4.4: Метод Рімана
- Page ID
- 62011
Метод Рімана дає формулу розв'язку наступної задачі Коші на початкове значення для гіперболічного рівняння другого порядку у двох змінних. Нехай
$ {\ математична S}:\\ x = x (t), y=y (t),\\ t_1\ le t\ le t_2,\]
бути регулярною кривою в\(\mathbb{R}^2\), тобто ми припускаємо\(x,\ y\in C^1[t_1,t_2]\) і\(x'^2+y'^2\not=0\). Сет
$ Лу: =u_ {xy} +а (х, у) у_х+б (х, у) u_y+c (x, y) u,\]
де\(a,\ b\in C^1\) і\(c,\ f\in C\) в околицях\({\mathcal S}\). Розглянемо початкову задачу
\ begin {eqnarray}
\ мітка {riem1}
LU&=&F (x, y)\\
\ мітка {riem2}
u_0 (t) &=&u (x (t), y (t))\
\ мітка {riem3}
p_0 (t) &=&u_x (x (t), y (t))\\ етикетка {riem3} p_0 (t) &u (x (t), y (t))
\\ етикетка {riem3}
p_0 (t)} q_0 (t) &=&u_y (x (t), у (т)),
\ end {еканаррей}
\(f\in C\)де по сусідству\({\mathcal S}\) і\(u_0,\ p_0,\ q_0\in C^1\) даються.
Ми припускаємо:
- \(u_0'(t)=p_0(t)x'(t)+q_0(t)y'(t)\)(стан смуги),
- \({\mathcal S}\)не є характерною кривою. Причому припустимо, що характерні криві, які є лініями тут\(x=const.\) і визначаються і\(y=const.\), мають максимум одну точку перетину з\({\mathcal S}\), і така точка не є точкою дотику, тобто, тангенси\({\mathcal S}\) характеристики і різні в цій точці.
Нагадаємо, що характеристичне рівняння to (\ ref {riem1}) - це те\(\chi_x\chi_y=0\), що задовольняється якщо\(\chi_x(x,y)=0\) або\(\chi_y(x,y)=0\). Одне сімейство ознак, пов'язаних з цими першими частинними похідними першого порядку\(x'(t)=1,\ y'(t)=0\), визначається, див. Розділ 2.
Припустимо\(u,\ v\in C^1\), що\(u_{xy},\ v_{xy}\) існують і є безперервними. Визначити суміжний диференціальний вираз
$ мв = v_ {xy} - (ав) _х- (бв) _й+резюме.\]
У нас є
\ begin {рівняння}
\ мітка {riem5}
2 (ВЛУ-УМВ) =( u_xv_v_xu+2buv) _y+ (u_yv_v_yu+2auv) _x.
\ end {рівняння}
Сет
\ begin {еканаррей*}
P&=&- (u_xv-x_xu+2buv)\\
Q&=&U_YV-V_YU+2AUV.
\ end {еканаррей*}
З (\ ref {riem5}) випливає з домену\(\Omega\in\mathbb{R}^2\)
\ begin {екнаррай}
2\ int_\ Омега\ (VLU-UMV)\ dxdy&= &\ int_\ Омега\ (-p_Y+Q_x)\ dxdy\ number
\\\ мітка {riem6}
&= &\ точка\ PDX+Ady,
\ кінець {еканаррей}
де інтеграція в лінійний інтеграл проти годинникової стрілки. Попереднє рівняння випливає з теореми Гаусса або після інтеграції частинами:
$\ int_\ Омега\ (-P_Y+Q_x)\ dxdy=\ int_ {\ часткова\ Омега}\ (-Pn_2+Qn_1)\ ds,\]
де\(n=(dy/ds,-dx/ds)\), довжина\(s\) дуги,\((x(s),y(s))\) представляє\(\partial\Omega\).
Припустимо,\(u\) є розв'язком задачі початкового значення (\ ref {riem1}) - (\ ref {riem4}) і припустимо, що\(v\) задовольняє
$Mv=0\\ mbox {в}\\ Омега.\]
Малюнок 4.4.1: Метод Рімана, область інтеграції
Потім, якщо ми інтегруємо через домен,\(\Omega\) як показано на малюнку 4.4.1, з (\ ref {riem6}) випливає, що
\ почати {рівняння}
\ мітка {riem7}
2\ int_\ Омега\ vf\ dxdy=\ int_ {БА}\ Pdx+Qdy+\ int_ {AP}\ Pdx+Qdy+\ int_ {PB}\ Pdx+Qdy.
\ end {рівняння}
Лінійний інтеграл від\(B\) до\(A\) відомий з вихідних даних, див. Визначення\(P\) і\(Q\).
Так як
$u_xv_xu+2був= (ув) _х+2у (бв-в_х),\]
з цього випливає
\ begin {екнаррай*}
\ int_ {AP} Pdx+Qdy&=&-\ int_ {AP}\ лівий (ув) _x+2u (bv-v_x)\ праворуч)\ dx\\
&= &- (ув) (P) + (ув) (A) -\ int_ {AP}\ 2u (bv_x)\ dx.
\ end {еканаррей*}
За цим же міркуванням отримаємо для третього рядка інтеграла.
\ begin {екнаррай*}
\ int_ {PB} PDX+Qdy&=&\ int_ {ПБ}\ ліворуч ((ув) _y+2u (av-v_y)\ праворуч)\ dy\\
&=& (ув) (B) - (ув) (P) +\ int_ {PB} 2u (av-v_y)\ dy.
\ end {еканаррей*}
Об'єднавши ці рівняння з (\ ref {riem6}), отримаємо
\ почати {екнаррей}
2v (P) u (P) &= &\ int_ {БА} (u_xv-v_x+2buv)\ dx- (u_yv_yu+2auv)\ ди\ номер\\
&&+u (A) v (A) +u (B) v (B) +2\ int_ {AP} u (bv_x)\ x\ номер\
\ мітка {запис}
&&+2\ int_ {PB} u (av-v_y)\ dy-2\ int_\ Омега в\ dxdy.
\ end {еканаррей}
\(v\)Дозволяти бути розв'язком початкової задачі значення, див. Рис. 4.2.2 для визначення області\(D(P)\),
Малюнок 4.4.2: Визначення функції Рімана
\ begin {eqnarray}
\ мітка {riem9}
Mv&=&0\\\ mbox {in}\ D (P)
\\\ мітка {riem10}
bv-v_x&=&0\\\ mbox {на}\ C_1
\\\ мітка {riem11}
av-v_y&=&0\\\ mbox {на}\ C_2\\
\ мітка {riem12}
v (P) &=&1.
\ end {еканаррей}
Припустимо,\(v\) задовольняє (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}), потім
\ почати {екнаррай*}
2u (P) &= &u (A) v (A) +u (B) v (B) -2\ int_\ Омега\ fv\ dxdy\\
&&=\ int_ {БА} (u_xv-v_x+2buv)\ dx- (u_yv_v_yu+2auv)\ dh,
\ кінець {екнаррай*}
де права сторона відома з заданих даних.
Функція,\(v=v(x,y;x_0,y_0)\) що задовольняє (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}) називається функцією Рімана.
Зауваження. Набір\(w(x,y)=v(x,y;x_0,y_0)\) для фіксованого\(x_0,\ y_0\). Тоді (\ ref {riem9}) - (\ ref {riem12}) мають на увазі
\ почати {екнаррай*}
w (x, y_0) &=&\ exp\ ліворуч (\ int_ {x_0} ^x\ b (\ тау, y_0)\ d\ тау\ праворуч)\\\ mbox {on}\ C_1,\\
w (x_0, y) &=&\ exp\ ліворуч (\ int_ {y_0} ^y\ a (x_0,\ tau)\ d\ тау\ право)\\ mbox {на}\ C_2.
\ end {еканаррей*}
Приклад 4.4.1:
\(u_{xy}=f(x,y)\), то функція Рімана є\(v(x,y)\equiv 1\).
Приклад 4.4.2:
Розглянемо телеграфне рівняння глави 3
$\ варепсилон\ му u_ {tt} =c^2\ трикутник_xu-\ лямбда\ му u_t,\]
де\(u\) позначає одну координату електричного або магнітного поля.
Представляємо
$ $ u = ш (х, т) e^ {\ каппа т},\]
де\(\kappa=-\lambda/(2\varepsilon)\), ми приїжджаємо
$w_ {tt} =\ frac {c^2} {\ варепсилон\ му}\ трикутник_xw-\ frac {\ лямбда-^2} {4\ epsilon^2}.\]
Розтягуючи вісь і перетворюємо рівняння в нормальну форму, отримуємо нарешті наступне рівняння, нова функція позначається\(u\) і нові змінні позначаються\(x,y\) знову,
$u_ {xy} +ку=0,\]
з позитивною константою\(c\). Робимо ансац для функції Рімана
$ в (х, у; x_0, y_0) =ш (с),\\ s= (х-х_0) (y-y_0)\]
і отримати
$ $ sw"+w'+CW = 0.\]
Заміна\(\sigma=\sqrt{4cs}\) призводить до диференціального рівняння Бесселя
$\ сигма ^ 2 z "(\ сигма) +\ сигма z' (\ сигма) +\ сигма ^ 2 z (\ сигма) =0,\]
де\(z(\sigma)=w(\sigma^2/(4c))\). Рішення є
$J_0 (\ сигма) =J_0\ ліворуч (\ sqrt {4c (x-x_0) (y-y_0)}\ праворуч)\]
який визначає функцію Рімана з тих пір\(J_0(0)=1\).
Зауваження. Диференціальне рівняння Бесселя
$ х ^ 2у "(х) +xy '(х) + (х) + (х ^ 2-n ^ 2) у (х) =0,\]
де\(n\in\mathbb{R}^1\). Якщо\(n\in{\mathbb N}\cup\{0\}\), то розв'язки задаються функціями Бесселя. Один з двох лінійно незалежних розв'язків обмежений 0. Цей обмежений розв'язок є функцією Бесселя першого\(J_n(x)\) роду та порядку\(n\), див. [1], наприклад.