4: Серія Фур'є та PDE
- Page ID
- 61587
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
- 4.1: Крайові задачі
- Перш ніж зайнятися рядом Фур'є, нам потрібно вивчити так звані крайові задачі (або кінцеві задачі).
- 4.3: Детальніше про серії Фур'є
- Ми обчислили ряд Фур'є для 2π-періодичної функції, але як щодо функцій різних періодів.
- 4.4: Серія синусів та косинусів
- Можливо, ви вже помітили, що непарна функція не має косинусних термінів у рядах Фур'є, а парна функція не має синусоїдальних термінів у рядах Фур'є. Це спостереження не випадковість. Розглянемо парну і непарну періодичну функцію докладніше.
- 4.6: PDE, поділ змінних та рівняння теплоти
- Нагадаємо, що рівняння з частинними похідними або PDE - це рівняння, що містить частинні похідні щодо декількох незалежних змінних. Рішення PDE буде нашим основним застосуванням серій Фур'є. PDE вважається лінійним, якщо залежна змінна та її похідні з'являються щонайбільше до першої потужності та без функцій. Ми будемо говорити лише про лінійні PDE. Разом з PDE ми зазвичай вказували деякі граничні умови.
- 4.8: Рішення Д'Аламбера хвильового рівняння
- Ми розв'язали хвильове рівняння за допомогою ряду Фур'є. Але часто зручніше використовувати так зване рішення д'Аламбера до хвильового рівняння3. Хоча це рішення може бути отримано за допомогою ряду Фур'є, це дійсно незручне використання цих понять. Простіше і повчальніше вивести це рішення, зробивши правильну зміну змінних, щоб отримати рівняння, яке можна вирішити простою інтеграцією.
- 4.9: Температура стійкого стану та лапласіан
- Припустимо, у нас є ізольований провід, пластина або 3-мірний об'єкт. Наносимо певні фіксовані температури на кінці дроту, краях пластини або з усіх боків 3-мірного предмета. Бажаємо з'ясувати, що таке розподіл температури в сталому стані. Тобто ми хочемо знати, якою буде температура через досить тривалий проміжок часу.
- 4.E: Серія Фур'є та PDE (вправи)
- Це домашні вправи, які супроводжують Libl «Диференціальні рівняння для інженерії» TextMap. Це підручник, орієнтований на один семестр першого курсу з диференціальних рівнянь, орієнтований на студентів-інженерів. Обов'язковою умовою курсу є основна послідовність обчислення.