3.1: Знак кута

Позитивний і негативний кути можна візуалізувати як проти годинникової стрілки, так і за годинниковою стрілкою; формально вони визначаються наступним чином:

• Кут\(AOB\) називається позитивним if\(0 < \measuredangle AOB < \pi\);
• Кут\(AOB\) називається негативним if\(\measuredangle AOB < 0\).

Зверніть увагу, що згідно з вищенаведеними визначеннями прямий кут, а також нульовий кут не є ні позитивними, ні негативними.

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Взуття, яке\(\angle AOB\) є позитивним, якщо і лише тоді\(\angle BOA\), коли є негативним.

Підказка

Набір\(\alpha = \measuredangle AOB\) і\(\beta = \measuredangle BOA\). Зверніть увагу, що\(\alpha = \pi\) якщо і тільки якщо\(\beta = \pi\). Інакше\(\alpha = -\beta\). Звідси і результат.

Лемма\(\PageIndex{1}\)

Дозвольте\(\angle AOB\) бути прямим. Тоді\(\angle AOX\) позитивний, якщо і тільки якщо\(\angle BOX\) негативний.

Доказ

Набір\(\alpha = \measuredangle AOX\) і\(\beta = \measuredangle BOX\). Так\(\angle AOB\) як пряма,

\[\alpha - \beta \equiv \pi.\]

Звідси випливає, що\(\alpha = \pi \Leftrightarrow \beta = 0\) і\(\alpha = 0 \Leftrightarrow \beta = \pi\). У цих двох випадках ознака\(\angle AOX\) і\(\angle BOX\) є невизначеною.

В інших випадках у нас є що\(|\alpha| < \pi\) і\(|\beta| < \pi\). Якщо\(\alpha\) і\(\beta\) мають однаковий знак, то\(|\alpha - \beta| < \pi\); останній суперечить 3.1.1. Звідси випливає твердження.

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Припустимо, що кути\(ABC\) і\(A'B'C'\) мають однаковий знак і

\(2 \cdot \measuredangle ABC \equiv 2 \cdot \measuredangle A'B'C'.\)

Покажіть, що\(\measuredangle ABC = \measuredangle A'B'C'\).

Підказка

Набір\(\alpha = \measuredangle ABC\),\(\beta = \measuredangle A'B'C'\). Оскільки\(2 \cdot \alpha \equiv 2 \cdot \beta\), Вправа 1.8.1 має на увазі, що\(\alpha \equiv \beta\) або\(\alpha \equiv \beta + \pi\). В останньому випадку кути мають протилежні ознаки, що неможливо.

Так як\(\alpha, \beta \in (-\pi, \pi]\), рівність\(\alpha \equiv \beta\) має на увазі\(\alpha = \beta\).