Передмова

Це текст для дворічного курсу вступного реального аналізу для молодших або старших математичних спеціальностей і студентів з серйозним інтересом до математики. Майбутні педагоги або математично обдаровані старшокласники також можуть скористатися математичною зрілістю, яку можна отримати від вступного реального курсу аналізу.

Книга призначена для заповнення прогалин, що залишилися в розвитку обчислення, як це зазвичай представлено в елементарному курсі, і забезпечити фон, необхідний для розуміння більш просунутих курсів з чистої та прикладної математики. Стандартна елементарна послідовність числення є єдиною специфічною передумовою для розділів 1—5, які стосуються реальних функцій. (Однак інші курси, орієнтовані на аналіз, такі як елементарне диференціальне рівняння, також забезпечують корисний підготовчий досвід.) Глави ~ 6 і 7 вимагають робочих знань про детермінанти, матриці та лінійні перетворення, зазвичай доступні з першого курсу з лінійної алгебри. Розділ ~ 8 доступний після завершення розділів ~ 1—5.

Не займаючи позиції за чи проти поточних реформ у викладанні математики, я думаю, справедливо сказати, що перехід від початкових курсів, таких як числення, лінійна алгебра та диференціальні рівняння, до суворого курсу реального аналізу сьогодні є більшим кроком, ніж це було лише кілька років тому. Щоб зробити цей крок, сьогоднішнім студентам потрібно більше допомоги, ніж їх попередники, і їх потрібно тренувати і заохочувати більше. Тому, прагнучи протягом усього часу підтримувати високий рівень строгості, я намагався писати максимально чітко і неофіційно. У зв'язку з цим вважаю корисним звернутися до учня в другій особі. Я включив 295 повністю опрацьованих прикладів, щоб проілюструвати та прояснити всі основні теореми та визначення.

Я підкреслив ретельні висловлювання визначень і теорем і намагався бути повним і деталізованим у доказах, за винятком упущень, залишених до вправ. Я даю ретельну обробку реальних функцій перед розглядом векторно-значних функцій. Роблячи перехід від однієї до декількох змінних і від реальних до векторно-значних функцій, я залишив студенту деякі докази, які по суті є повтореннями попередніх теорем. Я вважаю, що робота над деталями простих узагальнень більш елементарних результатів є хорошою практикою для студента.

• Глава 1 стосується реальної системи числення. Розділ ~ 1.1 починається з короткого обговорення аксіом для повного впорядкованого поля, але не робиться спроб розробити з них реали; скоріше, передбачається, що студент знайомий з наслідками цих аксіом, крім одного: повнота. Оскільки різницю між суворим і нестрогим лікуванням обчислення можна описати багато в чому з точки зору ставлення до повноти, я приділив значні зусилля розробці його наслідків. Розділ ~ 1.2 - це про індукцію. Хоча це може здатися недоречним у реальному курсі аналізу, я виявив, що типовий початок реального аналізу студент просто не може зробити індукційний доказ без перегляду методу. Розділ ~ 1.3 присвячений теорії елементарних множин і топології дійсної прямої, що закінчується теоремами Гейна-Бореля і Больцано-Вейєрштрасса.
• Глава ~ 2 охоплює диференціальне числення функцій однієї змінної: межі, неперервність, диференційованість, правило L'Hospital та теорему Тейлора. Акцент робиться на чіткому викладі принципів; не робиться спроб розвинути властивості конкретних елементарних функцій. Незважаючи на те, що це не може бути зроблено строго в більшості сучасних курсів обчислення, я вважаю, що час студента краще витрачати на принципи, а не на відновлення знайомих формул і відносин.
• Розділ ~ 3 присвячений інтегралу Рімана функцій однієї змінної. У розділі ~ 3.1 інтеграл визначається стандартним способом через суми Рімана. Верхній і нижній інтеграли також визначені там і використовуються в Розділі ~ 3.2 для вивчення існування інтеграла. Розділ ~ 3.3 присвячений властивостям інтеграла. Неправильні інтеграли вивчаються в розділі ~ 3.4. Я вважаю, що моє лікування неправильних інтегралів є більш детальним, ніж у більшості порівнянних підручників. Більш просунутий погляд на існування належного інтеграла Рімана наведено в розділі ~ 3.5, який завершується критерієм існування Лебега. Цей розділ можна опустити без шкоди для підготовленості учня до наступних розділів.
• Розділ ~ 4 розглядає послідовності та ряди. Послідовності константи обговорюються в розділі ~ 4.1. Я вирішив зробити поняття межі нижчих і обмежити вищі частини цього розвитку, головним чином тому, що це дозволяє більшу гнучкість і загальність, з невеликими додатковими зусиллями, при вивченні нескінченних рядів. Розділ ~ 4.2 надає короткий вступ до того, як безперервність та диференційовність можуть бути вивчені за допомогою послідовностей. Розділи ~ 4.3—4.5 розглядають нескінченні ряди постійних, послідовностей та нескінченних рядів функцій та рядів потужності, знову ж таки детальніше, ніж у більшості порівнянних підручників. Інструктор, який вирішив не висвітлювати ці розділи повністю, може опустити менш стандартні теми без втрат у наступних розділах.
• Розділ ~ 5 присвячений дійсним функціям декількох змінних. Він починається з обговорення топології\(\mathbb{R}^{n}\) в розділі ~ 5.1. Безперервність і диференційовність обговорюються в розділах ~ 5.2 і 5.3. Правило ланцюга та теорема Тейлора обговорюються в розділі ~ 5.4.
• Глава ~ 6 охоплює диференціальне числення векторно-значних функцій декількох змінних. Розділ ~ 6.1 розглядає матриці, детермінанти та лінійні перетворення, які є невід'ємними частинами диференціального числення, як представлено тут. У розділі ~ 6.2 диференціал векторно-значної функції визначається як лінійне перетворення, а правило ланцюга обговорюється з точки зору складу таких функцій. Теорема оберненої функції є предметом розділу ~ 6.3, де вводиться поняття гілок оберненої. У розділі ~ 6.4. теорема неявної функції мотивується спочатку розглядом лінійних перетворень, а потім викладеною та доведеною загалом.
• Глава ~ 7 охоплює інтегральне числення реальних функцій декількох змінних. Множинні інтеграли визначаються в Розділі ~ 7.1, спочатку над прямокутними паралелепіпедами, а потім над більш загальними множинами. Обговорення присвячено кратному інтегралу функції, розриви якої утворюють набір нульового вмісту Йордана. Розділ ~ 7.2 стосується оцінки за допомогою ітераційних інтегралів. Розділ ~ 7.3 починається з визначення вимірюваності Йордана, з подальшим виведенням правила зміни змісту при лінійному перетворенні, інтуїтивним формулюванням правила зміни змінних у множинних інтегралах і, нарешті, ретельним твердженням і доказом правила. Доказ складний, але це неминуче.
• Глава ~ 8 стосується метричних просторів. Поняття та властивості метричного простору введено в Розділ ~ 8.1. Розділ ~ 8.2 обговорює компактність у метричному просторі, а розділ ~ 8.3 обговорює неперервні функції на метричних просторах.

Виправлення - математичні та типографські - вітаються і будуть включені при отриманні.