Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

31.3: Залишатися в балансі

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    950

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте використаємо збалансовані вішалки, щоб допомогти нам вирішити рівняння.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Hanging Around

    clipboard_e1238624912af4790060c035045f8588c.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Дві вішалки, А і Б. А, незбалансовані. Ліва сторона, 1 трикутник, права сторона, 1 квадрат. Зліва нижче, ніж праворуч. Б, збалансований. Ліва сторона, 1 трикутник, права сторона, 3 однакових квадрата.

    Для діаграми А знайдіть:

    1. Одна річ, яка повинна бути правдою
    2. Одна річ, яка може бути істинною чи помилковою
    3. Одна річ, яка не може бути правдою

    Для діаграми B знайдіть:

    1. Одна річ, яка повинна бути правдою
    2. Одна річ, яка може бути істинною чи помилковою
    3. Одна річ, яка не може бути правдою

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Match Equations and Hangers

    clipboard_e8a8034c1a74152f43fbf8b0fda70987d.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Чотири збалансовані вішалки, A, B, C та D. A, ліва сторона, 3 однакові кола, х, права сторона, 6 однакових квадратів, 1. B, ліва сторона, 1 п'ятикутник, y, 3 однакових квадрата, 1, права сторона, 6 однакових квадратів, 1. C, ліва сторона, 6 однакових квадратів, 1, права сторона, 3 однакових трикутника, z. d, ліва сторона, 6 однакових квадратів, 1, права сторона, 1 корона, w, 1 квадрат, 1.
    1. Зіставте кожну вішалку з рівнянням. Завершіть рівняння, написавши\(x, y, z,\) або\(w\) в порожньому полі.
    clipboard_ef167e7d062ba252e33bb0b189188a20a.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)
    1. Знайдіть рішення для кожного рівняння. Використовуйте вішалки, щоб пояснити, що означає кожне рішення.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Connecting Diagrams to Equations and Solutions

    Ось кілька збалансованих вішалок. Кожен шматок маркується своєю вагою.

    clipboard_ed32b6d16348857be64bad9cf0d51feae.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\): Чотири збалансовані вішалки, A, B, C та D. A, ліва сторона, 1 коло, x, 1 прямокутник, 3, права сторона, 1 прямокутник, 8. B, ліва сторона, 1 прямокутник, 12, права сторона, 2 однакових п'ятикутника, y C, ліва сторона, 1 прямокутник, 11, права сторона, чотири однакових трикутника, z. d, ліва сторона, 1 прямокутник, 13 і чотири п'яті, права сторона, 1 корона, w, 1 прямокутник, 3 і чотири п'яті.

    Для кожної діаграми:

    1. Напишіть рівняння.
    2. Поясніть, як міркувати за допомогою діаграми, щоб знайти вагу шматка з буквою.
    3. Поясніть, як міркувати за допомогою рівняння, щоб знайти вагу шматка з буквою.

    Ви готові до більшого?

    Коли у вас є час, відвідайте сайт https://solveme.edc.org/Mobiles.html, щоб вирішити деякі хитрі головоломки, які використовують діаграми вішалок, як ті, що в цьому уроці. Можна навіть будувати нові. (Якщо ви хочете зробити це під час заняття, спочатку зверніться до свого вчителя!)

    Резюме

    Вішалка залишається збалансованою, коли ваги з обох сторін рівні. Ми можемо змінити вагу, і вішалка залишатиметься збалансованою до тих пір, поки обидві сторони змінюються однаково. Наприклад, додавання 2 фунтів на кожну сторону збалансованої вішалки дозволить зберегти її збалансованою. Видалення половини ваги з кожного боку також дозволить зберегти його збалансованим.

    Рівняння можна порівняти з збалансованою вішалкою. Ми можемо змінити рівняння, але для того, щоб істинне рівняння залишалося істинним, те ж саме потрібно зробити з обох сторін знака рівності. Якщо ми додамо або віднімаємо однакове число з кожного боку, або помножимо або розділимо кожну сторону на одне і те ж число, нове рівняння все одно буде істинним.

    Такий спосіб мислення може допомогти нам знайти рішення рівнянь. Замість того, щоб перевіряти різні значення, ми можемо подумати про віднімання однакової кількості з кожної сторони або ділення кожної сторони на одне і те ж число.

    clipboard_e099d376bede9cfc45db858997d1d19b5.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\): Дві збалансовані вішалки, A і B. A, ліва сторона, 3 однакових квадрата, х, права сторона, 1 прямокутник, 11. B, ліва сторона 1 прямокутник, 11, права сторона, 1 трикутник, y, і 1 коло, 5.

    Діаграму А можна представити рівнянням\(3x=11\).

    Якщо ми розбиваємо 11 на 3 рівні частини, кожна частина матиме таку ж вагу, як і блок з\(x\).

    Розділення кожної сторони вішалки на 3 рівні частини - це те саме, що ділити кожну сторону рівняння на 3.

    • \(3x\)ділиться на\(3\) є\(x\).
    • \(11\)ділиться на\(3\) є\(\frac{11}{3}\).
    • Якщо\(3x=11\) правда, то\(x=\frac{11}{3}\) істинно.
    • Рішення\(3x=11\) є\(\frac{11}{3}\).

    Діаграму В можна представити рівнянням\(11=y+5\).

    Якщо ми знімемо вагу 5 з кожного боку вішалки, вона залишиться в рівновазі.

    Видалення 5 з кожного боку вішалки таке ж, як віднімання 5 з кожного боку рівняння.

    • \(11-5\)є\(6\).
    • \(y+5-5\)є\(y\).
    • Якщо\(11=y+5\) правда, то\(6=y\) істинно.
    • Рішення\(11=y+5\) є\(6\).

    Записи глосарію

    Визначення: Коефіцієнт

    Коефіцієнт - це число, яке множиться на змінну.

    Наприклад, у\(3x+5\) виразі коефіцієнт\(x\) є\(3\). У виразі\(y+5\) коефіцієнт\(y\) є\(1\), тому що\(y=1\cdot y\).

    Визначення: Розв'язок рівняння

    Рішення рівняння - це число, яке можна використовувати замість змінної, щоб зробити рівняння істинним.

    Наприклад, 7 - це рішення рівняння\(m+1=8\), тому що це правда\(7+1=8\). Рішення\(m+1=8\) немає\(9\), тому що\(9+1\neq 8\).

    Визначення: Змінна

    Змінна - це буква, яка представляє собою число. Ви можете вибрати різні числа для значення змінної.

    Наприклад, у виразі\(10-x\) змінна є\(x\). Якщо значення\(x\) дорівнює 3, то\(10-x=7\), тому що\(10-3=7\). Якщо значення\(x\) є\(6\), то\(10-x=4\), тому що\(10-6=4\).

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{4}\)

    Виберіть всі рівняння, що представляють вішалку.

    clipboard_ed27644990162ac5a69872dc752227945.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\)
    1. \(x+x+x=1+1+1+1+1+1\)
    2. \(x\cdot x\cdot x=6\)
    3. \(3x=6\)
    4. \(x+3=6\)
    5. \(x\cdot x\cdot x=1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\)

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Напишіть рівняння для представлення кожної вішалки.

    clipboard_e902036c9fc21c945144e47e41beb69c6.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\): Чотири збалансовані вішалки, A, B, C і D. A, ліва сторона, 2 однакових кола, х, права сторона, 3 однакових квадрата, 1. B, ліва сторона, 1 трикутник, w, 1 квадрат, 1 точка 3, права сторона, 1 прямокутник, 2 точка 7. C, ліва сторона, 3 однакових п'ятикутника, y, права сторона, 1 прямокутник, 5 точка 1. D, ліва сторона, 1 корона, z, 1 квадрат, одна третина, права сторона, 1 квадрат, одна половина.

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    1. Напишіть рівняння для представлення вішалки.
    2. Поясніть, як міркувати з вішалкою, щоб знайти значення\(x\).
    3. Поясніть, як міркувати за допомогою рівняння, щоб знайти значення\(x\).
    clipboard_e5b918154e65aee37c2439f4716c69978.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\)

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Андре каже, що\(x\) це\(7\) тому, що він може перемістити два 1s з іншого боку.\(x\)

    clipboard_e2c867df6b8a53f178ed795fec3967862.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Чи згодні ви з Андре? Поясніть свої міркування.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Зіставте кожне рівняння з однією з діаграм.

    1. \(12-m=4\)
    2. \(12=4\cdot m\)
    3. \(m-4=12\)
    4. \(\frac{m}{4}=12\)
    clipboard_e3e6a7b8ebf63a92abc6c731dab71ac82.png
    Рисунок\(\PageIndex{10}\): Чотири стрічкові діаграми, позначені A, B, C і D. Діаграма стрічки А має 2 смуги однакової довжини. Верхня планка маркується м Нижня планка розділяється на 2 частини з маркуванням 12 і 4. Стрічка схема Б має 2 бруска однакової довжини. Верхня планка має маркування 12. Нижня планка розділена на 2 частини з маркуванням 4 і м Стрічка схема С має 2 бруска однакової довжини. Верхня планка маркується м Нижня планка розділена на 4 частини з маркуванням 12, 12, 12 і 12. Стрічка на схемі D має 2 бруска однакової довжини. Верхня планка має маркування 12. Нижню планку поділяють на 4 частини з маркуванням m, m, m, і m.

    (З блоку 6.1.1)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Площа прямокутника становить 14 квадратних одиниць. Має довжини сторін\(x\) і\(y\). Задано кожне значення для\(x\), знайдіть\(y\).

    1. \(x=2\frac{1}{3}\)
    2. \(x=4\frac{1}{5}\)
    3. \(x=\frac{7}{6}\)

    (З блоку 4.4.2)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Лін повинен накопичити $20 для нової гри. Скільки у неї грошей, якщо вона зберегла кожен відсоток своєї мети. Поясніть свої міркування.

    1. 25%
    2. 75%
    3. 125%

    (Від блоку 3.4.2)