2.8: Галерея функцій

У цьому розділі ми розглянемо багато функцій, які ви знаєте і любите як функції$z$. Для кожного нам доведеться зробити чотири речі.

1. Визначте, як його обчислити.
2. Вкажіть гілку (при необхідності), вказавши її діапазон.
3. Вкажіть домен (з вирізом гілки, якщо необхідно), де він аналітичний.
4. Обчислити її похідну.

Найчастіше ми можемо обчислити похідні функції за допомогою алгебраїчних правил, таких як правило частки. При необхідності ми можемо використовувати рівняння Коші-Рімана або, в крайньому випадку, навіть визначення похідної як межі.

Перш ніж ми почнемо на галереї, ми визначаємо термін «ціла функція».

Визначення

Функція, яка є аналітичною в кожній точці комплексної площини, називається цілою функцією. Ми побачимо$e^z$$z^n$, що$\sin (z)$ всі цілі функції.

Галерея функцій, похідних і властивостей

Нижче наведено стислий список ряду функцій і їх складних похідних. Жодна з похідних вас не здивує. Ми також наведемо важливі властивості для деяких функцій. Докази для кожного наступні нижче.

1. $f(z) = e^z = e^x \cos (y) + ie^x \sin (y).$
   Домен = все$C$ ($f$є цілим).
   $f'(z) = e^z$.
2. $f(z) \equiv c$(константа)
   Домен = все$C$ ($f$є цілим).
   $f'(z) = 0$.
3. $f(z) = z^n$($n$ціле число$\ge 0$)
   Домен = все$C$ ($f$є цілим).
   $f'(z) = nz^{n - 1}$.
4. $P(z)$(многочлен)
   Багаточлен має вигляд$P(z) = a_n z^n + a_{n - 1} z^{n - 1} + ... + a_0$.
   Домен = все$C$ ($P(z)$є цілим).
   $P'(z) = na_n z^{n -1} + (n - 1)a_{n -1} z^{n - 1} + ... + 2 a_2 z + a_1.$
5. $f(z) = 1/z$
   Домен =$C$ - {0} (проколота площина).
   $f'(z) = -1/z^2.$
6. $f(z) = P(z)/Q(z)$(Раціональна функція)
   Коли$P$ і$Q$ є поліномами$P(z)/Q(z)$ називається раціональною функцією.
   Якщо припустити, що$P$ і не$Q$ мають спільних коренів, то:
   Domain =$C$ - {roots of$Q$}
   $f'(z) = \dfrac{P'Q - PQ'}{Q^2}.$
7. $\sin (z), \cos (z)$

   Визначення

   $\cos (z) = \dfrac{e^{iz} + e^{-iz}}{2}$,$\sin (z) = \dfrac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}$

   (За формулою Ейлера ми знаємо, що це відповідає$\cos (x)$ і$\sin (x)$ коли$z = x$ реально.)

   Домен: ці функції є цілими.
   $$\dfrac{d \cos (z)}{dz} = -\sin (z), \ \dfrac{d \sin (z)}{dz} = \cos (z).$$
   Інші ключові властивості sin і cos:
   
   -$\cos ^2 (z) + \sin ^2 (z) = 1$
   -$e^z = \cos (z) + i \sin (z)$
   - Періодичні в$x$ період$2\pi$, наприклад$\sin (x + 2\pi + iy) = \sin (x + iy)$.
   - Вони не обмежені!
   - У формі,$f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$ яку ми маємо
   $$\cos (z) = \cos (x) \cosh (y) - i \sin (x) \sinh (y) \\ \sin (z) = \sin (x) \cosh (y) + i \cos (x) \sinh (y)$$
   (кош і сінх визначені нижче.)
   - Нулі$\sin (z)$ є$z = n \pi$ для$n$ будь-якого цілого числа.
   Нулі$\cos (z)$ є$z = \pi /2 + n\pi$ для$n$ будь-якого цілого числа.
   (Тобто, вони мають тільки реальні нулі, про які ви дізналися в своєму триг. класі.)
8. Інші функції trig$\sec (z)$ і$\cot (z)$ т.д.

   Визначення

   Те саме, що і для реальних версій цих функцій, наприклад$\cot (z) = \cos (z) / \sin (z)$,$\sec (z) = 1/ \cos (z)$.

   Домен: Вся площина мінус нулі знаменника.
   Похідна: Обчислення за допомогою правила частки, наприклад
   $$\dfrac{d \tan (z)}{dz} = \dfrac{d}{dz} (\dfrac{\sin (z)}{\cos (z)}) = \dfrac{\cos (z) \cos (z) - \sin (z) (-\sin (z))}{\cos ^2 (z)} = \dfrac{1}{\cos ^2 (z)} = \sec ^2 z$$
   (Немає сюрпризів!)
9. $\sinh (z), \cosh (z)$(гіперболічний синус і косинус)

   Визначення

   $$\cosh (z) = \dfrac{e^z + e^{-z}}{2}, \ \ \sinh (z) = \dfrac{e^z - e^{-z}}{2}$$

   Домен: ці функції є цілими.
   $$\dfrac{d \cosh (z)}{dz} = \sinh (z), \ \dfrac{d \sinh (z)}{dz} = \cosh (z)$$
   Інші ключові властивості cosh і sinh:
   -$\cosh ^2 (z) - \sinh ^2 (z) = 1$
   - По-справжньому$x$,$\cosh (x)$ реально і позитивно,$\sinh (x)$ реально.
   -$\cosh (iz) = \cos (z)$,$\sinh (z) = -i \sin (iz).$
10. $\log (z)$(Див. розділ 1.)

    Визначення

    $$\log (z) = \log (|z|) + i \text{arg} (z).$$

    Відділення: Будь-яке відділення$\text{arg} (z)$.
    Домен:$C$ мінус вирізана гілка, де обрана гілка$\text{arg} (z)$ розривається.
    $$\dfrac{d}{dz} \log (z) = \dfrac{1}{z}$$
11. $z^a$(будь-який комплекс$a$) (Див. Тема 1.)

    Визначення

    $$z^a = e^{a \log (z)}.$$

    Відділення: Будь-яке відділення$\text{arg} (z)$.
    Домен: Як правило, домен$C$ мінус гілка вирізу журналу. Якщо$a$ ціле число,$\ge 0$ то$z^a$ є цілим. Якщо$a$ від'ємне ціле число$z^a$, то визначається і аналітично на$C$ - {0}.
    $$\dfrac{dz^a}{dz} = a z^{a - 1}.$$
12. $\sin ^{-1} (z)$

    Визначення

    $$\sin ^{-1} (z) = -i \log (iz + \sqrt{1 - z^2}).$$

    Визначення вибирається так, що$\sin(\sin ^{-1} (z)) = z$. Виведення формули відбувається наступним чином.
    Нехай$w = \sin ^{-1} (z)$, так$z = \sin (w)$. Потім,
    $$z = \dfrac{e^{iw} - e^{-iw}}{2i} \ \Rightarrow\ e^{2iw} - 2ize^{iw} - 1 = 0$$
    Рішення квадратичного в$e^{iw}$ дає
    $$e^{iw} = \dfrac{2iz + \sqrt{-4z^2 + 4}}{2} = iz + \sqrt{1 - z^2}.$$
    Беручи журнал дає
    $$iw = \log (iz + \sqrt{1 - z^2}) \ \Leftrightarrow \ w = - i \log (iz + \sqrt{1 - z^2}.$$
    З визначення ми можемо обчислити похідну:
    $$\dfrac{d}{dz} \sin ^{-1} (z) = \dfrac{1}{\sqrt{1 - z^2}}.$$
    Вибір гілки складний, оскільки і квадратний корінь, і колода вимагають вибору. Ми розглянемо це більш уважно в майбутньому.

    Наразі наступна дискусія та цифра для вашого розваги.

    Синус (так само косинус) не є функцією 1-1, тому, якщо ми$\sin ^{-1} (z)$ хочемо бути однозначними, то ми повинні вибрати область, де$\sin (z)$ 1-1. (Це буде гілка$\sin ^{-1} (z)$, тобто діапазон для зображення) На малюнку нижче показано домен, де$\sin (z)$ 1-1. Домен складається з вертикальної смуги$-\pi /2 < x < \pi /2$ разом$z = x + iy$ з двома променями на кордоні де$y \ge 0$ (показано червоними лініями). На малюнку показано, як регіони, що складають домен у$z$ -plane, зіставляються з квадрантами в$w$ -площині.

Малюнок$\PageIndex{1}$: Домен$z \mapsto w = \sin (z)$, де один до одного. (CC BY-NC; Уміти Кая)

докази

Тут ми доводимо хоча б деякі факти, викладені в списку трохи вище.

1. $f(z) = e^z$. Це було зроблено в прикладі 2.7.1 з використанням рівнянь Коші-Рімана.
2. $f(z) \equiv c$(Постійна). Цей випадок банальний.
3. $f(z) = z^n$($n$ціле число$\ge 0$): показати$f'(z) = nz^{n - 1}$
   Напевно, найпростіше використовувати визначення похідної безпосередньо. Перш ніж зробити це, ми відзначаємо факторизацію
   $$z^n - z_0^n = (z - z_0) (z^{n - 1} + z^{n - 2} z_0 + z^{n - 3} z_0^2 + ... + z^2 z_0^{n - 3} + zz_0^{n - 2} + z_0^{n - 1})$$
   Тепер
   $$\begin{array} {rcl} {f'(z_0)} & = & {\lim_{z \to z_0} \dfrac{f(z) - f(z_0)}{z - z_0} = \lim_{z \to z_0} \dfrac{z^n - z_0^n}{z - z_0}} \\ {} & = & {\lim_{z \to z_0} (z^{n - 1} + z^{n - 2} z_0 + z^{n - 3} z_0^2 + ... + z^2 z_0^{n - 3} + zz_0^{n - 2} + z_0^{n - 1}} \\ {} & = & {nz_0^{n - 1}.} \end{array}$$
   Оскільки ми показали безпосередньо, що похідна існує для всіх$z$, функція повинна бути цілою.
4. $P(z)$(многочлен). Оскільки многочлен - це сума мономов, формула похідної випливає з похідного правила для сум і відмінка$f(z) = z^n$. Точно так само факт$P(z)$ є цілим.
5. $f(z) = 1/z$. Це випливає з часткового правила.
6. $f(z) = P(z)/Q(z)$. Це також випливає з часткового правила.
7. $\sin (z)$,$\cos (z)$. Всі факти про$\sin (z)$ і$\cos (z)$ випливають з їх визначення з точки зору експоненціальних чисел.
8. Інші функції trig$\cot (z)$$\sec (z)$ тощо Оскільки всі вони визначені з точки зору cos і sin, всі факти про ці функції випливають з похідних правил.
9. $\sinh (z)$,$\cosh (z)$. Всі факти про$\sinh (z)$ і$\cosh (z)$ випливають з їх визначення з точки зору експоненціальних чисел.
10. $\log (z)$. Похідну від$\log (z)$ можна знайти, диференціюючи відношення$e^{\log (z)} = z$ за допомогою правила ланцюга. Нехай$w = \log (z)$, так$e^w = z$ і
    $$\dfrac{d}{dz} e^w = \dfrac{dz}{dz} = 1 \ \Rightarrow \ \dfrac{de^w}{dw} \dfrac{dw}{dz} = 1 \ \Rightarrow \ e^w \dfrac{dw}{dz} = 1 \ \Rightarrow \ \dfrac{dw}{dz} = \dfrac{1}{e^w}$$
    за допомогою$w = \log (z)$ ми отримуємо
    $$\dfrac{d \log (z)}{dz} = \dfrac{1}{z}.$$
11. $z^a$(Будь-який комплекс$a$). Похідна для цього випливає з формули
    $$z^a = e^{a \log (z)} \ \Rightarrow \ \dfrac{dz^a}{dz} = e^{a \log (z)} \cdot \dfrac{a}{z} = \dfrac{az^a}{z} = az^{a - 1}$$