \ j > i\) для всіх\(i,j\) називається нижньої трикутної матрицею. Тобто всі елементи над діагональними записами дорівнюють нулю.

Приклад 6

Наведемо приклад нижньої трикутної матриці.

Рішення

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0.3 & 1 & 0 \\ 0.6 & 2.5 & 1 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

являє собою нижню трикутну матрицю.

Діагональна матриця:

Квадратна матриця з усіма недіагональними елементами рівними нулю називається діагональної матрицею, тобто ненульовими можуть бути тільки діагональні записи квадратної матриці, (\(a_{ij} = 0,\ \ i \neq j\)).

Приклад 7

Наведіть приклади діагональної матриці.

Рішення

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2.1 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

являє собою діагональну матрицю.

Будь-які або всі діагональні записи діагональної матриці можуть дорівнювати нулю. Наприклад

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 2.1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

також є діагональною матрицею.

Матриця ідентичності:

Діагональна матриця з усіма діагональними елементами, рівними 1, називається тотожною матрицею, (\(a_{ij} = 0,\ \ i \neq j\)для всіх\(i,j\) і\(a_{ii} = 1\) для всіх\(i\)).

Приклад 8

Наведіть приклад матриці ідентичності.

Рішення

\(\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

є матрицею ідентичності.

Нульова матриця:

Матриця, всі записи якої дорівнюють нулю, називається нульовою матрицею, (\(a_{ij} = 0\)для всіх\(i\) і\(j\)).

Приклад 9

Наведіть приклади нульової матриці.

Рішення

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0&0&0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack C\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\lbrack D\rbrack = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

всі приклади нульової матриці.

Тридіагональні матриці:

Тридіагональна матриця - це квадратна матриця, в якій всі елементи, що не на наступних, дорівнюють нулю - велика діагональ, діагональ вище великої діагоналі, і діагональ нижче великої діагоналі.

приклад 10

Наведемо приклад тридіагональної матриці.

Рішення

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 2 & 4 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 5 & 2 \\ 0 & 0 & 3 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

являє собою тридіагональну матрицю.

Чи мають неквадратні матриці діагональні записи?

Так, для\(m \times n\) матриці\(\lbrack A\rbrack\) діагональні записи знаходяться\(a_{11},a_{22}...,a_{k - 1,k - 1},a_{kk}\) де\(k = min\{ m,\ n\}\).

Приклад 11

Які діагональні записи

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 3.2 & 5 \\ 6 & 7 \\ 2.9 & 3.2 \\ 5.6 & 7.8 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Рішення

Діагональні елементи\(\lbrack A\rbrack\) є\(a_{11} = 3.2\ and\ a_{22} = 7.\)

Діагонально домінуюча матриця:

\(n \times n\)Квадратна матриця\([A]\) - це домінуюча по діагоналі матриця, якщо

\[\left|a_{ii}\right| \geq \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for } i=1,2,....,n \nonumber\]

тобто для кожного рядка абсолютне значення (також зване величиною) діагонального елемента більше або дорівнює сумі абсолютних значень інших елементів цього рядка.

Приклад 12

Наведіть приклади матриць, які є домінуючими по діагоналі і тих, які не є домінуючими по діагоналі.

Рішення

1. Матриця

\[[A]=\begin{bmatrix}15 & 6 & 7\\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6\end{bmatrix} \nonumber\]

являє собою діагонально домінуючу матрицю.

Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,15 \geq 13\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1 \geq 4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|6|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6 \geq 5\nonumber\]

2. Матриця

\[[A] = \begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

являє собою діагонально домінуючу матрицю.

Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4|=4, \quad\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4 \geq 4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

3. Матриця

\[[A] = \begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

являє собою діагонально домінуючу матрицю.

Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1 \geq 4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

4. Матриця

\[[A] = \begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber\]

не є домінуючою по діагоналі матрицею.

Чому? Тому що для кожного рядка відповідь на питання нижче не є так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=\left|25\right| ,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25 \geq 6\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Ні, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Ні, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|1|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|144|+|12|=156, 1<156\nonumber\]

Слабка по діагоналі домінуюча матриця

Відповідь проста — визначення слабкої (ly) діагонально домінантної матриці ідентичне визначенню діагонально домінантної матриці, оскільки нерівність, яка використовується для перевірки, є слабкою нерівністю більшою або рівною (\(\geq\)).

Строго по діагоналі домінуючі матриці:

\(n \times n\)Квадратна матриця - це строго по діагоналі домінуюча матриця, якщо

\[\left|a_{ii}\right| > \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for } i=1,2,....,n\nonumber\]

тобто для кожного ряду абсолютне значення діагонального елемента строго більше суми абсолютних значень інших елементів цього ряду.

Приклад 13

Наведіть приклади строго по діагоналі домінантних матриць і не строго по діагоналі домінуючих матриць.

Рішення

1. Матриця

\[[A] = \begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}\nonumber\]

є строго по діагоналі домінуючою матрицею

Чому? Тому що для кожного ряду відповідь на питання нижче - Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,15>13 .\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|6|\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber\]б) Матриця

\[[A]=\begin{bmatrix} 13 & 6 & 7 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}\nonumber\]

це не строго по діагоналі домінуюча матриця

Чому? Тому що для кожного рядка відповідь на питання нижче не є так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Ні, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|13|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,13 \ngtr 13\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|6|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber\]

3. Матриця

\[[A]=\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber\]

не є строго по діагоналі домінуючою матрицею.

Чому? Тому що для кожного рядка відповідь на питання нижче не є так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|25|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25>6\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Ні, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Ні, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|1||| a_{31}|+| a_{32}|=| 144|+| 12 \mid=156, 1<156\nonumber\]

Незведена діагонально домінуюча матриця

\(n \times n\)Квадратна матриця - це незведена по діагоналі домінуюча матриця, якщо

\[[A]\ \text{is irreducible},\nonumber\]

\[\left|a_{ii}\right| \geq \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for } i=1,2,....,n\ \text{and}\nonumber\]

\[\left|a_{ii}\right| > \sum^n_{\substack{j=1\\ i \neq j}} \left|a_{ij}\right| \text{ for at least one row, } i=1,2,....,n\nonumber\]

Друга умова означає, що для кожного рядка абсолютне значення (також зване величиною) діагонального елемента більше або дорівнює сумі абсолютних значень інших елементів цього рядка. Третя умова означає, що принаймні для одного ряду абсолютне значення (також зване величиною) діагонального елемента більше суми абсолютних значень інших елементів цього рядка.

Приклад 14

Наведіть приклади матриць, які є безповоротно домінуючими по діагоналі і тих, які не є безповоротно домінуючими по діагоналі.

Рішення

1. Матриця

\[[A]=\begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & 2 & 6 \end{bmatrix}\nonumber\]

є незведеним по діагоналі домінуючою матрицею.

Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - Так.

Чи є\([A]\) незвідним? Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|7|=13,15>13 .\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1,\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1>4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|6|\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,6>5\nonumber\]

Чи дотримується нерівність строго хоча б для одного ряду? Так, це задовольняється для рядків 1, 2 та 3.

2. Матриця

\[[A]=\begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

це не незведена діагонально домінуюча матриця.

Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - це не так.

Чи є\([A]\) незвідним? Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4|=4, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4 \geq 4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

Чи дотримується нерівність строго хоча б для одного ряду? Ні.

3. Матриця

\[[A]=\begin{bmatrix} -15 & 6 & 9 \\ 2 & -4.1 & -2 \\ 3 & -2 & 5 \end{bmatrix}\nonumber\]

є незведеним по діагоналі домінуючою матрицею.

Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - Так.

Чи є\([A]\) незвідним? Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|15|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|6|+|9|=15,15 \geq 15\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|-4.1|=4.1, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|2|+|-2|=4,4.1 \geq 4\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|5|,\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|=|3|+|2|=5,5 \geq 5\nonumber\]

Чи дотримується нерівність строго хоча б для одного ряду? Так, це задоволено для Row 2.

4. Матриця

\[[A]=\begin{bmatrix} 25 & 5 & 1 \\ 64 & 8 & 1 \\ 144 & 12 & 1 \end{bmatrix}\nonumber\]

не є незведеним по діагоналі домінуючою матрицею.

Чому? Тому що відповідь на кожне запитання нижче - це не так.

Чи є\([A]\) незвідним? Так.

Ряд 1: Чи є\(\left|a_{11}\right| \geq\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|\)? Так, тому що

\[\left|a_{11}\right|=|25|,\left|a_{12}\right|+\left|a_{13}\right|=|5|+|1|=6,25>6\nonumber\]

Ряд 2: Чи є\(\left|a_{22}\right| \geq\left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|\)? Ні, тому що

\[\left|a_{22}\right|=|8|=8, \left|a_{21}\right|+\left|a_{23}\right|=|64|+|1|=65,8<65\nonumber\]

Ряд 3: Чи є\(\left|a_{33}\right| \geq\left|a_{31}\right|+\left|a_{32}\right|\)? Ні, тому що

\[\left|a_{33}\right|=|1||| a_{31}|+| a_{32}|=| 144|+| 12 \mid=156, 1<156\nonumber\]

Немає необхідності перевіряти умови суворої нерівності..

Незведена матриця:

Квадратна матриця називається скорочуваною матрицею, якщо таке вірно. Візьміть індекси\(i=1,2,....,n\) і подивіться, чи можна їх розділити на дві неповні непорожні множини\(i_1,i_2,....,i_\alpha\) і\(j_1,j_2,....,j_\beta\) такі, що

\[n=\alpha + \beta,\ \text{and}\nonumber\]

і

\[a_{i_k j_l}=0,\ k=1,2,....,\alpha\ \text{and}\ l=1,2,....,\beta\nonumber\]

Якщо квадратна матриця не піддається скороченню, її називають нескорочуваною матрицею.

Квадратна матриця\([A]\) називається скорочуваною матрицею тоді і тільки тоді\([P]\), коли для будь-якої матриці збурень множення матриці\([P]^T[A][P]\) призводить до блоку верхньої трикутної матриці.

Приклад 15

Наведіть приклади нескорочуваних і скорочуваних матриць.

Рішення

1. Матриця

\[\begin{bmatrix} 0 & 5 & 7 \\ 8 & 0 & 0 \\ 10 & 0 & 0 \end{bmatrix}\nonumber\]

являє собою незведену матрицю.

2. Матриця

\[\begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 6 \\ 10 & 0 & 0 \end{bmatrix}\nonumber\]

являє собою зведену матрицю. Чому? Візьміть індекси\(i=1,2,3\) і подивіться, що їх можна розділити на дві неповні непорожні множини 1 і 2,3 такі, що,

\[\alpha = 1, \beta = 2,\ \text{giving}\ \alpha + \beta = 1+2 = 3,\ \text{and}\nonumber\]

\[a_{i_k j_l}=0,\ k=1 \ \text{and}\ l = 1,2\nonumber\]

Наслідки діагонально домінантних матриць

Якщо квадратна матриця строго по діагоналі домінуюча

• то матриця несингулярна.

• то якщо матриця симетрична з невід'ємними діагональними записами, матриця позитивна напіввизначена.

• то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Гаусса-Зайделя завжди буде сходитися.

• то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Йордана завжди буде сходитися.

• то якщо діагональні записи матриці позитивні, то дійсні частини власних значень матриці позитивні.

• то якщо діагональні записи матриці негативні, то дійсні частини власних значень матриці негативні.

• тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для усунення Гаусса не потрібно поворот.

• тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для факторизації LU не потрібно поворот.

Якщо квадратна матриця нескоротна по діагоналі домінуюча

• то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Гаусса-Зайделя завжди буде сходитися.

• то якщо матриця є матрицею коефіцієнтів для набору одночасних лінійних рівнянь, то ітераційний числовий метод Йордана завжди буде сходитися.

• матриця несингулярна.

Якщо квадратна матриця є домінуючою по діагоналі (її також називають слабо діагонально домінуючою)

• тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для усунення Гаусса не потрібно поворот.

• тоді, якщо матриця є домінуючою колоною, для факторизації LU не потрібно поворот.

Рівні матриці:

Дві матриці [A] і [B] рівні, якщо розмір [A] і [B] однаковий (кількість рядків і стовпців [A] однакові, як у [B]) і\(a_{ij} = b_{ij}\) для всіх i і j.

Приклад 16

Що б зробити

\[[A] = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 6 & 7 \\ \end{bmatrix}\nonumber\]

бути рівним

\[[B] = \begin{bmatrix} b_{11} & 3 \\ 6 & b_{22} \\ \end{bmatrix}\nonumber\]

Рішення

Дві матриці\([A]\) і\([B]\) дорівнювали б, якщо\(b_{11} = 2\) і\(b_{22} = 7\).

Ключові умови:

Матриця

Вектор

Підматриця

Квадратна матриця

Рівні матриці

Нульова матриця

Матриця ідентичності

Діагональна матриця

Верхня трикутна матриця

Нижня трикутна матриця

Тридіагональна матриця

Вступ Вікторина

Вікторина 1

Для\(n \times n\) верхньої трикутної\(\left\lbrack A \right\rbrack\) матриці

(А)\(a_{ij} = 0,i > j\)

(Б)\(a_{ij} = 0,j > i\)

(С)\(a_{ij} \neq 0,i > j\)

(D)\(a_{ij} \neq 0,j > i\)

Вікторина 2

Яка з цих квадратних матриць строго по діагоналі домінуюча?

(А)\(\begin{bmatrix} 5 & 7 & 0 \\ 3 & - 6 & 2 \\ 2 & 2 & 9 \\ \end{bmatrix}\)

(Б)\(\begin{bmatrix} 7 & - 5 & - 2 \\ 6 & - 13 & - 7 \\ 6 & - 7 & - 13 \\ \end{bmatrix}\)

(С)\(\begin{bmatrix} 8 & - 5 & - 2 \\ 6 & - 14 & - 7 \\ 6 & - 7 & - 13 \\ \end{bmatrix}\)

(D)\(\begin{bmatrix} 8 & 5 & 2 \\ 6 & 14 & 7 \\ 6 & 7.5 & 14 \\ \end{bmatrix}\)

Вікторина 3

Порядок наступної матриці

\[\begin{bmatrix} 4 & - 6 & - 7 & 2 \\ 3 & 2 & - 5 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

(А)\(4 \times 2\)

(Б)\(2 \times 4\)

(С)\(8 \times 1\)

(D) не визначено

Вікторина 4

Зробити наступні дві матриці рівними

\[\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & - 6 & 7 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

\[\left\lbrack B \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & p & 7 \\ 3 & 2 & 5 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]значення\(p\) є

(А)\(- 6\)

(Б)\(6\)

(С)\(0\)

(D)\(7\)

Вікторина 5

Щоб квадратна\(n \times n\) матриця\(\left\lbrack A \right\rbrack\) була ідентифікаційною матрицею,

(А)\(a_{ij} \neq 0,i = j;a_{ij} = 0,i = j\)

(Б)\(a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} = 1,i = j\)

(С)\(a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} = i,i = j\)

(D)\(a_{ij} = 0,i \neq j;a_{ij} > 0,i = j\)

Вікторина 6

Щоб наступна квадратна матриця була домінуючою по діагоналі, значення\(p\) має бути

\[\begin{bmatrix} 6 & - 2 & - 4 \\ 7 & 9 & 1 \\ 8 & - 5 & p \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

(A) більше або дорівнює 13

(B) більше 3

(C) більше або дорівнює 3

(D) більше 13

Вступ Вправа

Вправа 1

Напишіть приклад вектора рядка розмірності 4.

Відповідь

\(\begin{bmatrix} 5 & 6 & 2 & 3 \\ \end{bmatrix}\)

Вправа 2

Напишіть приклад вектора стовпця розмірності 4.

Відповідь

\(\ \begin{bmatrix} 5 \\ - 7 \\ 3 \\ 2.5 \\ \end{bmatrix}\)

Вправа 3

Напишіть приклад квадратної матриці порядку\(4 \times 4\).

Відповідь

\(\ \begin{bmatrix} 9 & 0 & - 2 & 3 \\ - 2 & 3 & 5 & 1 \\ 1.5 & 6 & 7 & 8 \\ 1.1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{bmatrix}\)

Вправа 4

Напишіть приклад тридіагональної матриці порядку\(4 \times 4\).

Відповідь

\(\ \begin{bmatrix} 6 & 3 & 0 & 0 \\ 2.1 & 2 & 2.2 & 0 \\ 0 & 6.2 & - 3 & 3.5 \\ 0 & 0 & 2.1 & 4.1 \\ \end{bmatrix}\)

Вправа 5

Напишіть приклад ідентичності матриці порядку\(5 \times 5\).

Відповідь

\(\ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix}\)

Вправа 6

Напишіть приклад верхньої трикутної матриці порядку\(4 \times 4\).

Відповідь

\(\ \begin{bmatrix} 6 & 2 & 3 & 9 \\ 0 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 6 \\ \end{bmatrix}\)

Вправа 7

Напишіть приклад нижньої трикутної матриці порядку\(4 \times 4\).

Відповідь

\(\ \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 0 & 0 \\ 4 & 2 & 4 & 0 \\ 5 & 3 & 5 & 6 \\ \end{bmatrix}\)

Вправа 8

Які з цих матриць строго по діагоналі домінують?

1. \(\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 15 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & 6 \\ \end{bmatrix}\)
2. \(\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 2 & - 4 & 2 \\ 3 & 2 & - 5 \\ \end{bmatrix}\)
3. \(\left\lbrack A \right\rbrack = \begin{bmatrix} 5 & 3 & 2 \\ 6 & - 8 & 2 \\ 7 & - 5 & 12 \\ \end{bmatrix}\)

Відповідь

(A) Так (B) Ні (C) Ні

Вправа 9

Знайти всі підматриці

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

Відповідь

\(\left\lbrack 10 \right\rbrack\)\(\left\lbrack - 7 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 0 \right\rbrack\),\(\left\lbrack - 0.001 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 6 \right\rbrack\)\(\begin{bmatrix} 10 \\ 0 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} - 7 \\ - .001 \\ \end{bmatrix}\),,\(\begin{bmatrix} 0 \\ 6 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 10 & - 7 \\ 0 & - 0.001 \\ \end{bmatrix}\),\(\begin{bmatrix} 10 & 0 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix}\), \(\begin{bmatrix} - 7 & 0 \\ - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix}\),\(\left\lbrack 10, - 7 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 10,0 \right\rbrack\)\(\left\lbrack - 7,0 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 0,6 \right\rbrack\),\(\left\lbrack 0, - 0.001 \right\rbrack\),\(\left\lbrack - 0.001,6 \right\rbrack\).

Вправа 10

Якщо

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 4 & - 1 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix}, \nonumber \]

що є\(b_{11}\) і\(b_{12}\) в

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ 0 & 4 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

якщо\(\lbrack B\rbrack = 2\lbrack A\rbrack\).

Відповідь

\(\ 8, - 2\)

Вправа 11

Є матричними

\[\lbrack A\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & - 7 & 0 \\ 0 & - 0.001 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

і матриця

\[\lbrack B\rbrack = \begin{bmatrix} 10 & 0 \\ - 7 & - 0.001 \\ 0 & 6 \\ \end{bmatrix} \nonumber \]

рівний?

Відповідь

Ні

Вправа 12

Квадратна матриця\(\lbrack A\rbrack\) нижча трикутна, якщо

1. \(a_{ij} = 0\)для\(i > j\)
2. \(a_{ij} = 0\)для\(j > i\)
3. \(a_{ij} = 0\)для\(i = j\)
4. \(a_{ij} = 0\)для\(i + j = odd\ integer\)

Відповідь

Б

Вправа 13

Квадратна матриця\(\lbrack A\rbrack\) верхня трикутна, якщо

1. \(a_{ij} = 0\)для\(i > j\)
2. \(a_{ij} = 0\)для\(j > i\)
3. \(a_{ij} = 0\)для\(i = j\)
4. \(a_{ij} = 0\)для\(i + j = odd\ integer\)

Відповідь

A