1.1: Вступ до цілих чисел

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57252

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Набір - це сукупність предметів. Якщо множина скінченна, ми можемо описати набір повністю, просто перерахувавши всі об'єкти в множині і уклавши список у фігурні дужки. Наприклад, набір

$ S=\{dog, \text { cat, parakeet }\}$

це набір, членами якого є «собака», «кішка» та «папуга». Якщо набір нескінченний, то нам потрібно бути розумнішими з нашим описом. Наприклад, набір натуральних чисел (або підрахунку чисел) - це безліч

$ \mathbb{N}=\{1,2,3,4,5, \ldots\}.$

Оскільки цей набір нескінченний (існує нескінченна кількість натуральних чисел), ми не можемо перерахувати всі з них. Натомість ми перерахуємо перші кілька, а потім слідуємо з «трьома крапками», що по суті означає «і т.д.». Мається на увазі, що читач бачить намічений шаблон і потім може інтуїтивно зрозуміти інші числа в наборі. Ви бачите, що наступні кілька чисел - 6, 7, 8, 9 тощо?

Якщо додати число нуль до набору натуральних чисел, то у нас є набір чисел, які називаються цілими числами.

Цілі числа

Набір

$ \mathbb{W}=\{0,1,2,3,4,5, \dots\}$

називається сукупністю цілих чисел.

Цілі цифри будуть нашою увагою в решті частини цієї глави.

Графічне відображення чисел на числовому рядку

Налаштувати відповідність між цілими числами і точками на числовій лінії нескладна справа. Спочатку проведіть цифрову лінію, потім поставте галочку на нулі.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.17.12 PM.png$

Наступний крок - оголосити одиницю довжини.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.17.19 PM.png$

Решта цілих чисел тепер легко потрапляють на місце на числовому рядку.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.18.26 PM.png$

Коли вас попросять намалювати ціле число на числовому рядку, затіньте суцільною крапкою в позиції на числовій лінії, яка відповідає заданому цілому числу.

Приклад 1.

Графік цілих чисел 1, 3 і 5 на числовому рядку.

Рішення

Затінюйте цифри 1, 3 та 5 на цифровій лінії як суцільні точки.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.20.47 PM.png$

Вправа

Графік цілих чисел 3, 4 і 6 на числовому рядку.

Замовлення цілих номерів

Тепер, коли у нас є відповідність між цілими числами і точками на числовій лінії, ми можемо впорядкувати цілі числа природним чином. Зверніть увагу, що при переміщенні вліво вздовж цифрової лінії цифри стають меншими; при русі вправо числа стають більшими. Це надихає наступне визначення.

Замовлення цілих чисел

Припустимо, що a і b - цілі числа, розташовані на числовій лінії так, що точка, що представляє ціле число a, лежить зліва від точки, що представляє ціле число b.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.22.49 PM.png$

Потім ціле число a «менше» цілого числа b і пишіть

a < b.

Як варіант, можна також сказати, що ціле число b «більше» цілого числа a і написати

б > а.

Порівняння нерухомості

При порівнянні двох цілих чисел a і b вірна лише одна з трьох можливостей:

a < b або a = b або a> b.

Приклад 2.

Порівняйте цілі числа 25 і 31.

Рішення

На цифровому рядку зліва від 31 розташовується 25.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.28.18 PM.png$

Тому 25 менше 31 і запишіть 25 < 31. Як варіант, ми могли б також відзначити, що 31 розташований праворуч від 25. Тому 31 більше 25 і пишіть 31 > 25.

Вправа

Порівняйте цілі числа 18 і 12.

Відповідь: 18 > 12.

Розширене позначення

Цілі числа

$ D=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

називаються цифрами і використовуються для побудови великих цілих чисел. Для прикладу розглянемо ціле число 222 (вимовляється «двісті двадцять два»). Він складається з трьох двійок, але положення кожного з двох описує різне значення або значення.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.30.49 PM.png$

Перші два знаходяться в положенні «сотні» і представляють дві сотні або 200.
Другі два знаходяться в положенні «десятки» і представляють собою два десятки або 20.
Треті два знаходяться в положенні «одиниці» і являють собою два або 2.

Розглянемо більше число 123 456 789. Наступна таблиця показує місце значення кожної цифри.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.31.17 PM.png$

У «розширеному позначенні» ми б написали

1 сто мільйонів + 2 десять мільйонів + 3 мільйони + 4 сотні тисяч + 5 десять тисяч + 6 тисяч + 7 сотень + 8 десятків+9 одиниць.

Читаємо цифру 123 456 789 як «сто двадцять три мільйони, чотириста п'ятдесят шість тисяч сімсот вісімдесят дев'ять».

Давайте розглянемо інший приклад.

Приклад 3.

Запишіть число 23,712 в розгорнутих позначеннях, після чого вимовте результат.

Рішення

У розширеній нотації 23 712 стає

2 десять тисяч + 3 тисячі + 7 сотень + 1 десять + 2 одиниці.

Це вимовляється «двадцять три тисячі сімсот дванадцять».

Вправа

Запишіть число 54 615 в розгорнутих позначеннях. Вимовте результат.

Приклад 4.

Напишіть число 203,405 в розгорнутих позначеннях, після чого вимовте результат.

Рішення

У розширеній нотації 203 405 стає

2 сотні тисяч + 0 десять тисяч + 3 тисячі + 4 сотні + 0 десятки + 5 одиниць.

Так як 0 десять тисяч дорівнює нулю, а 0 десятків також дорівнює нулю, це теж можна записати

2 сотні тисяч + 3 тисячі + 4 сотні + 5 одиниць.

Це вимовляється «двісті три тисячі, чотириста п'ять».

Вправа

Запишіть число 430,705 в розгорнутих позначеннях. Вимовте результат.

Відповідь: 9 440

Округлення цілих чисел

Коли потрібна менша точність, ми округляємо числа до певного місця. Наприклад, припустимо, власнику магазину потрібно приблизно 87 коробок десятикопійчкових цвяхів, але їх можна замовити тільки в картонних коробках, що містять десять коробок.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.39.04 PM.png$

Відзначимо, що 87 розташовується ближче до 9 десятків (або 90), ніж до 8 десятків (або 80). Таким чином, округляється до найближчої десяти, 87 ≈ 90 (87 приблизно дорівнює 90). Власник магазину вирішує, що 90 коробок, ймовірно, краще підходять для його потреб. З іншого боку, той самий власник магазину підраховує, що йому знадобиться 230 мішків торф'яного моху для своєї садової секції.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.39.54 PM.png$

Відзначимо, що 230 ближче до 2 сотень (або 200), ніж до 3 сотень (або 300). Власник магазину переживає, що, можливо, переоцінив його потребу, тому він округляється до найближчої сотні, 230 ≈ 200 (230 приблизно дорівнює 200). Існує простий набір правил, яких слід дотримуватися при округленні.

Правила округлення

Щоб округлити число до певного місця, виконайте наступні дії:

1. Позначте місце, яке ви хочете округлити. Це називається цифрою округлення.

2. Перевірте наступну цифру праворуч від вашої цифри, зазначеної на кроці 1. Це називається тестовою цифрою.

а) Якщо контрольна цифра більше або дорівнює 5, додайте 1 до цифри округлення і замініть всі цифри праворуч від округлення нулями.

б) Якщо контрольна цифра менше 5, тримайте округлення однаковою і замініть всі цифри праворуч від округлення цифри нулем

Спробуємо ці правила з прикладом або двома.

Приклад 5

Округлите число 8,769 до найближчого десятка.

Рішення

Відзначте округлення і контрольні цифри.

Вправа

Округлите число 9,443 до найближчого десятка.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.43.01 PM.png$

Тестова цифра більше 5. «Правила округлення» вимагають додати до цифри округлення 1, після чого зробити всі цифри праворуч від округлення цифри нулів. Таким чином, округливши до найближчого десятка,

8, 769 ≈ 8 770.

Тобто 8 769 приблизно дорівнює 8 770.

Математичне позначення.

Символ

≈

означає приблизно дорівнює.

Приклад 6.

Округлите число 4,734 до найближчої сотні.

Рішення

Відзначте округлення і контрольні цифри.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 1.47,13 PM.png$

Тестова цифра менше 5. «Правила округлення» вимагають, щоб цифра округлення залишалася однаковою, після чого всі цифри робимо праворуч від округлення нулів. Таким чином, округливши до найближчої сотні,

4, 734 ≈ 4 700.

Вправа

Округлите число 6 656 до найближчої сотні.

**Відповідь**

6 700

Таблиця 1.1:$\ce{CO2}$ Атмосферні значення (ppmv), отримані з зразків повітря in situ, зібраних у Мауна-Лоа, Гаваї, США.
Рік	1965	1975	1985	1995	2005
Атмосферний СО ₂	319	330	344	359	378

Таблиці та графіки

Читання даних в графічному вигляді - важливий навик. Дані в таблиці 1.1 наведені заходи вмісту вуглекислого газу (CO ₂) в атмосфері, зібрані в січні місяці в обсерваторії на вершині Мауна-Лоа на Гаваях.

На малюнку 1.1 (а) для відображення вимірювань вуглекислого газу використовується гістограма. Рік вимірювання розміщується на горизонтальній осі, а висота кожного бруска дорівнює кількості вуглекислого газу в атмосфері протягом цього року.

Знімок екрана 2019-08-05 в 1.50.38 PM.png — Малюнок 1.1: Використання графіків для вивчення даних вуглекислого газу.

На малюнку 1.1 (b) лінійний графік використовується для відображення вимірювань вуглекислого газу. Знову ж таки, дати вимірювання ставлять на горизонтальну вісь, а кількість вуглекислого газу в атмосфері поміщають на вертикальну вісь. Замість того, щоб використовувати висоту бруска для представлення вимірювання вуглекислого газу, ми розміщуємо крапку на висоті, яка представляє вміст чадного газу. Після того, як кожна точка даних буде побудована, ми з'єднуємо послідовні точки даних з відрізками ліній.

Вправи

У вправах 1-12 накидайте задані цілі числа на числовій лінії, а потім розташуйте їх по порядку, від найменшого до найбільшого.

1. 2, 8 і 4

2. 2, 7 і 4

3. 1, 8 і 2

4. 0, 4 і 3

5. 0, 4 і 1

6. 3, 6 і 5

7. 4, 9 і 6

8. 2, 4 і 3

9. 0, 7 і 4

10. 2, 8 і 6

11. 1, 6 і 5

12. 0, 9 і 5

У Вправи 13-24 створіть діаграму числової лінії, щоб визначити, яка з двох заданих тверджень є істинною.

13. 3 < 8 or 3 > 8

14. 44 < 80 or 44 > 80

15. 59 < 24 or 59 > 24

16. 15 < 11 or 15 > 11

17. 0 < 74 or 0 > 74

18. 11 < 18 or 11 > 18

19. 1 < 81 or 1 > 81

20. 65 < 83 or 65 > 83

21. 43 < 1 or 43 > 1

22. 62 < 2 or 62 > 2

23. 43 < 28 or 43 > 28

24. 73 < 21 or 73 > 21

25. Яка цифра знаходиться в стовпці тисяч числа 2,054,867,372?

26. Яка цифра знаходиться в стовпці сотень числа 2,318,999,087?

27. Яка цифра знаходиться в стовпці ста тисяч числа 8,311,900,272?

28. Яка цифра знаходиться в стовпці десятків числа 1,143,676 212?

29. Яка цифра знаходиться в стовпці сто мільйонів числа 9 482 616,000?

30. Яка цифра знаходиться в стовпці сотень числа 375,518,067?

31. Яка цифра знаходиться в стовпці десяти мільйонів числа 5 840 596 473?

32. Яка цифра знаходиться в стовпці ста тисяч числа 6,125,412,255?

33. Яка цифра знаходиться в стовпці сто мільйонів числа 5,577,422,501?

34. Яка цифра знаходиться в стовпці тисяч числа 8,884,966,835?

35. Яка цифра знаходиться в стовпці десятків числа 2,461,717,362?

36. Яка цифра знаходиться в стовпці десяти мільйонів числа 9,672,482,548?

37. Округлити число 93 857 до найближчої тисячі.

38. Округлити число 56 872 до найближчої тисячі.

39. Округлите число 9, 725 до найближчого десятка.

40. Округляємо число 6, 815 до найближчого десятка.

41. Округлите число 58 739 до найближчої сотні.

42. Округлите число 93, 146 до найближчої сотні.

43. Округлите число 2, 358 до найближчого десятка.

44. Округлите число 8 957 до найближчого десятка.

45. Округлити число 39 756 до найближчої тисячі.

46. Округлити число 24 965 до найближчої тисячі.

47. Округлите число 5 894 до найближчого десятка.

48. Округлите число 3, 281 до найближчого десятка.

49. Округлите число 56, 123 до найближчої сотні.

50. Округлите число 49, 635 до найближчої сотні.

51. Округлите число 5 483 до найближчого десятка.

52. Округлите число 9 862 до найближчого десятка.

53. За даними Бюро перепису населення США, чисельність населення США становить 304 059 724 на липень 2008 року. Округлити до найближчої сотні тисяч.

54. За даними Бюро перепису населення США, чисельність населення Каліфорнії становить 36 756 666 станом на липень 2008 року. Округлити до найближчої сотні тисяч.

55. За даними Бюро перепису населення США, чисельність населення округу Гумбольдт становить 129,000 станом на липень 2008 року. Округлити до найближчих десяти тисяч.

56. За даними Бюро перепису населення США, чисельність населення штату Аляска становила 686 293 на липень 2008 року. Округлити до найближчих десяти тисяч.

57. Наступна гістограма показує середню ціну (у центах) одного галона звичайного бензину в США протягом п'яти тижнів поспіль у 2009 році, починаючи з 18 травня (5/18) по 22 червня (6/22). Якою була ціна (у центах) одного галона звичайного бензину на 1 червня 2009 року?

$Знімок екрана 2019-08-05 о 2.05.54 PM.png$

58. Наступна гістограма показує середній тижневий індекс NASDAQ протягом п'яти тижнів поспіль у 2009 році, починаючи з тижня, починаючи з 1 лютого (2/1) і закінчуючи тижнем, що починається 1 березня (3/1). Яким був середній індекс NASDAQ за тиждень, що починається 8 лютого 2009 року?

$Знімок екрана 2019-08-05 в 2.06.01 PM.png$

59. Чисельність населення Гумбольдт розбито за віковими дужками в наступній таблиці. Джерело: Вольфрам Альфа.

$ \begin{array}{c|c}{\text { Age in years }} & {\text { Number }} \\ \hline {\text { under } 5} & {7,322} \\ {5-18} & {26,672} \\ {18-65} & {78,142} \\ {\text { over } 65} & {16,194} \\ \hline\end{array}$

Створіть гістограму для цього набору даних з одним стовпчиком для кожної вікової категорії.

60. П'ять міст з найбільшою кількістю зареєстрованих насильницьких злочинів у 2007 році наведені в наступній таблиці. Джерело: Вікіпедія.

$ \begin{array}{c|c}{\text { City }} & {\text { Violent Crimes }} \\ \hline \text { Setroit } & {2,289} \\ {\text { St. Louis }} & {2,196} \\ {\text { Memphis }} & {1,951} \\ {\text { Oakland }} & {1,918} \\ {\text { Baltimore }} & {1,631} \\ \hline\end{array}$

Створіть гістограму для цього набору даних з одним стовпчиком для кожного міста.

61. Наступна гістограма відстежує напади піратів біля узбережжя Сомалі.

$Знімок екрана 2019-08-05 в 2.06.07 PM.png$

Джерело: Міжнародне морське бюро ICC, AP Times-Standard, 15.04.2009

а) Скільки піратських атак було в 2003 році?

б) Скільки піратських атак було в 2008 році?

62. Команда студентів розділила невелику чашу М і М на п'ять стопок за кольором. Наступний графік рядка вказує кількість M та M кожного кольору.

$Знімок екрана 2019-08-05 о 2.06.22 PM.png$

Скільки червоних М і М було в чаші?

63. Команда студентів розділила невелику чашу М і М на п'ять стопок за кольором. Наступний графік рядка вказує кількість M та M кожного кольору.

$Знімок екрана 2019-08-05 о 2.06.30 PM.png$

Скільки червоних М і М було в чаші?

64. Команда студентів розділила невелику чашу М і М на п'ять стопок за кольором. Наступна таблиця вказує кількість M і M кожного кольору.

$ \begin{array}{c|c}{\text { Color }} & {\text { Number }} \\ \hline \text { Red } & {5} \\ {\text { Green }} & {9} \\ {\text { Blue }} & {7} \\ {\text { Yellow }} & {2} \\ {\text { Brown }} & {3} \\ \hline\end{array}$

Створіть лінійний плот для даних M та M. На горизонтальній осі розташуйте кольори в тому ж порядку, який представлений в таблиці вище.

65. Команда студентів розділила невелику чашу М і М на п'ять стопок за кольором. Наступна таблиця вказує кількість M і M кожного кольору.

$ \begin{array}{c|c}{\text { Color }} & {\text { Number }} \\ \hline \text { Red } & {3} \\ {\text { Green }} & {7} \\ {\text { Blue }} & {2} \\ {\text { Yellow }} & {4} \\ {\text { Brown }} & {9} \\ \hline\end{array}$

66. Лосось граф. У таблиці наведено кількість дорослих кижучів, які повертаються в річку Шаста за останні чотири роки. Круглий відлік лосося на кожен рік до найближчих десяти. Times-Standard Шаста Річка кижуча рятувальник триває.

$ \begin{array}{r|c}{\text { Year }} & {\text { Salmon count }} \\ \hline 2007 & {300} \\ {2008} & {31} \\ {2009} & {9} \\ {2010} & {4} \\ \hline\end{array}$