3: Конгруенції

$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$

$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$

$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$

$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$

$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$

$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$

$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$

$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$

$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Конгруентність - це не що інше, як твердження про подільність. Теорія конгруенцій була введена Карлом Фрідрейхом Гауссом. Гаусс сприяв основним ідеям конгруенцій і довів кілька теорем, пов'язаних з цією теорією. Почнемо з введення конгруенцій та їх властивостей. Переходимо до доведення теорем про систему залишку у зв'язку з $\phi$ функцією Ейлера. Потім ми представимо розв'язки лінійних конгруенцій, які послужать вступом до китайської теореми про залишки. Ми наводимо нарешті важливі теореми конгруентності, отримані Вілсоном, Ферматом та Ейлером.

3.1: Вступ до конгруенцій
Як ми вже згадували у вступі, теорія конгруенцій була розроблена Гауссом на початку дев'ятнадцятого століття.
3.2: Системи залишку та Φ-функція Ейлера
3.3: Лінійні конгруенції
Оскільки конгруенції аналогічні рівнянням, природно запитати про розв'язки лінійних рівнянь. У цьому розділі ми будемо обговорювати лінійні конгруенції однієї змінної та їх рішення.
3.4: Китайська теорема про залишок
У цьому розділі ми обговорюємо рішення системи конгруенцій, що мають різні модулі. Прикладом такого роду систем є наступний; знайти число, яке залишає залишок 1 при діленні на 2, залишок 2 при діленні на три і залишок 3 при діленні на 5. Такого роду питання можна перевести на мову конгруенцій. В результаті в цьому розділі ми представляємо систематичний спосіб вирішення цієї системи конгруенцій.
3.5: Теореми Ферма, Ейлера та Вільсона
У цьому розділі ми представляємо три застосування конгруенцій. Перша теорема - теорема Вільсона, яка стверджує, що (p−1)! +1 ділиться на p, для p простого. Далі ми представляємо теорему Ферма, також відому як маленька теорема Ферма, яка стверджує, що ap та a мають однакові залишки при поділенні на p, де pa. Нарешті, ми наведемо теорему Ейлера, яка є узагальненням теореми Ферма, і вона стверджує, що для будь-якого натурального числа m, яке є відносно простим до цілого числа a.

Автори та атрибуція

Template:ContribRaji