Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

28.3: Використання діаграм для представлення множення

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    825

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

    Урок

    Давайте використаємо діаграми областей для пошуку продуктів.

    Вправа\(\PageIndex{1}\): Estimate the Product

    Для кожного з перерахованих нижче продуктів вибирайте найкращу оцінку його вартості. Будьте готові пояснити свої міркування.

    1. \((6.8)\cdot (2.3)\)
      • \(1.40\)
      • \(14\)
      • \(140\)
    2. \(74\cdot (8.1)\)
      • \(5.6\)
      • \(56\)
      • \(560\)
    3. \(166\cdot (0.09)\)
      • \(1.66\)
      • \(16.6\)
      • \(166\)
    4. \((3.4)\cdot (1.9)\)
      • \(6.5\)
      • \(65\)
      • \(650\)

    Вправа\(\PageIndex{2}\): Connecting Area Diagrams to Calculations with Whole Numbers

    1. Ось три способи знаходження площі прямокутника, який є\(24\) одиницями за\(13\) одиницями.
    clipboard_e1774f73831420e7d72c588434fb43a40.png
    Малюнок\(\PageIndex{1}\): Діаграма 1, прямокутник, розділений вертикально і горизонтально на 4 прямокутника. Верхній лівий прямокутник, вертикальна сторона, 10, горизонтальна сторона, 20, площа, 200. Верхній правий прямокутник, горизонтальна сторона, 4, область, 40. Зліва внизу прямокутник, вертикальна сторона, 3, область 60. Нижній правий прямокутник, площа, 12. Діаграма 2, прямокутник розділений горизонтально на 2 прямокутника. Верхній прямокутник, вертикальна сторона, 10, горизонтальна сторона, 24, площа, 240. Нижній прямокутник, вертикальна сторона 3, площа, 72. Діаграма 3, прямокутник розділений вертикально на 2 прямокутника. Лівий прямокутник, вертикальна сторона, 13, горизонтальна сторона, 20, площа, 260. Прямокутник правий, горизонтальна сторона, 4, площа, 52.

    Обговоріть зі своїм партнером:

    1. Що спільного у діаграм? Як вони схожі?
    2. Чим вони відрізняються?
    3. Якби ви знайшли площу прямокутника, яка становить 37 одиниць на 19 одиниць, який із трьох способів розкладання прямокутника ви б використали? Чому?
    1. Можливо, ви знайомі з різними способами написання обчислень множення. Ось два способи обчислити 24 рази 13.
    clipboard_e63c706ec36be982d7b1a92747d31046e.png
    Малюнок\(\PageIndex{2}\): Два вертикальних обчислення 24 рази 13. Розрахунок А, 7 рядів. Перший ряд: 24. Другий ряд: символ множення, 13. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 12. Четвертий ряд: 60. П'ятий ряд: 40. Шостий ряд: плюс 200. Горизонтальна лінія. Сьомий ряд: 312. Розрахунок В, 5 рядів. Перший ряд: 24. Другий ряд: символ множення, 13. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 72. Четвертий ряд: плюс 240. Горизонтальна лінія. П'ятий ряд: 312.

    Обговоріть зі своїм партнером:

    1. У розрахунку А, як отримують кожен з часткових продуктів? Наприклад, звідки походить 12?
    2. У розрахунку B, як отримують 72 та 240?
    3. Подивіться на діаграми в першому питанні. Яка діаграма відповідає обчисленню А? Який з них відповідає Розрахунок B?
    4. Як часткові добутки в розрахунку А та 72 та 240 у розрахунку B пов'язані з числами на діаграмах?
    1. Скористайтеся двома наступними методами, щоб знайти добуток 18 і 14, потім порівняйте отримані значення.
    1. Обчисліть чисельно.
    clipboard_eb36cb2289b6de9f4770165c5c993dc7a.png
    Малюнок\(\PageIndex{3}\)
    1. Ось прямокутник, який становить 18 одиниць на 14 одиниць. Знайдіть його площу, в квадратних одиницях, розклавши її. Покажіть свої міркування.
    clipboard_ed11afe0bf18f73cbf4947a17aa03e84c.png
    Малюнок\(\PageIndex{4}\)
    1. Порівняйте значення\(18\cdot 14\), які ви отримали за допомогою двох методів. Якщо вони не однакові, перевірте свою роботу.
      • Використовуйте аплет, щоб перевірити свої відповіді та вивчити власні сценарії. Щоб відрегулювати значення, перемістіть точки на кінцях відрізків.

    Вправа\(\PageIndex{3}\): Connecting Area Diagrams to Calculations with Decimals

    1. Ви можете використовувати діаграми площ для представлення добутків десяткових знаків. Ось діаграма області, яка представляє\((2.4)\cdot (1.3)\).
    clipboard_ebea75d21398d92b1a36a9e6417ceaab0.png
    Малюнок\(\PageIndex{5}\): Прямокутник, розділений вертикально і горизонтально на 4 прямокутника. Верхній лівий прямокутник, вертикальна сторона, 1, горизонтальна сторона, 2. Верхній правий прямокутник, вертикальна сторона, 1, горизонтальна сторона, 0 точка 4. Нижній лівий прямокутник, вертикальна сторона, 0 точка 3, горизонтальна сторона, 2. Нижній правий прямокутник, вертикальна сторона, 0 точка 3, горизонтальна сторона, 0 точка 4.
    1. Знайти регіон, який представляє\((0.4)\cdot (0.3)\)? Позначте цей регіон з його площею\(0.12\).
    2. Позначте кожен з інших регіонів відповідними областями.
    3. Знайдіть значення\((2.4)\cdot (1.3)\). Покажіть свої міркування.
    1. Ось два способи обчислення\(2.4\) часу\(1.3\).
    clipboard_ee5536c6ac07b56c2822f1065ca71893c.png
    Малюнок\(\PageIndex{6}\): Два вертикальних обчислення по 2 точки 4 рази 1 точка 3. Розрахунок А, 7 рядів. Перший ряд: 2 точка 4. Другий ряд: символ множення, 1 точка 3. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 0 точка 1 2. Четвертий ряд: 0 точка 6. П'ятий ряд: 0 точка 4. Шостий ряд: плюс 2. Горизонтальна лінія. Сьомий ряд: 3 точка 1 2. Розрахунок В, 5 рядів. Перший ряд: 2 точка 4. Другий ряд: символ множення, 1 точка 3. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 0 точка 7 2. Четвертий ряд: плюс 2 точки 4. Горизонтальна лінія. П'ятий ряд: 3 точки 1 2.

    Проаналізуйте розрахунки і обговоріть з партнером:

    1. У розрахунку А звідки береться 0,12 та інші часткові продукти? У розрахунку B звідки беруться 0.72 та 2.4? Як обчислюються інші числа синім кольором?
    2. У кожному розрахунку, чому цифри синього кольору вишикувалися вертикально так, як вони є?
    1. Знайдіть виріб,\((3.1)\cdot (1.5)\) намалювавши та позначивши діаграму площі. Покажіть свої міркування.
    2. Покажіть, як обчислити,\((3.1)\cdot (1.5)\) використовуючи цифри без діаграми. Будьте готові пояснити свої міркування. Якщо ви застрягли, використовуйте приклади в попередньому питанні, щоб допомогти вам.
    3. Використовуйте аплет, щоб перевірити свої відповіді та вивчити власні сценарії. Щоб відрегулювати значення, перемістіть точки на кінцях відрізків.

    Ви готові до більшого?

    Скільки гектарів знаходиться у власності вашої школи? Скільки це моргенів?

    Вправа\(\PageIndex{4}\): Using the Partial Products Method

    1. Позначте діаграму області, щоб представити\((2.5)\cdot (1.2)\) і знайти цей продукт.
    clipboard_e4d20b0e1232abd0602ecc251231af168.png
    Малюнок\(\PageIndex{7}\)
    1. Розкладіть кожне число на його основу-десять одиниць (одиниці, десяті і т.д.) і запишіть їх в квадратики з кожного боку прямокутника.
    2. Позначте області A, B, C та D їх областями. Покажіть свої міркування.
    3. Знайдіть продукт, який представляє діаграма площі. Покажіть свої міркування.
    1. Ось два способи розрахунку\((2.5)\cdot (1.2)\). Кожне число з коробкою дає площу однієї або декількох областей на діаграмі площі.
    clipboard_e39209f8c10a63e1bcb0e9122c68b6b9d.png
    Малюнок\(\PageIndex{8}\): Два вертикальних обчислення по 2 точки 5 разів 1 бал 2. Розрахунок А, 7 рядів. Перший ряд: 2 пункт 5. Другий ряд: символ множення, 1 точка 2. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 0 точка 1. Четвертий ряд: 0 точка 4. П'ятий ряд: 0 точка 5. Шостий ряд: плюс 2. Горизонтальна лінія. Сьомий ряд: 3 точка 0 0. Розрахунок В, 5 рядів. Перший ряд: 2 пункт 5. Другий ряд: символ множення, 1 точка 2. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 0 точка 5. Четвертий ряд: плюс 2 точки 5. Горизонтальна лінія. П'ятий ряд: 3 точка 0 0.
    1. У графах поруч з кожним номером напишіть букву (и) відповідної області (областей).
    2. У обчисленні B, які два числа множаться, щоб отримати 0,5?
      Які числа множаться, щоб отримати 2,5?

    Резюме

    Припустимо, що ми хочемо обчислити добуток двох чисел, які записані в основі десяти. Щоб пояснити, як, ми можемо використовувати те, що ми знаємо про числа базової десятки та області прямокутників.

    Ось схема прямокутника з довжиною сторін 3,4 одиниці і 1,2 одиниці.

    clipboard_e9157eca82a3d82d47e17cbd4999f36df.png
    Малюнок\(\PageIndex{9}\)

    Його площа, в квадратних одиницях, є продуктом

    \((3.4)\cdot (1.2)\)

    Щоб обчислити цей твір і знайти площу прямокутника, ми можемо розкласти кожну довжину сторони на його базові десять одиниць,\(3.4=3+0.4\) і\(1.2=1+0.2\), розклавши прямокутник на чотири менші підпрямокутники.

    clipboard_e60244de51946f055bec063593dbdfe51.png
    Малюнок\(\PageIndex{10}\): Діаграма площі. Прямокутник, розділений на 4 прямокутника, A, B, C, D, вертикальна сторона, 1, горизонтальна сторона, 3. C, вертикальна сторона, 1, горизонтальна сторона, 0 точка 4. Б, вертикальна сторона, 0 точка 2, горизонтальна сторона, 3. А, вертикальна сторона, 0 точка 2, горизонтальна сторона, 0 точка 4.

    Ми можемо переписати продукт і розширити його двічі:

    \(\begin{aligned} (3.4)\cdot (1.2)&=(3+0.4)\cdot (1+0.2) \\ &= (3+0.4)\cdot 1+(3+0.4)\cdot 0.2 \\ &=3\cdot 1+3\cdot (0.2)+(0.4)\cdot 1+(0.4)\cdot (0.2)\end{aligned}\)

    В останньому вираженні кожен з чотирьох термінів називається частковим добутком. Кожен частковий твір дає площу підпрямокутника на діаграмі. Сума чотирьох часткових добутків дає площу всього прямокутника.

    Ми можемо показати горизонтальні розрахунки вище як два вертикальних обчислення.

    clipboard_ef6c1ea3d8194df10076e48eddaa1620a.png
    Малюнок\(\PageIndex{11}\): Два вертикальних обчислення 3 точки 4 рази 1 бал 2. Перший розрахунок, 7 рядів. Перший ряд: 3 точка 4. Другий ряд: символ множення, 1 точка 2. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 0 точка 0 8, А. четвертий ряд: 0 точка 6, Б. п'ятий ряд: 0 точка 4, C.шостий ряд: плюс 3, д. горизонтальна лінія. Сьомий ряд: 4 точка 0 8. Другий розрахунок, 5 рядів. Перший ряд: 3 точка 4. Другий ряд: символ множення, 1 точка 2. Горизонтальна лінія. Третій ряд: 0 точка 6 8, А плюс Б. четвертий ряд: плюс 3 точки 4, С плюс Д. горизонтальна лінія. П'ятий ряд: 4 точка 0 8.

    Розрахунок зліва - приклад методу часткових виробів. Він показує значення кожного часткового добутку і букву відповідного підпрямокутника. Кожне часткове виріб дає площу:

    • А дорівнює 0,2 одиниці на 0,4 одиниці, тому його площа становить 0,08 квадратної одиниці.
    • B - це 3 одиниці на 0,2 одиниці, тому його площа становить 0,6 квадратної одиниці.
    • C дорівнює 0,4 одиниці на 1 одиницю, тому його площа дорівнює 0,4 квадратної одиниці.
    • D дорівнює 3 одиницям на 1 одиницю, тому його площа дорівнює 3 квадратним одиницям.
    • Сума часткових добутків дорівнює\(0.08+0.6+0.4+3\), тому площа прямокутника дорівнює 4,08 квадратних одиниць.

    Розрахунок праворуч показує значення двох виробів. Кожне значення дає об'єднану площу двох підпрямокутників:

    • Об'єднані області A і B мають площу 0,68 квадратних одиниць; 0,68 - значення\((3+0.4)\cdot 0.2\).
    • Об'єднані області C і D мають площу 3,4 квадратних одиниць; 3,4 - значення\((3+0.4)\cdot 1\).
    • Сума значень двох добутків дорівнює\(0.68+3.4\), тому площа прямокутника дорівнює 4,08 квадратних одиниць.

    Практика

    Вправа\(\PageIndex{5}\)

    Ось прямокутник, який був розділений на чотири менших прямокутника.

    clipboard_ee00ede48f9994ee3e80ab77bc0deb213.png
    Малюнок\(\PageIndex{12}\)

    Для кожного виразу виберіть підпрямокутник, площа якого у квадратних одиницях відповідає виразу.

    1. \(3\cdot (0.6)\)
    2. \((0.4)\cdot 2\)
    3. \((0.4)\cdot (0.6)\)
    4. \(3\cdot 2\)

    Вправа\(\PageIndex{6}\)

    Ось діаграма області, яка представляє\((3.1)\cdot (1.4)\).

    clipboard_e877d38d33fa27bc1e3b62a61a611b194.png
    Малюнок\(\PageIndex{13}\)
    1. Знайти області підпрямокутників A і B.
    2. Яка площа прямокутника 3,1 на 1,4?

    Вправа\(\PageIndex{7}\)

    Намалюйте діаграму площі, щоб знайти\((0.36)\cdot (0.53)\). Позначте та організуйте свою роботу так, щоб за нею могли слідувати інші.

    Вправа\(\PageIndex{8}\)

    Знайдіть кожен товар. Покажіть свої міркування.

    1. \((2.5)\cdot (1.4)\)
    2. \((0.64)\cdot (0.81)\)

    Вправа\(\PageIndex{9}\)

    Завершіть розрахунки так, щоб кожен показував правильну суму.

    clipboard_e2095e6bde1fa75cec6937d2a7585e4fb.png
    Малюнок\(\PageIndex{14}\): Чотири обчислення з відсутніми цифрами. Перший розрахунок, 2 пункт 3 порожній плюс пуста точка 6 4 дорівнює 9 очок п'ять. Другий розрахунок, 2 пункт 3 порожній плюс пуста точка 6 4 дорівнює 9 пункту 2. Третій розрахунок, 4 пункт 3 порожній плюс пуста точка 1 5 дорівнює 6 точці 2. Четвертий розрахунок, 1 пункт 5 порожній плюс порожній пункт 3 8 дорівнює 1 пункту 4.

    (З блоку 5.2.2)

    Вправа\(\PageIndex{10}\)

    Дієго купив 12 міні-кексів за $4,20.

    1. За цією швидкістю, скільки б Дієго заплатив за 4 міні-кекси?
    2. Скільки міні-кексів може купити Дієго за $3,00? Поясніть або покажіть свої міркування. Якщо ви застрягли, подумайте про використання таблиці.
    кількість міні-кексів ціна в доларах
    \(12\) \(4.20\)
    Таблиця\(\PageIndex{1}\)

    (Від блоку 2.4.2)