7.5: Вирішити раціональні рівнян

Цілі навчання

• Розв'язувати раціональні рівнян
• Використовуйте раціональні функції
• Розв'яжіть раціональне рівняння для конкретної змінної

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Вирішення:$\dfrac{1}{6} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{3}$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.2.9.
2. Вирішення: $n^2-5n-36=0$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 6.6.4.
3. Вирішити формулу$5x+2y=10$ для$y$$.$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте приклад 2.4.10.

Визначивши терміни «вираз» та «рівняння» раніше, ми використовували їх у цій книзі. Ми спростили багато видів виразів і розв'язали багато видів рівнянь. Ми спростили багато раціональних виразів досі в цьому розділі. Тепер вирішимо раціональне рівняння.

Раціональне рівняння

Раціональне рівняння - це рівняння, яке містить раціональний вираз.

Ви повинні обов'язково знати різницю між раціональними виразами та раціональними рівняннями. Рівняння містить знак рівності.

$$\text {Rational Expression }\quad \quad \text{ Rational Equation} \nonumber$$

$$\dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2} \quad \quad \dfrac{1}{8} x+\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{4} \nonumber$$

$$\dfrac{y+6}{y^{2}-36} \quad \quad \quad \dfrac{y+6}{y^{2}-36}=y+1 \nonumber$$

$$\dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4} \quad \quad \quad \quad \dfrac{1}{n-3}+\dfrac{1}{n+4}=\dfrac{15}{n^{2}+n-12} \nonumber$$

Розв'язувати раціональні рівнян

Ми вже розв'язали лінійні рівняння, які містили дроби. Ми знайшли РК всіх дробів у рівнянні, а потім помножили обидві сторони рівняння на РК, щоб «очистити» дроби.

Ми будемо використовувати ту ж стратегію для вирішення раціональних рівнянь. Ми помножимо обидві сторони рівняння на РК-дисплей. Тоді у нас буде рівняння, яке не містить раціональних виразів і, таким чином, нам набагато простіше вирішити. Але тому, що вихідне рівняння може мати змінну в знаменник, ми повинні бути обережні, що ми не в кінцевому підсумку з рішення, яке б зробити знаменник дорівнює нулю.

Отже, перш ніж ми почнемо розв'язувати раціональне рівняння, ми досліджуємо його спочатку, щоб знайти значення, які б зробити будь-які знаменники нуль. Таким чином, коли ми вирішимо раціональне рівняння, ми дізнаємось, чи є алгебраїчні рішення, які ми повинні відкинути.

Алгебраїчне рішення раціонального рівняння, яке призвело б до невизначеного будь-якого з раціональних виразів, називається стороннім рішенням раціонального рівняння.

Сторонній розв'язок раціонального рівняння

Стороннє рішення раціонального рівняння - це алгебраїчне рішення, яке призведе до того, що будь-яке з виразів у вихідному рівнянні буде невизначено.

Відзначимо будь-які можливі сторонні рішення$c$, записуючи$x\neq c$ поруч рівняння.

Приклад$\PageIndex{1}$: How to Solve a Rational Equation

Вирішити: $$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber$$

Рішення

Крок 1. Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.

Якщо$x=0$, то$\dfrac{1}{x}$ не визначено. Таким чином, ми будемо писати$x \neq 0$ поруч з рівнянням.

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6}, x \neq 0 \nonumber$$

Крок 2. Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні.

Знайдіть РК-дисплей$\dfrac{1}{x}$$\dfrac{1}{3}$, і$\dfrac{5}{6}$

РК-дисплей є$6x$.

Крок 3. Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.

Помножте обидві сторони рівняння на РК-дисплей,$6x$.

$${\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}\right)={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber$$

Використовуйте розподільну властивість.

$${\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{x}+{\color{red}6 x} \cdot \dfrac{1}{3}={\color{red}6 x} \cdot\left(\dfrac{5}{6}\right) \nonumber$$

Спрощуйте - і зверніть увагу, більше ніяких дробів!

$$6+2 x=5 x \nonumber$$

Крок 4. Розв'яжіть отримане рівняння.

Спростити.

$$\begin{aligned} &6=3 x\\ &2=x \end{aligned} \nonumber$$

Крок 5. Перевірка.

Якщо будь-які значення, знайдені на кроці 1, є алгебраїчними розв'язками, відкиньте їх. Перевірте решту рішень у вихідному рівнянні.

Ми не отримали 0 як алгебраїчне рішення.

$$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{5}{6} \nonumber$$

Підставляємо$x=2$ в вихідне рівняння.

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}+\frac{1}{3}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{3}{6}+\frac{2}{6}&\overset{?}{=}\frac{5}{6} \\ \frac{5}{6}&=\frac{5}{6} \surd \end{aligned} \nonumber$$

Рішення є$x=2$

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити: $$\dfrac{1}{y}+\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{5} \nonumber$$

Відповідь

$y=-\dfrac{15}{7}$

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити: $$\dfrac{2}{3}+\dfrac{1}{5}=\dfrac{1}{x} \nonumber$$

Відповідь

$x=\dfrac{15}{3}$

Показані етапи цього методу.

як вирішити рівняння з раціональними виразами.

• Крок 1. Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.
• Крок 2. Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні.
• Крок 3. Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.
• Крок 4. Розв'яжіть отримане рівняння.
• Крок 5. Перевірка:
  • Якщо будь-які значення, знайдені на кроці 1, є алгебраїчними розв'язками, відкиньте їх.
  • Перевірте решту рішень у вихідному рівнянні.

Ми завжди починаємо з того, що відзначаємо значення, які призведуть до того, що будь-які знаменники будуть нульовими.

Приклад$\PageIndex{2}$: How to Solve a Rational Equation using the Zero Product Property

Вирішити: $$1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber$$

Рішення

Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.

$$1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}}, y \neq 0 \nonumber$$

Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей є$y^2$.

Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.

$$y^{2}\left(1-\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber$$

Розподілити.

$$y^{2} \cdot 1-y^{2}\left(\dfrac{5}{y}\right)=y^{2}\left(-\dfrac{6}{y^{2}}\right) \nonumber$$

Помножити.

$$y^{2}-5 y=-6 \nonumber$$

Розв'яжіть отримане рівняння. Спочатку запишіть квадратне рівняння в стандартному вигляді.

$$y^{2}-5 y+6=0 \nonumber$$

Фактор.

$$(y-2)(y-3)=0 \nonumber$$

Використовуйте властивість нульового продукту.

$$y-2=0 \text { or } y-3=0 \nonumber$$

Вирішити.

$$y=2 \text { or } y=3 \nonumber$$

Перевірка. У нас не вийшло$0$ як алгебраїчне рішення.

Перевірте$y=2$ і$y=3$ в вихідному рівнянні.

$$1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{y}=-\dfrac{6}{y^{2}} \nonumber$$

$$1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{2^{2}} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{3^{2}} \nonumber$$

$$1-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=}-\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad 1-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber$$

$$\dfrac{2}{2}-\dfrac{5}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad \dfrac{3}{3}-\dfrac{5}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber$$

$$-\dfrac{3}{2} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{4} \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3} \overset{?}{=} -\dfrac{6}{9} \nonumber$$

$$-\dfrac{3}{2}=-\dfrac{3}{2} \surd \quad \quad \quad -\dfrac{2}{3}=-\dfrac{2}{3} \surd \nonumber$$

Рішення є$y=2,y=3$

Вправа$\PageIndex{3}$

Вирішити: $$1-\dfrac{2}{x}=\dfrac{15}{x^{2}} \nonumber$$

Відповідь

$x=-3, x=5$

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішити: $$1-\dfrac{4}{y}=\dfrac{12}{y^{2}} \nonumber$$

Відповідь

$y=-2, y=6$

У наступному прикладі останні знаменники - це різниця квадратів. Не забудьте спочатку врахувати його, щоб знайти РК-дисплей.

Приклад$\PageIndex{3}$

Вирішити: $$\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \nonumber$$

Рішення

Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.

$$\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}=\dfrac{x-1}{(x+2)(x-2)}, x \neq-2, x \neq 2 \nonumber$$

Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей є$(x+2)(x-2)$.

Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.

$$(x+2)(x-2)\left(\dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2}\right)=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber$$

Розподілити.

$$(x+2)(x-2) \dfrac{2}{x+2}+(x+2)(x-2) \dfrac{4}{x-2}=(x+2)(x-2)\left(\dfrac{x-1}{x^{2}-4}\right) \nonumber$$

Видаліть загальні фактори.

$$\cancel {(x+2)}(x-2) \dfrac{2}{\cancel {x+2}}+(x+2){\cancel {(x-2)}} \dfrac{4}{\cancel {x-2}}=\cancel {(x+2)(x-2)}\left(\dfrac{x-1}{\cancel {x^{2}-4}}\right) \nonumber$$

Спростити.

$$2(x-2)+4(x+2)=x-1 \nonumber$$

Розподілити.

$$2 x-4+4 x+8=x-1 \nonumber$$

Вирішити.

$$\begin{aligned} 6 x+4&=x-1\\ 5 x&=-5 \\ x&=-1 \end{aligned}$$

Перевірка: Ми не отримали 2 або −2 як алгебраїчні розв'язки.

$x=-1$Перевірте вихідне рівняння.

$$\begin{aligned} \dfrac{2}{x+2}+\dfrac{4}{x-2} &=\dfrac{x-1}{x^{2}-4} \\ \dfrac{2}{(-1)+2}+\dfrac{4}{(-1)-2} &\overset{?}{=} \dfrac{(-1)-1}{(-1)^{2}-4} \\ \dfrac{2}{1}+\dfrac{4}{-3} &\overset{?}{=} \dfrac{-2}{-3} \\ \dfrac{6}{3}-\dfrac{4}{3} &\overset{?}{=} \dfrac{2}{3} \\ \dfrac{2}{3} &=\dfrac{2}{3} \surd \end{aligned} \nonumber$$

Рішення є$x=-1$.

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішити: $$\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{1}{x-1}=\dfrac{1}{x^{2}-1} \nonumber$$

Відповідь

$x=\dfrac{2}{3}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішити: $$\dfrac{5}{y+3}+\dfrac{2}{y-3}=\dfrac{5}{y^{2}-9} \nonumber$$

Відповідь

$y=2$

У наступному прикладі перший знаменник - триноміал. Не забудьте спочатку врахувати його, щоб знайти РК-дисплей.

Приклад$\PageIndex{4}$

Вирішити: $$\dfrac{m+11}{m^{2}-5 m+4}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1} \nonumber$$

Рішення

Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем. Використовуйте факторну форму квадратичного знаменника.

$$\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}=\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}, m \neq 4, m \neq 1 \nonumber$$

Знайдіть найменш спільний знаменник усіх знаменників у рівнянні. РК-дисплей є$(m-4)(m-1)$

Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей.

$$(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1)\left(\dfrac{5}{m-4}-\dfrac{3}{m-1}\right) \nonumber$$

Розподілити.

$$(m-4)(m-1)\left(\dfrac{m+11}{(m-4)(m-1)}\right)=(m-4)(m-1) \dfrac{5}{m-4}-(m-4)(m-1) \dfrac{3}{m-1} \nonumber$$

Видаліть загальні фактори.

$$\cancel {(m-4)(m-1)}\left(\dfrac{m+11}{\cancel {(m-4)(m-1)}}\right)=\cancel {(m-4)}(m-1) \dfrac{5}{\cancel{m-4}}-(m-4)\cancel {(m-1)} \dfrac{3}{\cancel {m-1}} \nonumber$$

Спростити.

$$m+11=5(m-1)-3(m-4) \nonumber$$

Розв'яжіть отримане рівняння.

$$\begin{aligned} m+11&=5 m-5-3 m+12 \\ 4&=m \end{aligned} \nonumber$$

Перевірка. Єдиним алгебраїчним рішенням було 4, але ми сказали, що 4 зробить знаменник рівним нулю. Алгебраїчний розчин - це стороннє рішення.

Рішення цього рівняння немає.

Вправа$\PageIndex{7}$

Вирішити: $$\dfrac{x+13}{x^{2}-7 x+10}=\dfrac{6}{x-5}-\dfrac{4}{x-2} \nonumber$$

Відповідь

Рішення немає.

Вправа$\PageIndex{8}$

Вирішити: $$\dfrac{y-6}{y^{2}+3 y-4}=\dfrac{2}{y+4}+\dfrac{7}{y-1} \nonumber$$

Відповідь

Рішення немає.

Рівняння, яке ми розв'язували в попередньому прикладі, мало лише одне алгебраїчне рішення, але це було стороннє рішення. Це не залишило нам рішення рівняння. У наступному прикладі ми отримуємо два алгебраїчні розв'язки. Тут одне або обидва можуть бути сторонніми рішеннями.

Приклад$\PageIndex{5}$

Вирішити: $$\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \nonumber$$

Рішення

Фактор всі знаменники, так що ми можемо відзначити будь-яке значення змінної, що б зробити будь-який знаменник нуль.

$$\dfrac{y}{y+6}=\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4, y \neq 6, y \neq-6 \nonumber$$

Знайдіть найменш спільний знаменник. РК-дисплей є$(y-6)(y+6)$

Очистіть дроби.

$$(y-6)(y+6)\left(\dfrac{y}{y+6}\right)=(y-6)(y+6)\left(\dfrac{72}{(y-6)(y+6)}+4\right) \nonumber$$

Спростити.

$$(y-6) \cdot y=72+(y-6)(y+6) \cdot 4 \nonumber$$

Спростити.

$$y(y-6)=72+4\left(y^{2}-36\right) \nonumber$$

Вирішити отримане рівняння.

$$\begin{aligned} y^{2}-6 y&=72+4 y^{2}-144\\ 0&=3 y^{2}+6 y-72 \\ 0&=3\left(y^{2}+2 y-24\right) \\ 0&=3(y+6)(y-4) \\ y&=-6, y=4 \end{aligned} \nonumber$$

Перевірка.

$y=-6$є стороннім рішенням. $y=4$Перевірте вихідне рівняння.

$$\begin{aligned} \dfrac{y}{y+6} &=\dfrac{72}{y^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{4+6} &\overset{?}{=}\dfrac{72}{4^{2}-36}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} \dfrac{72}{-20}+4 \\ \dfrac{4}{10} &\overset{?}{=} -\dfrac{36}{10}+\dfrac{40}{10} \\ \dfrac{4}{10} &=\dfrac{4}{10} \surd \end{aligned} \nonumber$$

Рішення є$y=4$.

Вправа$\PageIndex{9}$

Вирішити: $$\dfrac{x}{x+4}=\dfrac{32}{x^{2}-16}+5 \nonumber$$

Відповідь

$x=3$

Вправа$\PageIndex{10}$

Вирішити: $$\dfrac{y}{y+8}=\dfrac{128}{y^{2}-64}+9 \nonumber$$

Відповідь

$y=7$

У деяких випадках все алгебраїчні розчини є сторонніми.

Приклад$\PageIndex{6}$

Вирішити: $$\dfrac{x}{2 x-2}-\dfrac{2}{3 x+3}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12 x^{2}-12} \nonumber$$

Рішення

Почнемо з факторингу всіх знаменників, щоб було простіше виявити сторонні рішення і ЖК.

$$\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)} \nonumber$$

Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.

$$\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}, x \neq 1, x \neq-1 \nonumber$$

Знайдіть найменш спільний знаменник. РК-дисплей є$12(x-1)(x+1)$.

Очистіть дроби.

$$12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{x}{2(x-1)}-\dfrac{2}{3(x+1)}\right)=12(x-1)(x+1)\left(\dfrac{5 x^{2}-2 x+9}{12(x-1)(x+1)}\right) \nonumber$$

Спростити.

$$6(x+1) \cdot x-4(x-1) \cdot 2=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber$$

Спростити.

$$6 x(x+1)-4 \cdot 2(x-1)=5 x^{2}-2 x+9 \nonumber$$

Вирішити отримане рівняння.

$$\begin{aligned} 6 x^{2}+6 x-8 x+8&=5 x^{2}-2 x+9\\ x^{2}-1&=0 \\ (x-1)(x+1)&=0 \\ x&=1 \text { or } x=-1 \end{aligned} \nonumber$$

Перевірка.

$x=1$і$x=-1$ є сторонніми рішеннями.

Рівняння не має рішення.

Вправа$\PageIndex{11}$

Вирішити: $$\dfrac{y}{5 y-10}-\dfrac{5}{3 y+6}=\dfrac{2 y^{2}-19 y+54}{15 y^{2}-60} \nonumber$$

Відповідь

Рішення немає.

Вправа$\PageIndex{12}$

Вирішити: $$\dfrac{z}{2 z+8}-\dfrac{3}{4 z-8}=\dfrac{3 z^{2}-16 z-16}{8 z^{2}+2 z-64} \nonumber$$

Відповідь

Рішення немає.

Приклад$\PageIndex{7}$

Вирішити: $$\dfrac{4}{3 x^{2}-10 x+3}+\dfrac{3}{3 x^{2}+2 x-1}=\dfrac{2}{x^{2}-2 x-3} \nonumber$$

Рішення

Фактор всі знаменники, так що ми можемо відзначити будь-яке значення змінної, що б зробити будь-який знаменник нуль.

$$\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}=\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}, x \neq-1, x \neq \dfrac{1}{3}, x \neq 3\nonumber$$

Знайдіть найменш спільний знаменник. РК-дисплей є$(3 x-1)(x+1)(x-3)$.

Очистіть дроби.

$$(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{4}{(3 x-1)(x-3)}+\dfrac{3}{(3 x-1)(x+1)}\right)=(3 x-1)(x+1)(x-3)\left(\dfrac{2}{(x-3)(x+1)}\right) \nonumber$$

Спростити.

$$4(x+1)+3(x-3)=2(3 x-1) \nonumber$$

Розподілити.

$$4 x+4+3 x-9=6 x-2 \nonumber$$

Спростити.

$$7 x-5=6 x-2 \nonumber$$

$$x=3 \nonumber$$

Єдиним алгебраїчним рішенням було$x=3$$,$але ми сказали, що$x=3$ зробить знаменник рівним нулю. Алгебраїчний розчин - це стороннє рішення.

Рішення цього рівняння немає.

Вправа$\PageIndex{13}$

Вирішити: $$\dfrac{15}{x^{2}+x-6}-\dfrac{3}{x-2}=\dfrac{2}{x+3} \nonumber$$

Відповідь

Рішення немає.

Вправа$\PageIndex{14}$

Вирішити: $$\dfrac{5}{x^{2}+2 x-3}-\dfrac{3}{x^{2}+x-2}=\dfrac{1}{x^{2}+5 x+6} \nonumber$$

Відповідь

Рішення немає.

Використовуйте раціональні функції

Робота з функціями, які визначаються раціональними виразами, часто призводить до раціональних рівнянь. Знову ж таки, ми використовуємо ті ж методи для їх вирішення.

Приклад$\PageIndex{8}$

Для раціональної функції$f(x)=\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}$:

1. Знайти домен функції
2. Вирішити$f(x)=1$
3. Знайдіть точки на графіку при цьому значенні функції.

Рішення

1. Областю раціональної функції є всі дійсні числа, крім тих, які роблять раціональний вираз невизначеною. Отже, щоб їх знайти, встановимо знаменник рівний нулю і вирішимо.

$$\begin{aligned} x^{2}-8 x+15&=0 \\ (x-3)(x-5)&=0 \quad \text{Factor the trinomial.}\\ x-3&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x-5&=0 \quad \text {Use the Zero Product Property.}\\ x=3 &\; x=5 \text{ Solve.} \end{aligned} \nonumber$$

Домен - це всі дійсні числа, крім$x \neq 3, x \neq 5$

2. $$f(x)=1 \nonumber$$

Підставляємо в раціональне вираження.

$$\dfrac{2 x-6}{x^{2}-8 x+15}=1 \nonumber$$

Коефіцієнт знаменника.

$$\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}=1 \nonumber$$

Помножте обидві сторони на РК-дисплей,$(x-3)(x-5)$

$$(x-3)(x-5)\left(\dfrac{2 x-6}{(x-3)(x-5)}\right)=(x-3)(x-5)(1) \nonumber$$

Спростити.

$$2 x-6=x^{2}-8 x+15 \nonumber$$

Вирішити.

$$0=x^{2}-10 x+21 \nonumber$$

Фактор.

$$0=(x-7)(x-3) \nonumber$$

Використовуйте властивість нульового продукту.

$$x-7=0 \quad x-3=0 \nonumber$$

Вирішити.

$$x=7 \quad x=3 \nonumber$$

3. Значення функції дорівнює 1, коли$x=7, x=3$$.$Таким чином, точки на графіку цієї функції, коли$f(x)=1$$,$буде$(7,1),(3,1)$. (7,1),(3,1).(7,1),(3,1).«role = «presentation» style = «кордону знизу колір: поточний колір; кордону знизу стиль: немає; кордону знизу ширини:0px; кордону зображення-вихід: 0; кордону зображення-повторити: розтягнути; кордону зображення-зріз: 100%; кордону зображення-джерело: немає; кордону зображення-ширина: 1; кордону лівого кольору: поточного кольору; кордону лівого стилю: немає; кордону лівої ширини: 0; кордону лівого кольору: поточного кольору; кордону лівого стилю: немає; кордону лівої ширини; межа- Правий колір: поточний колір; кордону правого стилю: немає; кордону правої ширини:0px; кордон верхнього кольору: поточний колір; кордону верхнього стилю: немає; кордону верхньої ширини:0px; коробка-розмір: кордону коробки; напрямок: ltr; дисплей: вбудований; поплавок: немає; шрифту сім'ї: Helvetica Neue, Helvetica, Arial, без зарубок; розмір шрифту: 100%; розмір шрифту -регулювати: немає; шрифт стиль: нормальний; шрифту-варіант: нормальний; шрифт вага: нормальний; інтервал літер: нормальний; висота рядка: нормальний; маржа-знизу: 0px; маржа-вліво: 0px; маржа-праворуч: 0px; маржа-топ: none; максимальна ширина: немає; хв-висота: 0 px; хв-ширина:0px; сироти:2; переповнення обгортки:нормальний; прокладка-знизу: 0px; прокладка-вліво: 0px; прокладка-правий:0px; прокладка-топ: 0px; позиція: відносний; вирівнювання тексту: ліворуч; прикраса тексту: немає; текстовий відступ: 0px; перетворення тексту: немає; -webkit-текст-обведення ширини:0px; білий пробіл: немає обгортання; інтервал слів: нормальний;» tabindex = «0"> > ( 7, 1), (3, 1)

Вправа$\PageIndex{15}$

Для раціональної функції,$f(x)=\dfrac{8-x}{x^{2}-7 x+12}$

1. Знайдіть домен функції.
2. Вирішити$f(x)=3$.
3. Знайдіть точки на графіку при цьому значенні функції.

Відповідь

1. Домен - це всі дійсні числа, крім$x \neq 3$ і$x \neq 4$
2. $x=2, x=\dfrac{14}{3}$
3. $(2,3),\left(\dfrac{14}{3}, 3\right)$

Вправа$\PageIndex{16}$

Для раціональної функції,$f(x)=\dfrac{x-1}{x^{2}-6 x+5}$

1. Вирішити$f(x)=4$.
2. Знайдіть точки на графіку при цьому значенні функції.

Відповідь

1. Домен - це всі дійсні числа, крім$x \neq 1$ і$x \neq 5$
2. $x=\dfrac{21}{4}$
3. $\left(\dfrac{21}{4}, 4\right)$

Розв'яжіть раціональне рівняння для конкретної змінної

Коли ми вирішували лінійні рівняння, ми навчилися вирішувати формулу для конкретної змінної. Багато формул, що використовуються в бізнесі, науці, економіці та інших сферах, використовують раціональні рівняння для моделювання зв'язку між двома або більше змінними. Зараз ми побачимо, як вирішити раціональне рівняння для конкретної змінної.

Коли ми розробили формулу точка-нахил з нашої формули нахилу, ми очистили дроби, множивши на РК.

$$\begin{aligned} m &=\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}} \\ m\left(x-x_{1}\right) &=\left(\frac{y-y_{1}}{x-x_{1}}\right)\left(x-x_{1}\right) \quad \text{Multiply both sides of the equation by } x-x_1.\\ m\left(x-x_{1}\right) &=y-y_{1} \quad \text {Simplify.}\\ y-y_{1} &=m\left(x-x_{1}\right) \quad \text {Rewrite the equation with the y terms on the left.} \end{aligned} \nonumber$$

У наступному прикладі ми будемо використовувати ту саму техніку з формулою нахилу, яку ми використовували, щоб отримати точку-нахил форми рівняння прямої через точку$(2,3)$. Ми додамо ще один крок для вирішення$y$.

Приклад$\PageIndex{9}$

Вирішити:$m=\dfrac{y-2}{x-3}$ для$y$.

Рішення

$$m=\dfrac{y-2}{x-3} \nonumber$$

Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.

$$m=\dfrac{y-2}{x-3}, x \neq 3 \nonumber$$

Очистіть дроби, помноживши обидві сторони рівняння на РК-дисплей,$x-3$.

$$(x-3) m=(x-3)\left(\dfrac{y-2}{x-3}\right) \nonumber$$

Спростити.

$$x m-3 m=y-2 \nonumber$$

Виділяють термін с$y$.

$$x m-3 m+2=y \nonumber$$

Вправа$\PageIndex{17}$

Вирішити:$m=\dfrac{y-5}{x-4}$ для$y$.

Відповідь

$y=m x-4 m+5$

Вправа$\PageIndex{18}$

Вирішити:$m=\dfrac{y-1}{x+5}$ для$y$.

Відповідь

$y=m x+5 m+1$

Не забудьте помножити обидві сторони на РК-дисплей у наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{10}$

Вирішити:$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1$ для$c$

Рішення

$$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1 \text { for } c \nonumber$$

Зверніть увагу на будь-яке значення змінної, яке зробить будь-який знаменник нулем.

$$\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}=1, c \neq 0, m \neq 0 \nonumber$$

Очистіть дроби, множивши обидві сторони рівнянь на РК,$cm$.

$$cm\left(\dfrac{1}{c}+\dfrac{1}{m}\right)=cm(1) \nonumber$$

Розподілити.

$$cm\left(\frac{1}{c}\right)+cm \frac{1}{m}=cm(1) \nonumber$$

Спростити.

$$m+c=cm \nonumber$$

Зберіть умови$c$ з праворуч.

$$m=cm-c \nonumber$$

Фактор виразу праворуч.

$$m=c(m-1) \nonumber$$

Для ізоляції$c$ розділіть обидві сторони на$m-1$.

$$\dfrac{m}{m-1}=\dfrac{c(m-1)}{m-1} \nonumber$$

Спрощення шляхом видалення загальних факторів.

$$\dfrac{m}{m-1}=c \nonumber$$

Зверніть увагу, що хоча ми виключили$c=0$ і$m=0$ з вихідного рівняння, ми також повинні тепер стверджувати, що$m \neq 1$.

Вправа$\PageIndex{19}$

Вирішити:$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=c$ для$a$.

Відповідь

$a=\dfrac{b}{c b-1}$

Вправа$\PageIndex{20}$

Вирішити:$\dfrac{2}{x}+\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{y}$ для$y$

Відповідь

$y=\dfrac{3 x}{x+6}$

Доступ до ЗМІ Додаткові Інтернет-ресурси

Отримайте доступ до цього інтернет-ресурсу для додаткових інструкцій та практики з рівняннями з раціональними виразами.

• Рівняння з раціональними виразами