9.8: Квадратичні функції графа з використанням перетворень

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59697

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Графік квадратичних функцій виду$f(x)=x^{2}+k$
Графік квадратичних функцій виду$f(x)=(x−h)^{2}$
Графік квадратичних функцій виду$f(x)=ax^{2}$
Графік квадратичних функцій з використанням перетворень
Знайти квадратичну функцію з її графіка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Графік функції$f(x)=x^{2}$ шляхом побудови точок.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.54.
Фактор повністю:$y^{2}−14y+49$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.24.
Фактор повністю:$2x^{2}−16x+32$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.26.

Графік квадратичних функцій форми$f(x)=x^{2}+k$

В останньому розділі ми дізналися, як графувати квадратичні функції, використовуючи їх властивості. Інший метод передбачає початок з базового графіка$f(x)=x^{2}$ і «переміщення» його відповідно до інформації, наведеної в рівнянні функції. Ми називаємо цю графіку квадратичними функціями за допомогою перетворень.

У першому прикладі ми проведемо графік квадратичної функції$f(x)=x^{2}$ шляхом побудови точок. Потім ми побачимо, який ефект додавання константи$k$, до рівняння матиме на графіку нової функції$f(x)=x^{2}+k$.

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік$f(x)=x^{2}$$g(x)=x^{2}+2$, і$h(x)=x^{2}−2$ на тій же прямокутній системі координат. Опишіть, який ефект додавання константи до функції має на основну параболу.

Рішення:

Побудова точок допоможе нам побачити вплив констант на базовому$f(x)=x^{2}$ графіку. Заповнюємо діаграму для всіх трьох функцій.

Таблиця, що зображує вплив констант на основну функцію x в квадраті. Таблиця має сім стовпців, позначені x, f x дорівнює x в квадраті, впорядкована пара (x, f x), g x дорівнює x в квадраті плюс 2, впорядкована пара (x, g x), h x дорівнює x в квадраті мінус 2, і впорядкована пара (x, h x). У стовпці x наведені значення є від'ємними 3, від'ємними 2, від'ємними 1, 0, 1, 2 та 3. У f x дорівнює x квадрат стовпця, значення 9, 4, 1, 0, 1, 4 і 9. У стовпці (x, f або x) наведено впорядковані пари (від'ємні 3, 9), (від'ємні 2, 4), (від'ємні 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4) та (3, 9). G x дорівнює x в квадраті плюс 2 стовпець містить вирази 9 плюс 2, 4 плюс 2, 1 плюс 2, 0 плюс 2, 1 плюс 2, 4 плюс 2 та 9 плюс 2. Стовпець (x, g або x) має впорядковані пари (від'ємний 3, 11), (від'ємний 2, 6), (від'ємний 1, 3), (0, 2), (1, 3), (2, 6) та (3, 11). У h x дорівнює x у квадраті мінус 2 стовпці, наведені вирази: 9 мінус 2, 4 мінус 2, 1 мінус 2, 0 мінус 2, 1 мінус 2, 1 мінус 2, 4 мінус 2 та 9 мінус 2. В останньому стовпці (x, h x) містить впорядковані пари (від'ємний 3, 7), (від'ємний 2, 2), (від'ємний 1, від'ємний 1), (0, від'ємний 2), (1, від'ємний 1), (2, 2) та (3, 7). — Малюнок 9.7.1

$g(x)$Значень на два більше, ніж$f(x)$ значень. Також$h(x)$ значення на два менше$f(x)$ значень. Тепер ми будемо графувати всі три функції на одній і тій же прямокутній системі координат.

На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Середина - граф f з x дорівнює x в квадраті має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Верхня парабола була переміщена вгору на 2 одиниці, а нижня була зрушена вниз на 2 одиниці. — Малюнок 9.7.2

Графік такої$g(x)=x^{2}+2$ ж, як і графік$2$ одиниць,$f(x)=x^{2}$ але зміщений вгору.

Графік такої$h(x)=x^{2}−2$ ж, як і графік$2$ одиниць,$f(x)=x^{2}$ але зміщений вниз.

Вправа$\PageIndex{1}$

Графік$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+1,$ і$h(x)=x^{2}-1$ на одній і тій же прямокутній системі координат.
Опишіть, який ефект додавання константи до функції має на основну параболу.

Відповідь

а.

На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Середній граф f x дорівнює x квадрат має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Верхня крива була переміщена вгору на 1 одиницю, а нижня була зрушена вниз на 1 одиницю. — Малюнок 9.7.3

б Графік такої$g(x)=x^{2}+1$ ж, як і графік$1$ одиниці,$f(x)=x^{2}$ але зміщений вгору. Графік такої$h(x)=x^{2}−1$ ж, як і графік$1$ одиниці,$f(x)=x^{2}$ але зсунутий вниз.

Вправа$\PageIndex{2}$

Графік$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+6,$ і$h(x)=x^{2}-6$ на одній і тій же прямокутній системі координат.
Опишіть, який ефект додавання константи до функції має на основну параболу.

Відповідь

а.

На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Середня крива - це графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Верхня крива була переміщена вгору на 6 одиниць, а нижня була зрушена вниз на 6 одиниць. — Малюнок 9.7.4

б Графік такої$h(x)=x^{2}+6$ ж, як і графік$6$ одиниць,$f(x)=x^{2}$ але зміщений вгору. Графік такої$h(x)=x^{2}-6$ ж, як і графік$6$ одиниць,$f(x)=x^{2}$ але зміщений вниз.

Останній приклад показує нам, що для графіка квадратичної функції форми$f(x)=x^{2}+k$ ми беремо базовий граф параболи$f(x)=x^{2}$ і вертикально зміщуємо його вгору$(k>0)$ або зсуваємо вниз$(k<0)$.

Таке перетворення називається вертикальним зрушенням.

Графік a квадратична функція форми з$f(x)=x^{2}+k$ використанням вертикального зсуву

Графік$f(x)=x^{2}+k$ зсувів графіка$f(x)=x^{2}$ вертикальних$k$ одиниць.

Якщо$k>0$, зсуньте параболу вертикально вгору$k$ одиниць.
Якщо$k<0$, зсуньте параболу вертикально вниз$|k|$ одиниць.

Тепер, коли ми побачили ефект константи$k$, легко графувати функції форми$f(x)=x^{2}+k$. Ми просто починаємо з основної параболи,$f(x)=x^{2}$ а потім зміщуємо її вгору або вниз.

Це може бути корисно практикувати ескізи$f(x)=x^{2}$ швидко. Ми знаємо значення і можемо накидати графік звідти.

На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, на координатній площині x y, з вершиною (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 4, 16), (негативні 3, 9), (негативні 2, 4), (негативні 1, 1), (1, 1), (2, 4), (3, 9), і (4, 16). — Малюнок 9.7.5

Як тільки ми дізнаємося цю параболу, застосувати перетворення буде легко. Наступний приклад зажадає вертикального зсуву.

Приклад$\PageIndex{2}$

Графік$f(x)=x^{2}−3$ за допомогою вертикального зсуву.

Рішення:

Таблиця 9.7.1
Спочатку малюємо графік$f(x)=x^{2}$ на сітці.	$На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, на координатній площині x y з вершиною (0, 0) з іншими точками на кривій, розташованої в (від'ємні 1, 1) і (1, 1). Це графік f з х дорівнює х в квадраті.$
Визначте$k$.	$.$
	$.$
Зсуньте графік$f(x)=x^{2}$ вниз$3$.	$На цьому малюнку показано 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Верхня крива - це графік f з x дорівнює x у квадраті, який має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Нижня крива була зрушена вниз на 3 одиниці.$

Вправа$\PageIndex{3}$

Графік$f(x)=x^{2}−5$ за допомогою вертикального зсуву.

Відповідь: $На цьому малюнку показані 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Верхня крива - це графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Нижня крива була зрушена вниз на 5 одиниць.$
Малюнок 9.7.10

Вправа$\PageIndex{4}$

Графік$f(x)=x^{2}+7$ за допомогою вертикального зсуву.

Відповідь: $На цьому малюнку показані 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Нижня крива - це графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Верхня крива була переміщена вгору на 7 одиниць.$
Малюнок 9.7.11

Графік квадратичних функцій форми$f(x)=(x-h)^{2}$

У першому прикладі ми намалювали квадратичну функцію$f(x)=x^{2}$ шляхом побудови точок, а потім побачили ефект додавання константи$k$ до функції had на результуючому графіку нової функції$f(x)=x^{2}+k$.

Тепер ми вивчимо ефект віднімання константи$h$, від$x$ has на результуючому графіку нової функції$f(x)=(x−h)^{2}$.

Приклад$\PageIndex{3}$

Графік$f(x)=x^{2}, g(x)=(x-1)^{2},$ і$h(x)=(x+1)^{2}$ на одній і тій же прямокутній системі координат. Опишіть, який ефект додавання константи до функції має на основну параболу.

Рішення:

$g(x)$Значення і$h(x)$ значення поділяють загальні числа$0, 1, 4, 9$, і$16$, але зміщуються.

Цифра говорить на першому рядку, що графік g x дорівнює кількості x мінус 1 квадрат такий же, як графік f з х дорівнює x в квадраті, але зміщений вправо 1 одиниця. У другому рядку зазначено, що графік h x дорівнює кількості x плюс 1 квадрат такий же, як графік f x дорівнює x в квадраті, але зміщений вліво 1 одиницю. Третій рядок фігури говорить, що g x дорівнює кількості x мінус 1 в квадраті зі стрілкою під ним, що вказує вправо з 1 одиницею, написаною поруч з ним. Нарешті, він дає h х дорівнює кількості х плюс 1 в квадраті зі стрілкою під ним вказуючи ліворуч з 1 одиницею написаної поруч з ним. — Малюнок 9.7.14

Вправа$\PageIndex{5}$

Графік$f(x)=x^{2}, g(x)=(x+2)^{2},$ і$h(x)=(x-2)^{2}$ на одній і тій же прямокутній системі координат.
Опишіть, який ефект додавання константи до функції має на основну параболу.

Відповідь

а.

б Графік$g(x)=(x+2)^{2}$ є таким же, як і графік,$f(x)=x^{2}$ але зсунутих ліворуч$2$ одиниць. Графік$h(x)=(x−2)^{2}$ є таким же, як і графік,$f(x)=x^{2}$ але зсув правої$2$ одиниці.

Вправа$\PageIndex{6}$

Графік$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+5,$ і$h(x)=x^{2}-5$ на одній і тій же прямокутній системі координат.
Опишіть, який ефект додавання константи до функції має на основну параболу.

Відповідь

а.

б Графік$g(x)=(x+5)^{2}$ є таким же, як і графік,$f(x)=x^{2}$ але зсунутих ліворуч$5$ одиниць. Графік такої$h(x)=(x-5)^{2}$ ж, як і графік,$f(x)=x^{2}$ але зсунутих правих$5$ одиниць.

Останній приклад показує нам, що для графіка квадратичної функції форми$f(x)=(x−h)^{2}$ ми беремо основний граф параболи$f(x)=x^{2}$ і зрушуємо його вліво$(h>0)$ або зрушуємо вправо$(h<0)$.

Таке перетворення називається горизонтальним зрушенням.

Графік a квадратична функція форми з$f(x)=(x-h)^{2}$ використанням горизонтального зсуву

Графік$f(x)=(x-h)^{2}$ зсувів графік$f(x)=x^{2}$ горизонтальних$h$ одиниць.

Якщо$h>0$, зсуньте параболу горизонтально вліво$h$ одиниці.
Якщо$h<0$, зсуньте параболу горизонтально вправо$|h|$ одиниць.

Тепер, коли ми побачили ефект константи$h$, легко графувати функції форми$f(x)=(x−h)^{2}$. Ми просто починаємо з основної параболи,$f(x)=x^{2}$ а потім зрушуємо її вліво або вправо.

Наступний приклад зажадає горизонтального зсуву.

Приклад$\PageIndex{4}$

Графік$f(x)=(x−6)^{2}$ за допомогою горизонтального зсуву.

Рішення:

Таблиця 9.7.2
Спочатку малюємо графік$f(x)=x^{2}$ на сітці.	$.$
Визначте$h$.	$.$
	$.$
Зсуньте графік$f(x)=x^{2}$ на праві$6$ одиниці.	$.$

Вправа$\PageIndex{7}$

Графік$f(x)=(x−4)^{2}$ за допомогою горизонтального зсуву.

Відповідь: $На цьому малюнку показані 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Ліва крива - це графік f з x дорівнює x у квадраті, який має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Права крива була зрушена вправо на 4 одиниці.$
Малюнок 9.7.21

Вправа$\PageIndex{8}$

Графік$f(x)=(x+6)^{2}$ за допомогою горизонтального зсуву.

Відповідь: $На цьому малюнку показані 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Права крива - це графік f з x дорівнює x у квадраті, який має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Ліва крива була переміщена вліво на 6 одиниць.$
Малюнок 9.7.22

Тепер, коли ми знаємо ефект констант$h$ і$k$, ми будемо графікувати квадратичну функцію форми, спочатку$f(x)=(x-h)^{2}+k$ намалювавши основну параболу, а потім зробивши горизонтальний зсув з подальшим вертикальним зсувом. Ми могли б зробити вертикальний зсув з подальшим горизонтальним зміщенням, але більшість студентів віддають перевагу горизонтальному зсуву з подальшим вертикальним.

Приклад$\PageIndex{5}$

Графік$f(x)=(x+1)^{2}-2$ з використанням перетворень.

Рішення:

Ця функція буде включати в себе дві трансформації і нам потрібен план.

Давайте спочатку позначимо константи$h, k$.

F з х дорівнює кількості х плюш 1 в квадраті мінус 2 задається на верхньому рядку з f х дорівнює кількості х мінус h квадрат minis k на другому рядку. Задане рівняння було змінено на f з x дорівнює кількості x мінус від'ємний 1 у квадраті плюшевого негатива 2 на третьому рядку. У кінцевому рядку сказано, що h дорівнює негативному 1, а k дорівнює негативному 2. — Малюнок 9.7.23

$h$Константа дає нам горизонтальний зсув, а потім$k$ дає нам вертикальний зсув.

F х дорівнює х квадрат задається зі стрілкою, що йде від нього, вказуючи на f з х дорівнює кількості х плюс 1 в квадраті зі стрілкою, що йде від нього, вказуючи на f х дорівнює кількості х плюс 1 в квадраті мінус 2. Наступні рядки говорять, що h дорівнює негативному 1, що означає зсув вліво 1 одиницю і k дорівнює негативному 2, що означає зсув вниз 2 одиниць. — Малюнок 9.7.24

Спочатку малюємо графік$f(x)=x^{2}$ на сітці.

Цифра говорить на першому рядку, що графік f з х дорівнює кількості x плюс 1 квадрат такий же, як графік f x дорівнює x квадрат, але зміщений вліво 1 одиниця. У другому рядку зазначено, що графік f x дорівнює кількості x плюс 1 в квадраті мінус 2 такий же, як графік f x дорівнює кількості x плюс 1 в квадраті, але зміщений вниз на 2 одиниці. — Малюнок 9.7.25

На першому графіку показано 1 параболу, що відкривається вгору, на координатній площині x y. Це графік f з х дорівнює x в квадраті, який має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Зсунувши цей графік f з х дорівнює х в квадраті ліворуч 1, ми переходимо до наступного графіка, який показує оригінальний f з х дорівнює х квадрат, а потім інша крива перемістилася вліво на одну одиницю, щоб отримати f з х дорівнює кількості х плюс 1 квадрат. Переміщаючи f з х дорівнює кількості х плюс 1 в квадраті вниз 1, ми переходимо до остаточного графіка, який показує, що оригінальний f х дорівнює х квадрат і f x дорівнює кількості х плюс 1, потім інша крива переміщена вниз 1, щоб отримати f з х дорівнює кількості х плюс 1 в квадраті мінус 2. — Малюнок 9.7.26

Вправа$\PageIndex{9}$

Графік$f(x)=(x+2)^{2}-3$ з використанням перетворень.

Відповідь: $На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Одним з них є графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Потім вихідна функція переміщується 2 одиниці вліво, щоб отримати f з х дорівнює кількості х плюс 2 в квадраті. Остаточна крива виробляється шляхом переміщення вниз 3 одиниць, щоб отримати f з х дорівнює кількості х плюс 2 в квадраті мінус 3.$
Малюнок 9.7.27

Вправа$\PageIndex{10}$

Графік$f(x)=(x-3)^{2}+1$ з використанням перетворень.

Відповідь: $На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Одним з них є графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Потім вихідна функція переміщується 3 одиниці вправо, щоб отримати f з х дорівнює кількості х мінус 3 в квадраті. Остаточна крива виробляється шляхом переміщення вгору 1 одиниця, щоб отримати f з х дорівнює кількості х мінус 3квадрат плюс 1.$
Малюнок 9.7.28

Графік квадратичних функцій форми$f(x)=ax^{2}$

Поки ми намалювали квадратичну функцію,$f(x)=x^{2}$ а потім побачили ефект включення константи$h$ або$k$ в рівняння мав на результуючому графіку нової функції. Зараз ми вивчимо вплив коефіцієнта$a$ на результуючий графік нової функції$f(x)=ax^{2}$.

Якщо ми графуємо ці функції, ми можемо побачити ефект константи$a$, припускаючи$a>0$.

На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Одним з них є графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Стрункіша крива g x дорівнює 2 рази x квадрат має вершину в (0,0) та інші точки (від'ємний 1, половина) і (1, одна половина). Ширша крива, h x дорівнює половині x в квадраті, має вершину в (0,0) та інші точки (від'ємні 2, 2) та (2,2). — Малюнок 9.7.30

Для графіка функції з константою$a$ найпростіше вибрати кілька точок на$f(x)=x^{2}$ і помножити$y$ -значення на$a$.

Графік квадратичної функції форми$f(x)=ax^{2}$

Коефіцієнт$a$ у функції$f(x)=ax^{2}$ впливає на графік,$f(x)=x^{2}$ розтягуючи або стискаючи його.

Якщо$0<|a|<1$, то графік$f(x)=ax^{2}$ буде «ширше», ніж графік$f(x)=x^{2}$.
Якщо$|a|>1$, то граф$f(x)=ax^{2}$ буде «худий», ніж граф$f(x)=x^{2}$.

Приклад$\PageIndex{6}$

Графік$f(x)=3x^{2}$.

Рішення:

Ми будемо графувати функції$f(x)=x^{2}$ і$g(x)=3x^{2}$ на тій же сітці. Ми виберемо кілька точок на,$f(x)=x^{2}$ а потім помножимо$y$ -значення на,$3$ щоб отримати очки для$g(x)=3x^{2}$.

У таблиці зображено вплив констант на основну функцію x в квадраті. Таблиця має 3 стовпці з позначкою x, f або x дорівнює x у квадраті з впорядкованою парою (x, f або x), а g x дорівнює 3 рази x у квадраті з впорядкованою парою (x, g або x). У стовпці x наведені значення є від'ємними 2, від'ємними 1, 0, 1 та 2. У f x дорівнює x у квадраті з впорядкованою парою (x, f x), задані впорядковані пари (від'ємні 2, 4), (від'ємні 1, 1), (0, 0), (1, 1) та (2, 4). G х дорівнює 3 рази х в квадраті з впорядкованою парою (х, г х) стовпець має впорядковані пари (від'ємний 2, 12), тому що 3 рази 4 дорівнює 12, (негативний 1, 3), тому що 3 рази 1 дорівнює 3, (0, 0) тому що 3 рази 0 дорівнює 0, (1, 3) тому що 3 рази 1 дорівнює 3, і (2,12) тому що 3 рази 4 дорівнює 12. Графік поруч із таблицею показує 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Одним з них є графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки, наведені на кривій, розташовані за адресою (від'ємний 2, 4) (від'ємний 1, 1), (1, 1) і (2,4). Стрункіша крива g x дорівнює 3 рази x у квадраті має вершину в (0,0) та інші точки (від'ємні 2, 12), (від'ємні 1, 3), (1, 3) та (2,12). — Малюнок 9.7.31

Вправа$\PageIndex{11}$

Графік$f(x)=-3x^{2}$.

Відповідь: $Графік показує параболу, що відкривається вгору, на координатній площині x y від f x дорівнює x у квадраті, що має вершину (0, 0). Інші точки, наведені на кривій, розташовані за адресою (від'ємний 2, 4) (від'ємний 1, 1), (1, 1) і (2,4). Також показана парабола, що відкривається вниз, f з х дорівнює негативному 3 рази х в квадраті. Він має вершину (0,0) з іншими точками в (від'ємний 1, від'ємний 3) і (1, негативний 3)$
Малюнок 9.7.32

Вправа$\PageIndex{12}$

Графік$f(x)=2x^{2}$.

Відповідь: $На цьому малюнку показані 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Одним з них є графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Стрункіша крива f x дорівнює 2 рази x квадрат має вершину в (0,0) та інші точки (від'ємний 1, половина) і (1, одна половина).$
Малюнок 9.7.33

Квадратичні функції графа з використанням перетворень

Ми дізналися, як константи$a, h$, так і$k$ в функціях$f(x)=x^{2}+k, f(x)=(x−h)^{2}$, і$f(x)=ax^{2}$ впливають на їх графіки. Тепер ми можемо скласти це разом і графік квадратичних функцій$f(x)=ax^{2}+bx+c$, спочатку поклавши їх у форму,$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ заповнивши квадрат. Ця форма іноді відома як форма вершини або стандартна форма.

Ми повинні бути обережними, щоб як додати, так і відняти число до тієї ж сторони функції, щоб завершити квадрат. Ми не можемо додати число в обидві сторони, як ми зробили, коли ми завершили квадрат з квадратними рівняннями.

Ця цифра показує різницю при заповненні квадрата квадратним рівнянням і квадратичної функцією. Для квадратного рівняння почніть з x в квадраті плюс 8 разів x плюс 6 дорівнює нулю. Відніміть 6 з обох сторін, щоб отримати х у квадраті плюс 8 разів х дорівнює негативному 6, залишаючи простір для завершення квадрата. Потім завершити квадрат, додавши 16 з обох сторін, щоб отримати х квадрат плюш 8 разів х плюш 16 дорівнює негативний 6 плюш 16. Коефіцієнт, щоб отримати кількість х плюс 4 в квадраті дорівнює 10. Для квадратичної функції почніть з f х дорівнює х в квадраті плюс 8 разів х плюс 6. Другий рядок показує, щоб залишити простір між 8 раз х і 6, щоб завершити квадрат. Завершіть квадрат, додавши 16 і віднімаючи 16 на тій же стороні, щоб отримати f з х дорівнює х квадрат плюс 8 разів х плюш 16 плюс 6 мінус 16. Коефіцієнт, щоб отримати f з х дорівнює кількості х плюш 4 в квадраті мінус 10. — Малюнок 9.7.34

Коли ми завершуємо квадрат у функції з коефіцієнтом,$x^{2}$ що не один, ми повинні враховувати цей коефіцієнт лише з$x$ -terms. Ми не враховуємо це з постійного терміну. Часто корисно трохи перемістити постійний термін вправо, щоб полегшити зосередження уваги лише на$x$ -terms.

Як тільки ми отримаємо константу, яку хочемо завершити квадрат, ми повинні пам'ятати, щоб помножити її на цей коефіцієнт, перш ніж потім відняти його.

Приклад$\PageIndex{7}$

Перепишіть$f(x)=−3x^{2}−6x−1$ в$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ форму, заповнивши квадрат.

Рішення:

Таблиця 9.7.3
	$.$
Відокремте$x$ терміни від постійних.	$.$
Коефіцієнт коефіцієнта$x^{2}, -3$.	$.$
Підготуйтеся до завершення квадрата.	$.$
Візьміть половину,$2$ а потім квадрат, щоб завершити квадрат$(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$
Константа$1$ завершує квадрат у дужках, але дужки множаться на$-3$. Таким чином, ми дійсно додаємо$-3$. Потім ми повинні додати,$3$ щоб не змінювати значення функції.	$.$
Перепишіть триноміал як квадрат і відніміть константи.	$.$
Функція тепер у$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ вигляді.	$.$

Вправа$\PageIndex{13}$

Перепишіть$f(x)=−4x^{2}−8x+1$ в$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ форму, заповнивши квадрат.

Відповідь: $f(x)=-4(x+1)^{2}+5$

Вправа$\PageIndex{14}$

Перепишіть$f(x)=2x^{2}−8x+3$ в$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ форму, заповнивши квадрат.

Відповідь: $f(x)=2(x-2)^{2}-5$

Після того, як ми помістимо функцію$f(x)=(x−h)^{2}+k$ у форму, ми можемо використовувати перетворення, як ми робили в останніх кількох проблемах. Наступний приклад покаже нам, як це зробити.

Приклад$\PageIndex{8}$

Графік$f(x)=x^{2}+6x+5$ за допомогою перетворень.

Рішення:

Крок 1: Перепишіть функцію у формі$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ вершини, заповнивши квадрат.

Таблиця 9.7.4
	$.$
Відокремте$x$ терміни від постійних.	$.$
Візьміть половину,$6$ а потім квадрат його, щоб завершити квадрат. $(\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9$
Ми обидва додаємо$9$ і віднімаємо,$9$ щоб не змінювати значення функції.	$.$
Перепишіть триноміал як квадрат і відніміть константи.	$.$
Функція тепер у$f(x)=(x-h)^{2}+k$ вигляді.	$.$

Крок 2: Графік функції за допомогою перетворень.

Дивлячись на$h, k$ значення, ми бачимо, що графік візьме графік$f(x)=x^{2}$ і змістить його вліво$3$ одиниць і вниз$4$ одиниць.

F х дорівнює х квадрат задається зі стрілкою, що йде від нього, вказуючи на f з х дорівнює кількості х плюс 3 в квадраті зі стрілкою, що йде від нього, вказуючи на f х дорівнює кількості х плюс 3 в квадраті мінус 4. Наступні рядки кажуть, h дорівнює негативному 3, що означає зсув вліво 3 одиниці і k дорівнює негативному 4, що означає зсув вниз 4 одиниць. — Малюнок 9.7.47

Спочатку малюємо графік$f(x)=x^{2}$ на сітці.

Щоб графік f з x дорівнював кількості x плюс 3 у квадраті, зсуньте графік f з x дорівнює x квадратів вліво 3 одиниці. Щоб графік f x дорівнював кількості x плюс 3 в квадраті мінус 4, зсуньте графік кількість x плюс 3 в квадраті вниз 4 одиниці. — Малюнок 9.7.48

Вправа$\PageIndex{15}$

Графік$f(x)=x^{2}+2x-3$ за допомогою перетворень.

Відповідь: $На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Одним з них є графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Крива вліво була переміщена на 1 одиницю вліво, щоб отримати f x дорівнює кількості х плюс 1 в квадраті. Третій графік був переміщений вниз 4 одиниць, щоб отримати f х дорівнює кількості х плюс 1 в квадраті мінус 4.$
Малюнок 9.7.50

Вправа$\PageIndex{16}$

Графік$f(x)=x^{2}-8x+12$ за допомогою перетворень.

Відповідь: $На цьому малюнку показано 3 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Одним з них є графік f з x дорівнює x в квадраті і має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Крива праворуч була переміщена 4 одиниці вправо, щоб отримати f з х дорівнює кількості х мінус 4 в квадраті. Третій графік був переміщений вниз 4 одиниць, щоб отримати f з х дорівнює кількості х мінус 4 в квадраті мінус 4.$
Малюнок 9.7.51

Ми перерахуємо кроки, щоб зробити графік квадратичною функцією з використанням перетворень тут.

Графік квадратичної функції з використанням перетворень

Перепишіть функцію в$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ форму, заповнивши квадрат.
Графік функції за допомогою перетворень.

Приклад$\PageIndex{9}$

Графік$f(x)=-2x^{2}-4x+2$ за допомогою перетворень.

Рішення:

Крок 1: Перепишіть функцію у формі$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ вершини, заповнивши квадрат.

Таблиця 9.7.5
	$.$
Відокремте$x$ терміни від постійних.	$.$
Нам потрібно,$x^{2}$ щоб коефіцієнт дорівнював одиниці. Ми враховуємо$-2$ з$x$ -термінів.	$.$
Візьміть половину,$2$ а потім квадрат його, щоб завершити квадрат. $(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$
Додаємо$1$, щоб завершити квадрат в дужках, але дужки множаться на$-2$. Таким чином, ми дійсно додаємо$-2$. Щоб не змінювати значення функції додаємо$2$.	$.$
Перепишіть триноміал як квадрат і відніміть константи.	$.$
Функція тепер у$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ вигляді.	$.$

Крок 2: Графік функції за допомогою перетворень.

F х дорівнює х в квадраті дається зі стрілкою, що йде від нього, вказуючи на f з х дорівнює негативному 2 рази х квадрат зі стрілкою, що йде від нього, вказуючи на f х дорівнює негативному 2 рази кількість х плюс 1 квадрат. Стрілка йде від нього до точки f х дорівнює негативному в 2 рази кількість х плюс 1 в квадраті плюс 4. У наступному рядку написано, що дорівнює негативному 2, що означає помножити значення y на від'ємні 2, тоді h дорівнює негативному 1, що означає зсув вліво 1 одиницю і k дорівнює 4, що означає зсув вгору 4 одиниці. — Малюнок 9.7.58

Спочатку малюємо графік$f(x)=x^{2}$ на сітці.

Щоб графік f з x дорівнював від'ємним 2 рази x у квадраті, помножте значення y в параболі f з x дорівнює x в квадраті на від'ємний 2. Щоб графік f x дорівнював від'ємним у 2 рази більше кількості х плюс 1 в квадраті, зсуньте графік f з х дорівнює від'ємним 2 рази х в квадраті вліво 1 одиницю. Щоб графік f з х дорівнює від'ємним у 2 рази більше кількості х плюс 1 в квадраті плюс 4, зрушити графік f з х дорівнює від'ємним 2 рази кількість х плюс 1 в квадраті вгору 4 одиниці. — Малюнок 9.7.59

Вправа$\PageIndex{17}$

Графік$f(x)=-3x^{2}+12x-4$ за допомогою перетворень.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вниз, на координатній площині x y з вершиною (2,8) та іншими точками (1,5) та (3,5).$
Малюнок 9.7.61

Вправа$\PageIndex{18}$

Графік$f(x)=−2x^{2}+12x−9$ за допомогою перетворень.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вниз, на координатній площині x y з вершиною (3, 9) та іншими точками (1, 1) та (5, 1).$
Малюнок 9.7.62

Тепер, коли ми завершили квадрат, щоб поставити квадратичну функцію$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ у форму, ми також можемо використовувати цю техніку для графіка функції, використовуючи її властивості, як у попередньому розділі.

Якщо озирнутися назад на останні кілька прикладів, то побачимо, що вершина пов'язана з константами$h$ і$k$.

Перший графік показує параболу, що відкривається вгору, на координатній площині x y з вершиною (від'ємний 3, від'ємний 4) з іншими точками (0, від'ємний 5) і (0, від'ємний 1). Під графіком він показує стандартну форму параболи, f x дорівнює кількості x мінус h у квадраті плюс k, при рівнянні параболи f х дорівнює кількості х плюс 3 в квадраті мінус 4 де h дорівнює негативному 3 і k дорівнює негативному 4. На другому графіку показана парабола, що відкривається вниз, на координатній площині x y з вершиною (від'ємна 1, 4) та іншими точками (0,2) та (від'ємна 2,2). Під графіком, він показує стандартну форму параболи, f x дорівнює в рази кількість х мінус h в квадраті плюс k, при рівнянні параболи f х дорівнює негативному 2 рази кількість х плюс 1 квадрат плюс 4, де h дорівнює негативному 1 і k дорівнює 4. — Малюнок 9.7.63

У кожному конкретному випадку вершина є$(h,k)$. Також віссю симетрії є лінія$x=h$.

Ми переписуємо наші кроки для графіків квадратичної функції, використовуючи властивості для того, коли функція знаходиться у$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ формі.

Графік квадратичної функції у формі за$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ допомогою властивостей

Перепишіть$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ форму функції.
Визначте, чи відкривається парабола вгору$a>0$, або вниз,$a<0$.
Знайдіть вісь симетрії,$x=h$.
Знайдіть вершину,$(h,k$.
Знайти$y$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$y$ -перехоплення поперек осі симетрії.
Знайдіть$x$ -перехоплення.
Графік параболи.

Приклад$\PageIndex{10}$

Рерайт$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$ у$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ формі
Графік функції за допомогою властивостей

Рішення:

Таблиця 9.7.6
Перепишіть функцію в$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ форму, заповнивши квадрат.	$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$
	$f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5$
	$f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2$
	$f(x)=2(x+1)^{2}+3$
Визначте константи$a, h, k$.	$a=2 h=-1 k=3$
З тих пір$a=2$, парабола відкривається вгору.	$.$
Вісь симетрії є$x=h$.	Вісь симетрії є$x=-1$.
Вершина є$(h,k)$.	Вершина є$(-1,3)$.
Знайти$y$ -перехоплення шляхом знаходження$f(0)$.	$f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5$
	$f(0)=5$
	$y$-перехопити$(0,5)$
Знайдіть точку, симетричну$(0,5)$ поперек осі симетрії.	$(-2,5)$
Знайдіть$x$ -перехоплення.	Дискримінант негативний, тому немає$x$ -перехоплень. Графік параболи.
	$.$

Вправа$\PageIndex{19}$

Рерайт$f(x)=3 x^{2}-6 x+5$ у$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ формі
Графік функції за допомогою властивостей

Відповідь

$f(x)=3(x-1)^{2}+2$
$Наведений графік являє собою спрямовану вгору параболу з вершиною (1, 2) і y-перехопленням (0, 5). Вісь симетрії показана, x дорівнює 1.$
Малюнок 9.7.66

Вправа$\PageIndex{20}$

Рерайт$f(x)=-2 x^{2}+8 x-7$ у$f(x)=a(x-h)^{2}+k$ формі
Графік функції за допомогою властивостей

Відповідь

$f(x)=-2(x-2)^{2}+1$
$Наведений графік являє собою спрямовану вниз параболу з вершиною (2, 1) та x-перехопленнями (1, 0) та (3, 0). Вісь симетрії показана, x дорівнює 2.$
Малюнок 9.7.67

Знайти квадратичну функцію з її графіка

Поки ми почали з функції, а потім знайшли її графік.

Тепер ми перейдемо до зворотного процесу. Починаючи з графіка, знайдемо функцію.

Приклад$\PageIndex{11}$

Визначте квадратичну функцію, графік якої показаний.

Наведений графік являє собою спрямовану вгору параболу з вершиною (від'ємний 2, від'ємний 1) і y-перехопленням (0, 7). — Малюнок 9.7.68

Рішення:

Так як він квадратичний, то починаємо з$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ форми.

Вершина,$(h,k)$,$(−2,−1)$ так$h=−2$ і$k=−1$.

$f(x)=a(x-(-2))^{2}-1$

Щоб знайти$a$, використовуємо$y$ -intercept,$(0,7)$.

Отже$f(0)=7$.

$7=a(0+2)^{2}-1$

Вирішити для$a$.

$\begin{array}{l}{7=4 a-1} \\ {8=4 a} \\ {2=a}\end{array}$

Напишіть функцію.

$f(x)=a(x-h)^{2}+k$

Підставляємо в$h=-2, k=-1$ і$a=2$.

$f(x)=2(x+2)^{2}-1$

Вправа$\PageIndex{21}$

Запишіть квадратичну функцію у$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ вигляді, графік якої показаний.

Наведений графік являє собою параболу, звернену вгору, з вершиною (3, негативним 4) і y-перехопленням (0, 5). — Малюнок 9.7.69

Відповідь: $f(x)=(x-3)^{2}-4$

Вправа$\PageIndex{22}$

Визначте квадратичну функцію, графік якої показаний.

Наведений графік являє собою спрямовану вгору параболу з вершиною (від'ємний 3, негативний 1) і y-перехопленням (0, 8). — Малюнок 9.7.70

Відповідь: $f(x)=(x+3)^{2}-1$

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткових інструкцій та практики з графічними квадратичними функціями за допомогою перетворень.

Ключові поняття

Графік a Квадратична функція форми з$f(x)=x^{2}+k$ використанням вертикального зсуву
- Графік$f(x)=x^{2}+k$ зсувів графіка$f(x)=x^{2}$ вертикальних$k$ одиниць.
  - Якщо$k>0$, зсуньте параболу вертикально вгору$k$ одиниць.
  - Якщо$k<0$, зсуньте параболу вертикально вниз$|k|$ одиниць.
Графік a Квадратична функція форми з$f(x)=(x−h)^{2}$ використанням горизонтального зсуву
- Графік$f(x)=(x−h)^{2}$ зсувів графік$f(x)=x^{2}$ горизонтальних$h$ одиниць.
  - Якщо$h>0$, зсуньте параболу горизонтально вліво$h$ одиниці.
  - Якщо$h<0$, зсуньте параболу горизонтально вправо$|h|$ одиниць.
Графік квадратичної функції виду$f(x)=ax^{2}$
- Коефіцієнт$a$ у функції$f(x)=ax^{2}$ впливає на графік,$f(x)=x^{2}$ розтягуючи або стискаючи його.
  Якщо$0<|a|<1$, то графік$f(x)=ax^{2}$ буде «ширше», ніж графік$f(x)=x^{2}$.
  Якщо$|a|>1$, то граф$f(x)=ax^{2}$ буде «худим», ніж граф$f(x)=x^{2}$.
Як графувати квадратичну функцію за допомогою перетворень
1. Перепишіть функцію в$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ форму, заповнивши квадрат.
2. Графік функції за допомогою перетворень.
Графік квадратичної функції у вигляді вершини з$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ використанням властивостей
1. Перепишіть функцію за$f(x)=a(x−h)^{2}+k$ формою.
2. Визначте, чи відкривається парабола вгору$a>0$, або вниз,$a<0$.
3. Знайдіть вісь симетрії,$x=h$.
4. Знайдіть вершину,$(h,k)$.
5. Знайти$y$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$y$ -перехоплення поперек осі симетрії.
6. Знайдіть$x$ -перехоплення, якщо це можливо.
7. Графік параболи.

Перепишіть функцію в\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) форму, заповнивши квадрат.	\(f(x)=2 x^{2}+4 x+5\)
	\(f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5\)
	\(f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2\)
	\(f(x)=2(x+1)^{2}+3\)
Визначте константи\(a, h, k\).	\(a=2 h=-1 k=3\)
З тих пір\(a=2\), парабола відкривається вгору.	$.$
Вісь симетрії є\(x=h\).	Вісь симетрії є\(x=-1\).
Вершина є\((h,k)\).	Вершина є\((-1,3)\).
Знайти\(y\) -перехоплення шляхом знаходження\(f(0)\).	\(f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5\)
	\(f(0)=5\)
	\(y\)-перехопити\((0,5)\)
Знайдіть точку, симетричну\((0,5)\) поперек осі симетрії.	\((-2,5)\)
Знайдіть\(x\) -перехоплення.	Дискримінант негативний, тому немає\(x\) -перехоплень. Графік параболи.
	$.$

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Спочатку малюємо графік\(f(x)=x^{2}\) на сітці.	$На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, на координатній площині x y з вершиною (0, 0) з іншими точками на кривій, розташованої в (від'ємні 1, 1) і (1, 1). Це графік f з х дорівнює х в квадраті.$
Визначте\(k\).	$.$
	$.$
Зсуньте графік\(f(x)=x^{2}\) вниз\(3\).	$На цьому малюнку показано 2 параболи, що відкриваються вгору, на координатній площині x y. Верхня крива - це графік f з x дорівнює x у квадраті, який має вершину (0, 0). Інші точки на кривій розташовані в (негативні 1, 1) і (1, 1). Нижня крива була зрушена вниз на 3 одиниці.$

Спочатку малюємо графік\(f(x)=x^{2}\) на сітці.	$.$
Визначте\(h\).	$.$
	$.$
Зсуньте графік\(f(x)=x^{2}\) на праві\(6\) одиниці.	$.$

	$.$
Відокремте\(x\) терміни від постійних.	$.$
Коефіцієнт коефіцієнта\(x^{2}, -3\).	$.$
Підготуйтеся до завершення квадрата.	$.$
Візьміть половину,\(2\) а потім квадрат, щоб завершити квадрат\((\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1\)
Константа\(1\) завершує квадрат у дужках, але дужки множаться на\(-3\). Таким чином, ми дійсно додаємо\(-3\). Потім ми повинні додати,\(3\) щоб не змінювати значення функції.	$.$
Перепишіть триноміал як квадрат і відніміть константи.	$.$
Функція тепер у\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) вигляді.	$.$

	$.$
Відокремте\(x\) терміни від постійних.	$.$
Візьміть половину,\(6\) а потім квадрат його, щоб завершити квадрат. \((\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9\)
Ми обидва додаємо\(9\) і віднімаємо,\(9\) щоб не змінювати значення функції.	$.$
Перепишіть триноміал як квадрат і відніміть константи.	$.$
Функція тепер у\(f(x)=(x-h)^{2}+k\) вигляді.	$.$

	$.$
Відокремте\(x\) терміни від постійних.	$.$
Нам потрібно,\(x^{2}\) щоб коефіцієнт дорівнював одиниці. Ми враховуємо\(-2\) з\(x\) -термінів.	$.$
Візьміть половину,\(2\) а потім квадрат його, щоб завершити квадрат. \((\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1\)
Додаємо\(1\), щоб завершити квадрат в дужках, але дужки множаться на\(-2\). Таким чином, ми дійсно додаємо\(-2\). Щоб не змінювати значення функції додаємо\(2\).	$.$
Перепишіть триноміал як квадрат і відніміть константи.	$.$
Функція тепер у\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) вигляді.	$.$

Цілі навчання

Графік квадратичних функцій форми\(f(x)=x^{2}+k\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Графік a квадратична функція форми з\(f(x)=x^{2}+k\) використанням вертикального зсуву

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Графік квадратичних функцій форми\(f(x)=(x-h)^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Графік a квадратична функція форми з\(f(x)=(x-h)^{2}\) використанням горизонтального зсуву

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Графік квадратичних функцій форми\(f(x)=ax^{2}\)

Графік квадратичної функції форми\(f(x)=ax^{2}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\)

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Квадратичні функції графа з використанням перетворень

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Графік квадратичної функції з використанням перетворень

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Графік квадратичної функції у формі за\(f(x)=a(x-h)^{2}+k\) допомогою властивостей

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Знайти квадратичну функцію з її графіка

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Ключові поняття