31.2: Істина і рівняння

Урок

Давайте використаємо рівняння для представлення історій і подивимося, що означає розв'язувати рівняння.

Вправа\(\PageIndex{1}\): Three Letters

1. Рівняння\(a+b=c\) може бути істинним або хибним.
   1. Якщо\(a\) 3,\(b\) це 4, а\(c\) 5, рівняння істинне чи хибне?
   2. Знайдіть нові значення\(a, b,\) і\(c\) які роблять рівняння істинним.
   3. Знайти нові значення\(a, b,\) і\(c\) які роблять рівняння хибним.
2. Рівняння\(x\cdot y=z\) може бути істинним або хибним.
   1. Якщо\(x\) 3,\(y\) це 4, а\(z\) 12, рівняння істинне чи хибне?
   2. Знайдіть нові значення\(x, y,\) і\(z\) які роблять рівняння істинним.
   3. Знайти нові значення\(x, y,\) і\(z\) які роблять рівняння хибним.

Вправа\(\PageIndex{2}\): Storytime

Ось три ситуації і шість рівнянь. Яке рівняння найкраще представляє кожну ситуацію? Якщо ви застрягли, подумайте про складання схеми.

\(\begin{array}{lllll}{x+5=20}&{\qquad}&{x=20+5}&{\qquad}&{5x=20}\\{x+20=5}&{\qquad}&{5\cdot 20=x}&{\qquad}&{20x=5}\end{array}\)

1. Після того, як Олена пробігла 5 миль у п'ятницю, вона пробігла загалом 20 миль за тиждень. Вона пробігла\(x\) милі до п'ятниці.
2. Школа Андре налічує 20 клубів, що в п'ять разів більше, ніж школа його двоюрідного брата. У школі його двоюрідного брата є\(x\) клуби.
3. Jada волонтери в притулку для тварин. Вона розділила 5 чашок котячого корму порівну, щоб нагодувати 20 кішок. Кожна кішка\(x\) отримувала чашки їжі.

Вправа\(\PageIndex{3}\): Using Structures to Find Solutions

Ось деякі рівняння, які містять змінну і список значень. Подумайте, що означає кожне рівняння і знайдіть рішення в списку значень. Якщо ви застрягли, подумайте про складання схеми. Будьте готові пояснити, чому ваше рішення правильне.

1. \(1000-a=400\)
2. \(12.6=b+4.1\)
3. \(8c=8\)
4. \(\frac{2}{3}\cdot d=\frac{10}{9}\)
5. \(10e=1\)
6. \(10=0.5f\)
7. \(0.99=1-g\)
8. \(h+\frac{3}{7}=1\)

Список:

\(\begin{array}{ccccccccc}{\frac{1}{8}}&{\frac{3}{7}}&{\frac{4}{7}}&{\frac{3}{5}}&{\frac{5}{3}}&{\frac{7}{3}}&{0.01}&{0.1}&{0.5}\\{1}&{2}&{8.5}&{9.5}&{16.7}&{20}&{400}&{600}&{1400}\end{array}\)

Ви готові до більшого?

Одним з рішень рівняння\(a+b+c=10\) є\(a=2, b=5, c=3\).

Скільки різних розв'язків цілого числа існує для рівняння\(a+b+c=10\)? Поясніть або покажіть свої міркування.

Резюме

Рівняння може бути істинним або хибним. Прикладом істинного рівняння є\(7+1=4\cdot 2\). Прикладом помилкового рівняння є\(7+1=9\).

Рівняння може мати в ньому букву, наприклад,\(u+1=8\). Це рівняння є помилковим, якщо\(u\) дорівнює 3, тому що\(3+1\) не дорівнює 8. Це рівняння вірно, якщо\(u\) дорівнює 7, тому що\(7+1=8\).

Буква в рівнянні називається змінною. В\(u+1=8\), змінна є\(u\). Число, яке можна використовувати замість змінної, яка робить рівняння істинним, називається рішенням рівняння. В\(u+1=8\), розчин 7.

Коли поруч зі змінною записується число і змінна множаться. Наприклад,\(7x=21\) означає те ж саме, що і\(7\cdot x=21\). Число, записане поруч зі змінною, називається коефіцієнтом. Якщо коефіцієнт не пишеться, коефіцієнт дорівнює 1. Наприклад, в\(p+3=5\) рівнянні коефіцієнт\(p\) дорівнює 1.

Записи глосарію

Визначення: Коефіцієнт

Коефіцієнт - це число, яке множиться на змінну.

Наприклад, у\(3x+5\) виразі коефіцієнт\(x\) є\(3\). У виразі\(y+5\) коефіцієнт\(y\) є\(1\), тому що\(y=1\cdot y\).

Визначення: Розв'язок рівняння

Рішення рівняння - це число, яке можна використовувати замість змінної, щоб зробити рівняння істинним.

Наприклад, 7 - це рішення рівняння\(m+1=8\), тому що це правда\(7+1=8\). Рішення\(m+1=8\) немає\(9\), тому що\(9+1\neq 8\).

Визначення: Змінна

Змінна - це буква, яка представляє собою число. Ви можете вибрати різні числа для значення змінної.

Наприклад, у виразі\(10-x\) змінна є\(x\). Якщо значення\(x\) дорівнює 3, то\(10-x=7\), тому що\(10-3=7\). Якщо значення\(x\) є\(6\), то\(10-x=4\), тому що\(10-6=4\).

Практика

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Виділіть всі справжні рівняння.

1. \(5+0=0\)
2. \(15\cdot 0=0\)
3. \(1.4+2.7=4.1\)
4. \(\frac{2}{3}\cdot\frac{5}{9}=\frac{7}{12}\)
5. \(4\frac{2}{3}=5-\frac{1}{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Пляшка води Мая мала 24 унції в ній. Після того, як вона випила\(x\) унції води, залишилося 10 унцій. Виберіть всі рівняння, які представляють цю ситуацію.

1. \(24\div 10=x\)
2. \(24+10=x\)
3. \(24-10=x\)
4. \(x+10=24\)
5. \(10x=24\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Прия має 5 олівців, кожен\(x\) дюймів в довжину. Коли вона вирівнює олівці кінець до кінця, вони вимірюють 34,5 дюйма. Виберіть всі рівняння, які представляють цю ситуацію.

1. \(5+x=34.5\)
2. \(5x=34.5\)
3. \(34.5\div 5=x\)
4. \(34.5-5=x\)
5. \(x=(34.5)\cdot 5\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Зіставте кожне рівняння з розв'язком зі списку значень.

1. \(2a=4.6\)
2. \(b+2=4.6\)
3. \(c\div 2=4.6\)
4. \(d-2=4.6\)
5. \(e+\frac{3}{8}=2\)
6. \(\frac{1}{8}f=3\)
7. \(g\div\frac{8}{5}=1\)

1. \(\frac{8}{5}\)
2. \(1\frac{5}{8}\)
3. \(2.3\)
4. \(2.6\)
5. \(6.6\)
6. \(9.2\)
7. \(24\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Добова рекомендована норма вітаміну С для шостого класу - 45 мг. На 1 апельсин припадає близько 75% рекомендованої добової норми вітаміну С. Скільки міліграмів в 1 апельсині? Якщо ви застрягли, подумайте про використання подвійного числового рядка.

Малюнок\(\PageIndex{1}\): Подвійний числовий рядок, 6 рівномірно розташованих галочок. Верхня лінія, вітамін С, мг. Починаючи з першої галочки, мітки: 0, порожній, порожній, порожній, 45, порожній. Нижня лінія. Починаючи з першої галочки, позначені 0, порожній, порожній, порожній, 100 відсотків, порожній.

(Від блоку 3.4.2)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

У групі 90 дітей. 20% малюків володіють власними інструментами, а решта орендують їх.

1. Скільки дітей володіють власними інструментами?
2. Скільки діти орендують інструменти?
3. Який відсоток дітей орендують свої інструменти?

(Від блоку 3.4.3)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Знайдіть кожен товар.

1. \((0.25)\cdot (1.4)\)
2. \((0.061)\cdot (0.43)\)
3. \((1.017)\cdot (0.072)\)
4. \((5.226)\cdot (0.037)\)

(Від блоку 5.3.4)