3.4: Більш реалістичні приклади граничних та початкових умов

Last updated
Save as PDF

Page ID: 61103

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Рядок з фіксованими кінцевими точками

Розглянемо рядок, закріплену при\(x=0\) і\(x=a\), як на малюнку\(\PageIndex{1}\)

Він задовольняє хвильовому рівнянню

\[\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2},\space \space\space\qquad 0<x<a, \nonumber \]

з граничними умовами\[u(0,t) = u(a,t) = 0, \qquad t>0, \nonumber \]

і початкові умови,

\[u(x,0) = f(x), \frac{\partial u}{\partial x}(x,0) = g(x). \nonumber \]

Рядок з вільно плаваючими кінцевими точками

Розглянемо струну з кінцями, закріпленими на повітряних підшипниках, які закріплені на штоку, ортогональному\(x\) -осі. Так як підшипники вільно плавають, зусилля уздовж стрижнів бути не повинно, а значить, струна розташована горизонтально у підшипників (рис.\(\PageIndex{2}\)).

Малюнок\(\PageIndex{2}\): Рядок з плаваючими кінцевими точками.

Він задовольняє хвильовому рівнянню з тими ж початковими умовами, що і вище, але граничні умови зараз є\[\frac{\partial u}{\partial x} (0,t) = \frac{\partial u}{\partial x} (a,t) = 0, \space\space \qquad t>0. \nonumber \] Вони явно мають тип фон Неймана.

Рядок з кінцевими точками, закріпленими на рядках

Для ілюстрації змішаних граничних умов ми робимо ще більш складну штуковість, де ми фіксуємо кінцеві точки струни до пружин, з рівновагою на\(y=0\), див. Рисунок\(\PageIndex{3}\) для ескізу.

Малюнок\(\PageIndex{3}\): Струна з кінцевими точками, закріпленими на пружині.

Закон Хука стверджує, що сила, що чиниться пружиною (вздовж\(y\) осі)\(F=-ku(0,t)\), є, де\(k\) постійна пружини. Це потрібно врівноважувати силою струни на пружині, яка дорівнює натягу\(T\) в струні. Компонент паралельний\(y\) осі є\(T\sin\alpha\), де\(\alpha\) кут з горизонталлю, див\(\PageIndex{4}\). Рис.

Малюнок\(\PageIndex{4}\): баланс сил в одній кінцевій точці рядка Рисунок\(\PageIndex{3}\)

Для малих у\(\alpha\) нас є

\[\sin\alpha \approx \tan\alpha = \frac{\partial u}{\partial x}(0,t). \nonumber \]

Оскільки обидві сили повинні скасувати, ми знаходимо

\[ {u}(0,t) -\frac{T}{k} \frac{\partial u}{\partial x}(0,t) = 0, \qquad t>0, \nonumber \]

\[ u(a,t) -\frac{T}{k} \frac{\partial u}{\partial x}(a,t) = 0, \nonumber \]

Це змішані граничні умови.