3: Інтегральне числення функцій однієї змінної

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ми обговорюємо Рімана на скінченному інтервалі та неправильні інтеграли$[a,b]$, в яких або функція, або інтервал інтеграції необмежений.

• РОЗДІЛ 3.1 починається з визначення інтеграла Рімана і представляє геометричну інтерпретацію інтеграла Рімана як площі під кривою. Показано, що необмежена функція не може бути інтегровною Рімана. Потім визначаємо верхню і нижню суми та верхній і нижній інтеграли обмеженої функції. Розділ завершується визначенням інтеграла Рімана — Штілтьєса.
• У РОЗДІЛІ 3.2 представлені необхідні та достатні умови існування інтеграла Рімана через верхню та нижню суми та верхні та нижні інтеграли. Показано, що неперервні функції та обмежені монотонні функції є інтегровними Рімана.
• РОЗДІЛ 3.3 починається з доказів того, що сума та добуток інтегровних функцій Рімана інтегруються, і$|f|$ це$f$ інтегрується Рімана, якщо інтегрується Рімана. Інші теми включають теорему про середнє значення для інтегралів, антипохідні, фундаментальну теорему числення, зміну змінних, інтеграцію частинами та другу теорему середнього значення для інтегралів.
• РОЗДІЛ 3.4 представляє всебічне обговорення неправильних інтегралів. Визначені та розглянуті поняття включають абсолютну та умовну збіжність неправильного інтеграла, тест Діріхле та зміну змінної в неправильному інтегралі.
• РОЗДІЛ 3.5 визначає поняття множини з нульовою мірою Лебега та представляє необхідну та достатню умову для того,$f$ щоб обмежена функція була інтегровною Рімана на інтервалі$[a,b]$; а саме, що розриви$f$ утворюють множину з нульовою мірою Лебега.