3: Інтегральне числення функцій однієї змінної
- Page ID
- 62533
\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)
У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ми обговорюємо Рімана на скінченному інтервалі та неправильні інтеграли\([a,b]\), в яких або функція, або інтервал інтеграції необмежений.
- РОЗДІЛ 3.1 починається з визначення інтеграла Рімана і представляє геометричну інтерпретацію інтеграла Рімана як площі під кривою. Показано, що необмежена функція не може бути інтегровною Рімана. Потім визначаємо верхню і нижню суми та верхній і нижній інтеграли обмеженої функції. Розділ завершується визначенням інтеграла Рімана — Штілтьєса.
- У РОЗДІЛІ 3.2 представлені необхідні та достатні умови існування інтеграла Рімана через верхню та нижню суми та верхні та нижні інтеграли. Показано, що неперервні функції та обмежені монотонні функції є інтегровними Рімана.
- РОЗДІЛ 3.3 починається з доказів того, що сума та добуток інтегровних функцій Рімана інтегруються, і\(|f|\) це\(f\) інтегрується Рімана, якщо інтегрується Рімана. Інші теми включають теорему про середнє значення для інтегралів, антипохідні, фундаментальну теорему числення, зміну змінних, інтеграцію частинами та другу теорему середнього значення для інтегралів.
- РОЗДІЛ 3.4 представляє всебічне обговорення неправильних інтегралів. Визначені та розглянуті поняття включають абсолютну та умовну збіжність неправильного інтеграла, тест Діріхле та зміну змінної в неправильному інтегралі.
- РОЗДІЛ 3.5 визначає поняття множини з нульовою мірою Лебега та представляє необхідну та достатню умову для того,\(f\) щоб обмежена функція була інтегровною Рімана на інтервалі\([a,b]\); а саме, що розриви\(f\) утворюють множину з нульовою мірою Лебега.