Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

12.6: Вправи

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    65232

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Вправа\(\PageIndex{1}\)

    Довести: Якщо\(B\) кінцевий, а\(A \subseteq B\text{,}\) потім\(A\) кінцевий і\(\vert A \vert \le \vert B \vert\text{.}\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\)

    Припустимо, що\(A\text{,}\)\(B\text{,}\) і\(C\) є кінцевими підмножинами універсальної множини\(U\text{.}\)

    1. Довести: Якщо\(A\) і\(B\) непоєднуються, то\(\vert A \sqcup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert\text{.}\)
    2. Доведіть:\(\vert A \cup B \vert = \vert A \vert + \vert B \vert - \vert A \cap B \vert\text{.}\)
    Підказка.

    Див. розділ Вправа 9.9.5 та використання рівності із завдання a.

    1. Визначаємо аналогічну формулу для\(\vert A \cup B \cup C \text{.}\)
    Підказка.

    Спочатку намалюйте діаграму Венна.

    Вправа\(\PageIndex{3}\)

    Використовуйте індукцію, щоб довести безпосередньо, що якщо\(\vert A \vert = n\) потім\(\vert \mathscr{P}(A) \vert = 2^n\text{.}\) Використовуйте Worked Example 12.2.1 як модель для підтвердження індукційного кроку.

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Доведіть: Якщо\(\vert A \vert = \infty\) і\(A \subseteq B\text{,}\) тоді\(\vert B \vert = \infty\text{.}\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Доведіть факт 12.3.2.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Об'єднайте Приклад 12.3.3 і Приклад 12.3.10, щоб переконатися, що інтервал\(\mathbb{R}\) одиниць\((0,1)\) і мають однаковий розмір.

    Підказка.

    Спочатку нанесіть проколоте коло\(\hat{S}\) на деякий відкритий інтервал у\(x\) -осі шляхом «розгортання»\(\hat{S}\text{.}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Використовуйте приклад 12.3.3 і функцію,\(f(x) = \tan x\) щоб довести, що інтервал\((-\pi/2,\pi/2)\) і\(\mathbb{R}\) мають однаковий розмір.

    Підказка.

    Функція не\(f(x) = \tan x\) є один-на-один, але вона стає один-на-один, якщо обмежити її домен відповідним інтервалом

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Доведіть, що якщо\(A\) і\(B\) мають однаковий розмір, то так робити\(\mathscr{P}(A)\) і\(\mathscr{P}(B)\text{.}\)

    Підказка.

    Див. Вправу 10.7.19.

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Припустимо,\(A\) це набір з\(\vert A \vert = n\text{.}\) Тоді ми можемо перерахувати його елементи як\(A = \{a_1,a_2,\ldots ,a_n\}\text{.}\)

    1. Побудувати біекцію від множини степенів\(A\) до множини слів в алфавіті\(\Sigma = \{T,F\}\) довжини\(n\text{.}\)

    Зверніть увагу, що тут потрібні два завдання.

    1. Явно опишіть функцію,\(f: \mathscr{P}(A) \rightarrow \Sigma^\ast_n\) описуючи правило введення-виведення: дайте детальний опис того, як, з урахуванням підмножини\(B \subseteq A\text{,}\), слово\(f(B)\) має бути вироблено.
    2. Доведіть, що ваша функція\(f\) є bijection.
    Підказка.

    При визначенні правила введення-виведення для вашої функції\(f: \mathscr{P}(A) \rightarrow \Sigma^\ast_n\text{,}\) подумайте про те, як можна побудувати довільну підмножину,\(A\text{,}\) а потім пов'язати цей процес з послідовністю відповідей на\(n\) істинні/помилкові питання.

    1. Використовуйте завдання a, щоб визначити кардинальність\(\mathscr{P}(A)\text{.}\) пояснення.
    Підказка

    Див. Примітку 1.3.1.

    1. Припустимо,\(k\) є деяким фіксованим (але невідомим) цілим числом, з\(0 \le k \le n\text{.}\) Let\(\mathscr{P}(A)_k\) представляють підмножину,\(\mathscr{P}(A)\) що складається з усіх підмножин\(A\), які мають саме\(k\) елементи. Опишіть, як ваш bijection з Task a, може бути використаний для підрахунку елементів\(\mathscr{P}(A)_k\text{.}\)
    Підказка.

    Розглянемо, як може допомогти обмеження домену.