11.1: Використовуйте прямокутну систему координат (частина 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57786

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Покладіть точки на прямокутній системі координат
Визначте точки на графіку
Перевірка розв'язків рівняння у двох змінних
Заповніть таблицю розв'язків лінійного рівняння
Пошук розв'язків лінійних рівнянь у двох змінних

будьте готові!

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Оцінити: x + 3, коли x = −1. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.4.10.
Оцінити: 2x − 5y, коли x = 3, y = −2. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.8.106.
Вирішити для y: 40 − 4y = 20. Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 8.4.1.

Графік точок на прямокутній системі координат

Багато карт, таких як карта кампусу, показана на малюнку$\PageIndex{1}$, використовують систему сітки для визначення місцезнаходжень. Ви бачите цифри 1, 2, 3 і 4 у верхній і нижній частині карти, а також букви A, B, C і D уздовж боків? Кожне місце на карті можна визначити цифрою і буквою.

Наприклад, Студентський центр знаходиться в секції 2B. Він розташований в секції сітки над цифрою 2 і поруч з буквою Б. У якій секції сітки знаходиться стадіон? Стадіон знаходиться в секції 4D.

$На малюнку показана мічена сітка, що представляє карту кампусу. Стовпці позначені з 1 по 4, а рядки позначені від А до D. У позиції A-1 знаходиться назва «Гараж для паркування». У позиції А-4 знаходиться прямокутник з написом Residence Halls. На позиції B-2 знаходиться прямокутник з написом Студентський центр. На позиції B-3 знаходиться прямокутник з маркуванням Інженерна будівля. У позиції С-1 знаходиться прямокутник з написом Тейлор Холл. На позиції C-2 знаходиться прямокутник з написом Library. На позиції С-4 знаходиться прямокутник з написом Tiger Field. На позиції Д-4 знаходиться прямокутник з написом Стадіон.$

Малюнок$\PageIndex{1}$

Приклад$\PageIndex{1}$:

Використовуйте карту на малюнку$\PageIndex{1}$. (а) Знайдіть розділ сітки залів резиденцій. (б) Що знаходиться в секції сітки 4C?

Рішення

(а) Прочитайте номер нижче житлових залів, 4, і букву в сторону, А. Таким чином, зали резиденцій знаходяться в розділі сітки 4A.

(b) Знайдіть 4 в нижній частині карти і C уздовж сторони. Подивіться нижче 4 і поруч з C. Tiger Field знаходиться в розділі сітки 4C.

Вправа$\PageIndex{1}$:

Використовуйте карту на малюнку$\PageIndex{1}$. (а) Знайдіть сітку секції Тейлора Холла. (б) Що знаходиться в розділі 3B?

Відповідь на: 1С

Відповідь б: Інженерна будівля

Вправа$\PageIndex{1}$:

Використовуйте карту на малюнку$\PageIndex{1}$. (а) Знайдіть сітку секції гаража. (б) Що знаходиться в розділі 2С?

Відповідь на: 1А

Відповідь б: Бібліотека

Подібно до того, як карти використовують систему сітки для ідентифікації місць, в алгебрі використовується система сітки, щоб показати зв'язок між двома змінними в прямокутній системі координат. Щоб створити прямокутну систему координат, почніть з горизонтальної лінії числення. Покажіть як позитивні, так і негативні числа, як ви робили раніше, використовуючи зручну одиницю масштабу. Ця горизонтальна числова лінія називається віссю x.

$На малюнку показаний числовий рядок з цілими значеннями, позначені від -5 до 5.$

Тепер зробіть вертикальну цифрову лінію, що проходить через вісь x на 0. Поставте позитивні числа вище 0, а негативні - нижче 0. Див$\PageIndex{2}$. Малюнок. Ця вертикальна лінія називається віссю y.

Вертикальні лінії сітки проходять через цілі числа, позначені на осі x. Горизонтальні лінії сітки проходять через цілі числа, позначені на осі y. Отримана сітка є прямокутною системою координат.

Прямокутна система координат також називається площиною xy, координатною площиною або декартовою системою координат (оскільки вона була розроблена математиком на ім'я Рене Декарт.)

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Стрілка вказує на горизонтальну вісь з міткою «вісь x». Стрілка вказує на вертикальну вісь з міткою «y-ось». Стрілка вказує на перетин осей з міткою «origin».$

Малюнок$\PageIndex{2}$ - Прямокутна система координат.

Вісь x і вісь y утворюють прямокутну систему координат. Ці осі ділять площину на чотири області, звані квадрантами. Квадранти ідентифікуються римськими цифрами, що починаються справа вгорі і йдуть проти годинникової стрілки. Див$\PageIndex{3}$. Малюнок.

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Верхня права частина площини позначена «I», верхня ліва частина площини позначена «II», нижня ліва частина площини позначена «III», а нижня права частина площини позначена «IV»$

Малюнок$\PageIndex{3}$ - Чотири квадранта прямокутної системи координат.

У прямокутній системі координат кожна точка представлена впорядкованою парою. Перше число в впорядкованій парі - координата x точки, а друге число - y-координата точки.

Визначення: Впорядкована пара

Впорядкована пара (x, y) дає координати точки в прямокутній системі координат. Перше число - координата x. Друге число - y-координата.

$Впорядкована пара x y позначена першою координатою x, позначеною як «x-координата», а друга координата y позначена як «y-координата»$

Отже, як координати точки допомагають знайти точку на площині xy?

Спробуємо знайти точку (2, 5). У цій впорядкованій парі координата x дорівнює 2, а y -координата дорівнює 5.

Ми починаємо з розташування значення x, 2, на осі х. Потім злегка накидаємо вертикальну лінію через х = 2, як показано на малюнку$\PageIndex{4}$

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Існує вертикальна пунктирна лінія, що проходить через 2 на осі х.$

Малюнок$\PageIndex{4}$

Тепер ми знаходимо значення y, 5, на осі y і намалюємо горизонтальну лінію через y = 5. Точка, де ці дві лінії зустрічаються, - це точка з координатами (2, 5). Розміщуємо там точку, як показано на малюнку$\PageIndex{5}$.

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Стрілка починається від початку і тягнеться праворуч до числа 2 на осі x. Стрілка починається в кінці першої стрілки на 2 на осі x і йде вертикально 5 одиниць до точки з позначкою «2, 5" в дужках.$

Малюнок$\PageIndex{5}$

Приклад$\PageIndex{2}$:

Ділянка (1, 3) і (3, 1) в одній і тій же прямокутній системі координат.

Рішення

Значення координат однакові для обох точок, але значення x та y змінюються. Почнемо з точки (1, 3). Координата x дорівнює 1, тому знайдіть 1 на осі x і намалюйте вертикальну лінію через x = 1. Y-координата дорівнює 3, тому ми знаходимо 3 на осі y і намалюємо горизонтальну лінію через y = 3. Там, де дві лінії зустрічаються, намічаємо точку (1, 3).

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Горизонтальна пунктирна лінія проходить через 3 по осі у. Вертикальна пунктирна лінія проходить через 1 по осі х. Пунктирні лінії перетинаються в точці з позначкою «впорядкована пара 1, 3».$

Для побудови точки (3, 1) починаємо з розташування 3 на осі х і накидаємо вертикальну лінію через х = 3. Потім знаходимо 1 на осі y і накидаємо горизонтальну лінію через y = 1. Там, де дві лінії зустрічаються, намічаємо точку (3, 1).

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Горизонтальна пунктирна лінія проходить через 1 по осі Y. Вертикальна пунктирна лінія проходить через 3 по осі х. Пунктирна лінія перетинається в точці з позначкою «впорядкована пара 3, 1».$

Зверніть увагу, що порядок координат має значення, отже, (1, 3) не є тією ж точкою, що (3, 1).

Вправа$\PageIndex{3}$:

Покладіть кожну точку на одній і тій же прямокутній системі координат: (2, 5), (5, 2).

Відповідь: $Цей графік відповідей показує координатну площину x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Є дві мічені точки: перша - впорядкована пара (5, 2), а друга - (2, 5)$

Вправа$\PageIndex{4}$:

Покладіть кожну точку на одній і тій же прямокутній системі координат: (4, 2), (2, 4).

Відповідь: $Цей графік відповідей показує координатну площину x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Є дві мічені точки: перша - впорядкована пара (2, 4), а друга - (4, 2)$

Приклад$\PageIndex{3}$:

Побудувати кожну точку прямокутної системи координат і визначити квадрант, в якому знаходиться точка: (a) (−1, 3) (b) (−3, −4) (c) (2, −3) (d)$\left(3, \dfrac{5}{2}\right)$

Рішення

Перше число координатної пари - координата x, а друге число - координата y.

Оскільки x = −1, y = 3, точка (−1, 3) знаходиться у II квадранті.
Оскільки x = −3, y = −4, точка (−3, −4) знаходиться у III квадранті.
Оскільки x = 2, y = −1, точка (2, −1) знаходиться в квадранті lV.
Оскільки x = 3, y =$\dfrac{5}{2}$, точка$\left(3, \dfrac{5}{2}\right)$ знаходиться в квадранті I. Може бути корисно написати$\dfrac{5}{2}$ як змішане число$2 \dfrac{1}{2}$, або десяткове число, 2.5. Тоді ми знаємо, що точка знаходиться на півдорозі між 2 і 3 на осі Y.

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 3, 5 над 2» позначається як «впорядкована пара «3,5 над 2». Точка «впорядкована пара -1, 3» позначається як «впорядкована пара -1, 3». Точка «впорядкована пара -3, -4» позначається як «впорядкована пара -3, -4». Точка «впорядкована пара 2, -1» позначається як «впорядкована пара 2, -1».$

Вправа$\PageIndex{5}$:

Побудувати кожну точку прямокутної системи координат і визначити квадрант, в якому знаходиться точка: (a) (−2, 1) (b) (−3, −1) (c) (4, −4) (d)$\left(-4, \dfrac{3}{2}\right)$

Відповідь: $На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Точка «впорядкована пара -2, 1» позначається як «а». Точка «впорядкована пара -3, 1» позначається як «б». Точка «впорядкована пара 4, -4 має маркування «c». Точка «впорядкована пара -4, 3/2» позначається як «d».$

Вправа$\PageIndex{6}$:

Побудувати кожну точку прямокутної системи координат і визначити квадрант, в якому знаходиться точка: (a) (−4, 1) (b) (−2, 3) (c) (2, −5) (d)$\left(-3, \dfrac{5}{2}\right)$

Відповідь: $Це зображення є графіком відповідей і показує координатну площину x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Точка «впорядкована пара -4, 1» позначається як «а». Точка «впорядкована пара -2, 3» позначається як «б». Точка «впорядкована пара 2, -5» позначається як «c». Точка «впорядкована пара -3, 5/2» позначається як «d».$

Як знаки впливають на розташування точок?

Приклад$\PageIndex{4}$:

Побудуйте кожну точку: (a) (−5, 2) (b) (−5, −2) (c) (5, 2) (d) (5, −2)

Рішення

Коли ми знаходимо координату x та координату y, ми повинні бути обережними зі знаками.

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 5, 2» позначається як «впорядкована пара 5, 2». Точка «впорядкована пара -5, 2» позначається як «впорядкована пара -5, 2». Точка «впорядкована пара -5, -2» позначається як «впорядкована пара -5, -2». Точка «впорядкована пара 5, -2» позначається як «впорядкована пара 5, -2».$

Вправа$\PageIndex{7}$:

Побудуйте кожну точку: (а) (4, −3) (b) (4, 3) (c) (−4, −3) (d) (−4, 3)

Відповідь: $Це зображення є графіком відповідей і показує координатну площину x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Точка «впорядкована пара 4, -3» позначається як «а». Точка «впорядкована пара 4, 3» позначається як «б». Точка «впорядкована пара -4, -3» позначається як «c». Точка «впорядкована пара -4, 3» позначається як «d».$

Вправа$\PageIndex{8}$:

Побудуйте кожну точку: (a) (−1, 4) (b) (1, 4) (c) (1, −4) (d) (−1, −4)

Відповідь: $Це зображення є графіком відповідей і показує координатну площину x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Точка «впорядкована пара -1, -4» позначається як «a». Точка «впорядкована пара 1, 4» позначається як «б». Точка «впорядкована пара 1, -4» позначається як «c». Точка «впорядкована пара -1, -4» позначається як «d».$

Можливо, ви помітили деякі закономірності, коли ви намалювали точки в двох попередніх прикладах.

Для кожної точки в квадранті IV, що ви помічаєте про знаки координат?

А як щодо знаків координат точок у третьому квадранті? Другий квадрант? Перший квадрант?

Чи можете ви сказати, просто подивившись на координати, в якому квадранті знаходиться точка (−2, 5)? У якому квадранті знаходиться (2, −5)?

$...$

Ми можемо узагальнити шаблони знаків квадрантів наступним чином. Також див$\PageIndex{6}$. Малюнок.

Таблиця$\PageIndex{1}$
Квадрант I	Квадрант II	Квадрант III	IV квадрант
(х, у)	(х, у)	(х, у)	(х, у)
(+, +)	(-, +)	(-, -)	(+, -)

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Верхня права частина площини позначена «I» і «впорядкована пара +, +», верхня ліва частина площини позначена «II» і «впорядкована пара -, +», нижня ліва частина площини позначена «III» «впорядкована пара -, -», а нижня права частина площини маркується «IV» і «впорядкована пара +, -».$

Малюнок$\PageIndex{6}$

Що робити, якщо одна координата дорівнює нулю? Де знаходиться точка (0, 4)? Де знаходиться точка (−2, 0)? Точка (0, 4) знаходиться на осі Y, а точка (− 2, 0) - на осі x.

Визначення: Точки на осях

Точки з координатою y, рівною 0, знаходяться на осі x і мають координати (a, 0).

Точки з координатою x, рівною 0, знаходяться на осі y і мають координати (0, b).

Що таке впорядкована пара точки, де осі перетинаються? У цій точці обидві координати дорівнюють нулю, тому її впорядкована пара дорівнює (0, 0). Точка має особливу назву. Його називають походженням.

Визначення: походження

Точка (0, 0) називається початком. Це точка, де перетинаються вісь х і вісь y.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Покласти кожну точку на координатній сітці: (a) (0, 5) (b) (4, 0) (c) (−3, 0) (d) (0, 0) (e) (0, −1)

Рішення

Оскільки x = 0, точка, координати якої (0, 5), знаходиться на осі y.
Оскільки y = 0, точка, координати якої (4, 0) знаходиться на осі x.
Оскільки y = 0, точка, координати якої (−3, 0) знаходиться на осі x.
Оскільки x = 0 і y = 0, точка, координати якої є (0, 0), є початком.
Оскільки x = 0, точка, координати якої (0, −1), знаходиться на осі y.

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Пункт «впорядкована пара 0, 0» позначається в дужках «0, 0». Пункт «впорядкована пара 4, 0» позначається в дужках «4, 0». Пункт «впорядкована пара 0, 5» позначається в дужках «0, 5». Точка «впорядкована пара 0, -1» позначається в дужках «0, -1».$

Вправа$\PageIndex{9}$:

Покласти кожну точку на координатній сітці: (a) (4, 0) (b) (−2, 0) (c) (0, 0) (d) (0, 2) (e) (0, −3)

Відповідь: $Це зображення є графіком відповідей і показує координатну площину x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Намальована точка для впорядкованої пари 4, 0. Намальована точка для впорядкованої пари -2, 0. Викладається точка для впорядкованої пари 0,0. Намальована точка для впорядкованої пари 0, 2. Викладається точка для впорядкованої пари 0, -3.$

Вправа$\PageIndex{10}$:

Покласти кожну точку на координатній сітці: (a) (−5, 0) (b) (3, 0) (c) (0, 0) (d) (0, −1) (e) (0, 4)

Відповідь: $Це зображення є графіком відповідей і показує координатну площину x y. По осі x і y кожна проходить від -6 до 6. Намальована точка для впорядкованої пари -5, 0. Намальована точка для впорядкованої пари 3, 0. Викладається точка для впорядкованої пари 0,0. Викладається точка для впорядкованої пари 0, -1. Викладається точка для впорядкованої пари 0,4.$

Визначення точок на графіку

В алгебрі можливість ідентифікувати координати точки, показаної на графіку, так само важлива, як і можливість будувати точки. Щоб визначити координату x точки на графіку, прочитайте число на осі x безпосередньо над або нижче точки. Щоб визначити координату y точки, прочитайте число на осі y безпосередньо ліворуч або праворуч від точки. Пам'ятайте, щоб написати впорядковану пару, використовуючи правильний порядок (x, y).

Приклад$\PageIndex{6}$:

Назвіть впорядковану пару кожної показаної точки:

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 2, 4» позначена C. Точка «впорядкована пара -3, 3» позначається A. Точка «впорядкована пара -1, -3» позначається B. Точка «впорядкована пара 4, -4» позначається як D.$

Рішення

Точка A знаходиться вище −3 на осі x, тому координата x точки дорівнює −3. Точка знаходиться зліва від 3 на осі y, тому координата y точки дорівнює 3. Координати точки є (−3, 3).

Точка B знаходиться нижче −1 на осі x, тому координата x точки дорівнює −1. Точка знаходиться ліворуч від −3 на осі y, тому координата y точки дорівнює −3. Координати точки є (−1, −3).

Точка C знаходиться вище 2 на осі x, тому координата x точки дорівнює 2. Точка знаходиться праворуч від 4 на осі y, тому координата y точки дорівнює 4. Координати точки є (2, 4).

Точка D знаходиться нижче 4 на осі х, тому координата x точки дорівнює 4. Точка знаходиться праворуч від −4 на осі y, тому координата y точки дорівнює −4. Координати точки є (4, −4)

Вправа$\PageIndex{11}$:

Назвіть впорядковану пару кожної показаної точки:

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 5, 1» позначається міткою А. точка «впорядкована пара -2, 4» позначається B. Точка «впорядкована пара -5, -1» позначається C. Точка «впорядкована пара 3, -2» позначається як D.$

Відповідь: A: (5,1), B: (−2,4), C: (−5, −1), D: (3, −2)

Вправа$\PageIndex{12}$:

Назвіть впорядковану пару кожної показаної точки:

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 4, 2» позначається міткою А. точка «впорядкована пара -2, 3» позначається B. Точка «впорядкована пара -4, -4» позначається C. Точка «впорядкована пара 3, -5» позначається як D.$

Відповідь: A: (4,2), B: (−2,3), C: (−4, −4), D: (3, −5)

Приклад$\PageIndex{7}$:

Назвіть впорядковану пару кожної показаної точки:

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 3, 0» позначається C. Точка «впорядкована пара 0, 1» позначена D. Точка «впорядкована пара -4, 0» позначається A.$

Рішення

Точка A знаходиться на осі x при x = − 4.	Координати точки А є (− 4, 0).
Точка B знаходиться на осі y при y = − 2.	Координати точки B мають значення (0, − 2).
Точка C знаходиться на осі x при x = 3.	Координати точки С є (3, 0).
Точка D знаходиться на осі y при y = 1.	Координати точки D є (0, 1).

Вправа$\PageIndex{13}$:

Назвіть впорядковану пару кожної показаної точки:

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 4, 0» позначається міткою А. точка «впорядкована пара 0, 3» позначається B. Точка «впорядкована пара -3, 0» позначається C. Точка «впорядкована пара 0, -5» позначається як D.$

Відповідь: A: (4,0), B: (0,3), C: (−3,0), D: (0, −5)

Вправа$\PageIndex{14}$:

Назвіть впорядковану пару кожної показаної точки:

$На графіку показана координатна площина x y. По осі x і y кожна проходить від -7 до 7. Точка «впорядкована пара 5, 0» позначається C. Точка «впорядкована пара 0, 2» позначається позначенням D. Точка «впорядкована пара -3, 0» позначається A.$

Відповідь: A: (−3,0), B: (0, −3), C: (5,0), D: (0,2)

Автори та атрибуція

Template:ContribOpenStaxPreAlgebra

Приклад\(\PageIndex{1}\):

Вправа\(\PageIndex{1}\):

Вправа\(\PageIndex{1}\):

Визначення: Впорядкована пара

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вправа\(\PageIndex{3}\):

Вправа\(\PageIndex{4}\):

Приклад\(\PageIndex{3}\):

Вправа\(\PageIndex{5}\):

Вправа\(\PageIndex{6}\):

Приклад\(\PageIndex{4}\):

Вправа\(\PageIndex{7}\):

Вправа\(\PageIndex{8}\):

Визначення: Точки на осях

Визначення: походження

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вправа\(\PageIndex{9}\):

Вправа\(\PageIndex{10}\):

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вправа\(\PageIndex{11}\):

Вправа\(\PageIndex{12}\):

Приклад\(\PageIndex{7}\):

Вправа\(\PageIndex{13}\):

Вправа\(\PageIndex{14}\):