12.5: Біноміальна теорема

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити біном
• Оцініть біноміальний коефіцієнт
• Використовуйте біноміальну теорему для розширення біноміального

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спростити:$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.25.
2. Розгорнути:$(3 x+5)^{2}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.32.
3. Розгорнути:$(x-y)^{2}$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.32.

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити біноміал

У нашій попередній роботі ми склали біноміали у квадраті або за допомогою FOIL, або за допомогою шаблону біноміальних квадратів. Можна також сказати, що ми розширили$(a+b)^{2}$.

$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$

Щоб розширити$(a+b)^{3}$, ми визнаємо, що це$(a+b)^{2}(a+b)$ і примножуємо.

$(a+b)^{3}$
$(a+b)^{2}(a+b)$
$\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)$
$a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}$
$a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$

Щоб знайти менш виснажливий метод, який буде працювати для вищих розширень$(a+b)^{7}$, як, ми знову шукаємо закономірності в деяких розширеннях.

Таблиця 12.4.1

	Кількість термінів	Перший семестр	Останній термін
$(a+b)^{1}=a+b$	$2$	$a^{1}$	$b^{1}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$	$3$	$a^{2}$	$b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$	$4$	$a^{3}$	$b^{3}$
$(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}$	$5$	$a^{4}$	$b^{4}$
$(a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}$	$6$	$a^{5}$	$b^{5}$
$(a+b)^{n}$	$n$	$a^{n}$	$b^{n}$

Зверніть увагу, що перший і останній терміни показують лише одну змінну. Нагадаємо$a^{0}=1$, що, щоб ми могли переписати перший і останній терміни, щоб включити обидві змінні. Наприклад, ми могли б розширити,$(a+b)^{3}$ щоб показати кожен термін з обома змінними.

Малюнок 12.4.1

Як правило, ми не показуємо нульові показники, так само, як ми зазвичай пишемо,$x$ а не$1x$.

Примітка

Шаблони в розширенні$(a+b)^{n}$

• Кількість термінів - це$n+1$.
• Перший термін -$a^{n}$ і останній термін -$b^{n}$.
• Показники на$a$ зменшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
• Показники$b$ збільшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
• Сума показників на будь-якому терміні дорівнює$n$.

Давайте розглянемо приклад, щоб виділити три останні візерунки.

Малюнок 12.4.2

З шаблонів, які ми визначили, ми бачимо змінні в розширенні$(a+b)^{n}$, буде

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}$.

Щоб знайти коефіцієнти членів, записуємо наші розширення знову орієнтуючись на коефіцієнти. Переписуємо коефіцієнти вправо, утворюючи масив коефіцієнтів.

Малюнок 12.4.3

Масив праворуч називається трикутником Паскаля. Зверніть увагу, що кожне число в масиві є сумою двох найближчих чисел у рядку вище. Ми можемо знайти наступний рядок, починаючи і закінчуючи одним, а потім додаючи два сусідніх числа.

Малюнок 12.4.4

Цей трикутник дає коефіцієнти членів, коли ми розширюємо біноми.

Визначення$\PageIndex{1}$

Трикутник Паскаля

Малюнок 12.4.5

У наступному прикладі ми будемо використовувати цей трикутник і шаблони, які ми розпізнали, щоб розширити біном.

Приклад$\PageIndex{1}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+y)^{6}$.

Рішення:

Ми знаємо, що змінні для цього розширення будуть слідувати шаблону, яку ми визначили. Ненульові показники$x$ будуть починатися з шести і зменшуватися до одиниці. Ненульові показники$y$ будуть починатися з одиниці і збільшуватися до шести. Сума показників у кожному семестрі буде шість. У нашій викрійці,$a=x$ і$b=y$.

$\begin{array}{l}{(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1} b^{1}+\_\_\_a^{n-2} b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}} \\ {(x+y)^{6}=x^{6}+\_\_\_x^{5} y^{1}+\_\_\_x^{4} y^{2}+\_\_\_x^{3} y^{3}+\_\_\_x^{2} y^{4}+\_\_\_x^{1} y^{5}+y^{6}}\end{array}$

Малюнок 12.4.6

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+y)^{5}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(p+q)^{7}$.

Відповідь

$\begin{array}{c}{p^{7}+7 p^{6} q+21 p^{5} q^{2}+35 p^{4} q^{3}} {+35 p^{3} q^{4}+21 p^{2} q^{5}+7 p q^{6}+q^{7}}\end{array}$

У наступному прикладі ми хочемо розширити біном з однією змінною і однією константою. Нам потрібно визначити$a$ і акуратно$b$ нанести візерунок.

Приклад$\PageIndex{2}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+3)^{5}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

Малюнок 12.4.7

У нашій викрійці,$a=x$ і$b=3$.

Ми знаємо, що змінні для цього розширення будуть слідувати шаблону, яку ми визначили. Сума показників у кожному семестрі буде п'ять.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}$

$(x+3)^{5}=x^{5}+\_\_\_x^{4}\cdot3^{1}+\_\_\_x^{3}\cdot3^{2}+\_\_\_x^{2}\cdot3^{3}+\_\_\_x^{1}\cdot3^{4}+3^{5}$

Малюнок 12.4.8

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+2)^{4}$.

Відповідь

$x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+16$

Вправа$\PageIndex{4}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+1)^{6}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}} {+6 x+1}\end{array}$

У наступному прикладі біном є різниця, а перший член має постійну раз змінну. Після того, як ми виявимо$b$ кінець візерунка, ми повинні ще раз акуратно нанести візерунок.$a$

Приклад$\PageIndex{3}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(3x-2)^{4}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

Малюнок 12.4.9

У нашій викрійці,$a=3x$ і$b=-2$.

Малюнок 12.4.10

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}$

$(3 x-2 )^{4}=1 \cdot\left(\stackrel{3}{x}+4(3 x)^{3}(-2)^{1}+6(3 x)^{2}(-2)^{2}+4(3 x)^{1}(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\right.$

$(3 x-2)^{4}=81 x^{4}+4\left(27 x^{3}\right)(-2)+6\left(9 x^{2}\right)(4)+4(3 x)(-8)+1 \cdot 16$

$(3 x-2 )^{4}=81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16$

Вправа$\PageIndex{5}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(2x-3)^{4}$.

Відповідь

$16 x^{4}-96 x^{3}+216 x^{2}-216 x+81$

Вправа$\PageIndex{6}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(2x-1)^{6}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{64 x^{6}-192 x^{5}+240 x^{4}-160 x^{3}} {+60 x^{2}-12 x+1}\end{array}$

Оцініть біноміальний коефіцієнт

Хоча трикутник Паскаля є одним із методів розширення біноміалу, ми також розглянемо інший метод. Перш ніж ми перейдемо до цього, нам потрібно ввести ще кілька факторіальних позначень. Це позначення використовується не тільки для розширення біноміалів, але і при вивченні та використанні ймовірності.

Щоб знайти коефіцієнти членів розширених біноміалів, нам потрібно буде вміти оцінювати позначення,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ яке називається біноміальним коефіцієнтом. Читаємо$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ як «$n$вибрати$r$» або «$n$$r$взято за раз».

Визначення$\PageIndex{1}$

Біноміальний коефіцієнт$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$, де$r$ і$b$ є цілими числами з$0 \leq r \leq n$, визначається як

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Ми читаємо$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ як «$n$вибрати$r$» або «$n$$r$взято за раз».

Приклад$\PageIndex{4}$

Оцініть:

1. $\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$
2. $\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$
3. $\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$
4. $\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Рішення:

а. скористаємося визначенням біноміального коефіцієнта,

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=5, r=1$.

$\frac{5 !}{1 !(5-1) !}$

Спростити.

$\frac{5 !}{1 !(4) !}$

Перепишіть$5!$ як$5\cdot 4!$

$\frac{5 \cdot 4 !}{1 ! \cdot 4 !}$

Спростити, видаливши загальні фактори.

$\frac{5\cdot \cancel{4 !}}{1 ! \cdot \cancel{4 !}}$

Спростити.

$5$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)=5$

б.$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=7, r=7$.

$\frac{7 !}{7 !(7-7) !}$

Спростити.

$\frac{7 !}{7 !(0) !}$

Спростити. Пам'ятайте$0!=1$.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)=1$

c.$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=4, r=0$.

$\frac{4 !}{0 !(4-0) !}$

Спростити.

$\frac{4 !}{0 !(4) !}$

Спростити.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)=1$

д.$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=8, r=5$.

$\frac{8 !}{5 !(8-5) !}$

Спростити.

$\frac{8 !}{5 !(3) !}$

Перепишіть$8!$ як$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!$ і видаліть загальні фактори.

$\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot1}$

Спростити.

$56$

$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)=56$

Вправа$\PageIndex{7}$

Оцініть кожен біноміальний коефіцієнт:

1. $\left( \begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)$
2. $\left( \begin{array}{l}{8} \\ {8}\end{array}\right)$
3. $\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right)$
4. $\left( \begin{array}{l}{7} \\ {3}\end{array}\right)$

Відповідь

1. $6$
2. $1$
3. $1$
4. $35$

Вправа$\PageIndex{8}$

Оцініть кожен біноміальний коефіцієнт:

1. $\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right)$
2. $\left( \begin{array}{l}{11} \\ {11}\end{array}\right)$
3. $\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)$
4. $\left( \begin{array}{l}{6} \\ {5}\end{array}\right)$

Відповідь

1. $2$
2. $1$
3. $1$
4. $6$

У попередньому прикладі$(a)$$(b)$,$(c)$ продемонструвати деякі особливі властивості біноміальних коефіцієнтів.

Визначення$\PageIndex{2}$

Властивості біноміальних коефіцієнтів

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

Використовуйте біноміальну теорему для розширення біноміалу

Тепер ми готові використовувати альтернативний метод розширення біноміалів. Біноміальна теорема використовує ту саму закономірність для змінних, але використовує біноміальний коефіцієнт для коефіцієнта кожного члена.

Визначення$\PageIndex{3}$

Біноміальна теорема

Для будь-яких дійсних чисел$a$ і$b$, і натуральних чисел$n$,

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(p+q)^{4}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

Малюнок 12.4.11

У нашій викрійці,$a=p$ і$b=q$.

Використовуємо біноміальну теорему.

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

Підставляємо в значення$a=p, b=q$ і$n=4$.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{c}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{4-1} q^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{4-2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p^{4-3} q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Спростіть показники.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{3} q+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Оцініть коефіцієнти, пам'ятайте,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(p+q)^{4}=1 p^{4}+4 p^{3} q^{1}+\frac{4 !}{2 !(2) !} p^{2} q^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !} p^{1} q^{3}+1 q^{4}$
$(p+q)^{4}=p^{4}+4 p^{3} q+6 p^{2} q^{2}+4 p q^{3}+q^{4}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(x+y)^{5}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(m+n)^{6}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{m^{6}+6 m^{5} n+15 m^{4} n^{2}+20 m^{3} n^{3}} {+15 m^{2} n^{4}+6 m n^{5}+n^{6}}\end{array}$

Зверніть увагу, що коли ми розширили$(p+q)^{4}$ в останньому прикладі, використовуючи Біноміальну теорему, ми отримали ті самі коефіцієнти, які ми отримали б від використання трикутника Паскаля.

Малюнок 12.4.12

Наступний приклад, біноміал - це різниця. Коли біноміал - це різниця, ми повинні бути обережними у визначенні значень, які ми будемо використовувати у шаблоні.

Приклад$\PageIndex{6}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(x-2)^{5}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

Малюнок 12.4.13

У нашій викрійці,$a=x$ і$b=-2$.

Використовуємо біноміальну теорему.

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

Підставляємо в значення$a=x, b=-2$, і$n=5$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{5-1}(-2)^{1}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{5-2}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{5-3}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x^{5-4}(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

Спростити коефіцієнти. Пам'ятайте,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{4}(-2)+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{3}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{2}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=1 x^{5}+5(-2) x^{4}+\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}(-2)^{2} x^{3}+\frac{5 !}{3 ! 2 !}(-2)^{3} x^{2}+\frac{5 !}{4 !1 !}(-2)^{4} x+1(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=x^{5}+5(-2) x^{4}+10 \cdot 4 \cdot x^{3}+10(-8) x^{2}+5 \cdot 16 \cdot x+1(-32)$

$(x-2)^{5}=x^{5}-10 x^{4}+40 x^{3}-80 x^{2}+80 x-32$

Вправа$\PageIndex{11}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(x-3)^{5}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{x^{5}-15 x^{4}+90 x^{3}-270 x^{2}} {+405 x-243}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(y-1)^{6}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{y^{6}-6 y^{5}+15 y^{4}-20 y^{3}+15 y^{2}} {-6 y+1}\end{array}$

Речі можуть стати брудними, коли обидва терміни мають коефіцієнт і змінну.

Приклад$\PageIndex{7}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(2x-3y)^{4}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

Малюнок 12.4.14

У нашій викрійці,$a=2x$ і$b=-3y$.

Використовуємо біноміальну теорему.

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

Підставляємо в значення$a=2x, b=-3y$ і$n=4$.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{4-1}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{4-2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{4-3}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) (-3y)^{4}$

Спростіть показники.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{1}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right)(-3 y)^{4}$

Оцініть коефіцієнти. Пам'ятайте,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(2 x-3 y)^{4}=1(2 x)^{4}+4(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\frac{4 !}{2 !(2 x) !}(2 x)^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !}(2 x)^{3}(-3 y)^{3}+1(-3 y)^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}+4 \cdot 8 x^{3}(-3 y)+6\left(4 x^{2}\right)\left(9 y^{2}\right)+4(2 x)\left(-27 y^{3}\right)+81 y^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}-96 x^{3} y+216 x^{2} y^{2}-216 x y^{3}+81 y^{4}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(3x-2y)^{5}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{243 x^{5}-810 x^{4} y+1080 x^{3} y^{2}} {-720 x^{2} y^{3}+240 x y^{4}-32 y^{5}}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{14}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(4x-3y)^{4}$.

Відповідь

$\begin{array}{l}{256 x^{4}-768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {-432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}$

Справжня краса біноміальної теореми полягає в тому, що вона дає формулу для будь-якого конкретного члена розширення без необхідності обчислювати всю суму. Давайте пошукаємо закономірність у біноміальної теоремі.

Малюнок 12.4.15

Зверніть увагу, що в кожному випадку$b$ показник на одиницю менше, ніж число терміна. $(r+1)^{st}$Термін - це термін, де показник$b$ є$r$. Таким чином, ми можемо використовувати формат$(r+1)^{st}$ терміна, щоб знайти значення конкретного терміна.

Примітка

Знайдіть конкретний термін у біноміальному розширенні

$(r+1)^{s t}$Термін в розширенні$(a+b)^{n}$ - це

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}$

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть четвертий термін$(x+y)^{7}$.

Рішення:

Таблиця 12.4.1

У нашій викрійці,$n=7, a=x$ і$b=y$.
Шукаємо четвертий термін. З тих пір$r+1=4$$r=3$.
Напишіть формулу
Підставляємо в значення$n=7, r=3, a=x$, і$b=y$.
Спростити.
Спростити.

Вправа$\PageIndex{15}$

Знайдіть третій термін$(x+y)^{6}$.

Відповідь

$15x^{4}y^{2}$

Вправа$\PageIndex{16}$

Знайдіть п'ятий термін$(a+b)^{8}$.

Відповідь

$8ab^{7}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Знайти коефіцієнт$x^{6}$ терміну$(x+3)^{9}$.

Рішення:

Таблиця 12.4.2

У нашій викрійці, то$n=9, a=x$, і$b=3$.	Малюнок 12.4.23
Шукаємо коефіцієнт$x^{6}$ терміну. З тих пір$a=x$, і$x^{9-r}=x^{6}$, ми знаємо$r=3$.
Напишіть формулу.	Малюнок 12.4.24
Підставляємо в значення$n=9, 4=3, a=x$, і$b=3$.	Малюнок 12.4.25
Малюнок 12.4.26	Малюнок 12.4.27
Спростити.	Малюнок 12.4.28
Спростити.	Малюнок 12.4.29
Спростити.	Малюнок 12.4.30

Вправа$\PageIndex{17}$

Знайти коефіцієнт$x^{5}$ терміну$(x+4)^{8}$.

Відповідь

$7,168$

Вправа$\PageIndex{18}$

Знайти коефіцієнт$x^{4}$ терміну$(x+2)^{7}$.

Відповідь

$280$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з послідовностями.

• Біноміальне розширення за допомогою трикутника Паскаля
• Біноміальні коефіцієнти

Ключові поняття

• Патерни в розширенні\ (a+b) ^ {n}\ (
  • Кількість термінів - це$n+1$.
  • Перший термін -$a^{n}$ і останній термін -$b^{n}$.
  • Показники на$a$ зменшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
  • Показники$b$ збільшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
  • Сума показників на будь-якому терміні дорівнює$n$.
• Трикутник Паскаля

Малюнок 12.4.31

• Біноміальний коефіцієнт $\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$: Біноміальний коефіцієнт$\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$, де$r$ і$n$ є цілими числами з$0≤r≤n$, визначається як

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Читаємо$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ як «$n$вибрати$r$» або «$n$$r$взято за раз».

• Властивості біноміальних коефіцієнтів

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

• Біноміальна теорема:

Для будь-яких дійсних чисел$a$$b$, і натуральних чисел$n$,

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$