3.5: Математичні системи та докази

Математичні системи

У цьому розділі ми представляємо огляд того, що таке математична система і як логіка відіграє важливу роль в одній. Аксіоматичний метод, який ми будемо використовувати тут, не буде дублюватися з такою ж формальністю ніде ще в книзі, але ми сподіваємося, що акцент на тому, як розробляються та організовуються математичні факти, допоможе уніфікувати поняття, які ми представимо. Розроблена нами система пропозицій і логічних операторів послужить зразком для нашого обговорення. Приблизно математичну систему можна визначити наступним чином.

Визначення\(\PageIndex{1}\): Mathematical System

Математична система складається з:

1. Безліч або всесвіт,\(U\text{.}\)
2. Визначення: пропозиції, що пояснюють значення понять, які відносяться до Всесвіту. Будь-який термін, який використовується при описі самого Всесвіту, вважається невизначеною. Всі визначення даються в терміні цих невизначений понять об'єктів.
3. Аксіоми: твердження про властивості Всесвіту і правила створення і обґрунтування більшої кількості тверджень. Ці правила завжди включають в себе систему логіки, яку ми розробили до цього моменту.
4. Теореми: додаткові твердження, згадані вище.

Приклад\(\PageIndex{1}\): Euclidean Geometry

У евклідовій геометрії Всесвіт складається з точок і ліній (два невизначені терміни). Серед визначень є визначення паралельних ліній, а серед аксіом - аксіома, з якою дві різні паралельні лінії ніколи не зустрічаються.

Приклад\(\PageIndex{2}\): Propositional Calculus

Пропозиційне числення - це формальна назва логічної системи, яку ми обговорювали. Всесвіт складається з суджень. Аксіоми - це таблиці істинності для логічних операторів, а ключові визначення - це еквівалентність та імплікація. Ми використовуємо пропозиції для опису будь-якої іншої математичної системи; отже, це мінімальна кількість структури, яку може мати математична система.

Визначення\(\PageIndex{2}\): Theorem

Справжнє судження, похідне від аксіом математичної системи, називається теоремою.

Теореми зазвичай виражаються через скінченну кількість суджень\(p_1, p_2, . . . ,p_n\), званих передумовами, і судження,\(C\text{,}\) званого висновком. Ці теореми набувають вигляду

\ begin {рівняння*} p_1\ земля p_2\ земля\ cdots\ земля p_n\ праворуч C\ end {рівняння*}

або більш неофіційно,

\ begin {рівняння*} p_1, p_2,.,.,\ textrm {і} p_n\ textrm {подразумевати} C\ end {рівняння*}

Для теореми такого типу скажемо, що приміщення мають на увазі висновок. Коли викладається теорема, передбачається, що аксіоми системи є істинними. Крім того, будь-яка раніше доведена теорема може вважатися продовженням аксіом і може бути використана для демонстрації того, що нова теорема вірна. Коли доказ завершено, нова теорема може бути використана для доведення наступних теорем. Математичну систему можна візуалізувати у вигляді перевернутої піраміди з аксіомами біля основи та теоремами, що розширюються в різних напрямках.

\(\PageIndex{1}\):Малюнок Звід знань в математичній системі

Визначення\(\PageIndex{3}\): Proof

Доказом теореми є кінцева послідовність логічно достовірних кроків, які демонструють, що передумови теореми мають на увазі її висновок.

Саме те, що є доказом, не завжди зрозуміло. Наприклад, математик-дослідник може зажадати лише кілька кроків, щоб довести теорему колезі, але може зайняти годину, щоб дати ефективний доказ класу студентів. Тому те, що є доказом, часто залежить від аудиторії. Але аудиторія - не єдиний фактор. Одна з найвідоміших теорем в теорії графів, Теорема чотирьох кольорів, Теорема 9.6.1, була доведена в 1976 році, після більш ніж століття зусиль багатьох математиків. Частина доказу полягала в тому, що комп'ютер перевіряє багато різних графіків для певної властивості. Без допомоги комп'ютера ця перевірка зайняла б роки. В очах деяких математиків цей доказ вважався сумнівним. Коротші докази були розроблені з 1976 року, і в цей час немає суперечок, пов'язаних з теоремою чотирьох кольорів.

Пряме доказ

Теоретично, ви можете довести що завгодно в пропозиційному численні за допомогою таблиць істинності. Насправді закони логіки, викладені в розділі 3.4, - це все теореми. Пропозиційне числення - одна з небагатьох математичних систем, для якої будь-яке дійсне речення може бути визначено істинним або хибним механічним шляхом. Програма для написання таблиць правди не надто складна для написання; однак те, що можна зробити теоретично, не завжди практично. Наприклад,

\ begin {рівняння*} a, a\ to b, b\ to c,. , y\ to z\ стрілка вправо z\ end {рівняння*}

є теоремою в пропозиційному численні. Однак припустимо, що ви написали таку програму і вам довелося написати таблицю істинності для

\ begin {рівняння*} (a\ земля (a\ to b)\ земля (b\ to c)\ земля\ cdots\ земля (y\ to z))\ до z\ end {рівняння*}

У таблиці істинності будуть\(2^{26}\) випадки. При одному мільйоні випадків в секунду, це займе приблизно одну годину, щоб перевірити теорему. Тепер, якщо ви вирішили перевірити подібну теорему,

\ begin {рівняння*} p_1, p_1\ до p_2,\ ldots, p_ {99}\ до p_ {100}\ Стрілка вправо p_ {100}\ end {рівняння*}

у вас дійсно були б проблеми з часом. Були б\(2^{100} \approx 1.26765\times 10^{30}\) випадки, щоб перевірити в таблиці істини. На мільйон випадків в секунду це займе приблизно\(1.46719\times 10^{19}\) дні, щоб перевірити всі випадки. Для більшої частини цього розділу ми обговоримо альтернативний метод доведення теорем у пропозиційному численні. Це той самий метод, який ми будемо використовувати менш формально для доказів в інших системах. Формальні аксіоматичні методи були б занадто громіздкими, щоб насправді використовувати в наступних розділах. Однак жодна з теорем у наступних розділах не була б викладена, якби вони не могли бути доведені аксіоматичним методом.

Тут ми представимо два типи доказів, прямий і непрямий.

Приклад\(\PageIndex{3}\): A Typical Direct Proof

Це теорема:\(p \rightarrow r, q\rightarrow s,p\lor q\Rightarrow s\lor r\text{.}\) Прямим доказом цієї теореми є:

Таблиця\(\PageIndex{1}\): Прямий\(p\rightarrow r\) доказ\(q\rightarrow s\),\(p\lor q\Rightarrow s\lor r\)

Крок	Пропозиція	обгрунтування
1.	\(p\lor q\)	Передумова
2.	\(\neg p\to q\)	(1), умовне правило
3.	\(q\to s\)	Передумова
4.	\(\neg p\to s\)	(2), (3), правило ланцюга
5.	\(\neg s\to p\)	(4), контрапозитивний
6.	\(p\to r\)	Передумова
7.	\(\neg s\to r\)	(5), (6), правило ланцюга
8.	\(s\lor r\)	(7), умовне правило\(\square\)

Зверніть увагу, що\(\square\) позначає кінець доказу.

Приклад\(\PageIndex{3}\) ілюструє звичайний метод формального доказування в формальній математичній системі. Правила, що регулюють ці докази, такі:

1. Доказ повинен закінчуватися кінцевою кількістю кроків.
2. Кожен крок повинен бути або передумовою, або пропозицією, яка мається на увазі з попередніх кроків з використанням будь-якої дійсної еквівалентності або імплікації.
3. Для прямого доказу останнім кроком повинен стати висновок теореми. Для непрямого доказу (див. Нижче) останнім кроком має бути протиріччя.
4. Колонка обґрунтування. Колонка з написом «обгрунтування» аналогічна коментарям, які з'являються в більшості хороших комп'ютерних програм. Вони просто роблять доказ більш читабельним.

Приклад\(\PageIndex{4}\): Two Proofs of the Same Theorem

Ось два прямих докази\(\neg p \lor q, s\lor p, \neg q \Rightarrow s\text{:}\)

Таблиця\(\PageIndex{2}\): Пряме доказ\(\neg p\lor q\)\(s\lor p\),\(\neg q\Rightarrow s\)

1.	\(\neg p\lor q\)	Передумова
2.	\(\neg q\)	Передумова
3.	\(\neg p\)	Диз'юнктивне спрощення, (1), (2)
4.	\(s\lor p\)	Передумова
5.	\(s\)	Диз'юнктивне спрощення, (3), (4),\(\square\)

Вам пропонується обґрунтувати кроки в цьому другому доказі:

Таблиця\(\PageIndex{3}\): Альтернативний доказ\(\neg p\lor q\)\(s\lor p\),\(\neg q\Rightarrow s\)

1.	\(\neg p \lor q\)
2.	\(\neg q \rightarrow \neg p\)
3.	\(s\lor p\)
4.	\(p \lor s\)
5.	\(\neg p \to s\)
6.	\(\neg q \rightarrow s\)
7.	\(\neg q\)
8.	\(s\)\(\square\)

Висновок теореми часто є умовним судженням. Умова висновку може бути включено як передумова в доказ теореми. Об'єктом доказу є доведення наслідку висновку. Це правило виправдано логічним законом.

\ begin {рівняння*} p\ стрілка вправо (h\ стрілка вправо c)\ Стрілка влівоправо (p\ земля h)\ стрілка вправо c\ end {рівняння*}

Приклад\(\PageIndex{5}\): Example of a Proof with a Conditional Conclusion

Наступний доказ\(p \to (q \rightarrow s), \neg r \lor p, q \Rightarrow r \rightarrow s\) включає в себе\(r\) як четверту передумову. Висновок про істину\(s\) завершує доказ.

Таблиця\(\PageIndex{4}\): Доказ теореми з умовним висновком.

1.	\(\neg r\lor p\)	Передумова
2.	\(r\)	Додана передумова
3.	\(p\)	(1), (2), спрощення диз'юнкції
4.	\(p\to (q\to s)\)	Передумова
5.	\(q\to s\)	(3), (4), загін
6.	\(q\)	Передумова
7.	\(s\)	(5), (6), загін. \(\square\)

Непрямий доказ

Розглянемо теорему\(P\Rightarrow C\text{,}\), де\(P\)\(p_1, p_2, . . . , \textrm{ and } p_n\text{,}\) представляє приміщення. Метод непрямого доказування заснований на еквівалентності.\(P\rightarrow C\Leftrightarrow \neg (P\land \neg C)\text{.}\) У словах цей логічний закон стверджує, що якщо\(P \Rightarrow C\text{,}\) тоді\(P \land \neg C\) завжди помилково; тобто\(P \land \neg C\) є протиріччям. Це означає, що дійсним методом доказування є зведення нанівець висновок теореми і додавання цього заперечення до приміщень. Якщо з цього набору пропозицій можна мати на увазі протиріччя, доказ є повним. Для доказів у цьому розділі протиріччя часто набуває вигляду\(t \land \neg t\text{.}\)

Для доказів, пов'язаних з числами, протиріччя може бути\(1 = 0\) або\(0 < 0\text{.}\) Непрямі докази, що включають набори, можуть укладатися з\(x \in \emptyset\) або (\(x \in A\)і\(x \in A^c\)). Непрямі докази часто більш зручні, ніж прямі докази в певних ситуаціях. Непрямі докази часто називають доказами протиріччя.

Приклад\(\PageIndex{6}\): An Indirect Proof

Ось приклад непрямого доказу теореми в прикладі\(\PageIndex{3}\).

Таблиця\(\PageIndex{5}\): Непрямий доказ\(p\to r\)\(q\to s\),\(p\lor q\Rightarrow s\lor r\)

1.	\(\neg (s\lor r)\)	заперечений висновок
2.	\(\neg s\land \neg r\)	Закон ДеМорган, (1)
3.	\(\neg s\)	Сполучне спрощення, (2)
4.	\(q\to s\)	Передумова
5.	\(\neg q\)	Непрямі міркування, (3), (4)
6.	\(\neg r\)	Сполучне спрощення, (2)
7.	\(p\to r\)	Передумова
8.	\(\neg p\)	Непрямі міркування, (6), (7)
9.	\((\neg p)\land (\neg q)\)	Кон'юнктивний, (5), (8)
10.	\(\neg (p\lor q)\)	Закон ДеМорган, (9)
11.	\(p\lor q\)	Передумова
12.	\(0\)	(10), (11)\(\square\)

Примітка\(\PageIndex{1}\): Proof Style

Правила дозволяють відразу перерахувати приміщення теореми, однак доказ набагато легше слідувати, якщо приміщення перераховані лише тоді, коли вони потрібні.

Приклад\(\PageIndex{7}\): Yet Another Indirect Proof

Ось непрямий доказ\(a \rightarrow b, \neg (b \lor c ) \Rightarrow \neg a\text{.}\)

Таблиця\(\PageIndex{6}\): Непрямий доказ\(a\to b\),\(\neg (b\lor c)\Rightarrow \neg a\)

1.	\(a\)	заперечення висновку
2.	\(a\to b\)	Передумова
3.	\(b\)	(1), (2), загін
4.	\(b\lor c\)	(3), диз'юнктивне додавання
5.	\(\neg (b\lor c)\)	Передумова
6.	\(0\)	(4), (5)\(\square\)

Як ми вже згадували на початку цього розділу, ми лише представляємо огляд того, що таке математична система. Більш докладно про аксіоматичні теорії див. Столл (1961). Відмінний опис того, як пропозиційне числення відіграє роль у штучному інтелекті, міститься в Hofstadter (1980). Якщо вам подобається завдання побудови доказів у пропозиційному обчисленні, ви повинні насолоджуватися грою WFF'N PROOF (1962), Л.Е.

Вправи

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Доведіть з таблицями істинності:

1. \(\displaystyle p\lor q, \neg q\Rightarrow p\)
2. \(\displaystyle p \rightarrow q, \neg q \Rightarrow \neg p\)

Відповідь

1. \ begin {рівняння*}\ почати {масив} {cccc} p & q & (p\ lor q)\ земля\ neg q & ((p\ lor q)\ земля\ neg q)\ до p\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 1\\ 1 & 0 & 1\\ 1 & 1\\ end {масив} кінець {рівняння*}
2. \ begin {рівняння*}\ почати {масив} {ccccc} p & q & (p\ to q)\ земля\ neg q &\ neg p & (p\ to q)\ земля (\ neg q)\\ 0 & 0 & 1 & 1\ 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 0 & 1\\\ end {масив}\ кінець {рівняння*}

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Доведіть з таблицями істинності:

1. \(\displaystyle q, \neg q\Rightarrow p\)
2. \(\displaystyle p \rightarrow q \Rightarrow \neg p \lor q\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Надайте прямі та непрямі докази:

1. \(a \rightarrow b, c \rightarrow b, d\rightarrow (a \lor c), d\Rightarrow b\text{.}\)
2. \((p\to q) \land (r\to s), (q\rightarrow t) \land (s \to u), \neg (t \land u), p \rightarrow r \Rightarrow \neg p\text{.}\)
3. \(p\to (q\to r),\neg s \lor p,q\Rightarrow s\to r\text{.}\)
4. \(p\rightarrow q, q\rightarrow r, \neg (p \land r), p \lor r \Rightarrow r\text{.}\)
5. \(\displaystyle \neg q, p\to q, p\lor t \Rightarrow t\)

Відповідь

1. Пряме доказ:
   1. \(\neg b\quad \)заперечений висновок
   2. \(a\to b\quad \)Передумова
   3. \(\neg a\quad \)Непрямі міркування (1), (2)
   4. \(c\to b\quad \)Передумова
   5. \(\neg c\quad \)Непрямі міркування (1), (4)
   6. \((\neg a\land \neg c)\quad \)Кон'юнктивна (3), (5)
   7. \(\neg (a\lor c)\quad \)Закон ДеМорган (6)
   8. \(d\to (a\lor c)\quad \)Передумова
   9. \(\neg d\quad \)Непрямі міркування (7), (8)
   10. \(d\quad \)Передумова
   11. \(\mathbb{0} \quad \)(9), (10)\(\quad \square\)

1. Непрямий доказ:
   1. \(\displaystyle d\to (a\lor c)\)
   2. \(\displaystyle d\)
   3. \(\displaystyle a\lor c\)
   4. \(\displaystyle a\to b\)
   5. \(\displaystyle \neg a \lor b\)
   6. \(\displaystyle c\to b\)
   7. \(\displaystyle \neg c\lor b\)
   8. \(\displaystyle (\neg a\lor b)\land (\neg c\lor b)\)
   9. \(\displaystyle (\neg a\land \neg c) \lor b\)
   10. \(\displaystyle \neg (a\lor c)\lor b\)
   11. \(b\)\(\square\)

2. Пряме доказ:
   1. \(\displaystyle (p\to q)\land (r\to s)\)
   2. \(\displaystyle p\to q\)
   3. \(\displaystyle (p\to t)\land (s\to u)\)
   4. \(\displaystyle q\to t\)
   5. \(\displaystyle p\to t\)
   6. \(\displaystyle r\to s\)
   7. \(\displaystyle s\to u\)
   8. \(\displaystyle r\to u\)
   9. \(\displaystyle p\to r\)
   10. \(\displaystyle p\to u\)
   11. \(p\to (t\land u)\)Використовувати\((x\to y)\land (x\to z)\Leftrightarrow x\to (y\land z)\)
   12. \(\displaystyle \neg (t\land u)\to \neg p\)
   13. \(\displaystyle \neg (t\land u)\)
   14. \(\neg p\)\(\quad \square\)

2. Непрямий доказ:
   1. \(\displaystyle p\)
   2. \(\displaystyle p\to q\)
   3. \(\displaystyle q\)
   4. \(\displaystyle q\to t\)
   5. \(\displaystyle t\)
   6. \(\displaystyle \neg (t\land u)\)
   7. \(\displaystyle \neg t\lor \neg u\)
   8. \(\displaystyle \neg u\)
   9. \(\displaystyle s\to u\)
   10. \(\displaystyle \neg s\)
   11. \(\displaystyle r\to s\)
   12. \(\displaystyle \neg r\)
   13. \(\displaystyle p\to r\)
   14. \(\displaystyle r\)
   15. \(0\)\(\quad \square\)

3. Пряме доказ:
   1. \(\neg s\lor p\quad \)Передумова
   2. \(s\quad \)Додана передумова (умовний висновок)
   3. \(\neg (\neg s)\quad \)Інволюція (2)
   4. \(p \quad \)Диз'юнктивне спрощення (1), (3)
   5. \(p\to (q\to r)\quad \)Передумова
   6. \(q\to r\quad \)Загін (4), (5)
   7. \(q \quad\)Передумова
   8. \(r\quad \)Загін (6), (7)\(\square\)

3. Непрямий доказ:
   1. \(\neg (s\to r)\quad \)заперечений висновок
   2. \(\neg (\neg s\lor r)\quad \)Умовна еквівалентність (I)
   3. \(s\land \neg r\quad \)ДеМорган (2)
   4. \(s\quad\)Сполучне спрощення (3)
   5. \(\neg s\lor p\quad \)Передумова
   6. \(s\to p\quad\)Умовна еквівалентність (5)
   7. \(p \quad\)Загін (4), (6)
   8. \(p\to (q\to r)\quad\)Передумова
   9. \(q\to r \quad\)Загін (7), (8)
   10. \(q\quad \)Передумова
   11. \(r\quad\)Загін (9), (10)
   12. \(\neg r \quad\)Сполучне спрощення (3)
   13. \(0 \quad\)Кон'юнкція (11), (12)\(\square\)

4. Пряме доказ:
   1. \(\displaystyle p\to q\)
   2. \(\displaystyle q\to r\)
   3. \(\displaystyle p\to r\)
   4. \(\displaystyle p\lor r\)
   5. \(\displaystyle \neg p\lor r\)
   6. \(\displaystyle (p\lor r)\land (\neg p\lor r)\)
   7. \(\displaystyle (p\land \neg p)\lor r\)
   8. \(\displaystyle 0\lor r\)
   9. \(r\)\(\square\)

4. Непрямий доказ:
   1. \(\neg rv\)заперечений висновок
   2. \(p\lor r\quad\)Передумова
   3. \(p\quad\)(1), (2)
   4. \(p\to q\quad\)Передумова
   5. \(q \quad \)Загін (3), (4)
   6. \(q\to r\quad\)Передумова
   7. \(r \quad \)Загін (5), (6)
   8. \(0 \quad\)(1), (7)\(\square\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Надайте прямі та непрямі докази:

1. \(p\rightarrow q, \neg r\rightarrow \neg q, \neg r \Rightarrow \neg p\text{.}\)
2. \(p\rightarrow \neg q, \neg r\rightarrow q, p \Rightarrow r\text{.}\)
3. \(a \lor b, c \land d, a \rightarrow \neg c \Rightarrow b\text{.}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Чи справедливі наступні аргументи? Якщо вони дійсні, побудуйте формальні докази; якщо вони не дійсні, поясніть, чому ні.

1. Якщо зарплати зростуть, то буде інфляція. Вартість життя не збільшиться, якщо немає інфляції. Збільшиться заробітна плата. Тому вартість проживання збільшиться.
2. Якщо гонки фіксовані або казино криві, то туристична торгівля знизиться. Якщо туристична торгівля зменшиться, то поліція буде рада. Поліція ніколи не буває щасливою. Тому гонки не фіксуються.

Відповідь

1. Нехай\(W\) виступають за «Заробітна плата збільшиться»\(I\), позначають «буде інфляція», і\(C\) стояти за «вартість життя зросте». Тому аргумент:\(W\to I,\text{ }\neg I\to \neg C,\text{ }W\Rightarrow C\text{.}\) аргумент є недійсним. Найпростіший спосіб побачити це через таблицю істинності, яка має один випадок, сьомий, що це помилкове. \(x\)Дозволяти бути об'єднанням всіх приміщень.
   \(\begin{array}{ccccccccc} W & I & C & \neg I & \neg C & W\to I & \neg I\to \neg C & x & x\to C \\ \hline 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array}\)
2. Нехай\(r\) стоять за «гонки фіксовані»,\(c\) стояти за «казино криво»,\(t\) стояти за «туристична торгівля зменшиться», і\(p\) стояти за «поліція буде щаслива». Тому аргументом є:
   \ begin {рівняння*} (r\ lor c)\ to t, t\ to p,\ neg p\ to\ neg r\ text {.} \ end {рівняння*}
   Аргумент є дійсним. Доказ:
   1. \(t\to p\quad \)Передумова
   2. \(\neg p\quad \)Передумова
   3. \(\neg t\quad \)Непрямі міркування (1), (2)
   4. \((r\lor c)\to t\quad \)Передумова
   5. \(\neg (r\lor c)\quad \)Непрямі міркування (3), (4)
   6. \((\neg r)\land (\neg c)\quad \)ДеМорган (5)
   7. \(\neg r\quad \)Спрощення кон'юнкції\((6)\text{ }\square\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Визначте обґрунтованість наступного аргументу: Щоб студенти добре навчалися на дискретному курсі математики, необхідно, щоб вони наполегливо вчилися. Студенти, які добре навчаються на курсах, не пропускають заняття. Студенти, які наполегливо навчаються, добре навчаються на курсах. Тому студенти, які добре навчаються на дискретному курсі математики, не пропускають заняття.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Опишіть, як можна\(p_1,p_1\to p_2,\ldots ,p_{99}\to p_{100}\Rightarrow p_{100}\) було довести за 199 кроків.

Відповідь

\(p_1\to p_k\)і\(p_k\to p_{k+1}\) має на увазі\(p_1\to p_{k+1}\). Це займає два кроки, щоб дістатися\(p_1\to p_{k+1}\) до\(p_1\to p_k\) Це означає, що він робить\(2(100−1)\) кроки, щоб дістатися до\(p_1\to p_{100}\) (відняти,\(1\)\(p_1\to p_2\) тому що зазначено як передумова). Заключний крок потрібен, щоб застосувати відшарування, щоб мати на увазі\(p_{100}\)