4.4: Метод Рімана

Last updated
Save as PDF

Page ID: 62011

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Метод Рімана дає формулу розв'язку наступної задачі Коші на початкове значення для гіперболічного рівняння другого порядку у двох змінних. Нехай

$ {\ математична S}:\\ x = x (t), y=y (t),\\ t_1\ le t\ le t_2,\]

бути регулярною кривою в$\mathbb{R}^2$, тобто ми припускаємо$x,\ y\in C^1[t_1,t_2]$ і$x'^2+y'^2\not=0$. Сет

$ Лу: =u_ {xy} +а (х, у) у_х+б (х, у) u_y+c (x, y) u,\]

де$a,\ b\in C^1$ і$c,\ f\in C$ в околицях${\mathcal S}$. Розглянемо початкову задачу

\ begin {eqnarray}
\ мітка {riem1}
LU&=&F (x, y)\\
\ мітка {riem2}
u_0 (t) &=&u (x (t), y (t))\
\ мітка {riem3}
p_0 (t) &=&u_x (x (t), y (t))\\ етикетка {riem3} p_0 (t) &u (x (t), y (t))
\\ етикетка {riem3}
p_0 (t)} q_0 (t) &=&u_y (x (t), у (т)),
\ end {еканаррей}

$f\in C$де по сусідству${\mathcal S}$ і$u_0,\ p_0,\ q_0\in C^1$ даються.

Ми припускаємо:

$u_0'(t)=p_0(t)x'(t)+q_0(t)y'(t)$(стан смуги),
${\mathcal S}$не є характерною кривою. Причому припустимо, що характерні криві, які є лініями тут$x=const.$ і визначаються і$y=const.$, мають максимум одну точку перетину з${\mathcal S}$, і така точка не є точкою дотику, тобто, тангенси${\mathcal S}$ характеристики і різні в цій точці.

Нагадаємо, що характеристичне рівняння to (\ ref {riem1}) - це те$\chi_x\chi_y=0$, що задовольняється якщо$\chi_x(x,y)=0$ або$\chi_y(x,y)=0$. Одне сімейство ознак, пов'язаних з цими першими частинними похідними першого порядку$x'(t)=1,\ y'(t)=0$, визначається, див. Розділ 2.

Припустимо$u,\ v\in C^1$, що$u_{xy},\ v_{xy}$ існують і є безперервними. Визначити суміжний диференціальний вираз

$ мв = v_ {xy} - (ав) _х- (бв) _й+резюме.\]

У нас є

\ begin {рівняння}
\ мітка {riem5}
2 (ВЛУ-УМВ) =( u_xv_v_xu+2buv) _y+ (u_yv_v_yu+2auv) _x.
\ end {рівняння}

Сет

\ begin {еканаррей*}
P&=&- (u_xv-x_xu+2buv)\\
Q&=&U_YV-V_YU+2AUV.
\ end {еканаррей*}

З (\ ref {riem5}) випливає з домену$\Omega\in\mathbb{R}^2$

\ begin {екнаррай}
2\ int_\ Омега\ (VLU-UMV)\ dxdy&= &\ int_\ Омега\ (-p_Y+Q_x)\ dxdy\ number
\\\ мітка {riem6}
&= &\ точка\ PDX+Ady,
\ кінець {еканаррей}

де інтеграція в лінійний інтеграл проти годинникової стрілки. Попереднє рівняння випливає з теореми Гаусса або після інтеграції частинами:

$\ int_\ Омега\ (-P_Y+Q_x)\ dxdy=\ int_ {\ часткова\ Омега}\ (-Pn_2+Qn_1)\ ds,\]

де$n=(dy/ds,-dx/ds)$, довжина$s$ дуги,$(x(s),y(s))$ представляє$\partial\Omega$.

Припустимо,$u$ є розв'язком задачі початкового значення (\ ref {riem1}) - (\ ref {riem4}) і припустимо, що$v$ задовольняє

$Mv=0\\ mbox {в}\\ Омега.\]

$Метод Рімана, область інтеграції$

Малюнок 4.4.1: Метод Рімана, область інтеграції

Потім, якщо ми інтегруємо через домен,$\Omega$ як показано на малюнку 4.4.1, з (\ ref {riem6}) випливає, що

\ почати {рівняння}
\ мітка {riem7}
2\ int_\ Омега\ vf\ dxdy=\ int_ {БА}\ Pdx+Qdy+\ int_ {AP}\ Pdx+Qdy+\ int_ {PB}\ Pdx+Qdy.
\ end {рівняння}

Лінійний інтеграл від$B$ до$A$ відомий з вихідних даних, див. Визначення$P$ і$Q$.

Так як

$u_xv_xu+2був= (ув) _х+2у (бв-в_х),\]

з цього випливає

\ begin {екнаррай*}
\ int_ {AP} Pdx+Qdy&=&-\ int_ {AP}\ лівий (ув) _x+2u (bv-v_x)\ праворуч)\ dx\\
&= &- (ув) (P) + (ув) (A) -\ int_ {AP}\ 2u (bv_x)\ dx.
\ end {еканаррей*}

За цим же міркуванням отримаємо для третього рядка інтеграла.

\ begin {екнаррай*}
\ int_ {PB} PDX+Qdy&=&\ int_ {ПБ}\ ліворуч ((ув) _y+2u (av-v_y)\ праворуч)\ dy\\
&=& (ув) (B) - (ув) (P) +\ int_ {PB} 2u (av-v_y)\ dy.
\ end {еканаррей*}

Об'єднавши ці рівняння з (\ ref {riem6}), отримаємо

\ почати {екнаррей}
2v (P) u (P) &= &\ int_ {БА} (u_xv-v_x+2buv)\ dx- (u_yv_yu+2auv)\ ди\ номер\\
&&+u (A) v (A) +u (B) v (B) +2\ int_ {AP} u (bv_x)\ x\ номер\
\ мітка {запис}
&&+2\ int_ {PB} u (av-v_y)\ dy-2\ int_\ Омега в\ dxdy.
\ end {еканаррей}

$v$Дозволяти бути розв'язком початкової задачі значення, див. Рис. 4.2.2 для визначення області$D(P)$,

$Визначення функції Рімана$

Малюнок 4.4.2: Визначення функції Рімана

\ begin {eqnarray}
\ мітка {riem9}
Mv&=&0\\\ mbox {in}\ D (P)
\\\ мітка {riem10}
bv-v_x&=&0\\\ mbox {на}\ C_1
\\\ мітка {riem11}
av-v_y&=&0\\\ mbox {на}\ C_2\\
\ мітка {riem12}
v (P) &=&1.
\ end {еканаррей}

Припустимо,$v$ задовольняє (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}), потім

\ почати {екнаррай*}
2u (P) &= &u (A) v (A) +u (B) v (B) -2\ int_\ Омега\ fv\ dxdy\\
&&=\ int_ {БА} (u_xv-v_x+2buv)\ dx- (u_yv_v_yu+2auv)\ dh,
\ кінець {екнаррай*}

де права сторона відома з заданих даних.

Функція,$v=v(x,y;x_0,y_0)$ що задовольняє (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}) називається функцією Рімана.

Зауваження. Набір$w(x,y)=v(x,y;x_0,y_0)$ для фіксованого$x_0,\ y_0$. Тоді (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}) мають на увазі

\ почати {екнаррай*}
w (x, y_0) &=&\ exp\ ліворуч (\ int_ {x_0} ^x\ b (\ тау, y_0)\ d\ тау\ праворуч)\\\ mbox {on}\ C_1,\\
w (x_0, y) &=&\ exp\ ліворуч (\ int_ {y_0} ^y\ a (x_0,\ tau)\ d\ тау\ право)\\ mbox {на}\ C_2.
\ end {еканаррей*}

Приклад 4.4.1:

$u_{xy}=f(x,y)$, то функція Рімана є$v(x,y)\equiv 1$.

Приклад 4.4.2:

Розглянемо телеграфне рівняння глави 3

$\ варепсилон\ му u_ {tt} =c^2\ трикутник_xu-\ лямбда\ му u_t,\]

де$u$ позначає одну координату електричного або магнітного поля.

Представляємо

$ $ u = ш (х, т) e^ {\ каппа т},\]

де$\kappa=-\lambda/(2\varepsilon)$, ми приїжджаємо

$w_ {tt} =\ frac {c^2} {\ варепсилон\ му}\ трикутник_xw-\ frac {\ лямбда-^2} {4\ epsilon^2}.\]

Розтягуючи вісь і перетворюємо рівняння в нормальну форму, отримуємо нарешті наступне рівняння, нова функція позначається$u$ і нові змінні позначаються$x,y$ знову,

$u_ {xy} +ку=0,\]

з позитивною константою$c$. Робимо ансац для функції Рімана

$ в (х, у; x_0, y_0) =ш (с),\\ s= (х-х_0) (y-y_0)\]

і отримати

$ $ sw"+w'+CW = 0.\]

Заміна$\sigma=\sqrt{4cs}$ призводить до диференціального рівняння Бесселя

$\ сигма ^ 2 z "(\ сигма) +\ сигма z' (\ сигма) +\ сигма ^ 2 z (\ сигма) =0,\]

де$z(\sigma)=w(\sigma^2/(4c))$. Рішення є

$J_0 (\ сигма) =J_0\ ліворуч (\ sqrt {4c (x-x_0) (y-y_0)}\ праворуч)\]

який визначає функцію Рімана з тих пір$J_0(0)=1$.

Зауваження. Диференціальне рівняння Бесселя

$ х ^ 2у "(х) +xy '(х) + (х) + (х ^ 2-n ^ 2) у (х) =0,\]

де$n\in\mathbb{R}^1$. Якщо$n\in{\mathbb N}\cup\{0\}$, то розв'язки задаються функціями Бесселя. Один з двох лінійно незалежних розв'язків обмежений 0. Цей обмежений розв'язок є функцією Бесселя першого$J_n(x)$ роду та порядку$n$, див. [1], наприклад.