12.5: Біноміальна теорема

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59439

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити біном
Оцініть біноміальний коефіцієнт
Використовуйте біноміальну теорему для розширення біноміального

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Спростити:$\frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.25.
Розгорнути:$(3 x+5)^{2}$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.32.
Розгорнути:$(x-y)^{2}$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 5.32.

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити біноміал

У нашій попередній роботі ми склали біноміали у квадраті або за допомогою FOIL, або за допомогою шаблону біноміальних квадратів. Можна також сказати, що ми розширили$(a+b)^{2}$.

$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$

Щоб розширити$(a+b)^{3}$, ми визнаємо, що це$(a+b)^{2}(a+b)$ і примножуємо.

$(a+b)^{3}$
$(a+b)^{2}(a+b)$
$\left(a^{2}+2 a b+b^{2}\right)(a+b)$
$a^{3}+2 a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b+2 a b^{2}+b^{3}$
$a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$

Щоб знайти менш виснажливий метод, який буде працювати для вищих розширень$(a+b)^{7}$, як, ми знову шукаємо закономірності в деяких розширеннях.

Таблиця 12.4.1
	Кількість термінів	Перший семестр	Останній термін
$(a+b)^{1}=a+b$	$2$	$a^{1}$	$b^{1}$
$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$	$3$	$a^{2}$	$b^{2}$
$(a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}$	$4$	$a^{3}$	$b^{3}$
$(a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}$	$5$	$a^{4}$	$b^{4}$
$(a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}$	$6$	$a^{5}$	$b^{5}$
$(a+b)^{n}$	$n$	$a^{n}$	$b^{n}$

Зверніть увагу, що перший і останній терміни показують лише одну змінну. Нагадаємо$a^{0}=1$, що, щоб ми могли переписати перший і останній терміни, щоб включити обидві змінні. Наприклад, ми могли б розширити,$(a+b)^{3}$ щоб показати кожен термін з обома змінними.

Ця цифра показує візерунок a плюс b до потужності 3 дорівнює a до потужності 3 разів b до потужності 0 плюс 3 рази a до потужності 2 рази b до потужності 1 плюс 3 a до потужності 0 раз b до потужності 3 а до потужності 0 раз b до потужності 3. — Малюнок 12.4.1

Як правило, ми не показуємо нульові показники, так само, як ми зазвичай пишемо,$x$ а не$1x$.

Примітка

Шаблони в розширенні$(a+b)^{n}$

Кількість термінів - це$n+1$.
Перший термін -$a^{n}$ і останній термін -$b^{n}$.
Показники на$a$ зменшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
Показники$b$ збільшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
Сума показників на будь-якому терміні дорівнює$n$.

Давайте розглянемо приклад, щоб виділити три останні візерунки.

Ця цифра показує візерунок а плюс б до потужності 5 дорівнює плюс 5 разів на б плюс 10 разів на б плюс 5 разів на б плюс 5 разів b плюс b. — Малюнок 12.4.2

З шаблонів, які ми визначили, ми бачимо змінні в розширенні$(a+b)^{n}$, буде

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}$.

Щоб знайти коефіцієнти членів, записуємо наші розширення знову орієнтуючись на коефіцієнти. Переписуємо коефіцієнти вправо, утворюючи масив коефіцієнтів.

А плюс b до потужності 0 дорівнює 1. Верхній рівень трикутника Паскаля - 1. A плюс b до потужності 1 дорівнює 1 a плюс 1 b Другий рівень трикутника Паскаля дорівнює 1, 1. А плюс б до потужності 2 дорівнює 1 а до потужності 2 плюс 2 а б плюс 1 б до потужності 2. Третій рівень трикутника Паскаля - 1, 2, 1. А плюс б до потужності 3 дорівнює 1 а до потужності 3 плюс 3 а до потужності 2 б плюс 3 а б до потужності 2 плюс 1 б до потужності 3. Четвертий рівень трикутника Паскаля - 1,3,3,1. А плюс б до потужності 4 дорівнює 1 а до потужності 4 плюс 4 а до потужності 3 б плюс 6 а до потужності 2 б до потужності 2 плюс 4 а б до потужності 3 плюс 1 б до потужності 4. П'ятий рівень трикутника Паскаля - 1, 4, 6, 4, 1. А плюс б до потужності 5 дорівнює 1 а до потужності 5 плюс 5 а до потужності 4 б плюс 10 а до потужності 3 б до потужності 2 плюс 10 а до потужності 2 б до потужності 2 б до потужності 3. Шостий ряд трикутника Паскаля - 1, 5, 10, 10, 5, 1. — Малюнок 12.4.3

Масив праворуч називається трикутником Паскаля. Зверніть увагу, що кожне число в масиві є сумою двох найближчих чисел у рядку вище. Ми можемо знайти наступний рядок, починаючи і закінчуючи одним, а потім додаючи два сусідніх числа.

На цьому малюнку зображений трикутник Паскаля. Перший рівень - 1. Другий рівень - 1, 1. Третій рівень - 1, 2, 1. Четвертий рівень - 1, 3, 3, 1. П'ятий рівень - 1, 4, 6, 4, 1. Шостий рівень - 1, 5, 10, 10, 5, 1. Сьомий рівень - 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. — Малюнок 12.4.4

Цей трикутник дає коефіцієнти членів, коли ми розширюємо біноми.

Визначення$\PageIndex{1}$

Трикутник Паскаля

У наступному прикладі ми будемо використовувати цей трикутник і шаблони, які ми розпізнали, щоб розширити біном.

Приклад$\PageIndex{1}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+y)^{6}$.

Рішення:

Ми знаємо, що змінні для цього розширення будуть слідувати шаблону, яку ми визначили. Ненульові показники$x$ будуть починатися з шести і зменшуватися до одиниці. Ненульові показники$y$ будуть починатися з одиниці і збільшуватися до шести. Сума показників у кожному семестрі буде шість. У нашій викрійці,$a=x$ і$b=y$.

$\begin{array}{l}{(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1} b^{1}+\_\_\_a^{n-2} b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n}} \\ {(x+y)^{6}=x^{6}+\_\_\_x^{5} y^{1}+\_\_\_x^{4} y^{2}+\_\_\_x^{3} y^{3}+\_\_\_x^{2} y^{4}+\_\_\_x^{1} y^{5}+y^{6}}\end{array}$

На цьому малюнку показано плюс b до степеня n дорівнює a до потужності n плюс a до потужності, якщо n мінус 1 b до степені 1 плюс a до потужності n мінус 2 b до потужності якщо 2 плюс трикрапка плюс a до потужності 1 b до потужності n мінус 1 плюс b до потужності n. з 6 дорівнює х до потужності 6 плюс х до потужності 5 у до потужності 1 плюс х до потужності 4 у до потужності 2 плюс х до потужності 3 у до потужності 3 плюс х до потужності 2 у до потужності 4 плюс х до потужності 4 плюс х до потужності 1 у до потужності 5 плюс у потужності 5 плюс у до потужності 6. — Малюнок 12.4.6

Вправа$\PageIndex{1}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+y)^{5}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(p+q)^{7}$.

Відповідь: $\begin{array}{c}{p^{7}+7 p^{6} q+21 p^{5} q^{2}+35 p^{4} q^{3}} {+35 p^{3} q^{4}+21 p^{2} q^{5}+7 p q^{6}+q^{7}}\end{array}$

У наступному прикладі ми хочемо розширити біном з однією змінною і однією константою. Нам потрібно визначити$a$ і акуратно$b$ нанести візерунок.

Приклад$\PageIndex{2}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+3)^{5}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

На цьому малюнку показано, як ми ідентифікуємо плюс b до степені n, в шаблоні х плюс 3 до степені 5. — Малюнок 12.4.7

У нашій викрійці,$a=x$ і$b=3$.

Ми знаємо, що змінні для цього розширення будуть слідувати шаблону, яку ми визначили. Сума показників у кожному семестрі буде п'ять.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(x+3)^{5}=x^{5}+\_\_\_x^{4}\cdot3^{1}+\_\_\_x^{3}\cdot3^{2}+\_\_\_x^{2}\cdot3^{3}+\_\_\_x^{1}\cdot3^{4}+3^{5}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+2)^{4}$.

Відповідь: $x^{4}+8 x^{3}+24 x^{2}+32 x+16$

Вправа$\PageIndex{4}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(x+1)^{6}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{x^{6}+6 x^{5}+15 x^{4}+20 x^{3}+15 x^{2}} {+6 x+1}\end{array}$

У наступному прикладі біном є різниця, а перший член має постійну раз змінну. Після того, як ми виявимо$b$ кінець візерунка, ми повинні ще раз акуратно нанести візерунок.$a$

Приклад$\PageIndex{3}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(3x-2)^{4}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

На цьому малюнку показано, як ми ідентифікуємо плюс b до потужності n, в візерунку 3 х мінус 2 до степені 4. — Малюнок 12.4.9

У нашій викрійці,$a=3x$ і$b=-2$.

$(a+b)^{n}=a^{n}+\_\_\_a^{n-1}b^{1}+\_\_\_a^{n-2}b^{2}+\ldots+\_\_\_a^{1}b^{n-1}+b^{n} $

$(3 x-2 )^{4}=1 \cdot\left(\stackrel{3}{x}+4(3 x)^{3}(-2)^{1}+6(3 x)^{2}(-2)^{2}+4(3 x)^{1}(-2)^{3}+1 \cdot(-2)^{4}\right.$

$(3 x-2)^{4}=81 x^{4}+4\left(27 x^{3}\right)(-2)+6\left(9 x^{2}\right)(4)+4(3 x)(-8)+1 \cdot 16$

$(3 x-2 )^{4}=81 x^{4}-216 x^{3}+216 x^{2}-96 x+16$

Вправа$\PageIndex{5}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(2x-3)^{4}$.

Відповідь: $16 x^{4}-96 x^{3}+216 x^{2}-216 x+81$

Вправа$\PageIndex{6}$

Використовуйте трикутник Паскаля, щоб розширити$(2x-1)^{6}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{64 x^{6}-192 x^{5}+240 x^{4}-160 x^{3}} {+60 x^{2}-12 x+1}\end{array}$

Оцініть біноміальний коефіцієнт

Хоча трикутник Паскаля є одним із методів розширення біноміалу, ми також розглянемо інший метод. Перш ніж ми перейдемо до цього, нам потрібно ввести ще кілька факторіальних позначень. Це позначення використовується не тільки для розширення біноміалів, але і при вивченні та використанні ймовірності.

Щоб знайти коефіцієнти членів розширених біноміалів, нам потрібно буде вміти оцінювати позначення,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ яке називається біноміальним коефіцієнтом. Читаємо$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ як «$n$вибрати$r$» або «$n$$r$взято за раз».

Визначення$\PageIndex{1}$

Біноміальний коефіцієнт$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$, де$r$ і$b$ є цілими числами з$0 \leq r \leq n$, визначається як

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Ми читаємо$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ як «$n$вибрати$r$» або «$n$$r$взято за раз».

Приклад$\PageIndex{4}$

Оцініть:

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Рішення:

а. скористаємося визначенням біноміального коефіцієнта,

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=5, r=1$.

$\frac{5 !}{1 !(5-1) !}$

Спростити.

$\frac{5 !}{1 !(4) !}$

Перепишіть$5!$ як$5\cdot 4!$

$\frac{5 \cdot 4 !}{1 ! \cdot 4 !}$

Спростити, видаливши загальні фактори.

$\frac{5\cdot \cancel{4 !}}{1 ! \cdot \cancel{4 !}}$

Спростити.

$5$

$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {1}\end{array}\right)=5$

б.$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=7, r=7$.

$\frac{7 !}{7 !(7-7) !}$

Спростити.

$\frac{7 !}{7 !(0) !}$

Спростити. Пам'ятайте$0!=1$.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {7}\end{array}\right)=1$

c.$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=4, r=0$.

$\frac{4 !}{0 !(4-0) !}$

Спростити.

$\frac{4 !}{0 !(4) !}$

Спростити.

$1$

$\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)=1$

д.$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)$

Використовуйте визначення$\left( \stackrel{5}{1}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$, де$n=8, r=5$.

$\frac{8 !}{5 !(8-5) !}$

Спростити.

$\frac{8 !}{5 !(3) !}$

Перепишіть$8!$ як$8\cdot 7\cdot 6\cdot 5!$ і видаліть загальні фактори.

$\frac{8\cdot7\cdot\cancel{6}\cdot\cancel{5!}}{\cancel{5!}\cdot\cancel{3}\cdot\cancel{2}\cdot1}$

Спростити.

$56$

$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {5}\end{array}\right)=56$

Вправа$\PageIndex{7}$

Оцініть кожен біноміальний коефіцієнт:

$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{8} \\ {8}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{7} \\ {3}\end{array}\right)$

Відповідь

$6$
$1$
$1$
$35$

Вправа$\PageIndex{8}$

Оцініть кожен біноміальний коефіцієнт:

$\left( \begin{array}{l}{2} \\ {1}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{11} \\ {11}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{9} \\ {0}\end{array}\right)$
$\left( \begin{array}{l}{6} \\ {5}\end{array}\right)$

Відповідь

$2$
$1$
$1$
$6$

У попередньому прикладі$(a)$$(b)$,$(c)$ продемонструвати деякі особливі властивості біноміальних коефіцієнтів.

Визначення$\PageIndex{2}$

Властивості біноміальних коефіцієнтів

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

Використовуйте біноміальну теорему для розширення біноміалу

Тепер ми готові використовувати альтернативний метод розширення біноміалів. Біноміальна теорема використовує ту саму закономірність для змінних, але використовує біноміальний коефіцієнт для коефіцієнта кожного члена.

Визначення$\PageIndex{3}$

Біноміальна теорема

Для будь-яких дійсних чисел$a$ і$b$, і натуральних чисел$n$,

$(a+b)^{n}=\left( \begin{array}{c}{n} \\ {0}\end{array}\right) a^{n}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {1}\end{array}\right) a^{n-1} b^{1}+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {2}\end{array}\right) a^{n-2} b^{2}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}+\ldots+\left( \begin{array}{c}{n} \\ {n}\end{array}\right) b^{n}$

Приклад$\PageIndex{5}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(p+q)^{4}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

На цьому малюнку показано, як ми ідентифікуємо a плюс b до степені n, в шаблоні p плюс q до степені 4. — Малюнок 12.4.11

У нашій викрійці,$a=p$ і$b=q$.

Використовуємо біноміальну теорему.

Підставляємо в значення$a=p, b=q$ і$n=4$.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{c}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{4-1} q^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{4-2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p^{4-3} q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Спростіть показники.

$(p+q)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right) p^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right) p^{3} q+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right) p^{2} q^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right) p q^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) q^{4}$

Оцініть коефіцієнти, пам'ятайте,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(p+q)^{4}=1 p^{4}+4 p^{3} q^{1}+\frac{4 !}{2 !(2) !} p^{2} q^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !} p^{1} q^{3}+1 q^{4}$
$(p+q)^{4}=p^{4}+4 p^{3} q+6 p^{2} q^{2}+4 p q^{3}+q^{4}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(x+y)^{5}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{x^{5}+5 x^{4} y+10 x^{3} y^{2}+10 x^{2} y^{3}} {+5 x y^{4}+y^{5}}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(m+n)^{6}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{m^{6}+6 m^{5} n+15 m^{4} n^{2}+20 m^{3} n^{3}} {+15 m^{2} n^{4}+6 m n^{5}+n^{6}}\end{array}$

Зверніть увагу, що коли ми розширили$(p+q)^{4}$ в останньому прикладі, використовуючи Біноміальну теорему, ми отримали ті самі коефіцієнти, які ми отримали б від використання трикутника Паскаля.

Цифра вище P плюс q до потужності 4 дорівнює 4 вибрати 0 разів р до потужності 4 плюс 4 вибрати 1 раз р до потужності 3 q плюс 4 вибрати 2 рази р до потужності 2 q до потужності 2 плюс 4 вибрати 3 рази р q до потужності 3 плюс 4 до потужності 3 плюс 4 вибрати 4 рази q до потужності 3 плюс 4 вибрати 4 рази q до потужності 4. P плюс q до потужності 4 дорівнює p до потужності 4 р до потужності 3 q плюс 6 р до потужності 2 q до потужності 2 плюс 4 р q до потужності 3 плюс q до потужності 3 плюс q до потужності 4. Ця цифра праворуч показує трикутник Паскаля. Перший рівень - 1. Другий рівень - 1, 1. Третій рівень - 1, 2, 1. Четвертий рівень - 1, 3, 3, 1. П'ятий рівень - 1, 4, 6, 4, 1. Шостий рівень - 1, 5, 10, 10, 5, 1. Сьомий рівень - 1, 6, 15, 20, 15, 6, 1. — Малюнок 12.4.12

Наступний приклад, біноміал - це різниця. Коли біноміал - це різниця, ми повинні бути обережними у визначенні значень, які ми будемо використовувати у шаблоні.

Приклад$\PageIndex{6}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(x-2)^{5}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

Ця цифра показує х мінус 2 до потужності 5. — Малюнок 12.4.13

У нашій викрійці,$a=x$ і$b=-2$.

Використовуємо біноміальну теорему.

Підставляємо в значення$a=x, b=-2$, і$n=5$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{5-1}(-2)^{1}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{5-2}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{5-3}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x^{5-4}(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

Спростити коефіцієнти. Пам'ятайте,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$.

$(x-2)^{5}=\left( \begin{array}{l}{5} \\ {0}\end{array}\right) x^{5}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {1}\end{array}\right) x^{4}(-2)+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {2}\end{array}\right) x^{3}(-2)^{2}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {3}\end{array}\right) x^{2}(-2)^{3}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {4}\end{array}\right) x(-2)^{4}+\left( \begin{array}{c}{5} \\ {5}\end{array}\right)(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=1 x^{5}+5(-2) x^{4}+\frac{5 !}{2 ! \cdot 3 !}(-2)^{2} x^{3}+\frac{5 !}{3 ! 2 !}(-2)^{3} x^{2}+\frac{5 !}{4 !1 !}(-2)^{4} x+1(-2)^{5}$

$(x-2)^{5}=x^{5}+5(-2) x^{4}+10 \cdot 4 \cdot x^{3}+10(-8) x^{2}+5 \cdot 16 \cdot x+1(-32)$

$(x-2)^{5}=x^{5}-10 x^{4}+40 x^{3}-80 x^{2}+80 x-32$

Вправа$\PageIndex{11}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(x-3)^{5}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{x^{5}-15 x^{4}+90 x^{3}-270 x^{2}} {+405 x-243}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(y-1)^{6}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{y^{6}-6 y^{5}+15 y^{4}-20 y^{3}+15 y^{2}} {-6 y+1}\end{array}$

Речі можуть стати брудними, коли обидва терміни мають коефіцієнт і змінну.

Приклад$\PageIndex{7}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(2x-3y)^{4}$.

Рішення:

Визначаємо$a$ і по$b$ викрійці.

На цьому малюнку показано, як ми ідентифікуємо плюс b до степені n, в візерунку 2 х мінус 3 y рази потужність 4. — Малюнок 12.4.14

У нашій викрійці,$a=2x$ і$b=-3y$.

Використовуємо біноміальну теорему.

Підставляємо в значення$a=2x, b=-3y$ і$n=4$.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{4-1}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{4-2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{4-3}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right) (-3y)^{4}$

Спростіть показники.

$(2 x-3 y)^{4}=\left( \begin{array}{l}{4} \\ {0}\end{array}\right)(2 x)^{4}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {1}\end{array}\right)(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {2}\end{array}\right)(2 x)^{2}(-3 y)^{2}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {3}\end{array}\right)(2 x)^{1}(-3 y)^{3}+\left( \begin{array}{c}{4} \\ {4}\end{array}\right)(-3 y)^{4}$

Оцініть коефіцієнти. Пам'ятайте,$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1, \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

$(2 x-3 y)^{4}=1(2 x)^{4}+4(2 x)^{3}(-3 y)^{1}+\frac{4 !}{2 !(2 x) !}(2 x)^{2}+\frac{4 !}{3 !(4-3) !}(2 x)^{3}(-3 y)^{3}+1(-3 y)^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}+4 \cdot 8 x^{3}(-3 y)+6\left(4 x^{2}\right)\left(9 y^{2}\right)+4(2 x)\left(-27 y^{3}\right)+81 y^{4}$

$(2 x-3 y)^{4}=16 x^{4}-96 x^{3} y+216 x^{2} y^{2}-216 x y^{3}+81 y^{4}$

Вправа$\PageIndex{13}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(3x-2y)^{5}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{243 x^{5}-810 x^{4} y+1080 x^{3} y^{2}} {-720 x^{2} y^{3}+240 x y^{4}-32 y^{5}}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{14}$

Використовуйте Біноміальну теорему для розширення$(4x-3y)^{4}$.

Відповідь: $\begin{array}{l}{256 x^{4}-768 x^{3} y+864 x^{2} y^{2}} {-432 x y^{3}+81 y^{4}}\end{array}$

Справжня краса біноміальної теореми полягає в тому, що вона дає формулу для будь-якого конкретного члена розширення без необхідності обчислювати всю суму. Давайте пошукаємо закономірність у біноміальної теоремі.

На цьому малюнку показано плюс б до потужності n дорівнює n вибрати 0 разів a до потужності n b до потужності 0 плюс п вибрати 1 раз a до потужності n мінус 1 b до 1 плюс n вибрати 2 рази a до потужності n мінус 2 b до потужності 2 плюс n плюс n вибрати r раз a до потужності n мінус r плюс r плюс плюс n раз a до потужності n мінус r плюс r плюс еліпсис плюс n вибираємо n разів b до степеня n. — Малюнок 12.4.15

Зверніть увагу, що в кожному випадку$b$ показник на одиницю менше, ніж число терміна. $(r+1)^{st}$Термін - це термін, де показник$b$ є$r$. Таким чином, ми можемо використовувати формат$(r+1)^{st}$ терміна, щоб знайти значення конкретного терміна.

Примітка

Знайдіть конкретний термін у біноміальному розширенні

$(r+1)^{s t}$Термін в розширенні$(a+b)^{n}$ - це

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right) a^{n-r} b^{r}$

Приклад$\PageIndex{8}$

Знайдіть четвертий термін$(x+y)^{7}$.

Рішення:

Таблиця 12.4.1
У нашій викрійці,$n=7, a=x$ і$b=y$.	$.$
Шукаємо четвертий термін. З тих пір$r+1=4$$r=3$.
Напишіть формулу	$.$
Підставляємо в значення$n=7, r=3, a=x$, і$b=y$.	$.$
$.$	$.$
Спростити.	$.$
Спростити.	$.$

Вправа$\PageIndex{15}$

Знайдіть третій термін$(x+y)^{6}$.

Відповідь: $15x^{4}y^{2}$

Вправа$\PageIndex{16}$

Знайдіть п'ятий термін$(a+b)^{8}$.

Відповідь: $8ab^{7}$

Приклад$\PageIndex{9}$

Знайти коефіцієнт$x^{6}$ терміну$(x+3)^{9}$.

Рішення:

Таблиця 12.4.2
У нашій викрійці, то$n=9, a=x$, і$b=3$.	$.$ Малюнок 12.4.23
Шукаємо коефіцієнт$x^{6}$ терміну. З тих пір$a=x$, і$x^{9-r}=x^{6}$, ми знаємо$r=3$.
Напишіть формулу.	$.$ Малюнок 12.4.24
Підставляємо в значення$n=9, 4=3, a=x$, і$b=3$.	$.$ Малюнок 12.4.25
$.$ Малюнок 12.4.26	$.$ Малюнок 12.4.27
Спростити.	$.$ Малюнок 12.4.28
Спростити.	$.$ Малюнок 12.4.29
Спростити.	$.$ Малюнок 12.4.30

Вправа$\PageIndex{17}$

Знайти коефіцієнт$x^{5}$ терміну$(x+4)^{8}$.

Відповідь: $7,168$

Вправа$\PageIndex{18}$

Знайти коефіцієнт$x^{4}$ терміну$(x+2)^{7}$.

Відповідь: $280$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з послідовностями.

Ключові поняття

Патерни в розширенні\ (a+b) ^ {n}\ (
- Кількість термінів - це$n+1$.
- Перший термін -$a^{n}$ і останній термін -$b^{n}$.
- Показники на$a$ зменшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
- Показники$b$ збільшення на одиницю на кожен термін йде зліва направо.
- Сума показників на будь-якому терміні дорівнює$n$.
Трикутник Паскаля

Біноміальний коефіцієнт $\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$: Біноміальний коефіцієнт$\left( \begin{array}{l}{\mathbf{n}} \\ {\mathbf{r}}\end{array}\right)$, де$r$ і$n$ є цілими числами з$0≤r≤n$, визначається як

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)=\frac{n !}{r !(n-r) !}$

Читаємо$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {r}\end{array}\right)$ як «$n$вибрати$r$» або «$n$$r$взято за раз».

Властивості біноміальних коефіцієнтів

$\left( \begin{array}{l}{n} \\ {1}\end{array}\right)=n \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {n}\end{array}\right)=1 \quad \left( \begin{array}{l}{n} \\ {0}\end{array}\right)=1$

Біноміальна теорема:

Для будь-яких дійсних чисел$a$$b$, і натуральних чисел$n$,

	Кількість термінів	Перший семестр	Останній термін
\((a+b)^{1}=a+b\)	\(2\)	\(a^{1}\)	\(b^{1}\)
\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\)	\(3\)	\(a^{2}\)	\(b^{2}\)
\((a+b)^{3}=a^{3}+3 a^{2} b+3 a b^{2}+b^{3}\)	\(4\)	\(a^{3}\)	\(b^{3}\)
\((a+b)^{4}=a^{4}+4 a^{3} b+6 a^{2} b^{2}+4 a b^{3}+b^{4}\)	\(5\)	\(a^{4}\)	\(b^{4}\)
\((a+b)^{5}=a^{5}+5 a^{4} b+10 a^{3} b^{2}+10 a^{2} b^{3}+5 a b^{4}+b^{5}\)	\(6\)	\(a^{5}\)	\(b^{5}\)
\((a+b)^{n}\)	\(n\)	\(a^{n}\)	\(b^{n}\)

Примітка

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Визначення\(\PageIndex{2}\)

Визначення\(\PageIndex{3}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Примітка

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

У нашій викрійці,\(n=7, a=x\) і\(b=y\).	$.$
Шукаємо четвертий термін. З тих пір\(r+1=4\)\(r=3\).
Напишіть формулу	$.$
Підставляємо в значення\(n=7, r=3, a=x\), і\(b=y\).	$.$
$.$	$.$
Спростити.	$.$
Спростити.	$.$

У нашій викрійці, то\(n=9, a=x\), і\(b=3\).	$.$ Малюнок 12.4.23
Шукаємо коефіцієнт\(x^{6}\) терміну. З тих пір\(a=x\), і\(x^{9-r}=x^{6}\), ми знаємо\(r=3\).
Напишіть формулу.	$.$ Малюнок 12.4.24
Підставляємо в значення\(n=9, 4=3, a=x\), і\(b=3\).	$.$ Малюнок 12.4.25
$.$ Малюнок 12.4.26	$.$ Малюнок 12.4.27
Спростити.	$.$ Малюнок 12.4.28
Спростити.	$.$ Малюнок 12.4.29
Спростити.	$.$ Малюнок 12.4.30