Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

5.3: Розділити раціональні вирази

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    59564

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Ділення раціональних виразів дуже збігається з діленням дробу в арифметиці. Перший крок - змінити ділення на множення і прийняти зворотне другого дробу. Два приклади наведені нижче. Порівняйте подібності!

    \(\begin{array} &&\text{Divide rational numbers} && \text{Divide rational expressions} \\ &\dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{9}{20} && \dfrac{x - 6}{x^2 - 16} ÷ \dfrac{4x-24}{x^2 + x - 12} \\ &\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{20}{9} &\textcolor{green}{\text{Multiply by the reciprocal}} & \dfrac{x - 6}{x^2 - 16} \cdot \dfrac{x^2 + x - 12}{4x-24} \\ &=\dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{4 \cdot 5}{3 \cdot 3} &\textcolor{green}{\text{Factor and cancel}} & \dfrac{x - 6}{(x-4)(x+4)} \cdot \dfrac{(x+4)(x-3)}{4(x-6)} \\ &\dfrac{5}{3} &\textcolor{green}{\text{What's left?}} & \dfrac{x-3}{4(x-4)} \\ &\text{This answer is in simplest form.} &\textcolor{green}{\text{Simplify answer}}& \dfrac{x-3}{4x-16} \end{array}\)

    Складні дроби

    Існує два дуельних позначення для поділу раціональних виразів. У наведеному вище позначенні використовується символ\(÷\) для поділу. Конкуруючі позначення називають складним дробом, який підтримує позначення дробу. Горизонтальна смуга дробу вказує на поділ.

    Складний дріб - це дріб, в якому або чисельником є дріб, або знаменник - дріб, або обидва. Щоб спростити складні дроби, перекладіть основний брусок дробу на ділення.

    \(\begin{array} &\dfrac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} &= \dfrac{a}{b} ÷ \dfrac{c}{d} &\text{Step \(1\): Перекласти на\(÷\) позначення.}\\ &=\ dfrac {a} {b}\ cdot\ dfrac {d} {c} &\ text {Крок\(2\): Помножте на зворотний.}\\ &=\ dfrac {ad} {bc} &\ text {Крок\(3\): Множення та спрощення.} \ end {масив}\)

    Приклад Template:index

    Спростити\(\dfrac{\frac{8u^3}{35w^4}}{\frac{24u}{5w^3}}\)

    Рішення

    Ви бачите основну смужку дробу? \(\dfrac{\frac{8u^3}{35w^4}}{\frac{24u}{5w^3}}\)\(\textcolor{blue}{\longleftarrow \text{Change fraction bar to } ÷} \)

    \( \dfrac{8u^3}{35w^4} ÷\dfrac{24u}{5w^3} = \dfrac{\cancel{8u^3}^{\textcolor{red}{u^2}}}{\cancel{35w^4}^{\textcolor{red}{7w}}} \cdot \dfrac{\cancel{5w^3}^{\textcolor{red}{1}}}{\cancel{24u}^{\textcolor{red}{3}}} = \dfrac{u^2}{21w} \)

    Приклад Template:index

    Спростити\(\dfrac{\frac{2}{h}}{10h}\)

    Рішення

    Давайте\(10h\) перетворимо у форму дробу:\(\dfrac{\frac{2}{h}}{\frac{10h}{1}}\)\(\textcolor{blue}{\longleftarrow \text{Change fraction bar to } ÷} \)

    \( \dfrac{2}{h} ÷\dfrac{10h}{1} = \dfrac{\cancel{2}^{\textcolor{red}{1}}}{h} \cdot \dfrac{1}{\cancel{10h}^{\textcolor{red}{5h}}} = \dfrac{1}{5h^2} \)

    Приклад Template:index

    Спростити\(\dfrac{\frac{t^2-1}{t+2}}{\frac{5-5t}{t^2+3t+2}}\)

    Рішення

    Заданий вираз являє собою складний дріб.

    \(\begin{array}&\dfrac{\frac{t^2-1}{t+2}}{\frac{5-5t}{t^2+3t+2}} &= \dfrac{t^2-1}{t+2} ÷ \dfrac{5-5t}{t^2+3t+2} &\text{Change the main fraction bar to \(÷\)}\\ &=\ dfrac {t^2-1} {t+2}\ cdot\ dfrac {t^2+3t+2} {5-5t} &\ text {Помножити на взаємний.}\\ &=\ dfrac {(t+1) (t+1)} {(t+2)}\ cdot\ dfrac {(t+2) {(t+1)} (1-т)} =\ dfrac {(t+1) (\ скасувати {t-1})} {(\ скасувати {t+2})}\ cdot\ dfrac {(\ скасувати {t+2}) (t+1)} {\ скасувати {1-т}) ^ {\ textcolor {червоний} {-1}}} &\ текст { Фактор і скасування. Протилежності теж!} \\ &= −\ dfrac {(t+1) ^2} {5} &\ end {масив}\)

    У нашому останньому прикладі (нижче) ми розділимо три раціональні вирази. Будучи студентом, дозвольте собі застосувати свої знання про дробах. Процес однаковий для раціональних виразів. Перш ніж робити приклад 4, ви можете спробувати спростити наступне:\(\dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{3}{4} ÷ \dfrac{3}{5}\).

    Порядок операцій вимагає від нас рухатися зліва направо, приймаючи по дві фракції одночасно.

    \(\left( \dfrac{1}{2} ÷ \dfrac{3}{4} \right) ÷ \dfrac{3}{5} = \left( \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{3} \right) ÷ \dfrac{3}{5} = \left( \dfrac{2}{3} \right) ÷ \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{5}{3} = \dfrac{10}{9}\)

    Приклад Template:index

    Спростити\(\dfrac{2y}{24-6y} ÷ \dfrac{y-2}{y^2 -3y-4} ÷ \dfrac{y^2+y}{3}\)

    Рішення

    \( \begin{array} &\left( \dfrac{2y}{24-6y} ÷ \dfrac{y-2}{y^2 -3y-4} \right) ÷ \dfrac{y^2+y}{3} &= \left( \dfrac{2}{6} \cdot \dfrac{y}{\cancel{4-y}^{\textcolor{red}{-1}}} \dfrac{(\cancel{y-4})(y+1)}{y-2} \right) ÷ \dfrac{y^2+y}{3} \\ &= \left( \dfrac{1}{\cancel{3}} \cdot \dfrac{\cancel{y}}{-1} \cdot \dfrac{\cancel{y+1}}{y-2} \right) \cdot \dfrac{\cancel{3}}{\cancel{y} (\cancel{y+1})} \\ &= -\dfrac{1}{y-2} \\ &= \dfrac{1}{2-y} \end{array} \)

    Спробуйте! (Вправи)

    Для #1 -3 розділіть раціональні числа без використання калькулятора. Дайте відповідь у вигляді зменшеної фракції.

    1. \(\dfrac{7^{10}}{4^5} ÷ \dfrac{7^{12}}{4^6}\)
    2. \(\dfrac{13^8 \cdot 5^{10}}{6^7} ÷ \dfrac{13^8 \cdot 5^8}{3 \cdot 6^6 \cdot 5}\)
    3. \(2^9 ÷ \dfrac{4 \cdot 2^6}{8^2} ÷ \dfrac{2^3}{6}\)

    Для #4 -20 розділіть і спростіть.

    1. \(\dfrac{24u^2}{9w^8} ÷ \dfrac{12u}{45w^{10}}\)
    2. \(\dfrac{\frac{36a^2b^2}{25c^3}}{\frac{72ab}{5c^5}}\)
    3. \(\dfrac{60x^6y^{10}}{11z^5} ÷ \dfrac{9x^8}{44z^2} ÷ \dfrac{8y^7}{x}\)
    4. \(\dfrac{10p(p−q)^4}{3q(q−7)^2} ÷ \dfrac{2p^2(p−q)^5}{15q(q−7)^4}\)
    5. \(\dfrac{40v(v−2)^{12}}{33(5v−6)^9} ÷ \dfrac{24v^3(v−12)^{10}}{11(5v−6)^{10}}\)
    6. \(\dfrac{\frac{d−5}{20d}}{\frac{(d−5)^3}{25d^2}}\)
    7. \(\dfrac{\frac{4r^2−9}{r}}{2r+3}\)
    8. \(\dfrac{x^2+3x−18}{x^2−2x−3} ÷ \dfrac{x^2+12x+36}{x^2−6x−7}\)
    9. \(\dfrac{4m^3+3m^2}{8m^2} ÷ \dfrac{4m^3+7m^2+3m}{4m}\)
    10. \(\dfrac{\frac{12t^3}{t^2−4}}{\frac{8t^2}{4t−16}} \)
    11. \(\dfrac{5n+6}{\frac{5n^2−4n−12}{4−n^2}}\)
    12. \(\dfrac{6p^2+6p-72}{3−p} ÷ (3p + 12)\)
    13. \(\dfrac{y^2+2y}{4y−32} ÷ \dfrac{y+2}{12y−24} ÷ \dfrac{6y−12}{5y}\)
    14. \(\dfrac{w^2−25}{w^2−2w−35} ÷ \dfrac{4−4w}{w^4+2w^3} ÷ \dfrac{w^3−5w^2}{w^2−8w+7}\)
    15. \(\dfrac{b^4−1}{b^2−5b−6} ÷ \dfrac{b^4+b^2}{b^2−12b+36}\)
    16. \(\dfrac{\frac{8a^3−1}{2a^2+7a−4}}{\frac{16a}{4a+16}}\)
    17. \(\dfrac{\frac{64c^3+27}{16c^3}}{\frac{16c^2−9}{32c^6}}\)