Передмова

Елементарні диференціальні рівняння з крайовими задачами написані для студентів науки, техніки та математики, які завершили числення через частинну диференціацію. Якщо ваш навчальний план включає главу 10 (Лінійні системи диференціальних рівнянь), ваші учні повинні мати певну підготовку до лінійної алгебри.

При написанні цієї книги я керувався цими принципами:

• Повинен бути написаний елементарний текст, щоб учень міг прочитати його з розумінням без зайвого болю. Я намагався поставити себе на місце студента, і вирішив помилитися на стороні занадто багато деталей, а не недостатньо.
• Елементарний текст не може бути кращим, ніж його вправи. Цей текст включає 1695 пронумерованих вправ, багато з декількома частинами. Вони варіюються в складності від рутини до дуже складних.
• Елементарний текст повинен бути написаний неформальним, але математично точним способом, проілюстрований відповідною графікою. Я намагався сформулювати математичні поняття лаконічно мовою, яку можуть зрозуміти студенти. Я мінімізував кількість явно заявлених теорем і визначень, вважаючи за краще мати справу з поняттями більш розмовним способом, рясно проілюстрований 250 повністю відпрацьованими прикладами. Там, де це доречно, поняття і результати зображуються на 144 малюнках.

Хоча я вважаю, що комп'ютер є надзвичайно цінним інструментом для навчання, занять та написання математики, вибір та обробка тем у цьому тексті відображає мою педагогічну спрямованість за традиційними напрямками. Однак я включив те, що я вважаю найкращим використанням сучасних технологій, тому ви можете вибрати рівень технології, який ви хочете включити у свій курс. Текст містить 336 вправ - ідентифікованих символами та - які вимагають графіки або обчислень та графіки. Є також 73 лабораторні вправи - визначені - які вимагають широкого використання технологій. Крім того, кілька розділів включають неформальні поради щодо використання техніки. Якщо ви віддаєте перевагу не підкреслювати технологію, просто ігноруйте ці вправи і поради.

Є дві школи думки про те, чи слід розглядати методи та програми разом чи окремо. Я вирішив розділити їх; таким чином, глава 2 стосується методів вирішення рівнянь першого порядку, а глава 4 стосується додатків. Аналогічно, глава 5 розглядає методи розв'язання рівнянь другого порядку, а глава 6 стосується додатків. Однак набори вправ розділів, що стосуються техніки, включають деякі прикладні проблеми.

Традиційно орієнтовані тексти елементарних диференціальних рівнянь іноді критикуються як збірники незв'язаних методів розв'язання різних задач. В якійсь мірі це вірно; адже жоден єдиний метод не застосовується до всіх ситуацій. Тим не менш, я вважаю, що одна ідея може пройти довгий шлях до об'єднання деяких прийомів вирішення різноманітних завдань: варіації параметрів. Я використовую варіацію параметрів при першій можливості в розділі 2.1 для розв'язання неоднорідного лінійного рівняння, заданого нетривіальним розв'язком комплементарного рівняння. Можливо, це дратує, оскільки більшість з нас дізналися, що для цього завдання слід використовувати інтеграційні фактори, при цьому, можливо, згадуючи варіант зміни параметрів у вправі. Однак між двома підходами мало різниці, оскільки інтегруючий фактор є не що інше, як зворотне нетривіальне рішення комплементарного рівняння. Перевага використання варіації параметрів тут полягає в тому, що вона вводить поняття в найпростішій формі і фокусує увагу учня на ідеї пошуку рішення\(y\) диференціального рівняння шляхом написання його як\(y=uy_1\), де\(y_1\) відоме рішення пов'язаного рівняння і \(u\)це функція, яку потрібно визначити. Я використовую цю ідею нестандартними способами, наступним чином:

• У розділі 2.4 розв'язувати нелінійні рівняння першого порядку, такі як рівняння Бернуллі та нелінійні однорідні рівняння.
• У главі 3 для числового розв'язку напівлінійних рівнянь першого порядку.
• У розділі 5.2 уникнути необхідності введення комплексних експоненціальних величин при розв'язанні постійного коефіцієнта другого порядку однорідного рівняння з характеристичними поліномами, що мають комплексні нулі.
• У розділах 5.4, 5.5 і 9.3 для методу невизначені коефіцієнти. (Якщо метод аннігіляторів є вашим кращим підходом до цієї проблеми, порівняйте працю, що бере участь у вирішенні, наприклад,\(y''+y'+y=x^4e^x\) методом аннігіляторів та методом, використовуваним у розділі 5.4.)

Введення варіації параметрів якомога раніше (Розділ 2.1) готує учня до концепції, коли вона з'являється знову в більш складних формах в розділі 5.6, де скорочення порядку використовується не просто для пошуку другого рішення комплементарного рівняння, але і для пошуку загального рішення неоднорідне рівняння, а також у розділах 5.7, 9.4 та 10.7, які розглядають звичайну задачу варіації параметрів для лінійних рівнянь другого та вищого порядку та для лінійних систем.

Ви також можете зацікавити наступне:

• Розділ 2.6 стосується інтеграційних факторів форми\(\mu=p(x)q(y)\), крім тих, що мають форму\(\mu=p(x)\) та\(\mu=q(y)\) обговорюються у більшості текстів.
• Розділ 4.4 робить аналіз фазової площини нелінійних автономних рівнянь другого порядку доступним для студентів, які не взяли лінійну алгебру, оскільки власні значення та власні вектори не входять до лікування. Аналіз фазової площини лінійних систем з постійними коефіцієнтами включений в Розділи 10.4-6.
• У розділі 4.5 представлено широке обговорення застосувань диференціальних рівнянь до кривих.
• Розділ 6.4 вивчає рух під центральною силою, що може бути корисним студентам, які цікавляться математикою супутникових орбіт.
• У розділах 7.5-7 представлений метод Фробеніуса більш детально, ніж у більшості текстів. Підхід полягає в систематизації обчислень таким чином, щоб уникнути необхідності підстановки невідомих рядів Фробеніуса в кожне рівняння. Це призводить до ефективності при обчисленні коефіцієнтів рішення Фробеніуса. Також з'ясовується випадок, коли коріння індиціального рівняння відрізняються цілим числом (Розділ 7.7).
• Безкоштовний посібник для студентських рішень містить рішення більшості парних вправ.
• Безкоштовний посібник з рішень інструктора доступний електронною поштою на адресу wtrench@trinity.edu, за умови перевірки статусу викладача запиту.

Наступні спостереження можуть бути корисними під час вибору навчальної програми:

• Розділ 2.3 є єдиною конкретною передумовою для глави 3. Для розміщення установ, які пропонують окремий курс з числового аналізу, глава 3 не є обов'язковою умовою для будь-якого іншого розділу в тексті.
• Розділи в розділі 4 не залежать один від одного і не є передумовою для жодної з наступних глав. Це стосується і розділів глави 6, за винятком того, що Розділ 6.1 є обов'язковою умовою для розділу 6.2.
• Розділи 7, 8 та 9 можуть бути висвітлені в будь-якому порядку після тем, вибраних з глави 5. Наприклад, ви можете перейти безпосередньо з глави 5 до глави 9.
• Рівняння Ейлера другого порядку розглядається в розділі 7.4, де воно встановлює етап для методу Фробеніуса. Як зазначалося на початку розділу 7.4, якщо ви хочете включити рівняння Ейлера у свій навчальний план, опустивши метод Фробеніуса, ви можете пропустити вступні абзаци в розділі 7.4 і почати з визначення 7.4.2. Потім ви можете охопити Розділ 7.4 одразу після розділу 5.2.

Вільям Тренч