7.5: Вирішити раціональні рівнян
- Page ID
- 59767
- Розв'язувати раціональні рівнян
- Використовуйте раціональні функції
- Розв'яжіть раціональне рівняння для конкретної змінної
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Вирішення:\(\dfrac{1}{6} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.9. - Вирішення:
- Вирішити формулу\(5x+2y=10\) для\(y\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.4.10.
Визначивши терміни «вираз» та «рівняння» раніше, ми використовували їх у цій книзі. Ми спростили багато видів виразів і розв'язали багато видів рівнянь. Ми спростили багато раціональних виразів досі в цьому розділі. Тепер вирішимо раціональне рівняння.
Раціональне рівняння - це рівняння, яке містить раціональний вираз.
Ви повинні обов'язково знати різницю між раціональними виразами та раціональними рівняннями. Рівняння містить знак рівності.
\[\text {Rational Expression }\quad \quad \text{ Rational Equation} \nonumber \]
\[\dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2} \quad \quad \dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \nonumber \]
\[\dfrac{y+6}{y^{2}-36} \quad \quad \quad \dfrac{y+6}{y^{2}-36}=y+1 \nonumber \]
\[\dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4} \quad \quad \quad \quad \dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{15}{n^{2}+n-12} \nonumber \]
Розв'язувати раціональні рівнян
Ми вже розв'язали лінійні рівняння, які містили дроби. Ми знайшли РК всіх дробів у рівнянні, а потім помножили обидві сторони рівняння на РК, щоб «очистити» дроби.
Ми будемо використовувати ту ж стратегію для вирішення раціональних рівнянь. Ми помножимо обидві сторони рівняння на РК-дисплей. Тоді у нас буде рівняння, яке не містить раціональних виразів і, таким чином, нам набагато простіше вирішити. Але тому, що вихідне рівняння може мати змінну в знаменник, ми повинні бути обережні, що ми не в кінцевому підсумку з рішення, яке б зробити знаменник дорівнює нулю.
Отже, перш ніж ми почнемо розв'язувати раціональне рівняння, ми досліджуємо його спочатку, щоб знайти значення, які б зробити будь-які знаменники нуль. Таким чином, коли ми вирішимо раціональне рівняння, ми дізнаємось, чи є алгебраїчні рішення, які ми повинні відкинути.
Алгебраїчне рішення раціонального рівняння, яке призвело б до невизначеного будь-якого з раціональних виразів, називається стороннім рішенням раціонального рівняння.
Стороннє рішення раціонального рівняння - це алгебраїчне рішення, яке призведе до того, що будь-яке з виразів у вихідному рівнянні буде невизначено.
Відзначимо будь-які можливі сторонні рішення\(c\), записуючи\(x\neq c\) поруч рівняння.
Вирішити:\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]
Рішення
Крок 1. Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
Якщо\(x=0\), то\(\dfrac{1}{x}\) не визначено. Таким чином, ми будемо писати\(x \neq 0\) поруч з рівнянням.
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, x \neq 0 \nonumber \]
Крок 2. Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні.
Знайдіть РК-дисплей\(\dfrac{1}{x}\)\(\dfrac{1}{3}\), і\(\dfrac{5}{6}\)
РК-дисплей є\(6x\).
Крок 3. Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
Помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей,\(6x\).
\[{\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\right)={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]
Використовуйте розподільну властивість.
\[{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{x}+{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{3}={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber \]
Спрощуйте - і зверніть увагу, більше ніяких дробів!
\[6+2 x=5 x \nonumber \]
Крок 4. Розв'яжіть отримане рівняння.
Спростити.
\[\begin{aligned} &6=3 x\\ &2=x \end{aligned} \nonumber \]
Крок 5. Перевірка.
Якщо будь-які значення, знайдені на кроці 1, є алгебраїчними розв'язками, відкиньте їх. Перевірте решту рішень у вихідному рівнянні.
Ми не отримали 0 як алгебраїчне рішення.
\[\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber \]
Підставляємо\(x=2\) в вихідне рівняння.
\[\begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}&=\frac{5}{6} \surd \end{aligned} \nonumber \]
Рішення є\(x=2\)
Вирішити:\[\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5} \nonumber \]
- Відповідь
-
\(y=-\dfrac{15}{7}\)
Вирішити:\[\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{x} \nonumber \]
- Відповідь
-
\(x=\dfrac{15}{3}\)
Показані етапи цього методу.
- Крок 1. Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
- Крок 2. Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні.
- Крок 3. Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
- Крок 4. Розв'яжіть отримане рівняння.
- Крок 5. Перевірка:
- Якщо будь-які значення, знайдені на кроці 1, є алгебраїчними розв'язками, відкиньте їх.
- Перевірте решту рішень у вихідному рівнянні.
Ми завжди починаємо з того, що відзначаємо значення, які призведуть до того, що будь-які знаменники будуть нульовими.
Вирішити:\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]
Рішення
Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}}, y \neq 0 \nonumber \]
Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей є\(y^2\).
Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
\[y^{2}\left(1-\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]
Розподілити.
\[y^{2} \cdot 1-y^{2}\left(\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber \]
Помножити.
\[y^{2}-5 y=-6 \nonumber \]
Розв'яжіть отримане рівняння. Спочатку запишіть квадратне рівняння в стандартному вигляді.
\[y^{2}-5 y+6=0 \nonumber \]
Фактор.
\[(y-2)(y-3)=0 \nonumber \]
Використовуйте властивість нульового продукту.
\[y-2=0 \text { or } y-3=0 \nonumber \]
Вирішити.
\[y=2 \text { or } y=3 \nonumber \]
Перевірка. У нас не вийшло\(0\) як алгебраїчне рішення.
Перевірте\(y=2\) і\(y=3\) в вихідному рівнянні.
\[1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber \]
\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{2^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{3^{2}} \nonumber \]
\[1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=}-\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad \dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[-\dfrac{3}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber \]
\[-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2} \surd \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3} \surd \nonumber \]
Рішення є\(y=2,y=3\)
Вирішити:\[1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{15}{x^{2}} \nonumber \]
- Відповідь
-
\(x=-3, x=5\)
Вирішити:\[1-\dfrac{4}{y}=\dfrac{12}{y^{2}} \nonumber \]
- Відповідь
-
\(y=-2, y=6\)
У наступному прикладі останні знаменники - це різниця квадратів. Не забудьте спочатку врахувати його, щоб знайти РК-дисплей.
Вирішити:\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \nonumber \]
Рішення
Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
\[\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}, x \neq-2, x \neq 2 \nonumber \]
Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей є\((x+2)(x-2)\).
Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
\[(x+2)(x-2)\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}\right)=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]
Розподілити.
\[(x+2)(x-2) \dfrac{2}{x+2}+(x+2)(x-2) \dfrac{4}{x-2}=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber \]
Видаліть загальні фактори.
\[\cancel {(x+2)}(x-2) \dfrac{2}{\cancel {x+2}}+(x+2){\cancel {(x-2)}} \dfrac{4}{\cancel {x-2}}=\cancel {(x+2)(x-2)}\left(\dfrac{x-1}{\cancel {x^{2}-4}}\right) \nonumber \]
Спростити.
\[2(x-2)+4(x+2)=x-1 \nonumber \]
Розподілити.
\[2 x-4+4 x+8=x-1 \nonumber \]
Вирішити.
\[\begin{aligned} 6 x+4&=x-1\\ 5 x&=-5 \\ x&=-1 \end{aligned}\]
Перевірка: Ми не отримали 2 або −2 як алгебраїчні розв'язки.
\(x=-1\)Перевірте вихідне рівняння.
\[\begin{aligned} \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2} &=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \\ \dfrac{2}{(-1)+2}+\dfrac{4}{(-1)-2} &\overset{?}{=} \dfrac{(-1)-1}{(-1)^{2}-4} \\ \dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{-3} &\overset{?}{=} \dfrac{-2}{-3} \\ \dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3} &\overset{?}{=} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} &=\dfrac{2}{3} \surd \end{aligned} \nonumber \]
Рішення є\(x=-1\).
Вирішити:\[\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber \]
- Відповідь
-
\(x=\dfrac{2}{3}\)
Вирішити:\[\dfrac{5}{y+3}+\dfrac{2}{y-3}=\dfrac{5}{y^{2}-9} \nonumber \]
- Відповідь
-
\(y=2\)
У наступному прикладі перший знаменник - триноміал. Не забудьте спочатку врахувати його, щоб знайти РК-дисплей.
Вирішити:\[\dfrac{m+11}{m^{2}-5 m+4}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1} \nonumber \]
Рішення
Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. Використовуйте факторну форму квадратичного знаменника.
\[\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}, m \neq 4, m \neq 1 \nonumber \]
Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей є\((m-4)(m-1)\)
Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1)\left(\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}\right) \nonumber \]
Розподілити.
\[(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1) \dfrac{5}{m-4}-(m-4)(m-1) \dfrac{3}{m-1} \nonumber \]
Видаліть загальні фактори.
\[\cancel {(m-4)(m-1)}\left(\dfrac{m+11}{\cancel {(m-4)(m-1)}}\right)=\cancel {(m-4)}(m-1) \dfrac{5}{\cancel{m-4}}-(m-4)\cancel {(m-1)} \dfrac{3}{\cancel {m-1}} \nonumber \]
Спростити.
\[m+11=5(m-1)-3(m-4) \nonumber \]
Розв'яжіть отримане рівняння.
\[\begin{aligned} m+11&=5 m-5-3 m+12 \\ 4&=m \end{aligned} \nonumber \]
Перевірка. Єдиним алгебраїчним рішенням було 4, але ми сказали, що 4 зробить знаменник рівним нулю. Алгебраїчний розчин - це стороннє рішення.
Рішення цього рівняння немає.
Вирішити:\[\dfrac{x+13}{x^{2}-7 x+10}=\dfrac{6}{x-5}-\dfrac{4}{x-2} \nonumber \]
- Відповідь
-
Рішення немає.
Вирішити:\[\dfrac{y-6}{y^{2}+3 y-4}=\dfrac{2}{y+4}+\dfrac{7}{y-1} \nonumber \]
- Відповідь
-
Рішення немає.
Рівняння, яке ми розв'язували в попередньому прикладі, мало лише одне алгебраїчне рішення, але це було стороннє рішення. Це не залишило нам рішення рівняння. У наступному прикладі ми отримуємо два алгебраїчні розв'язки. Тут одне або обидва можуть бути сторонніми рішеннями.
Вирішити:\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \nonumber \]
Рішення
Фактор всі знаменники, так що ми можемо відзначити будь-яке значення змінної, що б зробити будь-який знаменник нуль.
\[\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4, y \neq 6, y \neq-6 \nonumber \]
Знайдіть найменш спільний знаменник. РК-дисплей є\((y-6)(y+6)\)
Очистіть дроби.
\[(y-6)(y+6)\left(\dfrac{y}{y+6}\right)=(y-6)(y+6)\left(\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4\right) \nonumber \]
Спростити.
\[(y-6) \cdot y=72+(y-6)(y+6) \cdot 4 \nonumber \]
Спростити.
\[y(y-6)=72+4\left(y^{2}-36\right) \nonumber \]
Вирішити отримане рівняння.
\[\begin{aligned} y^{2}-6 y&=72+4 y^{2}-144\\ 0&=3 y^{2}+6 y-72 \\ 0&=3\left(y^{2}+2 y-24\right) \\ 0&=3(y+6)(y-4) \\ y&=-6, y=4 \end{aligned} \nonumber \]
Перевірка.
\(y=-6\)є стороннім рішенням. \(y=4\)Перевірте вихідне рівняння.
\[\begin{aligned} \dfrac{y}{y+6} &=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{4+6} &\overset{?}{=}\dfrac{72}{4^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} \dfrac{72}{-20}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} -\dfrac{36}{10}+\dfrac{40}{10} \\ \dfrac{4}{10} &=\dfrac{4}{10} \surd \end{aligned} \nonumber \]
Рішення є\(y=4\).
Вирішити:\[\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{32}{x^{2}-16}+5 \nonumber \]
- Відповідь
-
\(x=3\)
Вирішити:\[\dfrac{y}{y+8}=\dfrac{128}{y^{2}-64}+9 \nonumber \]
- Відповідь
-
\(y=7\)
У деяких випадках все алгебраїчні розчини є сторонніми.
Вирішити:\[\dfrac{x}{2 x-2}-\dfrac{2}{3 x+3}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12 x^{2}-12} \nonumber \]
Рішення
Почнемо з факторингу всіх знаменників, щоб було простіше виявити сторонні рішення і ЖК.
\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)} \nonumber \]
Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
\[\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}, x \neq 1, x \neq-1 \nonumber \]
Знайдіть найменш спільний знаменник. РК-дисплей є\(12(x-1)(x+1)\).
Очистіть дроби.
\[12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}\right)=12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}\right) \nonumber \]
Спростити.
\[6(x+1) \cdot x-4(x-1) \cdot 2=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]
Спростити.
\[6 x(x+1)-4 \cdot 2(x-1)=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber \]
Вирішити отримане рівняння.
\[\begin{aligned} 6 x^{2}+6 x-8 x+8&=5 x^{2}-2 x+9\\ x^{2}-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=1 \text { or } x=-1 \end{aligned} \nonumber \]
Перевірка.
\(x=1\)і\(x=-1\) є сторонніми рішеннями.
Рівняння не має рішення.
Вирішити:\[\dfrac{y}{5 y-10}-\dfrac{5}{3 y+6}=\dfrac{2 y^{2}-19 y+54}{15 y^{2}-60} \nonumber \]
- Відповідь
-
Рішення немає.
Вирішити:\[\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64} \nonumber \]
- Відповідь
-
Рішення немає.
Вирішити:\[\dfrac{4}{3 x^{2}-10 x+3}+\dfrac{3}{3 x^{2}+2 x-1}=\dfrac{2}{x^{2}-2 x-3} \nonumber \]
Рішення
Фактор всі знаменники, так що ми можемо відзначити будь-яке значення змінної, що б зробити будь-який знаменник нуль.
\[\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}, x \neq-1, x \neq \dfrac{1}{3}, x \neq 3\nonumber \]
Знайдіть найменш спільний знаменник. РК-дисплей є\((3 x-1)(x+1)(x-3)\).
Очистіть дроби.
\[(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}\right)=(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\right) \nonumber \]
Спростити.
\[4(x+1)+3(x-3)=2(3 x-1) \nonumber \]
Розподілити.
\[4 x+4+3 x-9=6 x-2 \nonumber \]
Спростити.
\[7 x-5=6 x-2 \nonumber \]
\[x=3 \nonumber \]
Єдиним алгебраїчним рішенням було\(x=3\)але ми сказали, що\(x=3\) зробить знаменник рівним нулю. Алгебраїчний розчин - це стороннє рішення.
Рішення цього рівняння немає.
Вирішити:\[\dfrac{15}{x^{2}+x-6}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2}{x+3} \nonumber \]
- Відповідь
-
Рішення немає.
Вирішити:\[\dfrac{5}{x^{2}+2 x-3}-\dfrac{3}{x^{2}+x-2}=\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6} \nonumber \]
- Відповідь
-
Рішення немає.
Використовуйте раціональні функції
Робота з функціями, які визначаються раціональними виразами, часто призводить до раціональних рівнянь. Знову ж таки, ми використовуємо ті ж методи для їх вирішення.
Для раціональної функції\(f(x)=\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}\):
- Знайти домен функції
- Вирішити\(f(x)=1\)
- Знайдіть точки на графіку при цьому значенні функції.
Рішення
- Областю раціональної функції є всі дійсні числа, крім тих, які роблять раціональний вираз невизначеною. Отже, щоб їх знайти, встановимо знаменник рівний нулю і вирішимо.
\[\begin{aligned} x^{2}-8 x+15&=0 \\ (x-3)(x-5)&=0 \quad \text{Factor the trinomial.}\\ x-3&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x-5&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x=3 &\; x=5 \text{ Solve.} \end{aligned} \nonumber \]
Домен - це всі дійсні числа, крім\(x \neq 3, x \neq 5\)
- \[f(x)=1 \nonumber \]
Підставляємо в раціональне вираження.
\[\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}=1 \nonumber \]
Коефіцієнт знаменника.
\[\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}=1 \nonumber \]
Помножте обидві сторони на РК-дисплей,\((x-3)(x-5)\)
\[(x-3)(x-5)\left(\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}\right)=(x-3)(x-5)(1) \nonumber \]
Спростити.
\[2 x-6=x^{2}-8 x+15 \nonumber \]
Вирішити.
\[0=x^{2}-10 x+21 \nonumber \]
Фактор.
\[0=(x-7)(x-3) \nonumber \]
Використовуйте властивість нульового продукту.
\[x-7=0 \quad x-3=0 \nonumber \]
Вирішити.
\[x=7 \quad x=3 \nonumber \]
- Значення функції дорівнює 1, коли\(x=7, x=3\)Таким чином, точки на графіку цієї функції, коли\(f(x)=1\)буде\((7,1),(3,1)\).
Для раціональної функції,\(f(x)=\dfrac{8-x}{x^{2}-7 x+12}\)
- Знайдіть домен функції.
- Вирішити\(f(x)=3\).
- Знайдіть точки на графіку при цьому значенні функції.
- Відповідь
-
- Домен - це всі дійсні числа, крім\(x \neq 3\) і\(x \neq 4\)
- \(x=2, x=\dfrac{14}{3}\)
- \((2,3),\left(\dfrac{14}{3}, 3\right)\)
Для раціональної функції,\(f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-6 x+5}\)
- Вирішити\(f(x)=4\).
- Знайдіть точки на графіку при цьому значенні функції.
- Відповідь
-
- Домен - це всі дійсні числа, крім\(x \neq 1\) і\(x \neq 5\)
- \(x=\dfrac{21}{4}\)
- \(\left(\dfrac{21}{4}, 4\right)\)
Розв'яжіть раціональне рівняння для конкретної змінної
Коли ми вирішували лінійні рівняння, ми навчилися вирішувати формулу для конкретної змінної. Багато формул, що використовуються в бізнесі, науці, економіці та інших сферах, використовують раціональні рівняння для моделювання зв'язку між двома або більше змінними. Зараз ми побачимо, як вирішити раціональне рівняння для конкретної змінної.
Коли ми розробили формулу точка-нахил з нашої формули нахилу, ми очистили дроби, множивши на РК.
\[\begin{aligned} m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \quad \text{Multiply both sides of the equation by } x-x_1.\\ m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \quad \text {Simplify.}\\ y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \quad \text {Rewrite the equation with the y terms on the left.} \end{aligned} \nonumber \]
У наступному прикладі ми будемо використовувати ту саму техніку з формулою нахилу, яку ми використовували, щоб отримати точку-нахил форми рівняння прямої через точку\((2,3)\). Ми додамо ще один крок для вирішення\(y\).
Вирішити:\(m=\dfrac{y-2}{x-3}\) для\(y\).
Рішення
\[m=\dfrac{y-2}{x-3} \nonumber \]
Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
\[m=\dfrac{y-2}{x-3}, x \neq 3 \nonumber \]
Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей,\(x-3\).
\[(x-3) m=(x-3)\left(\dfrac{y-2}{x-3}\right) \nonumber \]
Спростити.
\[x m-3 m=y-2 \nonumber \]
Виділяють термін с\(y\).
\[x m-3 m+2=y \nonumber \]
Вирішити:\(m=\dfrac{y-5}{x-4}\) для\(y\).
- Відповідь
-
\(y=m x-4 m+5\)
Вирішити:\(m=\dfrac{y-1}{x+5}\) для\(y\).
- Відповідь
-
\(y=m x+5 m+1\)
Не забудьте помножити обидві сторони на РК-дисплей у наступному прикладі.
Вирішити:\(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1\) для\(c\)
Рішення
\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1 \text { for } c \nonumber \]
Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
\[\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1, c \neq 0, m \neq 0 \nonumber \]
Очистіть дроби, множивши обидві сторони рівнянь на РК,\(cm\).
\[cm\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}\right)=cm(1) \nonumber \]
Розподілити.
\[cm\left(\frac{1}{c}\right)+cm \frac{1}{m}=cm(1) \nonumber \]
Спростити.
\[m+c=cm \nonumber \]
Зберіть умови\(c\) з праворуч.
\[m=cm-c \nonumber \]
Фактор виразу праворуч.
\[m=c(m-1) \nonumber \]
Для ізоляції\(c\) розділіть обидві сторони на\(m-1\).
\[\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{c(m-1)}{m-1} \nonumber \]
Спрощення шляхом видалення загальних факторів.
\[\dfrac{m}{m-1}=c \nonumber \]
Зверніть увагу, що хоча ми виключили\(c=0\) і\(m=0\) з вихідного рівняння, ми також повинні тепер стверджувати, що\(m \neq 1\).
Вирішити:\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=c\) для\(a\).
- Відповідь
-
\(a=\dfrac{b}{c b-1}\)
Вирішити:\(\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}\) для\(y\)
- Відповідь
-
\(y=\dfrac{3 x}{x+6}\)
Доступ до ЗМІ Додаткові Інтернет-ресурси
Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткових інструкцій та практики з рівняннями з раціональними виразами.