6: Вступ до подальших дробів

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

У цьому розділі ми введемо безперервні дроби, доведемо їх основні властивості і застосовуємо ці властивості для вирішення деяких завдань. Будучи дуже природним об'єктом, тривалі фракції з'являються у багатьох областях математики, іноді несподіваним чином. Голландський математик і астроном Крістіан Гюйгенс (1629-1695) зробив перше практичне застосування теорії «антифееричних співвідношень» (стара назва безперервних дробів) в 1687 році. Він написав статтю, яка пояснює, як використовувати конвергенти для пошуку найкращих раціональних наближень для передавальних чисел. Ці наближення дозволили йому вибрати шестерні з найкращими числами зубів. Його робота була мотивована його бажанням побудувати механічний планетарій. Далі тривалі фракції привернули увагу найбільш видатних математиків. З темою працювали Ейлер, Якобі, Коші, Гаусс і багато інших. Продовжені фракції знаходять своє застосування в деяких областях сучасної математики. Є математики, які продовжують розвивати теорію безперервних дробів і в наш час, Австралійський математик А.Й. ван дер Поортен, мабуть, найбільш помітний серед них.

Дякуємо професору Павлу Гержоу з Гавайського університету за його внесок у розділ 6 про продовження фракції та

6.1: Основні позначення
6.2: Основний технічний інструмент
6.3: Дуже хороше наближення
Продовжені дроби забезпечують подання чисел, які є, в певному сенсі, родовими і канонічними. Це не залежить від довільного вибору підстави. Таке уявлення має бути найкращим в певному сенсі. У цьому розділі ми кількісно оцінюємо цю наївну ідею.
6.4: Додаток
6.5: Формула Гаусса, теорема Кузьміна і Леві та проблема Арнольда

Автори та атрибуція

Template:ContribRaji