2.1: Трикутники

2.1.1 Основні теореми трикутника

Відзначити всі теореми в цьому розділі можна і потрібно доводити без використання паралельного постулату.

Визначення: Вертикальні кути

Протилежні кути, утворені перетином двох ліній, називаються вертикальними кутами.

Визначення: Конгруентні кути

Два кути є конгруентними (ABC DEF) тоді і лише тоді, коли їх міри рівні (Mabc mdef).

Теорема: Конгруентність вертикального кута

Вертикальні кути конгруентні.

A-B-C означає, що точки A, B і C є колінеарними, а B - між A і C.

Теорема: Аксіома Паша

Якщо пряма перетинає трикутник △ ABC у точці D, така, що A-D-B, то має перетинати AC або BC.

Теорема: Перекладина

Якщо X є точкою всередині △ ABC, то промінь AX перетинається до н.е. в точці D така, що B-D-C.

Визначення: Конгруентні відрізки лінії

Два відрізки лінії є конгруентними (AB CD) тоді і лише тоді, коли їх міри (довжина) рівні (|AB | = |CD |).

Визначення: Рівнобедрений

Трикутник є рівнобедреним тоді і тільки тоді, коли дві сторони конгруентні.

Теорема: Рівнобедрений трикутник

У рівнобедреному трикутнику кути, протилежні рівним сторонам, конгруентні.

Теорема: Перпендикулярна бісектриса

Точка знаходиться на перпендикулярній бісектрисі відрізка тоді і лише тоді, коли він рівновіддалений від кінцевих точок.

Визначення: Зовнішній кут

Додатковий кут, утворений продовженням однієї сторони трикутника, називається зовнішнім кутом.

Теорема: Зовнішній кут

Міра зовнішнього кута трикутника більше, ніж міра будь-якого з протилежних кутів трикутника.

Визначення: Конгруентні трикутники

Два трикутника є конгруентними тоді і лише тоді, коли всі їхні сторони та кути конгруентні (△ ABC △ DEF).

2.1.2 Теореми про конгруентність трикутника

Визначте, чи два трикутники з двома конгруентними сторонами та конгруентним кутом не між двома сторонами є конгруентними.

Теорема: Кут-бічний кут

Два трикутника є конгруентними тоді і тільки тоді, коли два відповідних кути і сторона між ними конгруентні.

Теорема: Кут-кут-сторона

Два трикутника є конгруентними тоді і тільки тоді, коли два відповідних кути і сторона, не між ними, є конгруентними.

Теорема: Бічна сторона

Два трикутника є конгруентними тоді і тільки тоді, коли всі три відповідні сторони є конгруентними.

Теорема: Правий кут-бічна сторона

Два правильних трикутника є конгруентними тоді і тільки тоді, коли дві відповідні сторони і прямий кут не між цими сторонами є конгруентними.

Теорема: Конверс рівнобедреного трикутника

Якщо два кути трикутника конгруентні, то сторони, протилежні цим кутам, є конгруентними.

Теорема: Розширений обернений рівнобедреного трикутника

Якщо дві сторони трикутника не є конгруентними, то кути, протилежні цим сторонам, не є конгруентними. Далі більший кут знаходиться навпроти довшої сторони.

Теорема: Нерівність трикутника

Сума довжин будь-яких двох сторін трикутника більше довжини іншої сторони.