10.4: Спосіб інверсії

Ось додаток інверсії, яке ми включаємо як ілюстрацію; ми не будемо використовувати його далі в книзі.

Теорема$\PageIndex{1}$ Ptolemy's identity.

$ABCD$Дозволяти вписаний чотирикутник. Припустимо, що точки$A,B,C$, і$D$ з'являються на окружній лінії в тому ж порядку. Тоді

$AB \cdot CD + BC \cdot DA = AC \cdot BD.$

Доказ

Припустимо, що точки$A,B,C,D$ лежать на одній лінії в такому порядку.

Набір$x = AB$,$y = BC$,$z = CD$. Зверніть увагу, що

$x \cdot z + y \cdot (x + y + z) = (x + y) \cdot (y + z).$

Оскільки$AC = x + y$, і$BD = y + z$$DA = x + y + z$, це підтверджує особистість.

Залишається розглянути випадок, коли чотирикутник$ABCD$ вписаний в коло, скажімо$\Gamma$.

Особистість може бути переписана як

$\dfrac{AB \cdot DC}{BD \cdot CA} + \dfrac{BC \cdot AD}{CA \cdot DB} = 1.$

На лівій стороні у нас є два перехресних співвідношення. Згідно з теоремою 10.3.1a, ліва сторона не змінюється, якщо застосувати інверсію до кожної точки.

Розглянемо інверсію в колі по центру в точці$O$, яка лежить$\Gamma$ між$A$ і$D$. За теоремою 10.3.2 ця інверсія$\Gamma$ відображає лінію. Це зводить проблему до того випадку$A, B, C$, коли і$D$ лежать на одній лінії, яка вже розглядалася.

У наведеному вище доказі ми переписуємо особистість Птолемея у формі, яка є інваріантною щодо інверсії, а потім застосовуємо інверсію, яка робить твердження очевидним. Рішення наступної вправи засноване на тій же ідеї; потрібно зробити правильний вибір інверсії.

Вправа$\PageIndex{1}$

Припустимо, що чотири кола взаємно дотичні один до одного. Покажіть, що чотири (серед шести) їх точок дотику лежать на одній лінії кола.

Підказка

Позначте точки дотику по$X, Y , A, B, P$, і$Q$ як на схемі. Нанесіть інверсію з центром в$P$. Зверніть увагу, що два кола, які дотичні в,$P$ стають паралельними лініями, а інші два кола дотичні один до одного і ці дві паралельні лінії.

Зверніть увагу, що точки дотику$A'$,$B'$$X'$, і$Y'$ з паралельними лініями є вершинами квадрата; зокрема вони лежать на одному колі. Ці точки є зображеннями$A, B, X$, і$Y$ під інверсією. За теоремою 10.3.1 точки$A, B, X$, а$Y$ також лежать на одній лінії кола.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо, що три кола дотичні один до одного і до двох паралельних ліній, як показано на малюнку.

Показати, що лінія, що проходить через$A$ і також$B$ є дотичною до двох кіл в$A$.

Підказка

Нанесіть інверсію по колу з центром$A$. Точка$A$ піде до нескінченності, два кола дотичні в$A$ стануть паралельними лініями, а дві паралельні лінії стануть колами дотичними в$A$; див. Діаграму.

Залишилося показати, що пунктирна лінія ($AB'$) паралельна іншим двом лініям.