3: Символічна логіка та докази
- Page ID
- 64493
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
Логіка - це вивчення слідства. З огляду на кілька математичних тверджень або фактів, ми хотіли б мати можливість зробити деякі висновки. Всякий раз, коли ми знаходимо «відповідь» в математиці, ми дійсно маємо (можливо, прихований) аргумент. Математика насправді полягає в тому, щоб довести загальні твердження (наприклад, теорема про проміжні значення), і це теж робиться за допомогою аргументу, який зазвичай називають доказом. Ми починаємо з деяких заданих умов, передумов нашого аргументу, і з них ми знаходимо наслідок інтересу, наш висновок.
- 3.0: Прелюдія до символічної логіки та доказів
- Проблема в тому, як ви, безсумнівно, знаєте, сперечаючись з друзями, не всі аргументи є хорошими аргументами. «Поганим» аргументом є той, при якому висновок не випливає з приміщення, тобто висновок не є наслідком приміщення. Логіка - це вивчення того, що робить аргумент хорошим чи поганим. Іншими словами, логіка має на меті визначити, в яких випадках висновок є або не є наслідком сукупності приміщень.
- 3.1: Пропозиційна логіка
- Пропозиція - це просто твердження. Пропозиційна логіка вивчає способи взаємодії висловлювань між собою. Важливо пам'ятати, що супозиційна логіка не дуже дбає про зміст висловлювань. Наприклад, з точки зору логіки пропозиції, твердження «якщо місяць зроблена з сиру, то баскетбольні м'ячі круглі», а «якщо у павуків вісім ніг, то Сем ходить з кульгавістю» точно такі ж. Вони обидва наслідки.
- 3.2: Докази
- Той, хто не вірить, що в математиці є творчість, явно не намагався писати докази. Пошук способу переконати світ у тому, що конкретне твердження обов'язково вірно, є могутньою справою і часто може бути досить складним завданням. Не існує гарантованого шляху до успіху в пошуку доказів. Написання доказів - це трохи мистецтва. Як і будь-яке мистецтво, щоб бути по-справжньому великим в ньому, потрібно якесь натхнення, а також якась фундаментальна техніка.
- 3.S: Символічна логіка та докази (резюме)
- На самому базовому рівні оператор може поєднувати простіші твердження за допомогою логічних зв'язків. Ми часто використовуємо змінні та кількісно оцінюємо над цими змінними. Як вирішити правду чи хибність твердження на основі цих зв'язків та кількісних показників - це те, що логіка. З цього ми можемо вирішити, чи є два твердження логічно еквівалентними або якщо одне або кілька тверджень (логічно) означають інше.