31.3: Залишатися в балансі
- Page ID
- 950
Урок
Давайте використаємо збалансовані вішалки, щоб допомогти нам вирішити рівняння.
Вправа\(\PageIndex{1}\): Hanging Around
![clipboard_e1238624912af4790060c035045f8588c.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41352/clipboard_e1238624912af4790060c035045f8588c.png)
Для діаграми А знайдіть:
- Одна річ, яка повинна бути правдою
- Одна річ, яка може бути істинною чи помилковою
- Одна річ, яка не може бути правдою
Для діаграми B знайдіть:
- Одна річ, яка повинна бути правдою
- Одна річ, яка може бути істинною чи помилковою
- Одна річ, яка не може бути правдою
Вправа\(\PageIndex{2}\): Match Equations and Hangers
![clipboard_e8a8034c1a74152f43fbf8b0fda70987d.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41353/clipboard_e8a8034c1a74152f43fbf8b0fda70987d.png)
- Зіставте кожну вішалку з рівнянням. Завершіть рівняння, написавши\(x, y, z,\) або\(w\) в порожньому полі.
![clipboard_ef167e7d062ba252e33bb0b189188a20a.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41354/clipboard_ef167e7d062ba252e33bb0b189188a20a.png)
- Знайдіть рішення для кожного рівняння. Використовуйте вішалки, щоб пояснити, що означає кожне рішення.
Вправа\(\PageIndex{3}\): Connecting Diagrams to Equations and Solutions
Ось кілька збалансованих вішалок. Кожен шматок маркується своєю вагою.
![clipboard_ed32b6d16348857be64bad9cf0d51feae.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41355/clipboard_ed32b6d16348857be64bad9cf0d51feae.png)
Для кожної діаграми:
- Напишіть рівняння.
- Поясніть, як міркувати за допомогою діаграми, щоб знайти вагу шматка з буквою.
- Поясніть, як міркувати за допомогою рівняння, щоб знайти вагу шматка з буквою.
Ви готові до більшого?
Коли у вас є час, відвідайте сайт https://solveme.edc.org/Mobiles.html, щоб вирішити деякі хитрі головоломки, які використовують діаграми вішалок, як ті, що в цьому уроці. Можна навіть будувати нові. (Якщо ви хочете зробити це під час заняття, спочатку зверніться до свого вчителя!)
Резюме
Вішалка залишається збалансованою, коли ваги з обох сторін рівні. Ми можемо змінити вагу, і вішалка залишатиметься збалансованою до тих пір, поки обидві сторони змінюються однаково. Наприклад, додавання 2 фунтів на кожну сторону збалансованої вішалки дозволить зберегти її збалансованою. Видалення половини ваги з кожного боку також дозволить зберегти його збалансованим.
Рівняння можна порівняти з збалансованою вішалкою. Ми можемо змінити рівняння, але для того, щоб істинне рівняння залишалося істинним, те ж саме потрібно зробити з обох сторін знака рівності. Якщо ми додамо або віднімаємо однакове число з кожного боку, або помножимо або розділимо кожну сторону на одне і те ж число, нове рівняння все одно буде істинним.
Такий спосіб мислення може допомогти нам знайти рішення рівнянь. Замість того, щоб перевіряти різні значення, ми можемо подумати про віднімання однакової кількості з кожної сторони або ділення кожної сторони на одне і те ж число.
![clipboard_e099d376bede9cfc45db858997d1d19b5.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41356/clipboard_e099d376bede9cfc45db858997d1d19b5.png)
Діаграму А можна представити рівнянням\(3x=11\).
Якщо ми розбиваємо 11 на 3 рівні частини, кожна частина матиме таку ж вагу, як і блок з\(x\).
Розділення кожної сторони вішалки на 3 рівні частини - це те саме, що ділити кожну сторону рівняння на 3.
- \(3x\)ділиться на\(3\) є\(x\).
- \(11\)ділиться на\(3\) є\(\frac{11}{3}\).
- Якщо\(3x=11\) правда, то\(x=\frac{11}{3}\) істинно.
- Рішення\(3x=11\) є\(\frac{11}{3}\).
Діаграму В можна представити рівнянням\(11=y+5\).
Якщо ми знімемо вагу 5 з кожного боку вішалки, вона залишиться в рівновазі.
Видалення 5 з кожного боку вішалки таке ж, як віднімання 5 з кожного боку рівняння.
- \(11-5\)є\(6\).
- \(y+5-5\)є\(y\).
- Якщо\(11=y+5\) правда, то\(6=y\) істинно.
- Рішення\(11=y+5\) є\(6\).
Записи глосарію
Визначення: Коефіцієнт
Коефіцієнт - це число, яке множиться на змінну.
Наприклад, у\(3x+5\) виразі коефіцієнт\(x\) є\(3\). У виразі\(y+5\) коефіцієнт\(y\) є\(1\), тому що\(y=1\cdot y\).
Визначення: Розв'язок рівняння
Рішення рівняння - це число, яке можна використовувати замість змінної, щоб зробити рівняння істинним.
Наприклад, 7 - це рішення рівняння\(m+1=8\), тому що це правда\(7+1=8\). Рішення\(m+1=8\) немає\(9\), тому що\(9+1\neq 8\).
Визначення: Змінна
Змінна - це буква, яка представляє собою число. Ви можете вибрати різні числа для значення змінної.
Наприклад, у виразі\(10-x\) змінна є\(x\). Якщо значення\(x\) дорівнює 3, то\(10-x=7\), тому що\(10-3=7\). Якщо значення\(x\) є\(6\), то\(10-x=4\), тому що\(10-6=4\).
Практика
Вправа\(\PageIndex{4}\)
Виберіть всі рівняння, що представляють вішалку.
![clipboard_ed27644990162ac5a69872dc752227945.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41357/clipboard_ed27644990162ac5a69872dc752227945.png)
- \(x+x+x=1+1+1+1+1+1\)
- \(x\cdot x\cdot x=6\)
- \(3x=6\)
- \(x+3=6\)
- \(x\cdot x\cdot x=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\)
Вправа\(\PageIndex{5}\)
Напишіть рівняння для представлення кожної вішалки.
![clipboard_e902036c9fc21c945144e47e41beb69c6.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41358/clipboard_e902036c9fc21c945144e47e41beb69c6.png)
Вправа\(\PageIndex{6}\)
- Напишіть рівняння для представлення вішалки.
- Поясніть, як міркувати з вішалкою, щоб знайти значення\(x\).
- Поясніть, як міркувати за допомогою рівняння, щоб знайти значення\(x\).
![clipboard_e5b918154e65aee37c2439f4716c69978.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41359/clipboard_e5b918154e65aee37c2439f4716c69978.png)
Вправа\(\PageIndex{7}\)
Андре каже, що\(x\) це\(7\) тому, що він може перемістити два 1s з іншого боку.\(x\)
![clipboard_e2c867df6b8a53f178ed795fec3967862.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41360/clipboard_e2c867df6b8a53f178ed795fec3967862.png)
Чи згодні ви з Андре? Поясніть свої міркування.
Вправа\(\PageIndex{8}\)
Зіставте кожне рівняння з однією з діаграм.
- \(12-m=4\)
- \(12=4\cdot m\)
- \(m-4=12\)
- \(\frac{m}{4}=12\)
![clipboard_e3e6a7b8ebf63a92abc6c731dab71ac82.png](https://math.libretexts.org/@api/deki/files/41361/clipboard_e3e6a7b8ebf63a92abc6c731dab71ac82.png)
(З блоку 6.1.1)
Вправа\(\PageIndex{9}\)
Площа прямокутника становить 14 квадратних одиниць. Має довжини сторін\(x\) і\(y\). Задано кожне значення для\(x\), знайдіть\(y\).
- \(x=2\frac{1}{3}\)
- \(x=4\frac{1}{5}\)
- \(x=\frac{7}{6}\)
(З блоку 4.4.2)
Вправа\(\PageIndex{10}\)
Лін повинен накопичити $20 для нової гри. Скільки у неї грошей, якщо вона зберегла кожен відсоток своєї мети. Поясніть свої міркування.
- 25%
- 75%
- 125%
(Від блоку 3.4.2)