12.2: Послідовності

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Напишіть перші кілька термінів послідовності
• Знайти формулу для загального члена (n-го члена) послідовності
• Використовувати факторіальні позначення
• Знайти часткову суму
• Використовуйте позначення підсумовування, щоб записати суму

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Оцінити$2n+3$ для цілих чисел$1, 2, 3$, і$4$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.6.
2. Оцінити$(−1)^{n}$ для цілих чисел$1, 2, 3$, і$4$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.19.
3. Якщо$f(n)=n^{2}+2$, знайдіть$f(1)+f(2)+f(3)$.
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.49.

Напишіть перші кілька термінів послідовності

Давайте подивимося на функцію$f(x)=2x$ і оцінимо її лише для підрахунку чисел.

Таблиця 12.1.1

$f(x)=2x$
$x$	$2x$
$1$	$2$
$2$	$4$
$3$	$6$
$4$	$8$
$5$	$10$
$...$	$...$

Якщо ми перерахуємо значення функції в порядку як$2, 4, 6, 8$, і$10$,... у нас є послідовність. Послідовність - це функція, доменом якої є підрахунок чисел.

Визначення$\PageIndex{1}$

Послідовність - це функція, доменом якої є підрахунок чисел.

Послідовність також може розглядатися як упорядкований список чисел, і кожне число у списку є терміном. Послідовність може мати нескінченну кількість членів або кінцеву кількість членів. Наша послідовність має три крапки (крапки) в кінці, що вказує на те, що список ніколи не закінчується. Якщо домен являє собою набір всіх рахункових чисел, то послідовність є нескінченною послідовністю. Його домен - це все підрахунок чисел і існує нескінченна кількість підрахунку чисел.

$2,4,6,8,10, \dots$

Якщо обмежити домен кінцевим числом підрахунку чисел, то послідовність є кінцевою послідовністю. Якщо ми використовуємо лише перші чотири числа підрахунку,$1, 2, 3, 4$ наша послідовність буде кінцевою послідовністю,

$2,4,6,8$

Часто при роботі з послідовностями ми не хочемо виписувати всі терміни. Ми хочемо більш компактний спосіб показати, як визначається кожен термін. Коли ми працювали з функціями, ми писали,$f(x)=2x$ і ми сказали, що вираз$2x$ було правило, яке визначало значення в діапазоні. Хоча послідовність є функцією, ми не використовуємо звичні позначення функції. Замість того, щоб писати функцію як$f(x)=2x$, ми б написали її як$a_{n}=2n$. The$a_{n}$ -$n$ й член послідовності, термін у тій$n$ позиції, де$n$ - значення в області. Формула запису$n$ -го члена послідовності називається загальним терміном або формулою послідовності.

Визначення$\PageIndex{2}$

Загальний термін послідовності знаходять з формули запису$n$ го члена послідовності. Термін послідовності$a_{n}$, - це термін у тій$n$ позиції,$n$ де значення в області.$n$

Коли нам дається загальний термін послідовності, ми можемо знайти терміни, замінивши на$n$ підрахунок чисел по порядку. Для$a_{n}=2 n$,

Таблиця 12.1.2

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$
$a_{n}$	2$\cdot 1$	2$\cdot 2$	2$\cdot 3$	2$\cdot 4$	2$\cdot 5$	2$\cdot 6$
	$2$	$4$	$6$	$8$	$10$

$a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \quad a_{4}, \quad a_{5}, \ldots, \quad a_{n}, \dots$

$2, \quad 4, \quad 6, \quad 8, \quad10, \dots$

Щоб знайти значення послідовності, підставляємо в підрахунку чисел по порядку в загальний член послідовності.

Приклад$\PageIndex{1}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=4 n-3$.

Рішення:

Підставляємо значення$1, 2, 3, 4$, і$5$ в формулу$a_{n}=4n−3$, по порядку.

Малюнок 12.1.1

Відповідь:

Перші п'ять членів послідовності є$1, 5, 9, 13$, і$17$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=3n-4$.

Відповідь

$-1,2,5,8,11$

Вправа$\PageIndex{2}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=2n-5$.

Відповідь

$-3,-1,1,3,5$

Для деяких послідовностей змінна є експонентою.

Приклад$\PageIndex{2}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=2^{n}+1$.

Рішення:

Підставляємо значення$1, 2, 3, 4$, і$5$ в формулу$a_{n}=2^{n}+1$, по порядку.

Малюнок 12.1.2

Відповідь:

Перші п'ять членів послідовності є$3, 5, 9, 17$, і$33$.

Вправа$\PageIndex{3}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=3^{n}+4$.

Відповідь

$7,13,31,85,247$

Вправа$\PageIndex{4}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=2^{n}-5$.

Відповідь

$-3,-1,3,11,27$

Не рідкість бачити вирази$(−1)^{n}$ або$(−1)^{n+1}$ в загальному терміні для послідовності. Якщо ми оцінюємо кожне з цих виразів за кілька значень, то побачимо, що цей вираз чергує знак для термінів.

Таблиця 12.1.3

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
\ (n\) ">$(-1)^{n}$	\ (1\) ">$(-1)^{1}$ $-1$	\ (2\) ">$(-1)^{2}$ 1	\ (3\) ">$(-1)^{3}$ $-1$	\ (4\) ">$(-1)^{4}$ $1$	\ (5\) ">$(-1)^{5}$ $-1$
\ (n\) ">$(-1)^{n+1}$	\ (1\) ">$(-1)^{1+1}$ 1	\ (2\) ">$(-1)^{2+1}$ $-1$	\ (3\) ">$(-1)^{3+1}$ 1	\ (4\) ">$(-1)^{4+1}$ $-1$	\ (5\) ">$(-1)^{5+1}$ 1

$a_{1}, \quad a_{2}, \quad a_{3}, \quad a_{4}, \quad a_{5}, \dots, \quad a_{n}, \dots$

$\begin{array}{rrrr}{-1,} & {1,} & {-1,} & {1,} & {-1 \ldots} \\ {1,} & {-1,} & {1,} & {-1,} & {1 \ldots}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{3}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=(-1)^{n} n^{3}$.

Рішення:

Підставляємо значення$1, 2, 3, 4$, і$5$ в формулу$a_{n}=(-1)^{n} n^{3}$, по порядку.

Малюнок 12.1.3

Відповідь:

Перші п'ять членів послідовності є$−1, 8, −27, 64, −1, 8, −27, 64$, і$−125$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=(-1)^{n} n^{2}$.

Відповідь

$-1,4,-9,16,-25$

Вправа$\PageIndex{6}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=(-1)^{n+1} n^{3}$.

Відповідь

$1,-8,27,-64,125$

Знайти формулу для загального члена ($n$го члена) послідовності

Іноді у нас є кілька термінів послідовності, і було б корисно знати загальний термін або$n$ термін. Щоб знайти загальний термін, шукаємо закономірності в термінами. Часто шаблони включають кратні або повноваження. Також шукаємо закономірність в знаках термінів.

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані. $4,8,12,16,20, \dots$

Рішення:

Таблиця 12.1.4

Шукаємо викрійку в терміни.
Числа є кратними$4$.
	Загальним терміном послідовності є$a_{n}=4n$.

Відповідь:

Загальним терміном послідовності є$a_{n}=4n$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані.

$3,6,9,12,15, \dots$

Відповідь

$a_{n}=3 n$

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані.

$5,10,15,20,25, \dots$

Відповідь

$a_{n}=5 n$

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані. $2,-4,8,-16,32, \dots$

Рішення:

Таблиця 12.1.5

	Малюнок 12.1.8
	Малюнок 12.1.9
Шукаємо викрійку в терміни.	Малюнок 12.1.10
Цифри - це повноваження$2$. Прикмети чергуються, з навіть$n$ негативними.	Малюнок 12.1.11
	Загальний термін послідовності$a_{n}=(-1)^{n+1} 2^{n}$

Відповідь:

Загальним терміном послідовності є$a_{n}=(-1)^{n+1}2^{n}$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані.

$-3,9,-27,81,-243, \dots$

Відповідь

$a_{n}=(-1)^{n} 3^{n}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайти загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані

$1,-4,9,-16,25, \dots$

Відповідь

$a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2}$

Приклад$\PageIndex{6}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані. $\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, \frac{1}{27}, \frac{1}{81}, \frac{1}{243}, \dots$

Рішення:

Таблиця 12.1.6

	Малюнок 12.1.12
	Малюнок 12.1.13
Шукаємо викрійку в терміни.	Малюнок 12.1.14
Чисельники - це все$1$.	Малюнок 12.1.15
Знаменниками є повноваження$3$.	Загальним терміном послідовності є$a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$.

Відповідь:

Загальним терміном послідовності є$a_{n}=\frac{1}{3^{n}}$.

Вправа$\PageIndex{11}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані.

$\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, \dots$

Відповідь

$a_{n}=\frac{1}{2^{n}}$

Вправа$\PageIndex{12}$

Знайдіть загальний термін для послідовності, перші п'ять членів якої показані.

$\frac{1}{1}, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, \dots$

Відповідь

$a_{n}=\frac{1}{n^{2}}$

Використовувати факторіальні позначення

Послідовності часто мають терміни, які є добутком послідовних цілих чисел. Ми вказуємо ці вироби спеціальним позначенням, званим факторіальними позначеннями. Наприклад$5!$, читати$5$ факторіал, значить$5⋅4⋅3⋅2⋅1$. Знак оклику тут не є розділовим знаком; він вказує на факторіальні позначення.

Визначення$\PageIndex{3}$

Якщо$n$ є натуральним числом,$n!$ то

$n !=n(n-1)(n-2) \dots$

Визначаємо$0!$ як$1$, так$0!=1$.

Показані значення$n!$ для перших$5$ натуральних чисел.

$\begin{array}{ccccc}{1 !} & {2 !} & {3 !} & {4 !} & {5 !} \\ {1} & \quad{2 \cdot 1} & \quad {3 \cdot 2 \cdot 1} & \quad{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} & \quad {5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \\ {1} & {2} & {6} & {24} & {120}\end{array}$

Приклад$\PageIndex{7}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=\frac{1}{n !}$.

Рішення:

Підставляємо значення$1, 2, 3, 4, 5$ в формулу$a_{n}=\frac{1}{n !}$, по порядку.

Малюнок 12.1.16

Відповідь:

Перші п'ять членів послідовності є$1, \frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{24}, \frac{1}{120}$.

Вправа$\PageIndex{13}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=\frac{2}{n !}$.

Відповідь

$2,1, \frac{1}{3}, \frac{1}{12}, \frac{1}{60}$

Вправа$\PageIndex{14}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=\frac{3}{n !}$.

Відповідь

$3, \frac{3}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{8}, \frac{1}{40}$

Коли в чисельнику та знаменнику є дріб з факторіалами, ми вирівнюємо коефіцієнти вертикально, щоб полегшити наші розрахунки.

Приклад$\PageIndex{8}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=\frac{(n+1) !}{(n-1) !}$.

Рішення:

Підставляємо значення$1, 2, 3, 4, 5$ в формулу$a_{n}=\frac{(n+1) !}{(n-1) !}$, по порядку.

Малюнок 12.1.17

Відповідь:

Перші п'ять членів послідовності є$2, 6, 12, 20$, і$30$.

Вправа$\PageIndex{15}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої$a_{n}=\frac{(n-1) !}{(n+1) !}$

Відповідь

$\frac{1}{2}, \frac{1}{6}, \frac{1}{12}, \frac{1}{20}, \frac{1}{30}$

Вправа$\PageIndex{16}$

Напишіть перші п'ять членів послідовності, загальний термін якої дорівнює$a_{n}=\frac{n !}{(n+1) !}$.

Відповідь

$\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \frac{1}{6}$

Знайти часткову суму

Іноді в додатках, а не просто перераховувати терміни, нам важливо додати терміни послідовності. Замість того, щоб просто з'єднувати терміни зі знаками плюс, ми можемо використовувати підсумовувальні позначення.

Наприклад,$a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}$ може бути написано як$\sum_{i=1}^{5} a_{i}$. Ми читаємо це як «сума$a$ суб$i$ від$i$ дорівнює один до п'яти». Символ$∑$ означає додати і індекс$i$ підсумовування. The$1$ говорить нам, з чого почати (початкове значення), а потім$5$ говорить нам, де закінчити (термінальне значення).

Визначення$\PageIndex{4}$

Сума перших$n$ членів послідовності, чий$n$ член$a_{n}$ записується в підсумовувальному позначенні як:

$\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{n}$

The$i$ є індекс підсумовування, і він$1$ говорить нам, з чого почати, а потім$n$ говорить нам, де закінчити.

Коли ми додаємо кінцеве число членів, ми називаємо суму частковою сумою.

Приклад$\PageIndex{9}$

Розгорніть часткову суму і знайдіть її значення:$\sum_{i=1}^{5} 2 i$.

Рішення:

Таблиця 12.1.7

	$\sum_{i=1}^{5} 2 i$
Підставляємо значення$1, 2, 3, 4, 5$ по порядку.	$2 \cdot 1+2 \cdot 2+2 \cdot 3+2 \cdot 4 + 2 \cdot 5$
Спростити.	$2+4+6+8+10$
Додати.	$\begin{array} {c} 30\\ \sum_{i=1}^{5} 2 i=30 \end{array}$

Відповідь:

$\begin{array} {c} 30\\ \sum_{i=1}^{5} 2 i=30 \end{array}$

Вправа$\PageIndex{17}$

Розгорніть часткову суму і знайдіть її значення:$\sum_{i=1}^{5} 3 i$.

Відповідь

$45$

Вправа$\PageIndex{18}$

Розгорніть часткову суму і знайдіть її значення:$\sum_{i=1}^{5} 4 i$.

Відповідь

$60$

Індекс не завжди повинен бути,$i$ ми можемо використовувати будь-яку букву, але$i$ і зазвичай$k$ використовуються. Індекс не повинен починатися ні з одного$1$ - він може починатися і закінчуватися будь-яким додатним цілим числом.

Приклад$\PageIndex{10}$

Розгорніть часткову суму і знайдіть її значення:$\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}$.

Рішення:

$\begin{array}{c c} {}&{\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}} \\ {We\:substitute\:the\:values\:0,1,2,3\:in\:order.}&{\frac{1}{1}+\frac{1}{1 !}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{3 !}} \\ {Evaluate\:the\:factorials.}& {\frac{1}{1}+\frac{1}{1}+\frac{1}{2 !}+\frac{1}{6}} \\ {Simplify.}&{1+1+\frac{3}{6}+\frac{1}{6}} \\{Simplify.}& {\frac{16}{6}} \\ {Simplify.}&{\frac{8}{3}} \\{}& {\sum_{k=0}^{3} \frac{1}{k !}=\frac{8}{3}}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{19}$

Розгорніть часткову суму і знайдіть її значення:$\sum_{k=0}^{3} \frac{2}{k !}$.

Відповідь

$\frac{16}{3}$

Вправа$\PageIndex{20}$

Розгорніть часткову суму і знайдіть її значення:$\sum_{k=0}^{3} \frac{3}{k !}$.

Відповідь

$8$

Використовуйте позначення підсумовування для написання суми

В останніх двох прикладах ми перейшли від підсумовувальних позначень до виписування суми. Тепер почнемо з суми і змінимо її на підсумовувальні позначення. Це дуже схоже на знаходження загального терміну послідовності. Нам потрібно буде подивитися терміни і знайти закономірність. Часто шаблони включають кратні або повноваження.

Приклад$\PageIndex{11}$

Запишіть суму, використовуючи підсумовувальні позначення:$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}$.

Рішення:

$\begin{array} {}&{ 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}} \\ {}&{n : 1,2,3,4,5} \\ {\text{We look for a pattern in the terms.}}&{\text { Terms: } 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}} \\ {\text{The numerators are all one.}}&{\text { Pattern: } \frac{1}{1}, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots \frac{1}{n}} \\ {\text{The denominators are the counting numbers from one to five.}}&{\text{The sum written in summation notation}} \\ {}&{1 + \frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\sum^{5}_{n=1} \frac{1}{n}.} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{21}$

Запишіть суму, використовуючи підсумовувальні позначення:$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\frac{1}{32}$.

Відповідь

$\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{2^{n}}$

Вправа$\PageIndex{22}$

Запишіть суму, використовуючи підсумовувальні позначення:$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{16}+\frac{1}{25}$

Відповідь

$\sum_{n=1}^{5} \frac{1}{n^{2}}$

Коли члени суми мають негативні коефіцієнти, треба уважно проаналізувати закономірність знаків.

Приклад$\PageIndex{12}$

Запишіть суму, використовуючи підсумовувальні позначення:$-1+8-27+64-125$.

Рішення:

Таблиця 12.1.8

	Малюнок 12.1.18
	Малюнок 12.1.19
Шукаємо викрійку в терміни.	Малюнок 12.1.20
Знаки термінів чергуються, а непарні - негативні.	Малюнок 12.1.21
Цифри - це куби рахункових чисел від одного до п'яти.	Малюнок 12.1.22
	Малюнок 12.1.23
	Сума, записана в підсумовувальних позначеннях
	$-1+8-27+64-125=\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} \cdot n^{3}$

Вправа$\PageIndex{23}$

Запишіть кожну суму, використовуючи підсумовувальні позначення:$1-4+9-16+25$.

Відповідь

$\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} n^{2}$

Вправа$\PageIndex{24}$

Запишіть кожну суму, використовуючи підсумовувальні позначення:$-2+4-6+8-10$.

Відповідь

$\sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} 2 n$

Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткової інструкції та практики з послідовностями.

https://openstax.org/l/37serseqfindpat

Ключові концепції

• Факторіальні позначення

Якщо$n$ є натуральним числом,$n!$ то

$n !=n(n-1)(n-2) \ldots(3)(2)(1)$

Визначаємо$0!$ як$1$, так$0!=1$

• Позначення підсумовування

Сума перших$n$ членів послідовності,$n$ -й член якої$a_{n}$ записується в підсумовувальному позначенні, як:

$\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+\ldots+a_{n}$

The$i$ є індекс підсумовування, і він$1$ говорить нам, з чого почати, а потім$n$ говорить нам, де закінчити.

Глосарій

скінченна послідовність

Послідовність з доменом, яка обмежена кінцевим числом підрахунку чисел.

загальний термін послідовності

Загальним терміном послідовності є формула для запису$n$ го члена послідовності. Термін послідовності$a_{n}$, - це термін у тій$n$ позиції,$n$ де значення в області.$n$

нескінченна послідовність

Послідовність, домен якої - це все підрахунок чисел і існує нескінченна кількість підрахунку чисел.

часткова сума

Коли ми додаємо скінченне число членів послідовності, ми називаємо суму частковою сумою.

послідовність

Послідовність - це функція, доменом якої є підрахунок чисел.