11.2: Використовуйте прямокутну систему координат (частина 2)
- Page ID
- 57778
Перевірка розв'язків рівняння у двох змінних
Всі рівняння, які ми розв'язали досі, були рівняннями з однією змінною. Майже в кожному випадку, коли ми розв'язували рівняння, ми отримали рівно одне рішення. Процес розв'язання рівняння закінчився таким твердженням, як x = 4. Потім ми перевірили рішення, підставивши назад в рівняння.
Ось приклад лінійного рівняння в одній змінній та його одне рішення.
\[\begin{split} 3x + 5 &= 17 \\ 3x &= 12 \\ x &= 4 \end{split}\]
Але рівняння можуть мати більше однієї змінної. Рівняння з двома змінними можна записати в загальному вигляді Ax+ By = C. Рівняння такого виду називається лінійним рівнянням в двох змінних.
Рівняння виду Ax+ By = C, де A і B не обидва нуль, називається лінійним рівнянням в двох змінних.
Зверніть увагу, що слово «лінія» знаходиться в лінійному.
Ось приклад лінійного рівняння у двох змінних, x та y:
\[\begin{split} \textcolor{red}{A} x + \textcolor{blue}{B} y &= \textcolor{green}{C} \\ x + \textcolor{blue}{4} y &= \textcolor{green}{8} \\ \textcolor{red}{A = 1},\; \textcolor{blue}{B = 4},\; &\textcolor{green}{C = 8} \end{split}\]
Чи є y = −5x+ 1 лінійним рівнянням? Це не здається у вигляді Ax+ By = C. Але ми могли б переписати його в такому вигляді.
| $ $ у = -5х + 1$$ | |
| Додайте 5x з обох сторін. | $ $ у + 5х = -5х + 1 + 5х$$ |
| Спростити. | $ $ у +5х = 1$$ |
| Використовуйте Комутативну властивість, щоб поставити його в Ax+ By = C. | $\ begin {спліт}\ колір тексту {червоний} {A} x +\ textcolor {синій} {B} y &= C\\ 5 +\ quad y &= 1\ кінець {спліт} $$ |
Переписуючи y = −5x + 1 як 5x + y = 1, ми можемо побачити, що це лінійне рівняння у двох змінних, оскільки його можна записати у вигляді Ax+ By = C.
Лінійні рівняння в двох змінних мають нескінченно багато розв'язків. Для кожного числа, яке підставляється на x, існує відповідне значення y. Ця пара значень є розв'язком лінійного рівняння і представлена впорядкованою парою (x, y). Коли ми підставляємо ці значення x і y в рівняння, результат є істинним твердженням, оскільки значення на лівій стороні дорівнює значенню на правій стороні.
Впорядкована пара (x, y) - це рішення лінійного рівняння Ax+ By = C, якщо рівняння є істинним твердженням, коли в рівняння підставляються значення x- і y впорядкованої пари.
Визначте, які впорядковані пари є розв'язками рівняння x + 4y = 8: (a) (0, 2) (b) (2, −4) (c) (−4, 3)
Рішення
Підставте значення x- і y з кожної впорядкованої пари в рівняння і визначте, чи є результат істинним твердженням.
| (а) (0, 2) | (б) (2, −4) | (c) (−4, 3) |
| $\ begin {split} x =\ колір тексту {синій} {0},\; y &=\ колір тексту {червоний} {2}\ x + 4y &= 8\\ колір тексту {синій} {0} + 4\ крапка\ колір тексту {червоний} {2} &\ stackrel {?} {=} 8\\ 0 + 8 &\ стек {?} {=} 8\\ 8 &= 8\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ | $\ begin {split} x =\ колір тексту {синій} {2},\; y &=\ колір тексту {червоний} {-4}\\ x + 4y &= 8\\ колір тексту {синій} {2} + 4 (\ колір тексту {червоний} {-4}) &\ stackrel {?} {=} 8\\ 2 + (-16) &\ стек {?} {=} 8\\ -14 &\ neq 8\ кінець {спліт} $$ | $\ почати {спліт} x =\ колір тексту {синій} {-4},\; y &=\ колір тексту {червоний} {3}\ x + 4y &= 8\\ колір тексту {синій} {-4} + 4\ крапка\ колір тексту {червоний} {3} &\ stackrel {?} {=} 8\\ -4 + 12 &\ штабелер {?} {=} 8\\ 8 &= 8\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
| (0, 2) - це рішення. | (2, −4) не є розв'язком. | (−4, 3) є розв'язком. |
Визначте, які впорядковані пари є розв'язками заданого рівняння: 2x + 3y = 6
(а) (3, 0) (б) (2, 0) (с) (6, −2)
- Відповідь
-
(а), (c)
Визначте, які впорядковані пари є розв'язками заданого рівняння: 4x − y = 8
(а) (0, 8) (б) (2, 0) (с) (1, −4)
- Відповідь
-
(б), (с)
Визначте, які впорядковані пари є розв'язками рівняння. y = 5x − 1: (a) (0, −1) (b) (1, 4) (c) (−2, −7)
Рішення
Підставте значення x- і y з кожної впорядкованої пари в рівняння і визначте, чи призводить воно до істинного твердження.
| (а) (0, -1) | (б) (1, 4) | (c) (−2, -7) |
| $\ begin {спліт} x &=\ колір тексту {синій} {0},\; y =\ колір тексту {червоний} {-1}\ y &= 5x - 1\\ колір тексту {червоний} {-1} &\ stackrel {?} {=} 5 (\ колір тексту {синій} {0}) - 1\ -1 &\ stackrel {?} {=} 0 - 1\\ -1 &= -1\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ | $\ begin {split} x &=\ колір тексту {синій} {1},\; y =\ колір тексту {червоний} {4}\ y &= 5x - 1\\ колір тексту {червоний} {4} &\ stackrel {?} {=} 5 (\ колір тексту {синій} {1}) - 1\ 4 &\ stackrel {?} {=} 5 - 1\\ 4 &= 4\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ | $\ begin {спліт} x &=\ колір тексту {синій} {-2},\; y =\ колір тексту {червоний} {-7}\ y &= 5x - 1\\ tcolor {червоний} {-7} &\ stackrel {?} {=} 5 (\ колір тексту {синій} {-2}) - 1\\ -7 &\ stackrel {?} {=} -10 - 1\\ -7 &\ neq -11\ кінець {спліт} $$ |
| (0, -1) - це рішення. | (1, 4) - це рішення. | (−2, -7) не є розв'язком. |
Визначте, які впорядковані пари є розв'язками заданого рівняння: y = 4x − 3
(а) (0, 3) (б) (1, 1) (с) (1, 1)
- Відповідь
-
(б)
Визначте, які впорядковані пари є розв'язками заданого рівняння: y = −2x + 6
(а) (0, 6) (б) (1, 4) (c) (−2, −2)
- Відповідь
-
(а), (б)
Заповніть таблицю розв'язків лінійного рівняння
У попередніх прикладах ми підставили значення x- та y заданої впорядкованої пари, щоб визначити, чи є це розв'язком лінійного рівняння. Але як ми знаходимо впорядковані пари, якщо вони не задані? Один із способів - вибрати значення для x, а потім вирішити рівняння для y Або вибрати значення для y, а потім вирішити для x.
Почнемо з розв'язків рівняння y = 5x − 1, яке ми знайшли у прикладі\(\PageIndex{1}\). Ми можемо узагальнити цю інформацію в таблиці рішень.
| y = 5x − 1 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | -1 | (0, -1) |
| 1 | 4 | (1, 4) |
Щоб знайти третє рішення, ми дамо x = 2 і вирішимо для y.
| $ $ у = 5х − 1$$ | |
| Підставити x =\(\textcolor{blue}{2}\). | $$y = 5 (\ колір тексту {синій} {2}) - 1$$ |
| Помножити. | $ $ у = 10 − 1$$ |
| Спростити. | $$ у = 9$$ |
Впорядкована пара - це рішення y = 5x - 1. Його ми додамо до столу.
| y = 5x − 1 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | -1 | (0, -1) |
| 1 | 4 | (1, 4) |
| 2 | 9 | (2, 9) |
Ми можемо знайти більше розв'язків рівняння, підставивши будь-яке значення x або будь-яке значення y та вирішивши отримане рівняння, щоб отримати іншу впорядковану пару, яка є розв'язком. Існує нескінченна кількість розв'язків цього рівняння.
Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки рівняння y = 4x − 2:
| у = 4х - 2 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | ||
| -1 | ||
| 2 | ||
Рішення
Заставте x = 0, x = −1, а x = 2 на y = 4x − 2.
| х =\(\textcolor{blue}{0}\) | х =\(\textcolor{blue}{-1}\) | х =\(\textcolor{blue}{2}\) |
| y = 4х − 2 | y = 4х − 2 | y = 4х − 2 |
| y = 4 •\(\textcolor{blue}{0}\) − 2 | y = 4 (\(\textcolor{blue}{-1}\)) − 2 | y = 4 •\(\textcolor{blue}{2}\) − 2 |
| y = 0 − 2 | y = −4 − 2 | y = 8 − 2 |
| y = −2 | y = −6 | у = 6 |
| (0, −2) | (−1, −6) | (2, 6) |
Результати зведені в таблицю.
| у = 4х - 2 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | -2 | (0, -2) |
| -1 | -6 | (-1, -6) |
| 2 | 6 | (2, 6) |
Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки рівняння: y = 3x − 1.
| y = 3x − 1 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | ||
| -1 | ||
| 2 | ||
- Відповідь
-
y = 3x − 1 х у (х, у) 0 -1 (0, -1) -1 -4 (-1, -4) 2 5 (2, 5)
Заповніть таблицю, щоб знайти три рішення рівняння: y = 6x + 1.
| у = 6х+ 1 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | ||
| 1 | ||
| -2 | ||
- Відповідь
-
у = 6х+ 1 х у (х, у) 0 1 (0, 1) -1 7 (1, 7) 2 -11 (-2, -11)
Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки рівняння 5x − 4y = 20:
| 5х− 4й = 20 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | ||
| 0 | ||
| 5 | ||
Рішення
| $\ почати {спліт} х &=\ колір тексту {синій} {0}\\ 5x - 4y &= 20\\ 5\ cdot\ колір тексту {синій} {0} - 4y &= 20\\\ колір тексту {синій} {0} - 4y &= 20\\\ y &= -5\\\\ (0,\; &-5) {кінець спліт} $$ | $\ почати {спліт} y &=\ колір тексту {червоний} {0}\\ 5x - 4y &= 20\\ 5x - 4\ cdot\ колір тексту {червоний} {0} &= 20\\ 5x - 0 &= 20\\\ x &= 20\\ x &= 4\\\\ (&4,\; 0)\ кінець {спліт} $ | $\ почати {спліт} y &=\ колір тексту {червоний} {5}\\ 5x - 4y &= 20\\ 5x - 4\ cdot\ колір тексту {червоний} {5} &= 20\\ 5x - 20\\ 5x &= 40\\ x &= 8\\\\ (&8,\; 5)\ кінець {спліт} $ |
Результати зведені в таблицю.
| 5х− 4й = 20 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | -5 | (0, -5) |
| 4 | 0 | (-4, 0) |
| 8 | 5 | (8, 5) |
Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки рівняння: 2x − 5y = 20.
| 2х - 5у = 20 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | ||
| 0 | ||
| -5 | ||
- Відповідь
-
2х - 5у = 20 х у (х, у) 0 -4 (0, -4) 10 0 (10, 0) -5 -6 (-5, -6)
Заповніть таблицю, щоб знайти три розв'язки рівняння: 3x − 4y = 12.
| 3х - 4у = 12 | ||
| х | у | (х, у) |
| 0 | ||
| 0 | ||
| -4 | ||
- Відповідь
-
3х - 4у = 12 х у (х, у) 0 -3 (0, -3) 4 0 (4, 0) -4 -6 (-4, -6)
Пошук розв'язків лінійних рівнянь у двох змінних
Щоб знайти рішення лінійного рівняння, ми можемо вибрати будь-яке число, яке ми хочемо замінити у рівняння для x або y, ми могли б вибрати 1, 100, 1000 або будь-яке інше значення, яке ми хочемо. Але непогано вибрати номер, з яким легко працювати. Ми зазвичай вибираємо 0 як одне з наших значень.
Знайти розв'язку рівняння 3х + 2y = 6.
Рішення
| Крок 1: Виберіть будь-яке значення для однієї зі змінних у рівнянні. |
Ми можемо замінити будь-яке значення, яке ми хочемо для х або будь-яке значення для y. Давайте виберемо х = 0. Яке значення y, якщо х = 0? |
|
| Крок 2: Підставте це значення в рівняння. Вирішити для іншої змінної. |
Замініть 0 на x. спростити. Розділіть обидві сторони на 2. |
$\ почати {спліт} 3x + 2y &= 6\\ 3\ cdot\ колір тексту {синій} {0} + 2y &= 6\\ 0 + 2y &= 6\\ 2y &= 6\\ y&= 6\\ y &= 3\ кінець {спліт} $$ |
| Крок 3: Напишіть рішення як впорядковану пару. | Отже, коли х = 0, у = 3. | Це рішення представлено впорядкованою парою (0, 3). |
| Крок 4: Перевірте. |
Підставляємо x =\(\textcolor{blue}{0}\), y =\(\textcolor{red}{3}\) в рівняння 3x + 2y = 6. Чи є результат справжнім рівнянням? Так! |
$\ почати {спліт} 3x+ 2y &= 6\\ 3\ dot\ textcolor {синій} {0} + 2\ dot\ textcolor {червоний} {3} &\ stackrel {?} {=} 6\\ 0 + 6 &\ стек {?} {=} 6\\ 6 &= 6\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Знайдіть рішення рівняння: 4x + 3y = 12.
- Відповідь
-
Відповіді будуть відрізнятися
Знайдіть рішення рівняння: 2x + 4y = 8.
- Відповідь
-
Відповіді будуть відрізнятися
Ми сказали, що лінійні рівняння в двох змінних мають нескінченно багато рішень, і ми тільки що знайшли один з них. Знайдемо деякі інші рішення рівняння 3x + 2y = 6.
Знайдіть ще три рішення рівняння 3x + 2y = 6.
Рішення
Щоб знайти розв'язки для 3x + 2y = 6, виберіть значення для x або y. Пам'ятайте, ми можемо обрати будь-яке значення, яке ми хочемо для x або y. Тут ми обрали 1 для x, а 0 і −3 для y.
| Підставляємо його в рівняння. | $\ почати {спліт} y &=\ колір тексту {червоний} {0}\\ 3x + 2y &= 6\\ 3x + 2 (\ колір тексту {червоний} {0}) &= 6\ кінець {спліт} $$ | $\ почати {спліт} х &=\ колір тексту {синій} {1}\\ 3x + 2y &= 6\\ 3 (\ колір тексту {синій} {1}) + 2y &= 6\ кінець {спліт} $ | $\ почати {спліт} y &=\ колір тексту {червоний} {-3}\\ 3x + 2y &= 6\\ 3x + 2 (\ колір тексту {червоний} {-3}) &= 6\ кінець {спліт} $ |
| Спростити. Вирішити. | $\ почати {спліт} 3x + 0 &= 6\\ 3x &= 6\ кінець {спліт} $$ | $\ почати {спліт} 3 + 2y &= 6\\ 2y &= 3\ кінець {спліт} $$ | $\ почати {спліт} 3x - 6 &= 6\\ 3x &= 12\ кінець {спліт} $$ |
| х = 2 | у =\(\dfrac{3}{2}\) | х = 4 | |
| Напишіть замовлену пару. | (2, 0) | (1,\(\dfrac{3}{2}\)) | (4, −3) |
Перевірте свої відповіді.
| (2, 0) | (1,\(\dfrac{3}{2}\)) | (4, −3) |
| $\ почати {спліт} 3x+ 2y &= 6\\ 3\ dot\ textcolor {синій} {2} + 2\ dot\ textcolor {червоний} {0} &\ stackrel {?} {=} 6\ 6 + 0 &\ стек {?} {=} 6\\ 6 &= 6\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ | $\ почати {спліт} 3x+ 2y &= 6\\ 3\ dot\ textcolor {синій} {1} + 2\ dot\ textcolor {червоний} {\ drac {3} {2}} &\ stackrel {?} {=} 6\\ 3 + 3 &\ стек {?} {=} 6\\ 6 &= 6\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ | $\ почати {спліт} 3x+ 2y &= 6\\ 3\ dot\ textcolor {синій} {4} + 2\ dot (\ textcolor {червоний} {-3}) &\ stackrel {?} {=} 6\\ 12 + (-6) &\ стек {?} {=} 6\\ 6 &= 6\;\ галочка\ кінець {спліт} $$ |
Отже (2, 0), (1,\(\dfrac{3}{2}\)) і (4, −3) - всі розв'язки рівняння 3x+ 2y = 6. У попередньому прикладі ми виявили, що (0, 3) теж є рішенням. Ми можемо перерахувати ці рішення в таблиці.
| 3х+ 2г = 6 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | 3 | (0, 3) |
| 2 | 0 | (2, 0) |
| 1 | \(\dfrac{3}{2}\) | (1,\(\dfrac{3}{2}\)) |
| 4 | -3 | (4, -3) |
Знайдіть три розв'язки рівняння: 2x + 3y = 6.
- Відповідь
-
Відповіді будуть відрізнятися
Знайдіть три розв'язки рівняння: 4x + 2y = 8.
- Відповідь
-
Відповіді будуть відрізнятися
Давайте зараз знайдемо деякі рішення іншого рівняння.
Знайдіть три розв'язки рівняння x − 4y = 8.
Рішення
| Виберіть значення для x або y. | х =\(\textcolor{blue}{0}\) | у =\(\textcolor{red}{0}\) | у =\(\textcolor{red}{3}\) |
| Підставляємо його в рівняння. | $\ колір тексту {синій} {0} - 4y = 8$$ | $x - 4\ крапка\ колір тексту {червоний} {0} = 8$$ | $ $ x - 4\ крапка\ колір тексту {червоний} {3} = 8$$ |
| Вирішити. | $\ почати {спліт} -4y &= 8\\ y &= -2\ кінець {спліт} $$ | $\ begin {спліт} x - 0 &= 8\\ x &= 8\ кінець {спліт} $$ | $\ почати {спліт} x - 12 &= 8\\ x &= 20\ кінець {спліт} $$ |
| Напишіть замовлену пару. | (0, −2) | (8, 0) | (20, 3) |
Отже (0, −2), (8, 0) і (20, 3) є трьома розв'язками рівняння x − 4y = 8.
| x − 4y = 8 | ||
|---|---|---|
| х | у | (х, у) |
| 0 | -2 | (0, -2) |
| 8 | 0 | (8, 0) |
| 20 | 3 | (20, 3) |
Пам'ятайте, що існує нескінченна кількість розв'язків кожного лінійного рівняння. Будь-яка точка, яку ви знайдете, є рішенням, якщо вона робить рівняння істинним.
Знайдіть три розв'язки рівняння: 4x + y = 8.
- Відповідь
-
Відповіді будуть відрізнятися
Знайдіть три розв'язки рівняння: x + 5y = 10.
- Відповідь
-
Відповіді будуть відрізнятися
Практика робить досконалим
Графік точок на прямокутній системі координат
У наступних вправах розмістіть кожну точку на координатній сітці.
- (3, 2)
- (4, 1)
- (1, 5)
- (3, 4)
- (4, 1), (1, 4)
- (3, 2), (2, 3)
- (3, 4), (4, 3)
У наступних вправах розмістіть кожну точку на координатній сітці та визначте квадрант, в якому знаходиться точка.
- (а) (−4, 2) (b) (−1, −2) (c) (3, −5) (d)\(\left(2, \dfrac{5}{2}\right)\)
- (а) (−2, −3) (b) (3, −3) (c) (−4, 1) (d)\(\left(1, \dfrac{3}{2}\right)\)
- (а) (−1, 1) (b) (−2, −1) (c) (1, −4) (d)\(\left(3, \dfrac{7}{2}\right)\)
- (а) (3, -2) (b) (−3, 2) (c) (-3, −2) (d) (3, 2)
- (а) (4, -1) (б) (−4, 1) (c) (-4, -1) (d) (4, 1)
- (а) (−2, 0) (б) (−3, 0) (c) (0, 4) (d) (0, 2)
Визначення точок на графіку
У наступних вправах назвіть впорядковану пару кожної показаної точки.
Перевірка розв'язків рівняння у двох змінних
У наступних вправах визначте, які впорядковані пари є розв'язками даного рівняння.
- 2х+ у = 6
- (1, 4)
- (3, 0)
- (2, 3)
- х + 3г = 9
- (0, 3)
- (6, 1)
- (-3, -3)
- 4x − 2у = 8
- (3, 2)
- (1, 4)
- (0, -4)
- 3x − 2у = 12
- (4, 0)
- (2, -3)
- (1, 6)
- у = 4х+ 3
- (4, 3)
- (-1, -1)
- (\(\dfrac{1}{2}\), 5)
- y = 2x − 5
- (0, -5)
- (2, 1)
- (\(\dfrac{1}{2}\), -4)
- y =\(\dfrac{1}{2}\) х − 1
- (2, 0)
- (-6, -4)
- (-4, -1)
- у =\(\dfrac{1}{3}\) х + 1
- (-3, 0)
- (9, 4)
- (-6, -1)
Пошук розв'язків лінійних рівнянь у двох змінних
У наступних вправах заповніть таблицю, щоб знайти рішення кожного лінійного рівняння.
y = 2x − 4
| х | у | (х, у) |
|---|---|---|
| -1 | ||
| 0 | ||
| 2 |
- y = 3x − 1
| х | у | (х, у) |
|---|---|---|
| -1 | ||
| 0 | ||
| 2 |
- y = − х + 5
| х | у | (х, у) |
|---|---|---|
| -2 | ||
| 0 | ||
| 3 |
- у =\(\dfrac{1}{3}\) х + 1
| х | у | (х, у) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 3 | ||
| 6 |
- y =\(− \dfrac{3}{2}\) х − 2
| х | у | (х, у) |
|---|---|---|
| -2 | ||
| 0 | ||
| 2 |
- х + 2г = 8
| х | у | (х, у) |
|---|---|---|
| 0 | ||
| 4 | ||
| 0 |
Щоденна математика
- Вага дитини Маккензі реєстрував вагу її дитини кожні два місяці. Вік дитини, в місяцях, і вага, в фунтах, вказані в таблиці, і показані як впорядкована пара в третьому стовпці.
- Покладіть точки на координатній сітці.
- Навіщо потрібен тільки квадрант?
| Вік | Вага | (х, у) |
|---|---|---|
| 0 | 7 | (0, 7) |
| 2 | 11 | (2, 11) |
| 4 | 15 | (4, 15) |
| 6 | 16 | (6, 16) |
| 8 | 19 | (8, 19) |
| 10 | 20 | (10, 20) |
| 12 | 21 | (12, 21) |
- Вага дитини Латреша фіксувала зростання і вагу сина щороку. Його зріст, в дюймах, і вага, в фунтах, вказані в таблиці, і показані як впорядкована пара в третьому стовпці.
- Покладіть точки на координатній сітці.
- Навіщо потрібен тільки квадрант?
| Висота | Вага | (х, у) |
| 28 | 22 | (28, 22) |
| 31 | 27 | (31, 27) |
| 33 | 33 | (33, 33) |
| 37 | 35 | (37, 35) |
| 40 | 41 | (40, 41) |
| 42 | 45 | (42, 45) |
Письмові вправи
- Ви коли-небудь використовували карту з прямокутною системою координат? Опишіть карту і як ви її використовували.
- Як визначити, чи є впорядкована пара розв'язком заданого рівняння?
Самостійна перевірка
(а) Після виконання вправ використовуйте цей контрольний список, щоб оцінити своє володіння цілями цього розділу.
(b) Якщо більшість ваших перевірок були:
... впевнено. Вітаємо! Ви досягли цілей у цьому розділі. Подумайте про навички навчання, які ви використовували, щоб ви могли продовжувати їх використовувати. Що ви зробили, щоб стати впевненим у своїй здатності робити ці речі? Будьте конкретні.
... з деякою допомогою. Це потрібно вирішувати швидко, оскільки теми, які ви не освоюєте, стають вибоїнами на вашому шляху до успіху. У математиці кожна тема будується на попередній роботі. Важливо переконатися, що у вас міцний фундамент, перш ніж рухатися далі. До кого можна звернутися за допомогою? Ваші колеги-однокласники та інструктор - хороші ресурси. Чи є в кампусі місце, де доступні репетитори з математики? Чи можна вдосконалити свої навички навчання?
... Ні—я цього не розумію! Це попереджувальний знак, і ви не повинні його ігнорувати. Ви повинні отримати допомогу відразу ж, інакше ви швидко будете перевантажені. Зверніться до інструктора, як тільки зможете обговорити вашу ситуацію. Разом ви можете придумати план, щоб отримати вам необхідну допомогу.