7.3.5: Розрізнення об'єму та площі поверхні

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57892

Illustrative Mathematics
OpenUp Resources

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Урок

Давайте попрацюємо з площею поверхні та об'ємом у контексті.

Вправа\(\PageIndex{1}\): THe Science Fair

Викладач науки Май розповів їй, що коли в склянці більше льоду торкається води, лід тане швидше. Вона хоче перевірити це твердження, щоб вона розробляла свій науковий ярмарок проект, щоб визначити, чи буде подрібнений лід або кубики льоду швидше танути в напої.

Починається вона з двох чашок теплої води. В одну чашку вона кладе кубик льоду. У другу чашку вона кладе колотий лід з таким же об'ємом, як і кубик. Яка ваша гіпотеза? Чи буде кубик льоду або подрібнений лід швидше танути, або вони будуть танути з однаковою швидкістю? Поясніть свої міркування.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Revisiting the Box of Chocolates

Днями ви розрахували обсяг цієї коробки цукерок у формі серця.

Глибина коробки - 2 дюйми. Скільки картону потрібно для створення коробки?

Вправа\(\PageIndex{3}\): Card Sort: Surface Area or Volume

Ваш викладач дасть вам листівки з різними фігурами і питаннями на них.

Сортуйте карти на дві групи виходячи з того, чи було б більше сенсу думати про площу поверхні або обсязі фігури при відповіді на питання. Пауза тут, щоб ваш викладач міг переглянути вашу роботу.
Ваш викладач призначить вам картку для більш уважного вивчення. Яка додаткова інформація вам потрібна, щоб відповісти на питання по вашій картці?
Оцініть розумні виміри для фігури на вашій картці.
Використовуйте свої розрахункові вимірювання, щоб обчислити відповідь на питання.

Ви готові до більшого?

Торт має форму квадратної призми. Верх - 20 сантиметрів з кожного боку, а корж - 10 сантиметрів заввишки. Він має глазур з боків і зверху, і єдину свічку на вершині в точному центрі квадрата. У вас є ніж і 20-сантиметрова лінійка.

Знайдіть спосіб розрізати торт на 4 справедливі порції, щоб всі 4 порції мали однакову кількість торта і глазурі.
Знайдіть інший спосіб розрізати торт на 4 справедливі порції.
Знайдіть спосіб розрізати торт на 5 справедливих порцій.

Вправа\(\PageIndex{4}\): A Wheelbarrow of Concrete

Для перенесення мокрого бетону використовується тачка. Ось його розміри.

Який обсяг бетону знадобився б для заповнення лотка?
Після скидання мокрого бетону ви помічаєте, що з внутрішньої сторони лотка залишається тонка плівка. Яка площа бетонного покриття лотка? (Пам'ятайте, немає верху.)

Резюме

Іноді нам потрібно знайти обсяг призми, а іноді потрібно знайти площу поверхні.

Ось кілька прикладів величин, пов'язаних з обсягом:

Скільки води може вмістити ємність
Скільки матеріалу знадобилося для побудови твердого об'єкта

Обсяг вимірюється в кубічних одиницях, як в ³ або м ³.

Ось кілька прикладів величин, пов'язаних з площею поверхні:

Скільки потрібно тканини для покриття поверхні
Скільки предмета потрібно пофарбувати

Площа поверхні вимірюється в квадратних одиницях, як в ² або м ².

Записи глосарію

Визначення: Основа (призми або піраміди)

Слово base може також ставитися до обличчя багатогранника.

Призма має два однакових підстави, які паралельні. Піраміда має одну основу.

Призма або піраміда названа за формою її підстави.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): Ліворуч фігура позначена п'ятикутною призмою. Зверху і знизу є два однакових п'ятикутника. Кожна вершина п'ятикутника з'єднана вертикальним відрізком з відповідною вершиною інших п'ятикутників. П'ятикутники затінені, причому база слів вказує на кожен. На малюнку праворуч позначена шестикутна піраміда. На дні є шестикутник, затінений зеленим кольором. З точки над шестикутником відходять 6 відрізків, кожен з'єднаний з вершиною шестикутника.

Визначення: Поперечний переріз

Поперечний переріз - це нове обличчя, яке ви бачите, коли розрізаєте тривимірну фігуру.

Наприклад, якщо ви нарізаєте прямокутну піраміду паралельно основі, ви отримаєте менший прямокутник як поперечний переріз.

Визначення: Призма

Призма - це тип багатогранника, який має дві основи, які є однаковими копіями один одного. Підстави з'єднуються прямокутниками або паралелограмами.

Ось деякі малюнки призм.

Визначення: Піраміда

Піраміда - це тип багатогранника, який має одну основу. Всі інші грані є трикутниками, і всі вони зустрічаються в одній вершині.

Ось деякі малюнки пірамід.

Визначення: Площа поверхні

Площа поверхні багатогранника - це кількість квадратних одиниць, що охоплює всі грані багатогранника, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, якщо грані куба кожна мають площу 9 см ², то площа поверхні куба дорівнює\(6\cdot 9\), або 54 см ².

Визначення: Обсяг

Обсяг - це кількість кубічних одиниць, які заповнюють тривимірну область, без будь-яких зазорів або перекриттів.

Наприклад, обсяг цієї прямокутної призми становить 60 одиниць ³, тому що вона складається з 3 шарів, які кожен 20 одиниць ³.

Практика

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Ось основа призми.

Якщо висота призми 5 см, яка площа її поверхні? Який її обсяг?
Якщо висота призми 10 см, яка площа її поверхні? Який її обсяг?
Коли висота подвоїлася, який відсоток збільшився для площі поверхні? Для обсягу?

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Виберіть всі ситуації, коли знання обсягу об'єкта було б корисніше, ніж знання його площі поверхні.

Визначення кількості фарби, необхідної для фарбування сараю.
Визначення грошової вартості золотого ювелірного виробу.
Наповнення акваріума відрами води.
Вирішуючи, скільки буде потрібно обгорткового паперу для подарунка.
Упаковка коробки з кавунами для доставки.
Зарядка компанії за рекламний простір на вашому гоночному автомобілі.
Вимірювання кількості бензину, що залишився в баку трактора.

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Хан малює трикутник з\(50^{\circ}\) кутом,\(40^{\circ}\) кутом і стороною довжиною 4 см, як показано на малюнку. Чи можете ви намалювати інший трикутник з тими ж умовами?

(Від блоку 7.2.4)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

\(H\)Кут в два рази менше, ніж кут\(J\). \(J\)Кут на одну четверту стільки ж, скільки кут\(K\). Кут\(K\) має вимір 240 градусів. Що таке міра кута\(H\)?

(З блоку 7.1.3)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Прапор штату Колорадо складається з трьох горизонтальних смуг однакової висоти. Довжини сторін прапора знаходяться в співвідношенні\(2:3\). Діаметр диска золотого кольору дорівнює висоті центральної смуги. Який відсоток прапора - золото?

(Від блоку 4.2.4)