3.1: Визначення інтеграла

Інтегралом, який ви вивчали в численні, є {}, названий на честь німецького математика, який забезпечив суворе формулювання інтеграла

замінити інтуїтивне поняття за рахунок і. З часів Рімана були визначені та вивчені інші види інтегралів; однак, всі вони є узагальненням інтеграла Рімана, і навряд чи можливо зрозуміти їх або оцінити причини їх розробки без ретельного розуміння інтеграла Рімана. У цьому розділі ми маємо справу з функціями, визначеними на скінченному інтервалі$[a,b]$. A {} - це набір підінтервалів\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.1.1} [x_0, x_1],\ [x_1, x_2],\ точок, [x_ {n-1}, x_n], \ end {рівняння}\] де\ [\ почати {рівняння}\ мітка {eq:3.1.2} a=x_0<x_1\ cdots<x_n=b. \ end {рівняння}\] Таким чином, будь-яка множина$n+1$ точок, що задовольняють, визначає розділ$P$ з$[a,b]$, які ми позначаємо\ [ P=\ {x_0, x_1,\ точки, x_n\}. \] Точки$x_0$,$x_1$,,$x_n$ є {} з$P$. Найбільшою з довжин підінтервалів є {} of$P$, записані як$\|P\|$; таким чином,\ [ \ |P\ |=\ max_ {1\ le i\ le n} (x_i-x_ {i-1}). \] Якщо$P$ і$P'$ є розділами$[a,b]$, то$P'$ є {}, якщо кожна точка розділу також$P$ є точкою поділу$P'$; тобто, якщо$P'$ буде отримано шляхом вставки додаткових точок між ними$P$. Якщо$f$ визначено на$[a,b]$, то сума\ [ \ sigma=\ sum_ {j=1} ^n f (c_j) (x_j-x_ {j-1}), \] де\ [ x_ {j-1}\ le c_j\ le x_j,\ quad 1\ le j\ le\ le n, \] є a. (Іноді ми скажемо простіше, що$\sigma$ це сума Рімана$f$ більше$[a,b]$.) Оскільки$c_j$ можна вибрати довільно в$[x_j,x_{j-1}]$, існує нескінченно багато сум Рімана для заданої функції$f$ над заданим розділом$P$.

Ми залишаємо це вам (Вправа ~), щоб показати, що$\int_a^b f(x)\,dx$ є унікальним, якщо воно існує; тобто не може бути більше одного числа,$L$ яке задовольняє визначенню ~.

Для стислості ми скажемо інтегровний» і «інтегральний», коли ми маємо на увазі Riemann інтегрований «і інтеграл Рімана». Сказати, що$\int_a^b f(x)\,dx$ існує, еквівалентно тому, що$f$ це інтегрується$[a,b]$.

-.3em Важливим застосуванням інтеграла, дійсно, того, який незмінно використовується для мотивації його визначення, є обчислення площі, обмеженої кривою$y=f(x)$,$x$ -віссю, і лініями$x=a$ і$x=b$ (``площа під кривою»), як на малюнку ~.

6пт

12 пт

Для простоти припустимо, що$f(x)>0$. Тоді$f(c_j)(x_j-x_{j-1})$ площа прямокутника з основою$x_j-x_{j-1}$ та висотою$f(c_j)$, тому суму Рімана\ [ \ sum_ {j=1} ^n f (c_j) (x_j-x_ {j-1}) \] можна інтерпретувати як суму площ прямокутників, пов'язаних з кривою$y=f(x)$, як показано на малюнку ~.

6пт

12 пт

Очевидно правдоподібний аргумент, що Ріман підсумовує наближення площі під кривою все ближче, коли кількість прямокутників збільшується, а найбільша їх ширина робиться меншою, здається, підтримує твердження, що$\int_a^b f(x)\,dx$ дорівнює площі під кривою. Цей аргумент корисний як мотивація для визначення ~, яке без цього здавалося б таємничим. Проте логіка невірна, так як заснована на припущенні, що площа під кривою раніше була визначена якимось іншим способом. Хоча це справедливо для певних кривих, таких як, наприклад, ті, що складаються з відрізків ліній або кругових дуг, загалом це не відповідає дійсності. Фактично, площа під більш складною кривою {} дорівнює інтегралу, якщо інтеграл існує. Те, що це нове визначення узгоджується зі старим, де застосовується останнє, є свідченням того, що інтеграл забезпечує корисне узагальнення визначення площі.

6пт

12 пт

6пт

12 пт

Ми покажемо, що якщо$f$ необмежений на$[a,b]$, то$P$ є будь-який розділ$[a,b]$, і$M>0$, то є суми Рімана$\sigma$ і$\sigma'$$f$ над$P$ такими, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.1.7} |\ sigma-\ sigma\ sigma'|\ ge M. \ end {рівняння}\] Ми залишаємо це вам (Вправа ~), щоб завершити доказ, показавши з цього, що$f$ не може задовольнити Визначення ~.

Нехай\ [ \ sigma=\ sum_ {j=1} ^nf (c_j) (x_j-x_ {j-1}) \] буде сумою Рімана$f$ над$P$ розділом$[a,b]$. Повинно бути ціле число$i$ в$\{1,2, \dots,n\}$ такому, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.1.8} |f (c) -f (c_i) |\ ge\ frac {M} {x_i-x_ {i-1}} \ end {рівняння}\] для деяких$c$, тому що якби цього не було, ми б мали\ [ |f (x) -f (c_j) |< c {M} {x_j-x_ {j-1}},\ квад x_ {j-1}\ ле х\ ле$[x_{i-1}x_i]$ x_j,\ квадрад 1\ ле j\ ле п. \] Потім\ [\ почати {еканаррай*} |ф (х) |\ ar=|f (c_j) +f (x) -f (c_j) |\ le|f (c_j) |+|f (x) -f (c_j) |\\ ar \ le |( c_j) |+\ розрив {M} {x_j-x_ {j-1}},\ квадрад x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j,\ квадрад 1\ ле j\ ле n. \ кінець {екнаррай*}\] що означає, що\ [ |f (x) |\ ле\ max_ {1\ ле j\ ле n} |f (c_j) |+\ frac М} { x_j -x_ {j-1}}, \ quad a\ le x\ le b, \] суперечать припущенню, що$f$ є необмеженим на$[a,b]$.

Тепер припустимо, що$c$ задовольняє, і розглянемо суму Рімана\ [ \ sigma'=\ sum_ {j=1} ^nf (c'_j) (x_j-x_ {j-1}) \] над тим же розділом$P$, де\ [ c'_j=\ left\ {\ casespace\ begin {масив} {ll} c_j, &j\ ne i,\\ c, &j=i.\ end {масив}\ право. \]

Так як\ [ |\ сигма-\ сигма'|=|f (c) -f (c_i) | (x_i-x_ {i-1}), \] має на увазі.

Через Theorem~ ми розглядаємо лише обмежені функції в решті частини цього розділу.

Щоб довести безпосередньо з Definition~, що$\int_a^b f(x)\,dx$ існує, необхідно так чи інакше виявити його значення$L$ та показати, що$L$ має властивості, необхідні визначенням. Для конкретної функції може статися так, що це можна зробити простим обчисленням, як у Прикладах ~ і. Однак це не так, якщо метою є пошук загальних умов, які означають, що це$\int_a^b f(x)\,dx$ існує. Наступний підхід дозволяє уникнути труднощів заздалегідь виявити$L$, не знаючи, чи існує він в першу чергу, і вимагає лише порівняння двох чисел, які повинні існувати, якщо вони$f$ обмежені$[a,b]$. Ми побачимо, що$\int_a^b f(x)\,dx$ існує тоді і лише тоді, коли ці два числа рівні.

Якщо$m\le f(x)\le M$ для all$x$ in$[a,b]$, то\ [ m (b-a)\ le s (P)\ le S (P)\ le M (b-a) \] для кожного розділу$P$; таким чином, множина верхніх сум$f$ над усіма розділами$P$$[a,b]$ обмежена, як і множина нижчих сум. Тому теореми~ і припускають, що$\overline{\int_a^b}f(x)\,dx$ і$\underline{\int_a^b}f(x)\,dx$ існують, є унікальними, і задовольняють нерівності\ [ m (b-a)\ le\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx\ le M (b-a) \] і\ [ m (b-a)\ le\ le\ підкреслюють {\ int_a^b} f (x)\, dx\ le M (b-a). \]

Якщо$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$, то\ [ S (P) =\ sum_ {j=1} ^n м_J (x_j-x_ {j-1}), \] де\ [ m_j=\ sup_ {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j} f (x). \] Довільна сума$f$ над Рімана$P$ має вигляд\ [\ sigma= \ sum_ {j=1} ^n f (c_j) (x_j-x_ {j-1}), \] де$x_{j-1}\le c_j\le x_j$. Так як$f(c_j)\le M_j$, випливає, що$\sigma\le S(P)$.

Тепер давайте$\epsilon>0$ і$\overline c_j$ вибираємо$[x_{j-1},x_j]$ так, що\ [ f (\ overline c_j) > m_j -\ frac {\ epsilon} {n (x_j-x_ {j-1})},\ quad 1\ le j\ le n.\] Сума Рімана, вироблена таким чином, є \ [ \ overline\ sigma =\ sum_ {j=1} ^n f (\ overline\ sigma=\ sum_ {j=1} ^n f (\ overline _j) (x_j-x_ {j-1}) >\ сума_ {j=1} ^n\ ліворуч [m_J-\ розриву {\ епсилон} { n (x_j-x_ {j-1})})\ право] (x_j-x_ {j-1}) =S (P) -\ епсилон. \] Тепер теорема ~ передбачає, що$S(P)$ це супремум множини сум Рімана$f$ понад$P$.

Вправа ~.

\ begin {приклад}\ rm Нехай\ [ f (x) =\ left\ {\ casespace\ begin {масив} {ll} 0&\ mbox {якщо $x$ нераціональний},\\ 1&\ mbox {якщо $x$ раціональний},\ end {масив}\ право. \] і$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ бути розділом$[a,b]$. Оскільки кожен інтервал містить як раціональні, так і ірраціональні числа (Теореми~ і),\ [ m_j=0\ mbox {\ quad і\ quad} m_j=1,\ quad 1\ le j \ le n.\] Отже,\ [\ begin {eqnarray*} S (P)\ ar=\ sum_ {j=1} ^n1\ cdot (x_j-x_ {j-1}) =б-а \\ масиву тексту {і}\\ s (P)\ ar=\ sum_ {j=1} ^n0\ cdot (x_j-x_ {j-1}) =0. \ end {eqnarray*}\] Оскільки всі верхні суми рівні$0$,$b-a$ а всі нижні суми рівні, визначення ~ означає, що \ [\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx=b-a\ mbox {\ quad і\ quad} \ підкреслення {\ int_a^b} f (x)\, dx=0. \]\ end {приклад}

Мотивацію до визначення ~ можна побачити, знову розглянувши ідею площі під кривою. Рисунок ~ показує графік додатної функції$y=f(x)$$a\le x\le b$,$[a,b]$ розділений на чотири підінтервали.

6пт

12 пт

Верхню та нижню суми$f$ над цим розділом можна інтерпретувати як суми площ прямокутників, здоланих суцільною та пунктирною лініями відповідно. Це вказує на те, що розумне визначення площі$A$ під кривою має допускати нерівності\ [ s (P)\ le A\ le S (P) \] для$P$ кожного розділу$[a,b]$. Таким чином,$A$ повинна бути верхня межа для всіх нижніх сум і нижня межа для всіх верхніх сум$f$ понад розділів$[a,b]$. Якщо\ [\ почати {рівняння}\ мітка {eq:3.1.11} \ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx=\ підкреслення {\ int_a^b} f (x)\, dx, \ end {рівняння}\]

є тільки одне число, загальне значення верхнього і нижнього інтегралів, з цією властивістю, і ми$A$ визначаємо як це число; якщо не тримає,$A$ то не визначено. Нижче ми побачимо, що це визначення площі відповідає визначенню, викладеному раніше в терміні сум Рімана.

{} є важливим узагальненням інтеграла Рімана. Ми визначаємо його тут, але обмежуємося вивченням його вправами в цьому та інших розділах цієї глави.

\ begin {список вправ}

Показати, що не може бути більше одного числа$L$, яке задовольняє визначенню ~.

2pt

Припустимо, що$\int_a^bf(x)\,dx$ існує і існує$A$ таке число, що для кожного$\epsilon>0$ і$\delta>0$ існує поділ$P$$[a,b]$ з$\|P\|<\delta$ і сума$\sigma$ Рімана$f$ над$P$, що задовольняє нерівність$|\sigma-A|<\epsilon$. Покажіть, що$\int_a^b f(x)\,dx=A$.

2pt

Доведіть безпосередньо з визначення ~ що\ [ \ int_a^b x^2\, dx=\ frac {b^3-a^3} {3}. \] Не варто заздалегідь припускати, що інтеграл існує. Доказом цього є частина проблеми.

2pt

Узагальнити доказ вправи ~, щоб показати безпосередньо з визначення~ що\ [ \ int_a^b x^m\, dx=\ frac {b^ {m+1} -a^ {m+1}} {m+1} \] якщо$m$ є цілим числом$\ge0$.

2pt

Доведіть безпосередньо з визначення~, що$f(x)$ інтегрується,$[a,b]$ якщо і тільки якщо$f(-x)$ інтегрується на$[-b,-a]$, і, в цьому випадку,\ [ \ int_a^b f (x)\, dx=\ int_ {-b} ^ {-a} f (-x)\, dx. \]

2pt

$f$Дозволяти бути обмежені на$[a,b]$ і нехай$P$ бути розділом$[a,b]$. Доведіть:$s(P)$ Нижня сума$f$ понад$P$ є infimum множини всіх Riemann сум$f$ понад$P$.

2pt$f$ Дозволяти визначатися на$[a,b]$ і нехай$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ бути розділом$[a,b]$.

Знайти$\underline{\int_0^1}f(x)\,dx$ і$\overline{\int_0^1}f(x)\,dx$ якщо

-.5ем

Враховуючи, що$\int_a^be^x\,dx$ існує, оцініть її за формулою\ [ 1+r+r^2+\ cdots+r^n=\ frac {1-r^ {n+1}} {1-r}\ quad (r\ ne1) \] для обчислення певних сум Рімана.

Враховуючи, що$\int_0^b\sin x \,dx$ існує, оцініть його за допомогою ідентичності\ [ \ cos (j-1)\ theta-\ cos (j+1)\ theta = 2\ sin\ theta\ sin j \ theta\] для обчислення певних сум Рімана.

Враховуючи, що$\int_0^b\cos x\,dx$ існує, оцініть його за допомогою ідентичності\ [ \ sin (j+1)\ theta-\ sin (j-1)\ theta = 2\ sin\ theta\ cos j \ theta\] для обчислення певних сум Рімана.

Показати, що якщо$g(x)=x+c$ ($c$=константа), то$\int_a^b f(x)\,dg(x)$ існує, якщо і тільки якщо$\int_a^bf(x)\,dx$ існує, і в цьому випадку \ [\ int_a^b f (x)\, dg (x) =\ int_a^bf (x)\, dx. \]

Припустимо, що$-\infty<a<d<c<\infty$ і\ [ g (x) =\ left\ {\ casespace\ begin {масив} {ll} g_1, &a<x<d,\\ g_2, &d<x<b,\ end {масив}\ право. \ mbox {($g_1, g_2=$ константи), \ quad} \] і нехай$g(a)$$g(b)$, і$g(d)$ бути довільним. Припустимо,$f$ що визначено на$[a,b]$, безперервний з правого$a$ і лівого на$b$, і безперервний в$d$. Покажіть, що$\int_a^b f(x)\,dg(x)$ існує, і знайдіть його значення.

Припустимо$-\infty<a=a_0<a_1<\cdots<a_p=b<\infty$, що, нехай$g(x)=g_m$ (константа) на$(a_{m-1},a_m)$$1\le m\le p$, і нехай$g(a_0)$,,$g(a_1)$,$g(a_p)$ бути довільним. Припустимо, що$f$ визначається на$[a,b]$, безперервний з правого$a$ і лівого на$b$, і безперервний в$a_1$,$a_2$,,$a_{p-1}$. Оцінити$\int_a^bf(x)\,dg(x)$.

Для випадку, коли$g$ не$f$ зменшується і обмежений$[a,b]$, визначте верхній і нижній інтеграли Рімана — Штілтьєса у спосіб, аналогічний Definition~.

\ end {список вправ}

Наступна лема є відправною точкою для нашого дослідження інтегровності обмеженої функції$f$ на замкнутому інтервалі$[a,b]$.

Ми доведемо і залишимо вам докази (Вправа ~). Спочатку припустимо$r=1$, що, так$P'$ виходить шляхом додавання однієї точки$c$ до розділу$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$; потім$x_{i-1}<c<x_i$ для деяких$i$ в$\{1,2, \dots,n\}$. Якщо$j \ne i$, товар$M_j(x_j-x_{j-1})$ з'являється в обох$S(P)$$S(P')$ і скасовується з різниці$S(P)-S(P')$. Отже, якщо\ [ M_ {i1} =\ sup_ {x_ {i-1}\ ле х\ ле c} f (x)\ mbox {\ квадрад і\ quad} M_ {i2} =\ sup_ {c\ le x\ le x_i} f (x),\] потім\ [\ почати {рівняння} \ мітка {eq:3.2.4}\ почати {масив} {rcl} S (P) -S (P ') \ ar=м_i (x_i-x_ {i-1}) -М_ {i1} (с-х_ {i-1}) -М_ {i2} (x_i-c)\\ [2\ jot] \ ar =( M_i-M_ {i1}) (с-х_ {i-1}) + (М_М_М_ {i1}) + (М_М_ {i-1}) + (М_М_М_ {i1}) + (М_М_М_ {i1}) + (М_М_ _ {i2} ) (x_i-c). \ end {масив} \ end {рівняння}\] З випливає, що\ [ 0\ le M_i-M_ {ir}\ le2m,\ quad r=1,2, \] означає, що\ [ 0\ le S (P) -S (P ')\ le2m (x_i-x_ {i-1})\ le2m\ |P\ |. \] Це доводить для$r=1$.

Тепер припустимо,$P'$ що$r>1$ і виходить шляхом додавання балів$c_1$$c_2$,,,$c_r$ до$P$. Дозволяти$P^{(0)}=P$ і$j\ge1$, для, нехай$P^{(j)}$ буде розділ$[a,b]$ отриманих шляхом додавання$c_j$ в$P^{(j-1)}$. Тоді результат щойно доведений означає, що\ [ 0\ le S (P^ {(j-1)}) -S (P^ {(j)})\ le2m\ |P^ {(j-1)}\ |,\ quad 1\ le j\ le r. \]

Додавання цих нерівностей та врахування скасування дає\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.2.5} 0\ le S (P^ {(0)}) -S (P^ {(r)})\ le2m (\ |P^ {(0)}\ |+\ |P^ {(1)}\ |+\ cdots+\ |||{ (r-1} |). \ end {рівняння}\] Оскільки$P^{(0)}=P$$P^{(r)}=P'$, і$\|P^{(k)}\|\le\|P^{(k-1)}\|$ для$1\le k\le r-1$, означає, що\ [ 0\ le S (P) -S (P ')\ le 2Mr\ |P\ |, \] що еквівалентно.

Припустимо, що$P_1$ і$P_2$ є розділами$[a,b]$ і$P'$ є доопрацюванням обох. $P=P_1$Введення і$P=P_2$ введення показує, що\ [ s (P_1)\ le s (P ')\ mbox {\ quad і\ quad} S (P')\ le S (P_2). \] Оскільки це означає$s(P')\le S(P')$, що$s(P_1)\le S(P_2)$. Таким чином, кожна нижня сума є нижньою межею множини всіх верхніх сум. Оскільки$\overline{\int_a^b}f(x)\,dx$ це інфімум цього набору, то випливає, що\ [ s (P_1)\ le\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx \] для$P_1$ кожного розділу$[a,b]$. Це означає, що$\overline{\int_a^b} f(x)\,dx$ є верхньою межею для набору всіх нижніх сум. Оскільки$\underline{\int_a^b} f(x)\,dx$ це супремум цього набору, це означає.

Ми це$\overline{\int_a^b}f(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx$ доводимо і залишаємо це вам, щоб показати це$\underline{\int_a^b}f(x)\,dx=\int_a^bf(x)\,dx$ (Вправа ~).

Припустимо, що$P$ це поділ$[a,b]$ і$\sigma$ є Riemann сума$f$ більше$P$. Так як\ [\ почати {екнаррай*} \ оверлайн {\ int_a^b} f (x)\, dx-\ int_a^b f (x)\, dx\ ar= \ лівий (\ overline {\ int_a^b} f (x)\, DX-s (P)\ праворуч) + (S (P) -\ сигма) \ [2\ jot] &&+\ ліворуч (\ сигма-\ int_a^b f (x)\ dx\ праворуч), \ end {екнаррай*}\]

нерівність трикутника означає, що\ [\ begin {рівняння} \ мітка {eq:3.2.7} \ begin {масив} {rcl}\ dst {\ left|\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx\ right|}\ ar\ le \ dst {\ left|\ overline {\ int_a^b} f (x)\, DX-s (P)\ праворуч |+|S (P) -\ сигма|} \\ [2\ jot] &+\ dst {\ ліворуч |\ сигма-\ int_a^b f (x)\ dx\ праворуч |} . \ end {масив} \ end {рівняння}\] Тепер припустимо, що$\epsilon>0$. З визначення~ існує$[a,b]$ такий розділ$P_0$, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.2.8} \ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx\ le S (P_0) < \ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx+\ frac {\ epsilon} {3}. \ end {рівняння}\] З визначення~ існує$\delta>0$ таке, що\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.2.9} \ left|\ сигма-\ int_a^bf (x)\, dx\ right|<\ frac {\ epsilon} {3} \ end {рівняння}\] якщо$\|P\|<\delta$. Тепер припустимо, що$\|P\|<\delta$ і$P$ є доопрацюванням$P_0$. Оскільки з Лемма~, мається$S(P)\le S(P_0)$ на увазі, що \ [\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx\ le S (P) < \ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx+\ frac {\ epsilon} {3}, \] так\ [\ почати {рівняння}\ мітка {eq:3.2.10} \ left|s (P) -\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx\ right|<\ frac {\ epsilon} {3} \ end {рівняння}\] на додаток до. Тепер, і припускаємо, що\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:3.2.11} \ ліворуч |\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx-\ int_a^b f (x)\, dx \ right|<\ frac {2\ epsilon} {3} +|S (P) -\ sigma | \ кінець {рівняння}\] для кожна сума$\sigma$ Рімана$f$ більше$P$. Оскільки$S(P)$ це супремум цих сум Рімана (Теорема~), ми можемо вибрати$\sigma$ так, що\ [ |S (P) -\ sigma|<\ frac {\ epsilon} {3}. \] Тепер мається на увазі, що \ [\ left|\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx-\ int_a^b f (x)\, dx\ right|< \ epsilon. \] Оскільки$\epsilon$ є довільним додатним числом, то випливає, що \ [\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx=\ int_a^b f (x)\, dx. \] - 6,5 х 6,5 екс

Ми показуємо, що тримає, якщо$\|P\|$ достатньо мало, а решту доказів залишаємо вам (Вправа ~).

Перша нерівність у випливає одразу з Визначення ~. Щоб встановити другу нерівність, припустимо, що$|f(x)|\le K$ якщо$a\le x\le b$. З визначення~ існує$[a,b]$ такий розділ$P_0= \{x_0,x_1, \dots,x_{r+1}\}$, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.2.13} S (P_0) <\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx+\ frac {\ epsilon} {2}. \ end {рівняння}\] Якщо$P$ є будь-яким розділом$[a,b]$,$P'$ нехай будується з точок поділу$P_0$ і$P$. Потім\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.2.14} S (P ')\ le S (P_0), \ end {рівняння}\] Лемма~. Оскільки$P'$ виходить шляхом додавання в більшості$r$ точок до$P$, Lemma~ означає, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.2.15} S (P ')\ ge S (P) -2Kr\ |P\ |. \ end {рівняння}\] Тепер, і мають на увазі, що\ [\ почати {екнаррай*} S (P)\ ar\ le S (P ') +2Kr\ |P\ |\ \ ar\ le S (P_0) +2Кр\ |P\ |\ &<&\\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx+\ frac {\ epsilon} {2} +2Кр\ |П\ |. \ end {екнаррай*}\] Отже, утримує, якщо\ [ \ |P\ |<\ delta=\ frac {\ epsilon} {4Kr}. \] - 4.5х4.5х

Якщо$\epsilon>0$, є$\delta>0$ таке, що\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.2.18} \ підкреслюють {\ int_a^b} f (x)\, dx-\ epsilon<s (P)\ ле S (P) < \ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx+\ epsilon \ end {рівняння}\] якщо$\|P\|<\delta$ (Lemma~). Якщо$\sigma$ це сума Рімана$f$ більше$P$, то\ [ s (P)\ le\ sigma\ le S (P),\] так і мають на увазі, що\ [ L-\ epsilon<\ sigma<l+\ epsilon \] якщо$\|P\|<\delta$. Тепер визначення ~ має на увазі.

Теореми~ і мають на увазі наступну теорему.

Наступна теорема переводить це в тест, який можна зручно застосувати.

Ми залишаємо це вам (Вправа ~), щоб показати, що якщо$\int_a^b f(x)\,dx$ існує, то тримає$\|P\|$ досить малий. З цього випливає, що заявлена умова необхідно для інтегруваності. Щоб показати, що це достатньо, ми спостерігаємо, що оскільки\ [ s (P)\ le\ підкреслюють {\ int_a^b} f (x)\, dx\ le\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx\ le S (P) \] для всіх$P$, означає, що\ [ 0\ le\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx-\ підкреслення {\ int_a^b} f (x)\, dx< \ epsilon. \] Оскільки$\epsilon$ може бути будь-яке додатне число, це означає, що \ [\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx=\ підкреслювати {\ int_a^b} f (x)\, dx. \] Отже,$\int_a^b f(x)\,dx$ існує, за теоремою~.

Наступні дві теореми є важливими додатками теореми ~.

$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$Дозволяти бути перегородкою$[a,b]$. Оскільки$f$ є безперервним на$[a,b]$, є точки$c_j$ і$c'_j$ в$[x_{j-1},x_j]$ таких, що\ [f (c_j) =M_J=\ sup_ {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j} f (x) \] і\ [ f (c'_j) =m_j=\ inf_ {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j} f (x) \] (Теорем ~). Тому\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:3.2.20} S (P) -s (P) =\ sum_ {j=1} ^n\ ліворуч [f (c_j) -f (c'_j)\ праворуч] (x_j-x_ {j-1}). \ end {рівняння}\] Оскільки$f$ є рівномірно безперервним на$[a,b]$ (Теорема ~), існує для кожного$\epsilon>0$$\delta>0$ таке, що\ [ |f (x') -f (x) |<\ frac {\ epsilon} {b-a} \] якщо$x$ і$x'$ знаходяться в$[a,b]$ і$|x-x'|<\delta$. Якщо$\|P\|<\delta$, то$|c_j-c'_j|<\delta$ і, з,\ [ S (P) -s (P) <\ frac {\ epsilon} {b-a} \ sum_ {j=1} ^n (x_j-x_ {j-1}) =\ epsilon. \] Отже,$f$ інтегрується на$[a,b]$, за теоремою ~.

$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$Дозволяти бути перегородкою$[a,b]$. Так як$f$ не зменшується,\ [\ почати {екнаррай*} f (x_j)\ ar=m_j=\ sup_ {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j} f (x) \\\ масив {і}\\ f (x_ {j-1})\ ar=m_j=\ inf_ {x_ {j-1} _j} ф (х). \ end {еканаррай*}\] Отже,\ [ S (P) -s (P) =\ sum_ {j=1} ^n (f (x_j) -f (x_ {j-1})) (x_j-x_ {j-1}). \] Починаючи з$0<x_j-x_{j-1}\le \|P\|$ і$f(x_j)-f(x_{j-1})\ge0$,\ [\ почати {екнаррай*} S (P) -s (P)\ ar\ le\ |P\ |\ сума {j=1} ^n (f (x_j) -f (x_ {j-1}))\ \ ar=\ |P\ | (f (b) -f (a)). \ end {еканонрай*}\]

Отже,\ [ S (P) -s (P) <\ epsilon\ mbox {\ quad, якщо\ quad} \ |P\ | (f (b) -f (a)) <\ epsilon, \] так$f$ можна інтегрувати$[a,b]$, за теоремою~.

Доказ незбільшення$f$ аналогічний.

Ми також будемо використовувати Theorem~ у наступному розділі для встановлення властивостей інтеграла. У розділі ~ 3.5 ми вивчимо більш загальні умови інтеграції.

Тепер ми використовуємо результати Розділів ~ 3.1 та 3.2 для встановлення властивостей інтеграла. Ви, напевно, знайомі з більшістю цих властивостей, але не з їх доказами.

4 пт

Будь-яка сума Рімана$f+g$ над$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ розділом$[a,b]$ може бути записана як\ [ \ begin {масив} {rcl} \ sigma_ {f+g}\ ar=\ dst {\ sum_ {j=1} ^n}\, [f (c_j) +g (c_j)] (x_j-x_ {j-1})\\ [2\ j-j-1}\ ar=\ dst\ сума _ {j=1} ^n}\, f (c_j) (x_j-x_ {j-1}) + \ dst {\ сума {j=1} ^n}\, г (c_j) (x_j-x_ {j-1})\\ [2\ jot] \ ar=\ сигма_ f+\ sigma_g, \ end {масив} \] де$\sigma_f$ і$\sigma_g$ є суми Рімана для$f$ і$g$. Визначення~ означає, що якщо$\epsilon>0$ є позитивні числа$\delta_1$ і$\delta_2$ такі, що\ [\ begin {eqnarray*} \ ліворуч |\ sigma_f-\ int_a^b f (x)\, dx\ right|\ ar<\ frac {\ epsilon} {2} \ mbox {\ quad, якщо\ quad}\ |P\ |<\ delta_1 \\ arraytext {} \\\ вліво |\ сигма_г-\ int_a^b г (х)\, дх\ праворуч |\ ar<\ frac {\ epsilon} {2} \ mbox {\ квад, якщо\ квад}\ |P\ |<\ delta_2. \ end {екнаррай*}\] Якщо$\|P\|<\delta=\min(\delta_1,\delta_2)$, то\ [\ почати {екнаррай*} \ ліворуч |\ сигма_ {f+g} -\ int_a^b f (x)\, dx-\ int_a^b g (x)\, дх\ праворуч | \ ar=\ ліворуч (\ sigma_f-\ int_a^b f\), ДХ\ вправо) +\ ліворуч ( \ sigma_g-\ int_a^b g (x)\, dx\ праворуч)\\ праворуч |\\ ar \ ле\ ліво|\ sigma_f-\ int_a^b f (x)\, dx\ праворуч | + \\ ліво|\ sigma_g-\ int _a^b g (x)\, dx\ right|\\ &<&\ frac {\ epsilon} {2} +\ frac {\ epsilon} {2} =\ epsilon, \ end {eqnarray*}\] тому висновок випливає з визначення~.

Наступна теорема також випливає з визначення ~ (Вправа ~).

Теореми~ та та індукція дають наступний результат (Вправа ~).

Оскільки$g(x)-f(x)\ge0$ кожна нижча сума$g-f$ над будь-яким розділом$[a,b]$ є невід'ємною. Тому\ [ \ підкреслювати {\ int_a^b} (g (x) -f (x))\, dx\ ge0. \] Отже,\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:3.3.2} \ почати {масив} {rcl} \ dst\ int_a^b g (x)\, dx-\ int_a^b f (x)\, dx\ ar=\ dst\ int_a^b (g (x) -f (x))\, dx\\ [2\ jot] \ ar=\ dst\\ підкреслення {\ int_a^b} (g (x) -f (x))\, dx\ ge0, \ end {масив} \ end {рівняння}\] який дає. (Перша рівність у випливає з теорем ~ і; друга, з теореми ~.)

Дозволяти$P$ бути розділом$[a,b]$ і визначити\ [\ begin {eqnarray*} m_j\ ar=\ sup\ набір {f (x)} {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j},\\ m_j \ ar=\ inf\ set {f (x)} {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j}, \\\ overline {M} j\ ar=\ sup\ набір {|f (x) |} {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j},\ \ оверлайн {м} _j\ ar=\ inf\ set {|f (x) |} {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j}. \ end {eqnarray*}\] Потім\ [\ почати {рівняння} \ мітка {еква:3.3.4} \ почати {масив} {rcl}\ оверлайн {M} _j-\ ar= \ dst\ sup\ set {|f (x) |-|f (x) |} {x_ {j-1}\ ле x, x '\ le x' j}\\ ar \ ле\ dst\ sup\ set {|f (x) -f (x') |} {x_ {j-1}\ ле x, x'\ le x_j}\ \ ar=m_j-m_j. \ end {масив} \ кінець {рівняння}\] Тому\ [ \ overline {S} (P) -\ overline {s} (P)\ le S (P) -s (P), \] де верхня і нижня суми ліворуч пов'язані з,$|f|$ а ті, що знаходяться праворуч, пов'язані з$f$. Тепер припустимо, що$\epsilon>0$. Оскільки$f$ інтегрується на$[a,b]$, Теорема ~ передбачає, що існує розділ$P$$[a,b]$ такого, що$S(P)-s(P)<\epsilon$. Це нерівність і означає, що$\overline S(P)-\overline s(P)<\epsilon$. Тому$|f|$ інтегрується$[a,b]$, знову ж таки за теоремою ~.

Так як\ [ f (x)\ le|f (x) |\ mbox {\ квад і\ квад} -f (x)\ le|f (x) |,\ квад а\ ле х\ ле б, \]

Теореми~ і мають на увазі, що \ [\ int_a^b f (x)\, dx\ le\ int_a^b|f (x) |\, dx\ mbox {\ quad і} -\ int_a^b f (x)\, dx\ le\ int_a^b|f (x) |\, dx, \] що випливає.

Ми розглядаємо випадок, коли$f$ і$g$ є ненегативними, а решту доказів залишаємо вам (Вправа ~). Індекси$f$$g$, а$fg$ в наступному аргументі ідентифікують функції, з якими пов'язані різні величини. Ми припускаємо,$g$ що$f$ ні ні однаково нуль$[a,b]$ включений, так як висновок очевидний, якщо один з них є.

Якщо$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ є розділом$[a,b]$, то\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.3.5} S_ {fg} (P) -s_ {fg} (p) =\ sum_ {j=1} ^n (M_ {fg, j} -m_ {fg, j}) (x_j-x_ {j-1}). \ end {рівняння}\] Оскільки$f$ і$g$ є невід'ємними,$M_{fg,j}\le M_{f,j}M_{g,j}$ і$m_{fg,j}\ge m_{f,j}m_{g,j}$. Отже,\ [\ почати {еканаррай*} М_ {фг, j} -м_ {фг, j}\ ар\ ле М_ {ф, j} М_ {г, j} -м_ {f, j} m_ {g, j}\\ [2\ jot] \ ar= (M_ {f, j} -м_ {f, j}) M_ {g, j} +m_ {f, j} (M_ {g, j} - m_ {g, j})\\ [2\ жот] \ ар\ ле м_г (M_ {f, j} -m_ {f, j}) +m_f (M_ {g, j} -m_ {g, j}), \ end {earray*}\] де$M_f$ і$M_g$ є верхніми межами для$f$ і$g$ далі$[a,b]$. Від і останньої нерівності,\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:3.3.6} S_ {fg} (P) -s_ {fg} (P)\ le m_g [S_f (P) -s_f (P)] +m_f [s_g (P) -s_g (P)]. \ end {рівняння}\] Тепер припустимо, що$\epsilon>0$. Теорема~ передбачає, що існують розділи$P_1$ і$P_2$$[a,b]$ таких, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.3.7} S_f (P_1) -s_f (P_1) <\ frac {\ epsilon} {2m_g}\ mbox {\ quad} S_g (P_2) -s_g (P_2) <\ frac {\ epsilon {\ frac {\ epsilon силон} {2m_f}. \ end {рівняння}\] Якщо$P$ є уточненням обох$P_1$ і$P_2$, то і Лемма~ припускають, що\ [ s_f (P) -s_f (P) <\ frac {\ epsilon} {2m_g}\ mbox {\ quad і\ quad} s_g (P) -s_g (P) <\ frac {\ epsilon} {2m_f}. \] Це і вихід\ [ S_ {fg} (P) -s_ {fg} (P) <\ frac {\ epsilon} {2} +\ frac {\ epsilon} {2} =\ epsilon. \] Отже,$fg$ інтегрується$[a,b]$ по теоремі ~.

3pt З теореми ~,$u$ інтегрується на$[a,b]$. Тому теорема ~ передбачає, що інтеграл зліва існує. Якщо$m=\min\set{u(x)}{a\le x\le b}$ і$M=\max\set{u(x)}{a\le x\le b}$ (згадати теорему ~), то\ [ m\ le u (x)\ le M \] і, так як$v(x)\ge0$,\ [ mv (x)\ le u (x) v (x)\ le Mv (x). \] Тому теореми~ і мають на увазі, що 2pt\ [\ begin {рівняння}\ label {еква:3.3.9} м\ int_a^b v (x)\, dx\ le\ int_a^b u (x) v (x)\, dx\ le M\ int_a^b v (x)\, dx. \ end {рівняння}\] 2pt Це означає, що тримає для будь-якого$c$ в$[a,b]$ if$\int_a^b v(x)\,dx=0$. Якщо$\int_a^b v(x)\,dx\ne0$, нехай 1pt\ [\ почати {рівняння}\ мітка {eq:3.3.10} \ overline {u} =\ frac {\ dst\ int_a^b u (x) v (x)\, dx} {\ dst\ int_a^bv (x)\, dx} \ end {рівняння}\] 1pt Оскільки$\int_a^b v(x)\,dx>0$ в цьому випадку (чому?) , Має на увазі$m\le\overline{u}\le M$, що, і теорема проміжного значення (Теорема ~) означає, що$\overline{u}=u(c)$ для деяких$c$ в$[a,b]$. Це має на увазі.

1pt Якщо$v(x)\equiv1$, то зменшується до\ [\ overline {u} =\ frac {1} { b-a}\ int_a^b u (x)\, dx,\] так$\overline{u}$ це середнє значення$u(x)$ більше$[a,b]$. Більш загально, якщо будь-яка$v$ невід'ємна інтегровна функція така$\int_a^b v(x)\,d x\ne0$, що, то$\overline{u}$ in є {}. Теорема ~ говорить, що безперервна функція передбачає будь-яке таке середнє зваження в певний момент$[a,b]$.

3пт

Припустимо, що$\epsilon>0$. З теорема~ існує$[a,b]$ такий розділ$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.3.11} S (P) -s (P) =\ sum_ {j=1} ^n (M_J-m_J) (x_j-x_ {j-1}) <\ epsilon. \ end {рівняння}\] Ми можемо припустити, що$a_1$ і$b_1$ є точками поділу$P$, тому що якщо ні, вони можуть бути вставлені для отримання уточнення$P'$ такого, що$S(P')-s(P')\le S(P)-s(P)$ (Lemma~). Нехай$a_1=x_r$ і$b_1=x_s$. Оскільки кожен член в невід'ємний,\ [ \ sum_ {j=r+1} ^s (M_J-m_J) (x_j-x_ {j-1}) <\ epsilon. \] Таким чином,$\overline{P}=\{x_r,x_{r+1}, \dots,x_s\}$ є розділом,$[a_1,b_1]$ над яким$f$ задовольняються верхня і нижня суми\ [ S (\ overline {P}) -s (\ overline {P}) <\ epsilon. \] Отже,$f$ інтегрується$[a_1,b_1]$ по теоремі ~.

Ми залишаємо вам доказ наступної теореми (Вправа ~).

Поки що ми визначили$\int_\alpha^\beta f(x)\,dx$ лише для випадку, коли$\alpha<\beta$. Тепер визначаємо\ [ \ int_\ бета^\ альфа f (x)\, dx=-\ int_\ альфа^\ бета f (x)\, dx \] if$\alpha<\beta$, і\ [ \ int_\ альфа^\ альфа f (x)\, dx=0. \] З цими конвенціями, тримає незалежно від відносного порядку, і, за умови$a$$b$$c$, що$f$ інтегрується на деякому замкнутому інтервалі, що містить їх (Exercise~).

Теорема ~ і ці визначення дозволяють нам визначити функцію $ F (x) =_c^x f (t), dt$, де$c$ є довільною, але фіксованою точкою$[a,b]$.

Якщо$x$ і$x'$ знаходяться в$[a,b]$, то\ [ F (x) -F (x') =\ int_c^x f (t)\, dt-\ int_c^ {x'} f (t)\, dt=\ int_ {x'} ^x f (t)\, dt, \] Теорема~ і тільки що прийняті конвенції. Так як$|f(t)|\le K$$(a\le t\le b)$ для деякої константи$K$, \ [\ left|\ int_ {x '} ^x f (t)\, dt\ right|\ le K|x-x'|,\ ле х,\ ле б \] (Теорема ~), так\ [ |F (x) -F (x) |\ le k|x-x'|,\ quad a\ le x,\ x'\ ле б. \] -2em2em

Ми розглядаємо випадок, коли$a<x_0<b$ і залишимо решту вам (Вправа ~). Так як\ [ \ frac {1} {x-x_0}\ int_ {x_0} ^x f (x_0)\, dt=f (x_0), \] ми можемо записати \ [\ frac {F (x) -F (x_0)} {x-x_0} -f (x_0) =\ frac {1} {x-x_0} _ {x_0} ^x [f (t) -f (x_0)]\, дт. \] З цього і теорема~,\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:33.13} \ ліворуч |\ frac {F (x) -F (x_0)} {x-x_0} -f (x_0)\ право|\ le\ frac {1} {|x-x_0|} \ left|\ int_ {x_0} ^x |f (t) -f (x_0) |\, dt\ праворуч |. \ end {рівняння}\] (Навіщо нам потрібні бруски абсолютних значень поза інтегралом?) Оскільки$f$ є безперервним at$x_0$, існує для кожного$\epsilon>0$$\delta>0$ таке, що\ [ |f (t) -f (x_0) |<\ epsilon\ mbox {\ quad якщо\ quad} |x-x_0|<\ delta \] і$t$ знаходиться між$x$ і$x_0$. Тому з,\ [ \ ліворуч |\ frac {F (x) -F (x_0)} {x-x_0} -f (x_0)\ праворуч |<\ epsilon \ frac {|x-x_0|} { |x-x_0|} =\ epsilon\ mbox {\ квад, якщо\ квад} 0<x-x_0|<\ дельта. \] Отже,$F'(x_0)=f(x_0)$.

Наступна теорема стосується інтеграції та диференціації іншим способом.

Якщо$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ є розділом$[a,b]$, то\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.3.15} F (b) -F (a) =\ sum_ {j=1} ^n (F (x_j) -F (x_ {j-1})). \ end {рівняння}\] З теореми~, в кожному відкритому інтервалі$(x_{j-1},x_j)$ є$c_j$ така точка, що\ [ F (x_j) -F (x_ {j-1}) =f (c_j) (x_j-x_ {j-1}). \]

Отже, можна записати як\ [ F (b) -F (a) =\ sum_ {j=1} ^nf (c_j) (x_j-x_ {j-1}) =\ сигма, \] де$\sigma$ є сума Рімана для$f$ понад$P$. Оскільки$f$ інтегрується на$[a,b]$, для кожного існує$\epsilon>0$$\delta>0$ такий, що\ [ \ left|\ sigma-\ int_a^b f (x)\, dx\ right|<\ epsilon\ mbox {\ quad якщо\ quad} \ |P\ |<\ дельта. \] Отже,\ [ \ Left|F (b) -F (a) -\ int_a^b f (x)\, dx\ right|<\ epsilon \] для кожного$\epsilon>0$, що випливає.

Застосувати теорему ~ з$F$ і$f$ замінити на$f$ і$f'$, відповідно.

Функція$F$ є {} від$f$ on,$[a,b]$ якщо$F$ є неперервною$[a,b]$ і диференційованою$(a,b)$, з\ [ F' (x) =f (x),\ quad a<x<b. \] Якщо$F$ є антипохідною від$f$ on$[a,b]$, то так і$F+c$ для будь-якої константи$c$. І навпаки, якщо$F_1$ і$F_2$ є антипохідними від$f$ on$[a,b]$, то$F_1-F_2$ є постійною на$[a,b]$ (теорема_{). Теорема} показує, що антипохідні можуть бути використані для оцінки інтегралів.

Функція$F_0(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ є неперервною$[a,b]$ по теоремі ~, а$F_0'(x) =f(x)$ далі$(a,b)$ по теоремі ~. Тому$F_0$ є антипохідним від$f$ на$[a,b]$. Тепер нехай$F=F_0+c$ ($c=$константа) бути довільним антипохідним від$f$ on$[a,b]$. Потім -2пт\ [ F (b) -F (a) =\ int_a^b f (x)\, дх+c-\ int_a^a f (x)\, дх-с =\ int_a^b f (x)\, dx. \] - 2,5 м 2,5 ем

При застосуванні цієї теореми ми будемо використовувати знайомі позначення\ [ F (b) -F (a) =F (x)\ bigg|^b_a. \]

Оскільки$u$ і$v$ є неперервними$[a,b]$ (Теорема ~), вони інтегруються на$[a,b]$. Тому теореми~ і мають на увазі, що функція\ [ (uv) '=u'v+uv' \] інтегрується$[a,b]$, а теорема~ передбачає, що\ [ \ int_a^b [u (x) v' (x) +u' (x) v (x)]\, dx=u (x) v (x) v (x)\ big|^b_a, \] що випливає.

Ми будемо використовувати Theorem~ тут і в наступному розділі, щоб отримати інші результати.

Оскільки$f$ диференційовний на$[a,b]$, він є безперервним$[a,b]$ (Теорема ~). Оскільки$g$ є безперервним$[a,b]$, так і є$fg$ (Теорема ~). Тому теорема ~ означає, що інтеграли існують. Якщо\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.3.18} G (x) =\ int_a^x g (t)\, dt, \ end {рівняння}\] то$G'(x)=g(x),\ a<x<b$ (Теорема~). Тому теорема ~ з$u=f$ і$v=G$ дає\ [\ begin {рівняння}\ мітка {еква:3.3.19} \ int_a^b f (x) g (x)\, dx=f (x) G (x) G (x)\ big|^b_a-\ int_a^b f' (x) G (x)\, dx. \ end {рівняння}\] Оскільки$f'$ є невід'ємним і$G$ неперервним, Теорема~ передбачає, що\ [\ begin {рівняння} \ label {eq:3.3.20}\ int_a^b f' (x) G (x)\, dx = g (c)\ int_a^b f' (x)\, dx \ end {рівняння}\]

для деяких$c$ в$[a,b]$. З віночка ~,\ [ \ int_a^b f' (x)\, dx=f (b) -f (a). \] З цього і, можна переписати як\ [ \ int_a^b f' (x) G (x)\, dx =( f (b) -f (a))\ int_a^c g (x)\, dx. \] Підставляючи це на і зазначаючи, що$G(a)=0$ дає\ [\ begin {екнаррай*} \ int_a^b f (x) g (x)\, dx\ ar=f (b)\ int_a^b g (x)\, dx- (f (b) -f (a)) \ int_a^c g (x)\, dx,\ \ ar=f (a\ int_a) _a^c г (х)\, дх+ф (б)\ вліво (\ int_a^b г (х)\, дх-\ int_c^a г (х)\, дх\ вправо) \\ ar=f (а)\ int_a^c г (х)\, дх+ф (б)\ int_c^b г (х)\, дх. \ кінець {еканрай*}\] -2.5em2.5em

-.4em Наступна теорема про зміну змінної корисна для оцінки інтегралів.

Обидва інтеграли існують: один ліворуч за теоремою ~, той праворуч за теоремами ~ і неперервність$f(\phi(t))$. За теоремою~ функція\ [ F (x) =\ int_a^x f (y)\, dy \] є антипохідною від$f$ on$[a,b]$ і, отже, також на замкнутому інтервалі з кінцевими точками$\alpha$ і$\beta$. Отже, за теоремою~,\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.3.22} \ int_\ alpha^\ beta f (x)\, dx=f (\ бета) -F (\ альфа). \ end {рівняння}\] За правилом ланцюга функція\ [ G (t) =F (\ phi (t)) \]

є антипохідним від$f(\phi(t))\phi'(t)$ on$[c,d]$, а теорема~ передбачає, що\ [\ begin {eqnarray*} \ int_c^d f (\ phi (t))\ phi' (t)\, dt\ ar= G (d) -G (c) =F (\ phi (d)) -F (\ phi (c))\ \ ar=F (\ бета) -F (\ альфа). \ end {eqnarray*}\] Порівняння цього з прибутковістю.

Ці приклади ілюструють два способи використання Theorem~. У Прикладі~ ми оцінили ліву частину, перетворивши її на праву сторону з відповідною заміною$x=\phi(t)$, тоді як в Прикладі~ ми оцінювали праву частину, визнавши, що її можна отримати з лівого боку відповідною заміною.

Наступна теорема показує, що правило зміни змінної залишається дійсним при слабких припущеннях про$f$$\phi$ монотонність.

Ми розглядаємо випадок, коли$f$ є$\phi$ невід'ємним і не зменшується, а решту доказів залишаємо вам (Вправи ~ і).

Спочатку припустимо,$\phi$ що збільшується. Спочатку ми покажемо, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.3.24} \ overline {\ int^b_a} f (x)\, dx=\ overline {\ int^d_c} f (\ phi (t))\ phi '(t)\, dt. \ end {рівняння}\]$\overline{P}=\{t_0,t_1, \dots,t_n\}$ Дозволяти$x_j=\phi(t_j)$ бути розділом$[c,d]$ і$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ з відповідним розділом$[a,b]$. Визначити\ [\ почати {екнаррай*} U_J\ ar=\ sup\ set {\ phi' (t)} {t_ {j-1}\ ле т\ ле t_j},\\ u_j\ ar=\ inf\ set {\ phi' (t)} {t_ {j-1}\ ле т\ ле т_j},\\ m_j\ ar=\ sup\ встановити {f (x)} {x_ {j-1}\ ле х\ ле x_j},\ \ масив {і}\ \ оверлайн {M} _j\ ar=\ sup\ set {f (\ phi (t))\ phi '(t)} {t_ {j-1}\ ле т\ ле т_j}. \ end {eqnarray*}\] Оскільки$\phi$ збільшується,$u_j\ge0$. Тому\ [ 0\ le u_j\ le\ phi' (t)\ le u_j,\ quad t_ {j-1}\ le t\ le t_j. \] Оскільки$f$ є невід'ємним, то це означає, що\ [ 0\ le f (\ phi (t)) u_j\ le f (\ phi (t))\ phi (t) _J,\ квад t_ {j-1}\ ле т\ ле t_j.\] Отже, \ [ m_ju_j\ le\ le \ overline {M} _j\ le m_ju_j, \]

що означає, що\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.3.25} \ overline {M} _j=m_j\ rho_j, \ кінець {рівняння}\] де\ [\ begin {рівняння}\ етикетка {eq:3.3.26} u_j\ le rho_j\ le u_j. \ end {рівняння}\]

Тепер розглянемо верхні суми\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.3.27} \ overline {S} (\ overline {P}) =\ sum_ {j=1} ^n\ overline {M} _j (t_j-t_ {j-1}) \ mbox {\ quad і\ quad} S (P) =\ sum_ {j=1} ^n m_J (x_j-x_ {j-1}). \ end {рівняння}\] З теореми середнього значення\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.3.28} x_j-x_ {j-1} =\ phi (t_j) -\ phi (t_ {j-1}) =\ phi '(\ tau_j) (t_j-t_ {j-1}), \ end {рівняння}\] де$t_{j-1}<\tau_j<t_j$, так\ [{рівняння}\ мітка {eq:3.3.29} u_j\ le\ phi' (\ tau_j)\ le u_j. \ end {рівняння}\] З, і,\ [\ begin { рівняння}\ мітка {еква:3.3.30} \ оверлайн {S} (\ overline {P}) -S (P) =\ sum_ {j=1} ^n m_j (\ rho_j-\ phi' (\ tau_j)) (t_j-t_ {j-1}). \ end {рівняння}\]

Тепер припустимо$|f(x)|\le M$, що,$a\le x\le b$. Потім, і припускають, що\ [ \ left|\ overline {S} (\ overline {P}) -S (P)\ right|\ le M\ sum_ {j=1} ^n (U_J-U_J) (t_j-t_ {j-1}). \] Сума праворуч - це різниця між верхньою та нижньою сумами$\phi'$ понад$\overline{P}$. Оскільки$\phi'$ інтегрується на$[c,d]$, це можна зробити настільки маленьким, як нам заманеться, вибравши$\|\overline{P}\|$ досить малий (Вправа ~).

Від,$\|P\|\le K\|\overline{P}\|$ якщо$|\phi'(t)|\le K$,$c\le t\le d$. Отже, Lemma~ має на увазі, що\ [\ begin {рівняння}\ етикетка {eq:3.3.31} \ ліворуч | S (P) -\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx\ right|<\ frac {\ epsilon} {3} \ mbox {\ quad}\ quad}\ left|\ overline {S} (\ overline {P}) -\ overline {\ int_c^d} f (\ phi (t))\ phi '(t)\, dt\ right|<\ frac {\ epsilon} {3} \ end {рівняння}\] якщо$\|\overline{P}\|$ є досить маленький. Тепер\ [\ begin {eqnarray*} \ ліворуч |\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx-\ overline {\ int_c^d} f\ ліворуч (\ phi (t)\ право)\ phi '(t)\, dt\ right|\ ar\ le\ left|\ overline {\ int_a^b} f x\), DX-s (P)\ праворуч | +|S (P) -\ оверлайн {S} (\ overline {P}) |\\ &&+\ ліво| \ оверлайн {S} (\ overline {P}) -\ overline {\ int_c^d} f (\ phi (t)) \ phi' (t)\, dt\ праворуч |. \ end {eqnarray*}\] Вибираємо$\overline{P}$ так, щоб$|S(P)-\overline{S}(\overline{P}|< \epsilon/3$ крім виходів \ [\ left|\ int_a^b f (x)\, dx-\ int_c^d f (\ phi (t))\ phi '(t)\, dt \ right|<\ epsilon. \] Оскільки$\epsilon$ є довільним додатним числом, це означає.

Якщо не$\phi$ зменшується (а не збільшується), то може трапитися так, що$x_{j-1}=x_j$ для деяких значень$j$; однак, це не реальне ускладнення, оскільки це просто означає, що деякі терміни$S(P)$ зникають.

Застосовуючи до$-f$, ми робимо висновок, що\ [\ begin {eqnarray} \ підкреслення {\ int_a^b} f (x)\, dx\ ar=\ підкреслення {\ int_c^d} f (\ phi (t))\ phi '(t)\, dt,\ label {eq:3.3.32}\ [2\ jot] \ arraytext {так}\ nonumber \\\ накладання {\ int_a^b} (-f) (x)\, dx\ ar=-\ підкреслення {\ int_a^b} f (x)\, dx\ nonumber\ \ arraytext {і}\ nonumber\ \ overline {\ int_c^d} (-f (\ phi (t)\ phi '(t))\, dt\ ar=-\ підкреслення {\ int_c^d} f (\ phi (t))\ phi' (t)\, dt. \ nomnumber \ кінець {екнаррарій}\]

Тепер припустимо,$f$ що інтегрується на$[a,b]$. Потім\ [ \ підкреслити {\ int_a^b} f (x)\, dx=\ overline {\ int_a^b} f (x)\, dx= \ int_a^bf (x)\, dx, \] за теоремою~. З цього, і,\ [ \ підкреслювати {\ int^d_c} f (\ phi (t))\ phi '(t)\, dt= \ overline {\ int^d_c} f (\ phi (t))\ phi' (t)\, dt= \ int^b_a f (x)\, dx. \] Це і теорема~ (застосовується до$f(\phi(t))\phi'(t)$) означають, що$f(\phi(t))\phi'(t)$ інтегрується на$[c,d]$ і\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.3.33} \ int_a^b f (x)\, dx=\ int_c^d f (\ phi (t))\ phi' (t)\, dt. \ end {рівняння}\] Подібний аргумент показує, що якщо$f(\phi(t))\phi'(t)$$f$ інтегрується$[c,d]$, то інтегрується і утримує.$[a,b]$

\ begin {список вправ}

Доведіть теорему ~. 4pt

Доведіть теорему ~.

4 пт

Чи$|f|$ можна інтегрувати$f$,$[a,b]$ якщо ні? 4 пт

Заповніть доказ теореми ~.

4 пт

Доведіть: Якщо$f$ інтегрується на$[a,b]$ і$|f(x)|\ge\rho>0$ для$a\le x\le b$, то$1/f$ інтегрується на$[a,b]$

Припустимо, що$f$ інтегрується$[a,b]$ і визначити\ [ f^+ (x) =\ left\ {\ casespace\ begin {масив} {ll} f (x) &\ mbox {\ quad, якщо $f (x)\ ge0, $}\\ [2\ jot] 0&\ mbox {\ quad, якщо $f (x) <0$,}\ end {масив}\ право. \ mbox {і\ quad} f^- (x) =\ left\ {\ casespace\ begin {масив} {ll} 0& \ mbox {\ квадрад, якщо $ f (x)\ ge0$},\\ [2\ jot] f (x) &\ mbox {\ quad якщо $ f (x) <0$. \ quad} \ end {масив}\ право. \] Показати, що$f^+$ і$f^-$ інтегруються на$[a,b]$, і\ [ \ int_a^b f (x)\, dx=\ int_a^b f^+ (x)\, dx+\ int_a^b f^- (x)\, dx. \]

Знайдіть$\overline{u}$ середньозважений$u(x)$ понад$[a,b]$ відносно$v$, і знайдіть крапку$c$ в$[a,b]$ такому, що$u(c)=\overline{u}$.

Доведіть теорему ~.

Показати, що\ [ \ int_a^c f (x)\, dx=\ int_a^b f (x)\, dx+\ int_b^c f (x)\, dx \] для всіх можливих відносних порядків$a$, і, за умови$b$$c$, що$f$ інтегрується на замкнутому інтервалі, що їх містить.

Довести: Якщо$f$ інтегрується на$[a,b]$ і$a=a_0<a_1<\cdots<a_n=b$, то\ [ \ int_a^bf (x)\, dx=\ int_ {a_0} ^ {a_1} f (x)\, dx+\ int_ {a_1} ^ {a_2} f (x)\, dx +\ cdots+\ int_ {a_ {n-1}} ^ {a_n} f (x)\, dx. \]

Припустимо, що$f$ є безперервним на$[a,b]$ і$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ є розділом$[a,b]$. Показати, що існує сума Рімана$f$ над$P$ цим {}$\int_a^b f(x)\,dx$.

Припустимо, що$f'$ існує і$|f'(x)|\le M$ далі$[a,b]$. Показати, що будь-яка сума$\sigma$ Рімана$f$ над будь-яким розділом$P$$[a,b]$ задовольняє\ [ \ left|\ sigma-\ int_a^b f (x)\, dx\ right|\ le M (b-a)\ |P\ |. \]

Довести: Якщо$f$ інтегрується і$f(x)\ge0$ далі$[a,b]$, то$\int_a^b f(x)\,dx\ge0$, з суворою нерівністю, якщо$f$ є безперервним і позитивним в якийсь момент в$[a,b]$.

Заповніть доказ теореми ~.

Створіть теореми аналогічні теоремам ~ і для функції\ [ G (x) =\ int_x^c f (t)\, dt, \] і показують, як з них можна отримати ваші теореми.

Символ$\int f(x)\,dx$ позначає антипохідне від$f$. Імовірний аналог теореми ~ стверджує, що якщо$f$ і$g$ мають антипохідні$[a,b]$, то так робить$f+g$, що вірно, і\ [ \ int (f+g) (x)\, dx=\ int f (x)\, dx+\ int g (x)\, dx. \ eqno {\ rm (A)} \] Однак це не так у звичному розумінні.

(Див. Вправа ~.) Сформулюйте коректну інтерпретацію відношення\ [ \ int (cf) (x)\, dx=c\ int f (x)\, dx\ quad (c\ ne0). \] Чи є ваше тлумачення дійсним, якщо$c=0$?

На додаток до припущень Теорема ~, припустимо$f(a)=0$, що$f\not\equiv0$, і$g(x)>0$$(a<x<b)$. Покажіть, що є лише одна точка$c$$[a,b]$ з властивістю, зазначеним у теоремі ~.

Припускаючи, що теорема ~ вірна за додатковим припущенням, яке$f$ є невід'ємним$[a,b]$, показати, що це правда без цього припущення.

Припускаючи, що висновок теореми ~ є$\phi$ істинним, якщо не зменшується, показати, що він$\phi$ істинний, якщо не збільшується.

Припустимо$g'$,$f$ інтегрується і є безперервним$[a,b]$. Показати, що$\int_a^b f(x)\,dg(x)$ існує і дорівнює$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx$.

Припустимо$f$, і$g''$ обмежені і$fg'$ інтегрується на$[a,b]$. Показати, що$\int_a^b f(x)\,dg(x)$ існує і дорівнює$\int_a^b f(x)g'(x)\,dx$.

\ end {список вправ}

Поки що ми обмежилися вивченням інтеграла обмеженими функціями на скінченних замкнутих інтервалах. Це було з вагомих причин:

У цьому розділі ми розширюємо визначення інтеграла, щоб включити випадки, коли$f$ необмежений або інтервал необмежений, або обидва.

Ми говоримо$f$, що {} на інтервалі,$I$ якщо$f$ інтегрується на кожному скінченному замкнутому підінтервалі$I$. Наприклад,\ [ f (x) =\ sin x \] локально інтегрується$(-\infty,\infty)$;\ [ g (x) =\ frac {1} {x (x-1)} \] локально інтегрується$(-\infty,0)$$(0,1)$, і$(1,\infty)$; і\ [ h (x) =\ sqrt {x} \] локально інтегрується на$[0,\infty)$.

Межа в завжди існує, якщо$[a,b)$ скінченна і локально$f$ інтегрується і обмежена$[a,b)$. У цьому випадку Definitions~ і призначити одне і те ж значення$\int_a^b f(x)\,dx$ незалежно від того, як$f(b)$ визначено (Вправа ~). Однак межа може існувати і в тих випадках, коли$b=\infty$ або$b<\infty$ і$f$ необмежений як$x$ підходи$b$ зліва. У цих випадках Definition~ присвоює значення інтегралу, який не існує у значенні Definition~, і, як кажуть,$\int_a^b f(x)\, dx$ є {} що {} до межі в. Ми також говоримо в цьому випадку,$f$ що {}$[a,b)$ і що$\int_a^b f(x)\,dx$ {}. Якщо межі в не існує (скінченний), ми говоримо, що неправильний інтеграл$\int_a^b f(x)\,dx$ {}, і$f$ є {}$[a,b)$. Зокрема, якщо$\lim_{c\to b-}\int_a^c f(x)\,dx=\pm\infty$, ми говоримо, що$\int_a^b f(x)\,dx$ {}$\pm\infty$, і ми пишемо \ [\ int_a^b f (x)\, dx=\ infty\ mbox {\ quad або\ quad}\ int_a^b f (x) \, dx=- \ infty,\] залежно від випадку.

Подібні коментарі стосуються наступних двох визначень.

Існування та значення$\int_a^b f(x)\,dx$ відповідно до Definition~ не залежать від конкретного вибору$\alpha$ in$(a,b)$ (Вправа ~).

Коли ми хочемо розрізнити неправильні інтеграли та інтеграли у значенні Definition~, ми будемо називати останні {}.

При постановці та доведенні теорем про неправильні інтеграли ми розглянемо інтеграли такого роду, введені в Definition~. Аналогічні результати застосовуються до інтегралів визначень ~ і. Ми залишаємо вам формулювати та використовувати їх у прикладах та вправах у міру виникнення потреби.

Якщо$a<c<b$, то\ [\ почати {екнаррай*} \ int_a^c (c_1f_1+c_2f_2+\ cdots+c_nf_n) (x)\, dx\ ar=c_1\ int_a^c f_1 (x)\, dx +c_2\ int_a^c f_2 (x)\ dx\ ar {} + \ cdots+c_n\ int_a^c f_n (x)\, dx, \ end {еканаррай*}\] за теоремою~. Пускання$c\to b-$ дає заявлений результат.

Теорія неправильних інтегралів невід'ємних функцій особливо проста.

2pt Оскільки$F$ не зменшується на$[a,b)$, Теорема ~

має на увазі висновок.

Ми часто пишемо 1pt \ [\ int_a^b f (x)\, dx<\ infty \] 2pt

вказувати на те, що неправильний інтеграл невід'ємної функції сходиться. Теорема ~ виправдовує цю конвенцію, оскільки вона стверджує, що дивергентний інтеграл такого роду може лише розходитися на$\infty$. Аналогічно, якщо$f$ непозитивний і$\int_a^b f(x)\,dx$ сходиться, пишемо 1pt \ [\ int_a^b f (x)\, dx>-\ infty \] 2pt

тому що дивергентний інтеграл такого роду може тільки розходитися на$-\infty$. (Щоб побачити це, застосуйте теорему ~ до$-f$.) Ці умовності не поширюються на неправильні інтеграли функцій, які приймають як позитивні, так і негативні значення в$(a,b)$, так як вони можуть розходитися без розходжень на$\pm\infty$.

4 пт

Припущення передбачає, що \ [\ int_a^x f (t)\, dt\ le\ int_a^x g (t)\, dt,\ quad a\ le x<b \] (Теорема ~), так \ [\ sup_ {a\ le x<b}\,\ int_a^x f (t)\, dt\ le\ sup_ {a\ le x\ le b},\ int_a^x г (т)\, дт. \] Якщо$\int_a^b g(x)\,dx<\infty$, права частина цієї нерівності є кінцевою теоремою ~, так що ліва сторона також. Це означає$\int_a^b f(x)\,dx<\infty$, що знову ж таки по теоремі ~.

Доказ - протиріччя. Якщо$\int_a^bg(x)\,dx<\infty$, то

має на увазі$\int_a^bf(x)\,dx<\infty$, що, суперечить припущенню, що$\int_a^bf(x)\,dx=\infty$.

Тест порівняння особливо корисний, якщо integrand неправильного інтеграла є складним, але його можна порівняти з функцією, яку легко інтегрувати.

Якщо будь-яка функція (не обов'язково невід'ємна) локально$f$ інтегрується$[a,b)$, то\ [ \ int_a^c f (x)\, dx=\ int_a^ {a_1} f (x)\, dx+\ int_ {a_1} ^c f (x)\, dx \] якщо$a_1$ і$c$ знаходяться в$[a,b)$. Оскільки$\int_a^{a_1}f(x)\,dx$ це правильний інтеграл, дозволяючи зробити$c\to b-$ висновок, що якщо будь-який з неправильних інтегралів$\int_a^b f(x)\,dx$ і$\int_{a_1}^b f(x)\,dx$ сходиться, то і інший, і в цьому випадку\ [ \ int_a^b f (x)\, dx=\ int_a^ {a_1} f (x)\, dx+\ int_ {a_1} ^b f (x)\, dx. \]

Це означає, що будь-яка теорема, що передбачає збіжність або розбіжність неправильного інтеграла$\int_a^b f(x)\,dx$ в сенсі визначення ~ залишається дійсною, якщо її гіпотези задовольняються на підінтервалі$[a_1,b)$,$[a,b)$ а не на всіх$[a,b)$. Наприклад, теорема ~ залишається дійсною, якщо її замінити на\ [ 0\ le f (x)\ le g (x),\ quad a_1\ le x<b, \] де$a_1$ є будь-яка точка в$[a,b)$.

З цього ви можете бачити, що якщо$f(x)\ge0$ на деякому підінтервалі$[a_1,b)$$[a,b)$, але не обов'язково для всіх$x$ в$[a,b)$, ми все ще можемо використовувати конвенцію, введену раніше для позитивних функцій; тобто ми можемо записати,$\int_a^bf(x)\,dx<\infty$ якщо неправильний інтеграл сходиться або$\int_a^bf(x)\,dx=\infty$ якщо він розходиться.

Від, є точка$a_2$ в$[a_1,b)$ такому, що\ [ 0<\ frac {M} {2} <\ frac {f (x)} {g (x)} {g (x)} <\ frac {3M} {2},\ quad a_2\ le x<b, \] і тому\ [\ begin {рівняння}\ етикетка {eq:3.4.4} \ frac {M} {2} g (x) <f (x) <\ frac {3M} {2} g (x),\ quad a_2\ le x<b. \ end {рівняння}\] Теорема~ і перша нерівність в означає, що \ [\ int_ {a_2} ^b g (x)\, dx<\ infty\ mbox {\ quad}\ int_ {a_2} ^b f (x)\, dx<\ infty. \]

Теорема ~ і друга нерівність в припускають, що \ [\ int_ {a_2} ^b f (x)\, dx<\ infty\ mbox {\ quad}\ int_ {a_2} ^b g (x)\, dx<\ infty. \] Отже,$\int_{a_2}^b f(x)\,dx$ і$\int_{a_2}^b g(x)\,dx$ сходяться або розходяться між собою, і в останньому випадку вони повинні розходитися на$\infty$, так як їх цілі невід'ємні (Theorem~).

Якщо$M=\infty$, є точка$a_2$ в$[a_1,b)$ такому, що\ [ f (x)\ ge g (x),\ quad a_2\ le x\ le b, \] так теорема~

означає, що$\int_a^bf(x)\,dx=\infty$.

Якщо$M=0$, є точка$a_2$ в$[a_1,b)$ такому, що\ [ f (x)\ le g (x),\ quad a_2\ le x\ le b, \] так теорема~

означає, що$\int_a^bf(x)\,dx<\infty$.

Гіпотези теореми ~ і не мають на увазі, що$\int_a^bf(x)\,dx$ і$\int_a^bg(x)\,dx$ обов'язково сходяться або розходяться разом. Наприклад, якщо$b=\infty$, то$f(x)=1/x$ і$g(x)=1/x^2$ задовольняють гіпотези теореми ~ , тоді як$f(x)=1/x^2$ і$g(x)=1/x$ задовольняють гіпотези теореми ~

. Втім$\int_1^\infty 1/x\,dx=\infty$, поки$\int_1^\infty 1/x^2\,dx<\infty$.

1ем

{}

1ем

1ем

Якщо\ [ г (х) =|ф (х) |-ф (х), \]

потім\ [ 0\ le g (x)\ le2|f (x) | \] і$\int_a^b g(x)\,dx<\infty$, через теорему ~ і абсолютну інтегровність$f$. Оскільки\ [ f=|f|-g, \] Теорема ~ означає, що$\int_a^b f(x)\,dx$ сходиться.

-.15em Ми говоримо,$f$ що {} at$b\negthickspace-(=\infty\mbox{\quad if\quad} b=\infty)$ якщо$f$ визначається на$[a,b)$ і не змінює знак на деякому$[a_1,b)$ підінтервалі$[a,b)$. Якщо$f$ зміни знаком на кожному такому підінтервалі,$f$ є {} at$b-$. Для функції, яка локально інтегрується на$[a,b)$ і неносциляторна at$b-$, збіжність і абсолютна збіжність$\int_a^b f(x)\,dx$ суми до одного і того ж (Вправа ~), тому абсолютна збіжність не є цікавим поняттям у зв'язку з такими функціями. Однак коливальна функція може бути інтегрованою, але не абсолютно інтегровною, на$[a,b)$, як показує наступний приклад. Потім ми говоримо, що {}$f$ інтегрується на$[a,b)$, і що$\int_a^b f(x)\,dx$ сходиться {}.

Метод, який використовується в Example~, є окремим випадком наступного тесту на збіжність неправильних інтегралів.

Неперервна функція локально$fg$ інтегрується на$[a,b)$. Інтеграція частинами дає\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.4.10} \ int_a^c f (x) g (x)\, dx=F (c) g (c) -\ int_a^c F (x) g' (x)\, dx,\ quad a\ le c<b. \ end {рівняння}\] Теорема~ передбачає, що інтеграл праворуч сходиться абсолютно як$c\to b-$, так як$\int_a^b |g'(x)|\,dx<\infty$ за припущенням, і\ [ |F (x) g' (x) |\ le m|g' (x) | , \] де$M$ верхня межа для$|F|$ on$[a,b)$. Більш того, і обмеженість$F$ припускають, що$\lim_{c\to b-}F(c)g(c)=0$. $c\to b-$Введення дає\ [ \ int_a^b f (x) g (x)\, dx=-\ int_a^b F (x) g' (x)\, dx, \] де інтеграл справа сходиться абсолютно.

Тест Діріхле корисний лише в тому випадку$b-$, якщо$f$ є коливальним при, оскільки можна показати, що якщо$f$ є$F$ неноосциляторним при$b-$ і обмежений$[a,b)$, то$\int_a^b |f(x)g(x)|\,dx<\infty$ якщо тільки локально$g$ інтегрується і обмежується$[a,b)$ (Вправа ~).

Метод, який використовується в Example~, є окремим випадком наступного тесту на розбіжність неправильних інтегралів.

Доказ - протиріччя. Нехай$f=uv$ і$g=1/v$, і припустимо, що$\int_a^bu(x)v(x)\,dx$ сходиться. Потім$f$ має обмежене антипохідне$F(x)=\int_a^xu(t)v(t)\,dt$ на$[a,b)$,$\lim_{x\to\infty}g(x)=0$ і абсолютно$g'=-v'/v^2$ інтегрується на$[a,b)$. Тому теорема ~ передбачає, що$\int_a^b u(x)\,dx$ сходиться, протиріччя.

Якщо тест Діріхле показує, що$\int_a^b f(x)g(x)\,dx$ сходиться, залишається питання про те, сходиться він абсолютно або умовно. Наступна теорема іноді відповідає на це питання. Його доказ може бути змодельований за методом Example~ (Вправа ~). У твердження цієї теореми входить ідея нескінченної послідовності, яку ми обговоримо в розділі ~ 4.1. Ми припускаємо, що ви досить добре згадуєте поняття з числення, щоб зрозуміти значення теореми.

-.4em Наступна теорема дозволяє досліджувати неправильний інтеграл шляхом перетворення його в інший, збіжність або розбіжність якого відомі. Це випливає з теореми ~ та визначень ~, і. Опускаємо докази.

У Розділі ~ 3.2 ми знайшли необхідні та достатні умови існування власного інтеграла Рімана, а в Розділі ~ 3.3 ми використовували їх для вивчення властивостей інтеграла. Однак незручно застосовувати ці умови до конкретної функції і визначити, чи є вона інтегровною, оскільки вони вимагають обчислень верхніх і нижніх сум і верхніх і нижніх інтегралів, що може бути важко. Основним результатом цього розділу є критерій інтегровності, оскільки він не вимагає обчислень, але пов'язаний з тим, наскільки погано розривна функція може бути і все ще бути інтегрованою.

Наголошуємо, що ми знову розглядаємо власні інтеграли обмежених функцій на скінченних інтервалах.

Для фіксованого$x$ в$(a,b)$,$W_f(x-h,x+h)$ є невід'ємною і неспадною функцією$h$ for$0<h<\min(x-a,b-x)$; отже,$w_f(x)$ існує і є невід'ємним, за теоремою ~. Аналогічні аргументи стосуються$w_f(a)$ і$w_f(b)$.

Припустимо, що$a<x_0<b$. По-перше, припустимо, що$w_f(x_0)=0$ і$\epsilon>0$. Потім\ [ W_f [x_0-h, x_0+h] <\ epsilon\] для деяких$h>0$, так що \ [ |f (x) -f (x) -f (x') |<\ epsilon\ mbox {\ quad якщо\ quad} x_0-h\ le x, x'\ le x_0+h. \] Допускаючи$x'=x_0$, ми робимо висновок, що\ [ |f (x) -f (x) -f (x) _0) |<\ epsilon\ mbox {\ quad якщо\ quad} |x-x_0|<h. \] Отже,$f$ є неперервним при $x_0$.

І навпаки, якщо$f$ є безперервним при$x_0$ і$\epsilon>0$, існує$\delta>0$ таке, що\ [ |f (x) -f (x_0) |<\ frac {\ epsilon} {2}\ mbox {\ quad} |f (x') -f (x_0) |< \ frac {\ epsilon} {2} \] якщо$x_0-\delta\le x$,$x'\le x_0+\delta$. З нерівності трикутника,\ [ |f (x) -f (x') |\ le|f (x) -f (x_0) |+|f (x') -f (x_0) |<\ epsilon, \] так\ [ w_f [x_0-h, x_0+h]\ le\ epsilon\ mbox {\ квад, якщо\ квад}\ h дельта; \] отже,$w_f(x_0)=0$. Аналогічні аргументи застосовуються, якщо$x_0=a$ або$x_0=b$.

Використовується теорема Гейне—Бореля (Теорема ~). Якщо$w_f(x)<\epsilon$, існує$h_x>0$ таке, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.5.1} |f (x') -f (x») |<\ epsilon \ end {рівняння}\]

якщо\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.5.2} x-2h_x<x', x"<x+2h_x\ mbox {\ quad і\ quad} x', x» \ in [a, b]. \ end {рівняння}\] Якщо$I_x=(x-h_x,x+h_x)$, то колекція\ [ {\ mathcal H} =\ set {i_x} {a\ le x \ le b}\] є відкритим покриттям$[a,b]$, тому теорема Гейне—Бореля передбачає, що існує нескінченно багато точок$x_1$$x_2$,,,$x_n$ в$[a,b]$ такому$I_{x_1}$,$I_{x_2}$,, $I_{x_n}$обкладинка$[a,b]$. Нехай\ [ h=\ min_ {1\ le i\ le n} h_ {x_i} \] і припустимо, що$[a_1,b_1]\subset [a,b]$ і$b_1-a_1<h$. Якщо$x'$ і$x''$ знаходяться в$[a_1,b_1]$, то$x'\in I_{x_r}$ для деяких$r\ (1\le r \le n)$, так\ [ |x'-x_r|<h_ {x_r}. \] Отже,\ [\ почати {екнаррай*} |х» -x_r|\ ar\ le |х» -x'|+|x'-x_r| <b_1-a_1+h_ {x_r}\ &<&h+h_ {x_r} \ le2h_ {x_r}. \ end {eqnarray*}\] Таким чином, будь-які дві точки$x'$ і$x''$ в$[a_1,b_1]$ задовольняють з$x=x_r$, тому вони теж задовольняють. Отже,$\epsilon$ це верхня межа множини\ [ \ set {|f (x') -f (x») |} {x ', x "\ in [a_1, b_1]}, \] яка має супремум$W_f[a_1,b_1]$. Отже,$W_f[a_1,b_1]\le\epsilon$.

У наступному$L(I)$ - довжина інтервалу$I$.

Ми спочатку показуємо,$E_\rho$ що закрито. Припустимо, що$x_0$ це гранична точка$E_\rho$. Якщо$h>0$, є$\overline{x}$ з$E_\rho$ в$(x_0-h,x_0+h)$. Так як$[\overline{x}-h_1,\overline{x}+h_1] \subset [x_0-h,x_0+h]$ для досить мало$h_1$ і$W_f[\overline{x}-h_1,\overline{x}+h_1]\ge\rho$, випливає, що$W_f[x_0-h,x_0+h]\ge\rho$ для всіх$h>0$. Це означає$x_0\in E_\rho$, що, так$E_\rho$ закрито (Corolary~).

Зараз ми покажемо, що заявлена умова в необхідному для інтегровності. Припустимо, що умова не виконується; тобто є$\rho>0$ і$\delta>0$ таке, що\ [ \ sum_ {j=1} ^p L (i_J)\ ge\ delta \]

для кожного$\{I_1,I_2, \dots, I_p\}$ кінцевого набору відкритих інтервалів, що охоплюють$E_\rho$. Якщо$P= \{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ є розділом$[a,b]$, то\ [\ почати {рівняння}\ мітка {еква:3.5.4} S (P) -s (P) =\ sum_ {j\ in A} (M_J-m_J) (x_j-x_ {j-1}) +\ sum_ {j\ in B} (M_J-m_J) (x_j-x_ {j-1}), \ кінець рівняння}\] де\ [ A=\ набір {j} {[x_ {j-1}, x_j]\ шапка E_\ rho\ ne\ порожня множина}\ mbox {\ квад і\ квад} B=\ набір {j} {[x_ {j-1}, x_j] \ cap E_\ rho=\ порожній набір}\ ng товстий пробіл. \]

Оскільки$\bigcup_{j\in A} (x_{j-1},x_j)$ містить всі точки,$E_\rho$ крім будь-якого з$x_0$,,$x_1$,$x_n$ що може бути в$E_\rho$, і кожне з цих скінченно багатьох можливих винятків може бути охоплено відкритим інтервалом довжини, як нам заманеться, наше припущення на$E_\rho$ увазі, що\ [ \ sum_ {j\ в A} (x_j-x_ {j-1})\ ge\ дельта. \] Більше того, якщо$j\in A$, то\ [ m_j-m_j\ ge\ rho, \] так випливає, що\ [ S (P) -s (P)\ ge\ rho\ sum_ {j\ in A} (x_j-x_ {j-1})\ ge\ rho\ delta. \] Оскільки це стосується кожного розділу$[a,b]$, не$f$ інтегрується$[a,b]$, за теоремою ~. Це доводить, що заявлена умова необхідна для інтеграбельності.

Для достатності, нехай$\rho$ і$\delta$ бути позитивними числами і нехай$I_1$,,$I_2$,$I_p$ бути відкритими інтервалами, які охоплюють$E_\rho$ і задовольняють. Нехай\ [ \ widetilde {I} _j= [a, b]\ cap\ overline {I} _j. \] ($\overline{I}_j=\mbox{closure of } I$.) Після об'єднання будь-якого з$\widetilde{I}_1$,$\widetilde{I}_2$,,$\widetilde{I}_p$ що перекриття, отримаємо набір попарно нез'єднаних замкнутих підінтервалів\ [ C_j= [\ alpha_j,\ beta_j],\ quad 1\ le j\ le q\ (\ le p), \]$[a,b]$ таких, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.5.5} a\ le\ alpha_1<\ beta_1< _2<\ бета_2\ cdots< \ alpha_ {q-1} <\ beta_ {q-1} <\ alpha_q<\ beta_q\ ле б, \ кінець {рівняння}\]\ [\ begin {рівняння}\ етикетка {eq:3.5.6} \ sum_ {i = 1} ^q\, (\ beta_i-\ alpha_i) < \ дельта\ кінець {рівняння}\] і\ [ w_f (x) <\ rho,\ квад\ бета_j\ ле х\ ле\ alpha_ {j+1},\ квад 1\ ле j\ ле q-1. \] Крім того,$w_f(x)<\rho$ для$a\le x\le\alpha_1$ якщо$a<\alpha_1$ і для$\beta_q\le x\le b$ якщо$\beta_q<b$.

$P_0$Дозволяти бути розділ$[a,b]$ з точки розділення, вказані в, і уточнити,$P_0$ розділивши кожен підінтервал$[\beta_j,\alpha_{j+1}]$ (а також$[a,\alpha_1]$$[\beta_q,b]$ якщо$a<\alpha_1$ і якщо$\beta_q<b$) на підінтервали, на яких$f$ коливання не більше $\rho$. Це можливо за допомогою Lemma~. Таким чином, після перейменування всієї колекції точок розділів отримуємо розділ,$[a,b]$ для якого$S(P)-s(P)$ можна записати як в, з\ [\ sum_ {j \ in A}\, (x_j-x_ {j-1}) =\ sum_ {i=1} ^q\, (\ beta_i-\ alpha_i) <\ delta \] (див.) і\ [ m_j-m_j\ ле\ rho,\ квад j\ в Б. \]$P=\{x_0,x_1, \dots,x_n\}$ Для цього розділу використовується\ [ \ sum_ {j\ in A}\, (M_J-m_J) (x_j-x_ {j-1})\ le2k\ sum_ {j\ in A}\, (x_j-x_ {j-1}) <2K\ delta, \] де$K$ верхня межа для$|f|$ on$[a,b]$ і\ [ \ sum_ {j\ in B}\, (m_J-м_j) (x_j-x_ {j-1})\ ле\ рхо (б-а). \] Тепер ми показали, що якщо$\rho$ і$\delta$ є довільними додатними числами, існує$[a,b]$ такий розділ$P$, що\ [\ begin {рівняння}\ label {eq:3.5.7} S (P) -s (P) <2K\ delta+\ rho (b-a). \ end {рівняння}\] Якщо$\epsilon>0$, нехай\ [ \ дельта=\ frac {\ epsilon} {4K}\ mbox {\ quad і\ quad}\ rho=\ frac {\ epsilon} { 2 (b-a)}. \] Потім дає\ [ S (P) -s (P) <\ epsilon, \] і Theorem~ означає, що$f$ інтегрується на$[a,b]$.

Нам потрібно наступне визначення, щоб констатувати умову інтегровності Лебега.

-3ем

Зауважте, що будь-яка підмножина множини нульової міри Лебега також дорівнює нулю міри Лебега. (Чому?)

-2ем

Існують також неперелічені множники нульової міри Лебега, але обговорення прикладів виходить за рамки цієї книги.

Наступна теорема є основним результатом цього розділу.

З теореми ~,\ [ S=\ set {x\ in [a, b]} {w_f (x) >0}\ ng товстий простір. \] Оскільки$w_f(x)>0$ якщо і тільки якщо$w_f(x)\ge1/i$ для деякого додатного цілого числа$i$, ми можемо записати\ [\ begin {рівняння}\ мітка {eq:3.5.12} S=\ bigcup^\ infty_ {i=1} S_i, \ end {рівняння}\] де\ [ s_i=\ set {x\ in [a, b]} {w_f (x)\ ge1/i}. \]

Тепер припустимо,$f$ що інтегрується на$[a,b]$ і$\epsilon>0$. З Lemma ~, кожен$S_i$ може бути покритий скінченною кількістю відкритих інтервалів$I_{i1}$,$I_{i2}$,,,,,$I_{in}$ загальної довжини менше$\epsilon/2^i$. Ми просто перенумеруємо ці інтервали послідовно; таким чином,\ [ I_1, I_2,\ dots= I_ {11},\ точки, I_ {1n_1}, I_ {21},\ точки, I_ {2n_2},\ точки, I_ {i1},\ точки, I_ {in_i},\ точки. \] Тепер і тримаємо через і, і ми показали, що заявлена умова необхідна для інтегруваності.

Для достатності припустимо, що заявлена умова тримає і$\epsilon>0$. Потім$S$ можуть покриватися відкритими інтервалами$I_1,I_2, \dots$, які задовольняють. Якщо$\rho>0$, то множина\ [ E_\ rho=\ set {x\ in [a, b]} {w_f (x)\ ge\ rho} \] Лемма~ міститься в$S$ (Теорема~), і тому$E_\rho$ охоплюється$I_1,I_2, \dots$. $E_\rho$Оскільки замкнута (Lemma ~) і обмежена, теорема Гейне—Бореля передбачає, що$E_\rho$ покривається скінченною кількістю інтервалів від$I_1,I_2, \dots$. Сума довжин останніх менше$\epsilon$, тому Lemma~ означає, що$f$ це інтегрується на$[a,b]$.