3.1: Знак кута

Позитивний і негативний кути можна візуалізувати як проти годинникової стрілки, так і за годинниковою стрілкою; формально вони визначаються наступним чином:

• Кут$AOB$ називається позитивним if$0 < \measuredangle AOB < \pi$;
• Кут$AOB$ називається негативним if$\measuredangle AOB < 0$.

Зверніть увагу, що згідно з вищенаведеними визначеннями прямий кут, а також нульовий кут не є ні позитивними, ні негативними.

Вправа$\PageIndex{1}$

Взуття, яке$\angle AOB$ є позитивним, якщо і лише тоді$\angle BOA$, коли є негативним.

Підказка

Набір$\alpha = \measuredangle AOB$ і$\beta = \measuredangle BOA$. Зверніть увагу, що$\alpha = \pi$ якщо і тільки якщо$\beta = \pi$. Інакше$\alpha = -\beta$. Звідси і результат.

Лемма$\PageIndex{1}$

Дозвольте$\angle AOB$ бути прямим. Тоді$\angle AOX$ позитивний, якщо і тільки якщо$\angle BOX$ негативний.

Доказ

Набір$\alpha = \measuredangle AOX$ і$\beta = \measuredangle BOX$. Так$\angle AOB$ як пряма,

$$\alpha - \beta \equiv \pi.$$

Звідси випливає, що$\alpha = \pi \Leftrightarrow \beta = 0$ і$\alpha = 0 \Leftrightarrow \beta = \pi$. У цих двох випадках ознака$\angle AOX$ і$\angle BOX$ є невизначеною.

В інших випадках у нас є що$|\alpha| < \pi$ і$|\beta| < \pi$. Якщо$\alpha$ і$\beta$ мають однаковий знак, то$|\alpha - \beta| < \pi$; останній суперечить 3.1.1. Звідси випливає твердження.

Вправа$\PageIndex{2}$

Припустимо, що кути$ABC$ і$A'B'C'$ мають однаковий знак і

$2 \cdot \measuredangle ABC \equiv 2 \cdot \measuredangle A'B'C'.$

Покажіть, що$\measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'$.

Підказка

Набір$\alpha = \measuredangle ABC$,$\beta = \measuredangle A'B'C'$. Оскільки$2 \cdot \alpha \equiv 2 \cdot \beta$, Вправа 1.8.1 має на увазі, що$\alpha \equiv \beta$ або$\alpha \equiv \beta + \pi$. В останньому випадку кути мають протилежні ознаки, що неможливо.

Так як$\alpha, \beta \in (-\pi, \pi]$, рівність$\alpha \equiv \beta$ має на увазі$\alpha = \beta$.