9.7: Квадратичні функції графа з використанням властивостей

Last updated
Save as PDF

Page ID: 59746

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

Розпізнати графік квадратичної функції
Знайти вісь симетрії та вершину параболи
Знайдіть перехоплення параболи
Графік квадратичних функцій з використанням властивостей
Вирішуйте максимальне та мінімальне застосування

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

Графік функції$f(x)=x^{2}$ шляхом побудови точок.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 3.54.
Вирішити:$2 x^{2}+3 x-2=0$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.45.
Оцініть$-\frac{b}{2 a}$, коли$a=3$ і$b=-6$.
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 1.21.

Розпізнати графік квадратичної функції

Раніше ми дуже коротко розглянули функцію$f(x)=x^{2}$, яку ми назвали квадратною функцією. Це була одна з перших нелінійних функцій, які ми розглянули. Тепер ми будемо графувати функції виду$f(x)=a x^{2}+b x+c$ if$a \neq 0$. Ми називаємо цей вид функції квадратичною функцією.

Визначення$\PageIndex{1}$

Квадратична функція, де$a, b$, і$c$ є дійсними числами і$a≠0$, є функцією виду

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

Ми намалювали квадратичну функцію$f(x)=x^{2}$ шляхом побудови точок.

На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y площини проходить від негативних 2 до 6. Парабола має вершину в (0, 0), а також проходить через точки (-2, 4), (-1, 1), (1, 1) і (2, 4). Праворуч від графіка знаходиться таблиця значень з 3 стовпцями. Перший рядок є рядком заголовка і позначає кожен стовпець, â€œxâ€, â€œf з х дорівнює х квадрат €, і â€œпара порядку x, f x.â€ У рядку 2, х дорівнює негативному 3, f х дорівнює х квадрат 9, а впорядкована пара x, f з х впорядкована пара негативна 3, 9. У рядку 3 х дорівнює негативному 2, f з х дорівнює х квадрат дорівнює 4, а впорядкована пара х, f з х - впорядкована пара негативна 2, 4. У рядку 4 х дорівнює негативному 1, f з х дорівнює х в квадраті дорівнює 1, а впорядкована пара х, f з х - впорядкована пара негативна 1, 1. У рядку 5 х дорівнює 0, f з х дорівнює х в квадраті дорівнює 0, а впорядкована пара х, f з х - впорядкована пара 0, 0. У рядку 6 х дорівнює 1, f х дорівнює х в квадраті 1, а впорядкована пара х, f х - впорядкована пара 1, 1. У рядку 7 х дорівнює 2, f х дорівнює х квадрат дорівнює 4, а впорядкована пара х, f х - впорядкована пара 2, 4. У рядку 8 х дорівнює 3, f х дорівнює х квадрат дорівнює 9, а впорядкована пара х, f х - впорядкована пара 3, 9. — Малюнок 9.6.1

Кожна квадратична функція має графік, який виглядає так. Ми називаємо цю фігуру параболою. Давайте попрактикуємося графікувати параболу, намалювавши кілька пунктів.

Приклад$\PageIndex{1}$

Графік:$f(x)=x^{2}-1$.

Рішення:

Ми будемо графувати функцію шляхом побудови точок.

Виберіть цілочисельні значення для$x$, підставляйте їх у рівняння і спростіть пошук$f(x)$. Запишіть значення впорядкованих пар на графіку.	$.$
Намалюйте точки, а потім з'єднайте їх плавною кривою. Результатом буде графік функції$f(x)=x^{2}-1$.	$.$

Вправа$\PageIndex{1}$

Графік$f(x)=-x^{2}$.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вниз, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (0, 0).$

Вправа$\PageIndex{2}$

Графік$f(x)=x^{2}-1$.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (0, â'1).$

Всі графіки квадратичних функцій виду$f(x)=a x^{2}+b x+c$ є параболами, які відкриваються вгору або вниз. Див. Малюнок 9.6.6

На цьому зображенні показано 2 графіки пліч-о-пліч. На графіку ліворуч показана парабола, що відкривається вгору, на графіку на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (негативний 2, негативний 1) і проходить через точки (негативні 4, 3) і (0, 3). Загальна форма рівняння цього графіка дорівнює f x дорівнює x в квадраті плюс b x плюс c Рівняння цієї параболи дорівнює x в квадраті плюс 4 х плюс 3. Провідний коефіцієнт, a, більше 0, тому ця парабола відкривається вгору.Графік праворуч показує параболу, що відкривається вниз, на графіку координатної площини x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (2, 7) і проходить через точки (0, 3) і (4, 3). Загальна форма рівняння цього графіка дорівнює f x дорівнює x у квадраті плюс b x плюс c Рівняння цієї параболи є від'ємним x квадратом плюс 4 х плюс 3. Провідний коефіцієнт, a, менше 0, тому ця парабола відкривається вниз.

Зверніть увагу, що єдиною відмінністю двох функцій є негативний знак перед квадратичним терміном ($x^{2}$в рівнянні графіка на рис. 9.6.6). Коли квадратичний термін, позитивний, парабола відкривається вгору, а коли квадратичний термін негативний, парабола відкривається вниз.

Визначення$\PageIndex{2}$

Орієнтація на параболу

Для графіка квадратичної функції$f(x)=a x^{2}+b x+c$, якщо

$На цьому зображенні показано маркований список. Перша куля зазначає, що якщо a більше 0, то парабола відкривається вгору і показує зображення параболи, що відкривається вгору. Друга куля зазначає, що якщо a менше 0, то парабола відкривається вниз і показує зображення параболи, що відкривається вниз.$

Приклад$\PageIndex{2}$

Визначте, відкривається кожна парабола вгору або вниз:

$f(x)=-3 x^{2}+2 x-4$
$f(x)=6 x^{2}+7 x-9$

Рішення:

a. знайти значення$a$.

Оскільки$a$ негативний, парабола відкриється вниз.

b. знайти значення$a$.

Оскільки$a$ позитивний, парабола відкриється вгору.

Вправа$\PageIndex{3}$

Визначте, чи є графік кожної функції параболою, що відкривається вгору або вниз:

$f(x)=2 x^{2}+5 x-2$
$f(x)=-3 x^{2}-4 x+7$

Відповідь

вгору
вниз

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте, чи є графік кожної функції параболою, що відкривається вгору або вниз:

$f(x)=-2 x^{2}-2 x-3$
$f(x)=5 x^{2}-2 x-1$

Відповідь

вниз
вгору

Знайти вісь симетрії та вершину параболи

Подивіться ще раз на рисунок 9.6.10. Ви бачите, що ми могли б скласти кожну параболу навпіл, а потім одна сторона лежала б на іншій? «Лінія згину» - це лінія симетрії. Ми називаємо її віссю симетрії параболи.

Ми знову показуємо ті ж два графіки з віссю симетрії.

На цьому зображенні показано 2 графіки пліч-о-пліч. Графік ліворуч показує параболу, що відкривається вгору, та пунктирну вертикальну лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (негативний 2, негативний 1) і проходить через точки (негативні 4, 3) і (0, 3). Рівняння цієї параболи дорівнює х в квадраті плюс 4 х плюс 3. Вертикальна лінія проходить через точку (від'ємна 2, 0) і має рівняння x дорівнює негативному 2. Графік праворуч показує параболу, що відкривається вниз, та пунктирну вертикальну лінію, розміщену на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (2, 7) і проходить через точки (0, 3) і (4, 3). Рівняння цієї параболи від'ємне х в квадраті плюс 4 х плюс 3. Вертикальна лінія проходить через точку (2, 0) і має рівняння x дорівнює 2.

Рівняння осі симетрії можна вивести за допомогою квадратичної формули. Опустимо тут деривацію і приступимо безпосередньо до використання результату. Рівняння осі симетрії графа$f(x)=a x^{2}+b x+c$ є$x=-\frac{b}{2 a}$.

Отже, щоб знайти рівняння симетрії кожної з парабол, які ми намалювали вище, ми підставимо в формулу$x=-\frac{b}{2 a}$.

Порівняйте функцію f x дорівнює x в квадраті плюс 4 х плюс 3 зі стандартною формою квадратичної функції, f x дорівнює x квадрат плюс b x плюс c. Вісь симетрії є лінією x дорівнює від'ємному b ділиться на добуток 2 а. Підставляючи b і a дає x дорівнює негативному 4, поділеному на твір 2 рази 1. Вісь симетрії дорівнює негативній 2. Далі, порівняйте функцію f з х дорівнює негативному x в квадраті плюс 4 х плюс 3 до стандартної форми квадратичної функції, f x дорівнює x квадрат плюс b x плюс c. Вісь симетрії є лінією x дорівнює від'ємному b, розділеному на добуток 2 а. Підставляючи b і a дає x дорівнює негативному 4 поділений на продукт 2 рази негативний 1. Вісь симетрії дорівнює 2.

Зверніть увагу, що це рівняння пунктирних синіх ліній на графіках.

Точка на параболі, яка є найнижчою (парабола відкривається вгору), або найвища (парабола відкривається вниз), лежить на осі симетрії. Ця точка називається вершиною параболи.

Ми можемо легко знайти координати вершини, тому що ми знаємо, що вона знаходиться на осі симетрії. Це означає, що його
$x$ -координата є$-\frac{b}{2 a}$. Щоб знайти$y$ -координату вершини, підставляємо значення$x$ -координати в квадратичну функцію.

Для функції f x дорівнює x в квадраті плюс 4 х плюс 3, вісь симетрії дорівнює x дорівнює негативному 2. Вершина - це точка на параболі з координатою x від'ємною 2. Заміна х дорівнює негативному 2 в функцію f х дорівнює х в квадраті плюс 4 х плюс 3. F х дорівнює квадрату негативного 2 плюс 4 рази негативний 2 плюс 3, тому f х дорівнює негативному 1. Вершина - це точка (від'ємна 2, негативна 1). Для функції f x дорівнює негативному x у квадраті плюс 4 х плюс 3, вісь симетрії дорівнює x дорівнює 2. Вершина - це точка на параболі з координатою x 2. Заміна х дорівнює 2 в функцію f х дорівнює х в квадраті плюс 4 х плюс 3. F х дорівнює 2 в квадраті плюс 4 рази 2 плюс 3, так що f х дорівнює 7. Вершина - це точка (2, 7).

Вісь симетрії та вершина параболи

Графік функції$f(x)=a x^{2}+b x+c$ є параболою, де:

вісь симетрії - вертикальна лінія$x=-\frac{b}{2 a}$.
вершина - це точка на осі симетрії, тому її$x$ -координата$-\frac{b}{2 a}$
$y$-координату вершини знаходять шляхом підстановки$x=-\frac{b}{2 a}$ в квадратне рівняння.

Приклад$\PageIndex{3}$

Для графіка$f(x)=3 x^{2}-6 x+2$ знахідки:

вісь симетрії
вершина

Рішення:

а.

	$.$
Віссю симетрії є вертикальна лінія$x=-\frac{b}{2 a}$.
Підставляємо значення$a,b$ в рівняння.	$x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}$
Спростити.	$x=1$
	Віссю симетрії є лінія$x=1$.

б.

	$f(x)=3 x^{2}-6 x+2$
Вершина - це точка на лінії симетрії, тому її$x$ -координата буде$x=1$. Знайти$f(1)$.	$.$
Спростити.	$.$
Результатом буде$y$ -координата.	$f(1)=-1$
	Вершина є$(1,-1)$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Для графіка$f(x)=2 x^{2}-8 x+1$ знахідки:

вісь симетрії
вершина

Відповідь

$x=2$
$(2,-7)$

Вправа$\PageIndex{6}$

Для графіка$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ знахідки:

вісь симетрії
вершина

Відповідь

$x=1$
$(1,-5)$

Знайдіть перехоплення параболи

Коли ми графували лінійні рівняння, ми часто використовували$x$ - і$y$ -перехоплення, щоб допомогти нам графікувати лінії. Знаходження координат перехоплювачів допоможе нам також графувати параболи.

Пам'ятайте, при$y$ -перехопленні значення$x$ дорівнює нулю. Таким чином, щоб знайти$y$ -intercept, ми підставляємо$x=0$ в функцію.

Знайдемо$y$ -перехоплення двох парабол, показаних на малюнку 9.6.20.

A$x$ -intercept результати, коли значення$f(x)$ дорівнює нулю. Щоб знайти$x$ -перехоплення, давайте$f(x)=0$. Іншими словами, нам потрібно буде вирішити рівняння$0=a x^{2}+b x+c$ для$x$.

$\begin{aligned} f(x) &=a x^{2}+b x+c \\ 0 &=a x^{2}+b x+c \end{aligned}$

Рішення квадратичних рівнянь, як це саме те, що ми зробили раніше в цьому розділі!

Тепер ми можемо знайти$x$ -перехоплення двох парабол, на які ми дивилися. Спочатку ми знайдемо$x$ -перехоплення параболи, функція якої є$f(x)=x^{2}+4 x+3$.

	$f(x)=x^{2}+4 x+3$
Нехай$f(x)=0$.	$\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3$
Фактор.	$0=(x+1)(x+3)$
Використовуйте властивість нульового продукту.	$x+1=0 \quad x+3=0$
Вирішити.	$x=-1 \quad x=-3$
	$x$-перехоплює є$(-1,0)$ і$(-3,0)$.

Тепер ми знайдемо$x$ -перехоплення параболи, функція якої є$f(x)=-x^{2}+4 x+3$.

	$f(x)=-x^{2}+4 x+3$
Нехай$f(x)=0$.	$\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3$
Ця квадратика не фактор, тому ми використовуємо квадратичну формулу.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
$a=-1, b=4, c=3$	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}$
Спростити.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}$
	$x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}$
	$x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}$
	$x=2 \pm \sqrt{7}$
	$x$-перехоплює є$(2+\sqrt{7}, 0)$ і$(2-\sqrt{7}, 0)$.

Ми будемо використовувати десяткові наближення$x$ -перехоплення, щоб ми могли знайти ці точки на графіку,

$(2+\sqrt{7}, 0) \approx(4.6,0) \quad(2-\sqrt{7}, 0) \approx(-0.6,0)$

Чи узгоджуються ці результати з нашими графіками? Див. Малюнок 9.6.34

На цьому зображенні показано 2 графіки пліч-о-пліч. На графіку ліворуч показано параболу, що відкривається вгору, визначену функцією f x дорівнює x у квадраті плюс 4 x плюс 3 та пунктирну вертикальну лінію, x дорівнює негативній 2, розміщеній на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (негативний 2, негативний 1). Y-перехоплення є (0, 3), а x-перехоплення є (негативні 1, 0) і (негативні 3, 0). На графіку праворуч показана парабола, що відкривається вниз, визначена функцією f x дорівнює негативному x у квадраті плюс 4 x плюс 3 та пунктирну вертикальну лінію, x дорівнює 2, графічну на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Парабола має вершину в (2, 7). Y-перехоплення є (0, 3), а x-перехоплення є (2 плюс квадратний корінь 7, 0), приблизно (4.6, 0) і (2 мінус квадратний корінь, 0), приблизно (негативний 0.6, 0).

Знайдіть перехоплення параболи

Щоб знайти перехоплення параболи, функція якої$f(x)=a x^{2}+b x+c$:

$y$-перехопити

Нехай$x=0$ і вирішуйте для$f(x)$.

$x$-перехоплює

Дозвольте$f(x)=0$ і вирішуйте для$x$

Приклад$\PageIndex{4}$

Знайдіть перехоплення параболи, функція якої є$f(x)=x^{2}-2 x-8$.

Рішення:

Щоб знайти$y$ -перехоплення, нехай$x=0$ і вирішувати для$f(x)$.	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8$
	$f(0)=-8$
	Коли$x=0$, то$f(0)=-8$. $y$-Перехоплення - це точка$(0,-8)$.
Щоб знайти$x$ -перехоплення, нехай$f(x)=0$ і вирішувати для$x$.	$f(x)=x^{2}-2 x-8$
	$0=x^{2}-2 x-8$
Вирішити шляхом факторингу.	$0=(x-4)(x+2)$
	$0=x-4 \quad 0=x+2$
	$4=x \quad-2=x$
	Коли$f(x)=0$, то$x=4$ або$x=-2$. $x$-перехоплення - це точки$(4,0)$ і$(-2,0)$.

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайдіть перехоплення параболи, функція якої є$f(x)=x^{2}+2 x-8$.

Відповідь: $y$-перехоплення:$(0,-8) x$ -перехоплює$(-4,0),(2,0)$

Вправа$\PageIndex{8}$

Знайдіть перехоплення параболи, функція якої є$f(x)=x^{2}-4 x-12$.

Відповідь: $y$-перехоплення:$(0,-12) x$ -перехоплює$(-2,0),(6,0)$

У цьому розділі ми розв'язували квадратні рівняння виду$a x^{2}+b x+c=0$. Ми розв'язали для$x$ і результати були розв'язками рівняння.

Зараз ми розглянемо квадратичні функції форми$f(x)=a x^{2}+b x+c$. Графіки цих функцій є параболами. The$x$ - перехоплення парабол відбуваються де$f(x)=0$.

Наприклад:

Квадратне рівняння

$\begin{aligned}x^{2}-2 x-15 & =0\quad \text{Let}\:f(x)=0 \\ (x-5)(x+3) &=0 \\ x-5=0\:\:x+3 & =0 \\ x=5\:\:\:x&=-3\end{aligned}$

Квадратична функція

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=x^{2}-2 x-15 \\ 0 &=(x-5)(x+3) \\ x-5 &=0 \quad x+3=0 \\ x &=5 \quad x=-3 \\(5,0) & \text { and }(-3,0) \\& x\text { -intercepts } \end{aligned}$

Розв'язками квадратичної функції є$x$ значення$x$ - перехоплює.

Раніше ми бачили, що квадратні рівняння мають$2, 1$, або$0$ рішення. На графіках нижче наведені приклади парабол для цих трьох випадків. Оскільки розв'язки функцій дають$x$ -перехоплення графіків, то кількість$x$ -перехоплень збігається з кількістю розв'язків.

Раніше ми використовували дискримінант для визначення кількості розв'язків квадратичної функції форми$a x^{2}+b x+c=0$. Тепер ми можемо використовувати дискримінант, щоб сказати нам, скільки$x$ -перехоплень є на графіку.

На цьому зображенні показано три графіки пліч-о-пліч. На графіку ліворуч показана парабола, що відкривається вгору, на графіку на координатній площині x y. Вершина параболи лежить нижче осі х, а парабола перетинає вісь х у двох різних точках. Якщо b в квадраті мінус 4 a c більше 0, то квадратне рівняння a x в квадраті плюс b x плюс c дорівнює 0 має два рішення, а графік параболи має 2 х-перехоплення. На графіку посередині показана парабола, що відкривається вниз, на графіку координатної площини x y. Вершина параболи лежить на осі х, єдиній точці перетину між параболою і віссю х. Якщо b в квадраті мінус 4 a c дорівнює 0, то квадратне рівняння a x в квадраті плюс b x плюс c дорівнює 0 має одне рішення, а графік параболи має 1 x перехоплення. На графіку праворуч показана парабола, що відкривається вгору, на графіку на координатній площині x y. Вершина параболи лежить над віссю х і парабола не перетинає вісь х. Якщо b в квадраті мінус 4 a c менше 0, то квадратне рівняння a x в квадраті плюс b x плюс c дорівнює 0 не має розв'язків, а графік параболи не має х-перехоплень.

Перш ніж знайти значення$x$ -incepts, можливо, ви захочете оцінити дискримінант, щоб ви знали, скільки рішень очікувати.

Приклад$\PageIndex{5}$

Знайдіть перехоплення параболи для функції$f(x)=5 x^{2}+x+4$.

Рішення:

	$.$
Щоб знайти$y$ -перехоплення, нехай$x=0$ і вирішувати для$f(x)$.	$.$
	$.$
	Коли$x=0$, то$f(0)=4$. $y$-Перехоплення - це точка$(0,4)$.
Щоб знайти$x$ -перехоплення, нехай$f(x)=0$ і вирішувати для$x$.	$.$
	$.$
Знайдіть значення дискримінанту, щоб передбачити кількість розв'язків, яка також є кількістю$x$ -перехоплень.
$\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}$
	Оскільки значення дискримінанту від'ємне, реального рішення рівняння не існує. Немає$x$ -перехоплень.

Вправа$\PageIndex{9}$

Знайдіть перехоплення параболи, функція якої є$f(x)=3 x^{2}+4 x+4$.

Відповідь: $y$-перехоплення:$(0,4)$ немає$x$ -перехоплення

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайдіть перехоплення параболи, функція якої$f(x)=x^{2}-4 x-5$

Відповідь: $y$-перехоплення:$(0,-5)$$x$ -перехоплює$(-1,0),(5,0)$

Квадратичні функції графа з використанням властивостей

Тепер у нас є всі частини, які нам потрібні для того, щоб графік квадратичної функції. Нам просто потрібно зібрати їх воєдино. У наступному прикладі ми побачимо, як це зробити.

Приклад$\PageIndex{6}$ How to Graph a Quadratic Function Using Properties

Графік$f(x)=x^{2}-6x+8$ за допомогою його властивостей.

Рішення:

Крок 1: Визначте, чи відкривається парабола вгору або вниз.	Подивіться$a$ в рівняння$f(x)=x^{2}-6x+8$ $a$Оскільки позитивна, парабола відкривається вгору.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ $\color{red}{a=1, b=-6, c=8}$ Парабола відкривається вгору.
Крок 2: Знайдіть вісь симетрії.	$f(x)=x^{2}-6x+8$ Віссю симетрії є лінія$x=-\frac{b}{2 a}$.	Вісь симетрії $x=-\frac{b}{2 a}$ $x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}$ $x=3$ Віссю симетрії є лінія$x=3$.
Крок 3: Знайдіть вершину.	Вершина знаходиться на осі симетрії. $x=3$Підставляємо в функцію.	Вершина $f(x)=x^{2}-6x+8$ $f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8$ $f(3)=-1$ Вершина є$(3,-1)$.
Крок 4: Знайдіть$y$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$y$ -перехоплення поперек осі симетрії.	Знаходимо$f(0)$. Використовуємо вісь симетрії, щоб знайти точку, симетричну$y$ -перехоплення. $y$-Перехоплення - це$3$ одиниці зліва від осі симетрії,$x=3$. Точка$3$ одиниць праворуч від осі симетрії має$x=6$.	$y$-перехопити $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8$ $f(0)=8$ $y$-Перехоплення є$(0,8)$. Точка симетрична до$y$ -перехоплення: Справа в тому$(6,8)$.
Крок 5: Знайдіть$x$ -перехоплення. Знайдіть додаткові точки, якщо це необхідно.	Вирішуємо$f(x)=0$. Ми можемо вирішити це квадратне рівняння шляхом факторингу.	$x$-перехоплює $f(x)=x^{2}-6 x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8$ $\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)$ $x=2 or x=4$ $x$-перехоплює є$(2,0)$ і$(4,0)$.
Крок 6: Графік параболи.	Ми графуємо вершину, перехоплює і точку симетричну до$y$ -перехоплення. З'єднуємо ці$5$ точки, щоб накидати параболу.	$Знімок екрана (1) .png$

Вправа$\PageIndex{11}$

Графік$f(x)=x^{2}+2x-8$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь симетрії, x дорівнює від'ємній 1, зображується у вигляді пунктирної лінії. Парабола має вершину в (негативний 1, негативний 9). Y-перехоплення параболи - це точка (0, негативна 8). X-перехоплення параболи - це точки (негативні 4, 0) і (4, 0).$

Вправа$\PageIndex{12}$

Графік$f(x)=x^{2}-8x+12$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 15. Вісь симетрії, x дорівнює 4, зображується у вигляді пунктирної лінії. Парабола має вершину в (4, негативні 4). Y-перехоплення параболи - це точка (0, 12). X-перехоплення параболи - це точки (2, 0) і (6, 0).$

Ми перерахуємо кроки, які потрібно зробити для того, щоб графікувати квадратичну функцію тут.

Графік квадратичної функції за допомогою властивостей

Визначте, чи відкривається парабола вгору або вниз.
Знайдіть рівняння осі симетрії.
Знайдіть вершину.
Знайти$y$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну до$y$ -перехоплення поперек осі симетрії.
Знайдіть$x$ -перехоплення. Знайдіть додаткові точки, якщо це необхідно.
Графік параболи.

Ми змогли знайти$x$ -перехоплення в останньому прикладі шляхом факторингу. Ми також знаходимо$x$ -перехоплення в наступному прикладі шляхом факторингу.

Приклад$\PageIndex{7}$

Графік$f(x)=-x^{2}+6 x-9$ за допомогою його властивостей.

Рішення:

	$.$
Так як$a$ є$-1$, парабола відкривається вниз.
	$.$
Щоб знайти рівняння осі симетрії, використовуйте$x=-\frac{b}{2 a}$.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{6}{2(-1)}$
	$x=3$
	Вісь симетрії є$x=3$. Вершина знаходиться на лінії$x=3$.
	$.$
Знайти$f(3)$.	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
	$.$
	$f(3)=-9+18-9$
	$f(3)=0$
	Вершина є$(3,0)$.
	$.$
$y$-Перехоплення відбувається, коли$x=0$. Знайти$f(0)$.	$f(x)=-x^{2}+6 x-9$
Замінник$x=0$.	$.$
Спростити.	$f(0)=-9$
Точка$(0,-9)$ - три одиниці зліва від лінії симетрії. Точка три одиниці праворуч від лінії симетрії є$(6,-9)$.	$.$
	Точка симетрична до$y$ -перехоплення$(6,-9)$
$x$-Перехоплення відбувається, коли$f(x)=0$.	$.$
Знайти$f(x)=0$.	$.$
Фактор GCF.	$.$
Фактор триноміалу.	$.$
Вирішити для$x$.	$.$
З'єднайте точки, щоб графувати параболу.	$.$

Вправа$\PageIndex{13}$

Графік$f(x)=3 x^{2}+12 x-12$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вниз, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 15 до 10. Парабола має вершину в (2, 0). Y-перехоплення (0, негативний 12) будується так само, як і вісь симетрії, x дорівнює 2.$

Вправа$\PageIndex{14}$

Графік$f(x)=4 x^{2}+24 x+36$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 30 до 20. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 40. Парабола має вершину в (від'ємний 3, 0). Y-перехоплення (0, 36) побудовано так само, як і вісь симетрії, x дорівнює негативному 3.$

Для графа$f(x)=-x^{2}+6 x-9$, вершина і$x$ -перехоплення були однією і тією ж точкою. Пам'ятайте, як дискримінант визначає кількість розв'язків квадратного рівняння? Дискримінант рівняння$0=-x^{2}+6x-9$ є$0$, тому існує тільки одне рішення. Це означає, що існує тільки один$x$ -перехоплення, і це вершина параболи.

Скільки$x$ -перехоплень ви очікуєте побачити на графіку$f(x)=x^{2}+4 x+5$?

Приклад$\PageIndex{8}$

Графік$f(x)=x^{2}+4 x+5$ за допомогою його властивостей.

Рішення:

	$.$
Так як$a$ є$-1$, парабола відкривається вниз.
	$.$
Щоб знайти рівняння осі симетрії, використовуйте$x=-\frac{b}{2 a}$.	$.$
	$.$
	$.$
	Рівняння осі симетрії дорівнює\ (x=-2).
	$.$
Вершина знаходиться на лінії$x=-2$.
Знайти$f(x)$, коли$x=-2$.	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
	Вершина є$(-2,1)$.
	$.$
$y$-Перехоплення відбувається, коли$x=0$.	$.$
Знайти$f(0)$.	$.$
Спростити.	$.$
	$y$-Перехоплення є$(0,5)$.
Точка$(-4,5)$ - дві одиниці зліва від лінії симетрії. Точка до одиниць праворуч від лінії симетрії дорівнює\ (0,5)\.	$.$
	Точка симетрична до$y$ -перехоплення є$(-4,5)$.
$x$-Перехоплення відбувається, коли$f(x)=0$.	$.$
Знайти$f(x)=0$.	$.$
Перевірте дискримінант.
	$.$
	$.$
	$.$
	$.$
Оскільки значення дискримінанту негативне, реального рішення немає і тому немає$x$ -перехоплення.
З'єднайте точки, щоб графувати параболу. Можливо, ви захочете вибрати ще дві точки для більшої точності.	$.$

Вправа$\PageIndex{15}$

Графік$f(x)=x^{2}-2 x+3$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 2 до 4. Вісь Y площини проходить від негативного 1 до 5. Парабола має вершину в (1, 2). Y-перехоплення (0, 3) будується як лінія симетрії, x дорівнює 1.$

Вправа$\PageIndex{16}$

Графік$f(x)=-3x^{2}-6 x-4$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вниз, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 4 до 2. Вісь Y площини проходить від негативних 5 до 1. Парабола має вершину в (негативний 1, негативний 2). Y-перехоплення (0, від'ємний 4) будується як лінія симетрії, x дорівнює негативному 1.$

Знайти$y$ -перехоплення шляхом знаходження$f(0)$ легко, чи не так? Іноді нам потрібно використовувати квадратичну формулу, щоб знайти$x$ -перехоплення.

Приклад$\PageIndex{9}$

Графік$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$ за допомогою його властивостей.

Рішення:

	$.$
Так як$a$ є$2$, парабола відкривається вгору.	$.$
Щоб знайти рівняння осі симетрії, використовуйте$x=-\frac{b}{2 a}$.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}$
	$x=1$
	Рівняння осі симетрії є$x=1$.
Вершина знаходиться на лінії$x=1$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Знайти$f(1)$.	$.$
	$f(1)=2-4-3$
	\ (\ f (1) =-5)
	Вершина є$(1,-5)$.
$y$-Перехоплення відбувається, коли$x=0$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Знайти$f(0)$.	$.$
Спростити.	$f(0)=-3$
	$y$-Перехоплення є$(0,-3)$.
Точка$(0,-3)$ - одна одиниця зліва від лінії симетрії.	Точка симетрична до$y$ -перехоплення$(2,-3)$
Точка на одну одиницю праворуч від лінії симетрії є$(2,3)$.
$x$-Перехоплення відбувається, коли$y=0$.	$f(x)=2 x^{2}-4 x-3$
Знайти$f(x)=0$.	$.$
Використовуйте квадратичну формулу.	$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$
Підставляємо в значення$a,b$ і$c$.	$x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}$
Спростити.	$x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}$
Спростити всередині радикалу.	$x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}$
Спростити радикал.	$x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}$
Фактор GCF.	$x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}$
Видаліть загальні фактори.	$x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$
Запишіть як два рівняння.	$x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$
Орієнтовні значення.	$x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6$
	Приблизними значеннями$x$ -перехоплень є$(2.5,0)$ і$(-0.6,0)$.
Графік параболи за допомогою знайдених точок.	$.$

Вправа$\PageIndex{17}$

Графік$f(x)=5 x^{2}+10 x+3$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вгору, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 4 до 4. Вісь Y площини проходить від негативних 4 до 4. Вісь симетрії, x дорівнює від'ємній 1, зображується у вигляді пунктирної лінії. Парабола має вершину в (негативний 1, негативний 2). Y-перехоплення параболи - це точка (0, 3). X-перехоплення параболи приблизно (негативні 1.6, 0) і (негативні 0.4, 0).$

Вправа$\PageIndex{18}$

Графік$f(x)=-3 x^{2}-6 x+5$ за допомогою його властивостей.

Відповідь: $На цьому малюнку показана парабола, що відкривається вниз, графічна на координатній площині x y. Вісь X площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь Y площини проходить від негативних 10 до 10. Вісь симетрії, x дорівнює від'ємній 1, зображується у вигляді пунктирної лінії. Парабола має вершину в (негативна 1, 8). Y-перехоплення параболи - це точка (0, 5). Х-перехоплення параболи приблизно (негативні 2.6, 0) і (0.6, 0).$

Вирішуйте максимальне та мінімальне застосування

Знання того, що вершина параболи є найнижчою або найвищою точкою параболи, дає нам простий спосіб визначити мінімальне або максимальне значення квадратичної функції. y -координата вершини - це мінімальне значення параболи, що відкривається вгору. Це максимальне значення параболи, яка відкривається вниз. Див. Малюнок 9.6.124.

На цьому малюнку показано 2 графіки пліч-о-пліч. На лівому графіку показана парабола, що відкривається вниз, побудована на площині x y. Стрілка вказує на вершину з міткою максимум. На правому графіку показана парабола, що відкривається вгору, побудована на площині x y. Стрілка вказує на вершину з мінімумом мітки. — Малюнок 9.6.124

Мінімальні або максимальні значення квадратичної функції

y -координата вершини графа квадратичної функції є

мінімальне значення квадратного рівняння, якщо парабола відкривається вгору.
максимальне значення квадратного рівняння, якщо парабола відкривається вниз.

Приклад$\PageIndex{10}$

Знайти мінімальне або максимальне значення квадратичної функції$f(x)=x^{2}+2 x-8$.

Рішення:

	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
$a$Оскільки позитивна, парабола відкривається вгору. Квадратне рівняння має мінімум.
Знайдіть рівняння осі симетрії.	$x=-\frac{b}{2 a}$
	$x=-\frac{2}{2 \times 1}$
	$x=-1$
	Рівняння осі симетрії є$x=-1$.
Вершина знаходиться на лінії$x=-1$.	$f(x)=x^{2}+2 x-8$
Знайти$f(-1)$.	$.$
	$f(-1)=1-2-8$
	$f(-1)=-9$
	Вершина є$(-1,-9)$.
Оскільки парабола має мінімум, то$y$ -координата вершини є мінімальним$y$ -значенням квадратного рівняння. Мінімальне значення квадратичного є$-9$ і воно виникає при$x=-1$.
	$.$

Покажіть графік, щоб перевірити результат.

Вправа$\PageIndex{19}$

Знайти максимальне або мінімальне значення квадратичної функції$f(x)=x^{2}-8 x+12$.

Відповідь: Мінімальне значення квадратичної функції є$−4$ і воно виникає при$x=4$.

Вправа$\PageIndex{20}$

Знайти максимальне або мінімальне значення квадратичної функції$f(x)=-4 x^{2}+16 x-11$.

Відповідь: Максимальне значення квадратичної функції є$5$ і вона виникає при$x=2$.

Ми використали формулу

$h(t)=-16 t^{2}+v_{0} t+h_{0}$

обчислити висоту в футах$h$, об'єкт постріл вгору в повітря з початковою швидкістю$v_{0}$, через$t$ секунди.

Ця формула є квадратичною функцією, тому її графік є параболою. Вирішуючи координати вершини$(t,h)$, ми можемо знайти, скільки часу знадобиться об'єкту, щоб досягти максимальної висоти. Тоді ми зможемо обчислити максимальну висоту.

Приклад$\PageIndex{11}$

Квадратне рівняння$h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$ моделює висоту волейбольного удару прямо вгору зі швидкістю$176$ ноги в секунду з висоти$4$ ніг.

Скільки секунд знадобиться волейболу, щоб досягти максимальної висоти?
Знайдіть максимальну висоту волейболу.

Рішення:

$h(t)=-16 t^{2}+176 t+4$

$a$Оскільки негативна, парабола відкривається вниз. Квадратична функція має максимум.

a. знайти рівняння осі симетрії.

$\begin{array}{l}{t=-\frac{b}{2 a}} \\ {t=-\frac{176}{2(-16)}} \\ {t=5.5}\end{array}$

Рівняння осі симетрії є$t=5.5$.

Вершина знаходиться на лінії$t=5.5$.

Максимум виникає при$t=5.5$ секундах.

б. знайти$h(5.5)$.

$\begin{array}{l}{h(t)=-16 t^{2}+176 t+4} \\ {h(t)=-16(5.5)^{2}+176(5.5)+4}\end{array}$

Скористайтеся калькулятором для спрощення.

$h(t)=488$

Вершина є$(5.5,488)$.

Так як парабола має максимум, то$h$ -координата вершини є максимальним значенням квадратичної функції.

Максимальне значення квадратики -$488$ фути, і це відбувається при$t=5.5$ секундах.

Через$5.5$ кілька секунд волейбол досягне максимальної висоти$488$ ніг.

Вправа$\PageIndex{21}$

Вирішіть, округляючи відповіді до найближчої десятої.

Квадратична функція$h(t)=-16 t^{2}+128 t+32$ використовується для знаходження висоти каменю, викинутого вгору з висоти$32$ футів зі швидкістю$128$ ft/sec. Скільки часу знадобиться, щоб камінь досяг максимальної висоти? Яка максимальна висота?

Відповідь: Знадобиться$4$ секунди, щоб камінь досяг максимальної висоти$288$ ніг.

Вправа$\PageIndex{22}$

Шляхи іграшкової ракети, викинутої вгору від землі зі швидкістю$208$ ft/sec, моделюється квадратичною функцією$h(t)=-16 t^{2}+208 t$. Коли ракета досягне максимальної висоти? Якою буде максимальна висота?

Відповідь: Знадобиться$6.5$ секунди, щоб ракета досягла максимальної висоти$676$ ніг.

Ключові поняття

Орієнтація на параболу
- Для графіка квадратичної функції$f(x)=a x^{2}+b x+c$, якщо
  - $a>0$, Парабола відкривається вгору.
  - $a<0$, Парабола відкривається вниз.
Вісь симетрії та вершина параболи Графік функції$f(x)=a x^{2}+b x+c$ є параболою, де:
- вісь симетрії - вертикальна лінія$x=-\frac{b}{2 a}$.
- вершина - це точка на осі симетрії, тому її$x$ -координата є$-\frac{b}{2 a}$.
- $y$-координату вершини знаходять шляхом підстановки$x=-\frac{b}{2 a}$ в квадратне рівняння.
Знайдіть перехоплення Параболи
- Щоб знайти перехоплення параболи, функція якої$f(x)=a x^{2}+b x+c$:
  - $y$-перехопити
    - Нехай$x=0$ і вирішуйте для$f(x)$.
  - $x$-перехоплює
    - Дозвольте$f(x)=0$ і вирішуйте для$x$.
Як графувати квадратичну функцію за допомогою властивостей.
1. Визначте, чи відкривається парабола вгору або вниз.
2. Знайдіть рівняння осі симетрії.
3. Знайдіть вершину.
4. Знайти$y$ -перехоплення. Знайти точку, симетричну y -перехоплення поперек осі симетрії.
5. Знайдіть$x$ -перехоплення. Знайдіть додаткові точки, якщо це необхідно.
6. Графік параболи.
Мінімальні або максимальні значення квадратного рівняння
- $y$-координата вершини графа квадратного рівняння є
- мінімальне значення квадратного рівняння, якщо парабола відкривається вгору.
- максимальне значення квадратного рівняння, якщо парабола відкривається вниз.

Глосарій

квадратична функція: Квадратична функція, де$a, b$, і$c$ є дійсними числами і$a≠0$, є функцією виду$f(x)=ax^{2}+bx+c$.

	$.$
Віссю симетрії є вертикальна лінія\(x=-\frac{b}{2 a}\).
Підставляємо значення\(a,b\) в рівняння.	\(x=-\frac{-6}{2 \cdot 3}\)
Спростити.	\(x=1\)
	Віссю симетрії є лінія\(x=1\).

	\(f(x)=3 x^{2}-6 x+2\)
Вершина - це точка на лінії симетрії, тому її\(x\) -координата буде\(x=1\). Знайти\(f(1)\).	$.$
Спростити.	$.$
Результатом буде\(y\) -координата.	\(f(1)=-1\)
	Вершина є\((1,-1)\).

	\(f(x)=x^{2}+4 x+3\)
Нехай\(f(x)=0\).	\(\color{red}0\color{black}=x^{2}+4 x+3\)
Фактор.	\(0=(x+1)(x+3)\)
Використовуйте властивість нульового продукту.	\(x+1=0 \quad x+3=0\)
Вирішити.	\(x=-1 \quad x=-3\)
	\(x\)-перехоплює є\((-1,0)\) і\((-3,0)\).

	\(f(x)=-x^{2}+4 x+3\)
Нехай\(f(x)=0\).	\(\color{red}0 \color{black}=-x^{2}+4 x+3\)
Ця квадратика не фактор, тому ми використовуємо квадратичну формулу.	\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
\(a=-1, b=4, c=3\)	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{4^{2}-4(-1)(3)}}{2(-1)}\)
Спростити.	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{28}}{-2}\)
	\(x=\frac{-4 \pm 2 \sqrt{7}}{-2}\)
	\(x=\frac{-2(2 \pm \sqrt{7})}{-2}\)
	\(x=2 \pm \sqrt{7}\)
	\(x\)-перехоплює є\((2+\sqrt{7}, 0)\) і\((2-\sqrt{7}, 0)\).

Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x=0\) і вирішувати для\(f(x)\).	\(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
	\(f(0)=\color{red}0\color{black}^{2}-2 \cdot \color{red}0 \color{black}-8\)
	\(f(0)=-8\)
	Коли\(x=0\), то\(f(0)=-8\). \(y\)-Перехоплення - це точка\((0,-8)\).
Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(f(x)=0\) і вирішувати для\(x\).	\(f(x)=x^{2}-2 x-8\)
	\(0=x^{2}-2 x-8\)
Вирішити шляхом факторингу.	\(0=(x-4)(x+2)\)
	\(0=x-4 \quad 0=x+2\)
	\(4=x \quad-2=x\)
	Коли\(f(x)=0\), то\(x=4\) або\(x=-2\). \(x\)-перехоплення - це точки\((4,0)\) і\((-2,0)\).

Визначення\(\PageIndex{1}\)

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Визначення\(\PageIndex{2}\)

Приклад\(\PageIndex{2}\)

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{8}\)

Приклад\(\PageIndex{5}\)

Вправа\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{10}\)

Приклад\(\PageIndex{6}\) How to Graph a Quadratic Function Using Properties

Вправа\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{12}\)

Приклад\(\PageIndex{7}\)

Вправа\(\PageIndex{13}\)

Вправа\(\PageIndex{14}\)

Приклад\(\PageIndex{8}\)

Вправа\(\PageIndex{15}\)

Вправа\(\PageIndex{16}\)

Приклад\(\PageIndex{9}\)

Вправа\(\PageIndex{17}\)

Вправа\(\PageIndex{18}\)

Приклад\(\PageIndex{10}\)

Вправа\(\PageIndex{19}\)

Вправа\(\PageIndex{20}\)

Приклад\(\PageIndex{11}\)

Вправа\(\PageIndex{21}\)

Вправа\(\PageIndex{22}\)

Виберіть цілочисельні значення для\(x\), підставляйте їх у рівняння і спростіть пошук\(f(x)\). Запишіть значення впорядкованих пар на графіку.	$.$
Намалюйте точки, а потім з'єднайте їх плавною кривою. Результатом буде графік функції\(f(x)=x^{2}-1\).	$.$

	$.$
Щоб знайти\(y\) -перехоплення, нехай\(x=0\) і вирішувати для\(f(x)\).	$.$
	$.$
	Коли\(x=0\), то\(f(0)=4\). \(y\)-Перехоплення - це точка\((0,4)\).
Щоб знайти\(x\) -перехоплення, нехай\(f(x)=0\) і вирішувати для\(x\).	$.$
	$.$
Знайдіть значення дискримінанту, щоб передбачити кількість розв'язків, яка також є кількістю\(x\) -перехоплень.
\(\begin{array}{c}{b^{2}-4 a c} \\ {1^{2}-4 \cdot 5 \cdot 4} \\ {1-80} \\ {-79}\end{array}\)
	Оскільки значення дискримінанту від'ємне, реального рішення рівняння не існує. Немає\(x\) -перехоплень.

Крок 1: Визначте, чи відкривається парабола вгору або вниз.	Подивіться\(a\) в рівняння\(f(x)=x^{2}-6x+8\) \(a\)Оскільки позитивна, парабола відкривається вгору.	\(f(x)=x^{2}-6x+8\) \(\color{red}{a=1, b=-6, c=8}\) Парабола відкривається вгору.
Крок 2: Знайдіть вісь симетрії.	\(f(x)=x^{2}-6x+8\) Віссю симетрії є лінія\(x=-\frac{b}{2 a}\).	Вісь симетрії \(x=-\frac{b}{2 a}\) \(x=-\frac{(-6)}{2 \cdot 1}\) \(x=3\) Віссю симетрії є лінія\(x=3\).
Крок 3: Знайдіть вершину.	Вершина знаходиться на осі симетрії. \(x=3\)Підставляємо в функцію.	Вершина \(f(x)=x^{2}-6x+8\) \(f(3)=(\color{red}{3}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{3}\color{black}{)}+8\) \(f(3)=-1\) Вершина є\((3,-1)\).
Крок 4: Знайдіть\(y\) -перехоплення. Знайти точку, симетричну до\(y\) -перехоплення поперек осі симетрії.	Знаходимо\(f(0)\). Використовуємо вісь симетрії, щоб знайти точку, симетричну\(y\) -перехоплення. \(y\)-Перехоплення - це\(3\) одиниці зліва від осі симетрії,\(x=3\). Точка\(3\) одиниць праворуч від осі симетрії має\(x=6\).	\(y\)-перехопити \(f(x)=x^{2}-6 x+8\) \(f(0)=(\color{red}{0}\color{black}{)}^{2}-6(\color{red}{0}\color{black}{)}+8\) \(f(0)=8\) \(y\)-Перехоплення є\((0,8)\). Точка симетрична до\(y\) -перехоплення: Справа в тому\((6,8)\).
Крок 5: Знайдіть\(x\) -перехоплення. Знайдіть додаткові точки, якщо це необхідно.	Вирішуємо\(f(x)=0\). Ми можемо вирішити це квадратне рівняння шляхом факторингу.	\(x\)-перехоплює \(f(x)=x^{2}-6 x+8\) \(\color{red}{0}\color{black}{=}x^{2}-6x+8\) \(\color{red}{0}\color{black}{=}(x-2)(x-4)\) \(x=2 or x=4\) \(x\)-перехоплює є\((2,0)\) і\((4,0)\).
Крок 6: Графік параболи.	Ми графуємо вершину, перехоплює і точку симетричну до\(y\) -перехоплення. З'єднуємо ці\(5\) точки, щоб накидати параболу.	$Знімок екрана (1) .png$

	$.$
Так як\(a\) є\(-1\), парабола відкривається вниз.
	$.$
Щоб знайти рівняння осі симетрії, використовуйте\(x=-\frac{b}{2 a}\).	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{6}{2(-1)}\)
	\(x=3\)
	Вісь симетрії є\(x=3\). Вершина знаходиться на лінії\(x=3\).
	$.$
Знайти\(f(3)\).	\(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
	$.$
	\(f(3)=-9+18-9\)
	\(f(3)=0\)
	Вершина є\((3,0)\).
	$.$
\(y\)-Перехоплення відбувається, коли\(x=0\). Знайти\(f(0)\).	\(f(x)=-x^{2}+6 x-9\)
Замінник\(x=0\).	$.$
Спростити.	\(f(0)=-9\)
Точка\((0,-9)\) - три одиниці зліва від лінії симетрії. Точка три одиниці праворуч від лінії симетрії є\((6,-9)\).	$.$
	Точка симетрична до\(y\) -перехоплення\((6,-9)\)
\(x\)-Перехоплення відбувається, коли\(f(x)=0\).	$.$
Знайти\(f(x)=0\).	$.$
Фактор GCF.	$.$
Фактор триноміалу.	$.$
Вирішити для\(x\).	$.$
З'єднайте точки, щоб графувати параболу.	$.$

	$.$
Так як\(a\) є\(2\), парабола відкривається вгору.	$.$
Щоб знайти рівняння осі симетрії, використовуйте\(x=-\frac{b}{2 a}\).	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{-4}{2 \cdot 2}\)
	\(x=1\)
	Рівняння осі симетрії є\(x=1\).
Вершина знаходиться на лінії\(x=1\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Знайти\(f(1)\).	$.$
	\(f(1)=2-4-3\)
	\ (\ f (1) =-5)
	Вершина є\((1,-5)\).
\(y\)-Перехоплення відбувається, коли\(x=0\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Знайти\(f(0)\).	$.$
Спростити.	\(f(0)=-3\)
	\(y\)-Перехоплення є\((0,-3)\).
Точка\((0,-3)\) - одна одиниця зліва від лінії симетрії.	Точка симетрична до\(y\) -перехоплення\((2,-3)\)
Точка на одну одиницю праворуч від лінії симетрії є\((2,3)\).
\(x\)-Перехоплення відбувається, коли\(y=0\).	\(f(x)=2 x^{2}-4 x-3\)
Знайти\(f(x)=0\).	$.$
Використовуйте квадратичну формулу.	\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\)
Підставляємо в значення\(a,b\) і\(c\).	\(x=\frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4(2)(3)}}{2(2)}\)
Спростити.	\(x=\frac{-4 \pm \sqrt{16+24}}{4}\)
Спростити всередині радикалу.	\(x=\frac{4 \pm \sqrt{40}}{4}\)
Спростити радикал.	\(x=\frac{4 \pm 2 \sqrt{10}}{4}\)
Фактор GCF.	\(x=\frac{2(2 \pm \sqrt{10})}{4}\)
Видаліть загальні фактори.	\(x=\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}\)
Запишіть як два рівняння.	\(x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}, \quad x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}\)
Орієнтовні значення.	\(x \approx 2.5, \quad x \approx-0.6\)
	Приблизними значеннями\(x\) -перехоплень є\((2.5,0)\) і\((-0.6,0)\).
Графік параболи за допомогою знайдених точок.	$.$

	\(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
\(a\)Оскільки позитивна, парабола відкривається вгору. Квадратне рівняння має мінімум.
Знайдіть рівняння осі симетрії.	\(x=-\frac{b}{2 a}\)
	\(x=-\frac{2}{2 \times 1}\)
	\(x=-1\)
	Рівняння осі симетрії є\(x=-1\).
Вершина знаходиться на лінії\(x=-1\).	\(f(x)=x^{2}+2 x-8\)
Знайти\(f(-1)\).	$.$
	\(f(-1)=1-2-8\)
	\(f(-1)=-9\)
	Вершина є\((-1,-9)\).
Оскільки парабола має мінімум, то\(y\) -координата вершини є мінімальним\(y\) -значенням квадратного рівняння. Мінімальне значення квадратичного є\(-9\) і воно виникає при\(x=-1\).
	$.$