6.6: Розв'язування поліноміальних та раціональних нерівностей

Цілі навчання

• Розв'яжіть поліноміальні нерівності.
• Вирішити раціональні нерівності.

Розв'язування поліноміальних нерівностей

Поліноміальна нерівність ¹⁸ - це математичне твердження, яке пов'язує поліноміальний вираз як менший або більший за інший. Ми можемо використовувати знакові діаграми для розв'язання поліноміальних нерівностей з однією змінною.

Приклад\(\PageIndex{1}\)

Вирішити\(x(x+3)^{2}(x-4)<0\).

Рішення

Почніть з пошуку критичних чисел. Для поліноміальної нерівності в стандартній формі, з нулем на одній стороні, критичні числа є коренями. Тому що\(f (x) = x(x + 3)^{2} (x − 4)\) дається в його факторованій формі коріння очевидні. Тут коріння бувають:\(0, −3\), і\(4\). Через сувору нерівність побудуйте їх за допомогою відкритих точок на числовій лінії.

Малюнок\(\PageIndex{1}\)

У цьому випадку критичні числа поділяють числовий рядок на чотири регіони. Тестові значення в кожній області, щоб визначити, чи є f позитивним чи негативним. Тут вибираємо тестові значення\(−5, −1, 2\), і\(6\). Пам'ятайте, що нас турбує лише знак\((+\) або\(−)\) результат.

\(\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{+}3)^{2}(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{-}4) =(-)(-)^{2}(-)&=+\color{Cerulean} { Positive} \\ f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{+}3)^{2}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{-}4) =(-)(+)^{2}(-)&=+\color{Cerulean} { Positive } \\ f(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{+}3)^{2}(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{-}4) =(+)(+)^{2}(-)&=-\color{Cerulean} { Negative } \\ f(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{+}3)^{2}(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{-}4) =(+)(+)^{2}(+)&=+\color{Cerulean} { Positive } \end{aligned}\)

Після тестування значень ми можемо заповнити таблицю знаків.

Малюнок\(\PageIndex{2}\)

Питання просить нас знайти значення де\(f (x) < 0\), або де функція негативна. З діаграми знаків ми бачимо, що функція є негативною для\(x\) -values між\(0\) і\(4\).

Малюнок\(\PageIndex{3}\)

Ми можемо висловити цей набір рішень двома способами:

\(\begin{aligned}\{x | 0<&x<4\} &\color{Cerulean} { Set\: notation } \\ (0,&4) &\color{Cerulean} { Interval\: notation }\end{aligned}\)

У цьому підручнику ми продовжимо представляти набори рішень з використанням інтервальних позначень.

Відповідь:

\((0,4)\)

Графічні поліноми, такі як у попередньому прикладі, виходять за рамки цього підручника. Однак графік цієї функції наведено нижче. Порівняйте графік з відповідною діаграмою знаків.

Малюнок\(\PageIndex{4}\)

Звичайно, це може бути не так, що поліном враховується і що він має нуль на одній стороні нерівності. Для моделювання функції за допомогою знакової діаграми всі терміни повинні бути з одного боку, а нуль з іншого. Загальні кроки розв'язання поліноміальної нерівності наведені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{2}\):

Вирішити:\(2 x^{4}>3 x^{3}+9 x^{2}\).

Рішення

Крок 1: Отримати нуль з одного боку нерівності. В цьому випадку віднімаємо для отримання многочлена з лівого боку в стандартному від.

\(\begin{aligned}2 x^{4}&>3 x^{3}+9 x^{2} \\ 2 x^{4}-3 x^{3}-9 x^{2}&>0\end{aligned}\)

Крок 2: Знайдіть критичні числа. Тут ми можемо знайти нулі шляхом факторингу.

\(2 x^{4}-3 x^{3}-9 x^{2}=0 \)
\(x^{2}\left(2 x^{2}-3 x-9\right)=0 \)
\(x^{2}(2 x+3)(x-3)=0 \)

Є три рішення, отже, три критичних числа\(−\frac{3}{2}, 0\), і\(3\). Сувора нерівність вказує на те, що ми повинні використовувати відкриті точки.

Малюнок\(\PageIndex{5}\)

Крок 3: Створіть діаграму знаків. У цьому випадку використовують\(f (x) = x^{2} (2x + 3) (x − 3) \) і тестові значення\(−2, −1, 1\), і\(4\) для визначення знака функції в кожному інтервалі.

\(\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)} &=(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}[2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}+3](\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{-}3)&=(-)^{2}(-)(-)=+\\ f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}[2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}+3](\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{-}3)&=(-)^{2}(+)(-)=-\\ f(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)} &=(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}^{2}[2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}+3](\color{OliveGreen}{1}\color{black}{-}3) &=(+)^{2}(+)(-)=-\\ f(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)} &=(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}^{2}[2(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}+3](\color{OliveGreen}{4}\color{black}{-}3) &=(+)^{2}(+)(+)=+\end{aligned}\)

За допомогою цієї інформації ми можемо заповнити таблицю знаків.

Малюнок\(\PageIndex{6}\)

Крок 4: Використовуйте діаграму знаків, щоб відповісти на питання. Тут рішення складається з усіх значень, для яких\(f (x) > 0\). Затінення у значеннях, які дають позитивні результати, а потім виражають цей набір у інтервальних позначеннях.

Малюнок\(\PageIndex{7}\)

Відповідь:

\(\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right) \cup(3, \infty)\)

Приклад\(\PageIndex{3}\)

Вирішити:\(x^{3}+x^{2} \leq 4(x+1)\).

Рішення

Почніть з переписування нерівності в стандартному вигляді, з нулем на одній стороні.

\(\begin{aligned}x^{3}+x^{2} &\leq 4(x+1) \\ x^{3}+x^{2} &\leq 4 x+4 \\ x^{3}+x^{2}-4 x-4 &\leq 0\end{aligned}\)

Далі знайдіть критичні числа\(f(x)=x^{3}+x^{2}-4 x-4\):

\(\begin{aligned} x^{3}+x^{2}-4 x-4 &=0 \quad\color{Cerulean} { Factor\: by\: grouping.} \\ x^{2}(x+1)-4(x+1) &=0 \\(x+1)\left(x^{2}-4\right) &=0 \\(x+1)(x+2)(x-2) &=0 \end{aligned}\)

Критичними числами є\(−2, −1\), і\(2\). Через інклюзивну нерівність\((≤)\) ми будемо будувати їх за допомогою замкнутих крапок.

Малюнок\(\PageIndex{8}\)

Використовуйте тестові значення\(-3\),\(-\frac{3}{2}\),\(0\), і\(3\) для створення діаграми знаків.

\(\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{+}1)(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{-}2) &=(-)(-)(-)=- \\ f(\color{OliveGreen}{-\frac{3}{2}}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{-\frac{3}{2}}\color{black}{+}1)(\color{OliveGreen}{-\frac{3}{2}}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{-\frac{3}{2}}\color{black}{-}2) &=(-)(+)(-)=+\\ f(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{+}1)(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{-}2)&=(+)(+)(-)=- \\ f(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}&=(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{+}1)(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{-}2)&=(+)(+)(+)=+\end{aligned}\)

І у нас є

Малюнок\(\PageIndex{9}\)

Використовуйте діаграму знаків, щоб затінювати значення, які мають негативні результати\((f (x) ≤ 0)\).

Малюнок\(\PageIndex{10}\)

Відповідь

\((-\infty,-2] \cup[-1,2]\)

Вправа\(\PageIndex{1}\)

Вирішити\(-3 x^{4}+12 x^{3}-9 x^{2}>0\).

Відповідь

\((1,3)\)

www.youtube.com/В/expe_0lzbsy

Розв'язування раціональних нерівностей

Раціональна нерівність ¹⁹ - це математичне твердження, яке пов'язує раціональний вираз як менший або більший за інший. Оскільки раціональні функції мають обмеження до області, ми повинні дбати при вирішенні раціональних нерівностей. Крім нулів, ми включимо обмеження на область функції в набір критичних чисел.

Приклад\(\PageIndex{4}\)

Вирішити:\(\frac{(x-4)(x+2)}{(x-1)} \geq 0\)

Рішення

Нулі раціональної функції виникають, коли чисельник дорівнює нулю, а значення, що виробляють нуль у знаменнику, є обмеженнями. У цьому випадку

\(\begin{array}{c | c}{\text { Roots (Numerator) }} & {\text{Restriction(Denominator)}} \\ {x-4=0 \text { or } x+2=0} & {x-1=0} \\ {\:\:\quad\quad\quad\: x=4 \quad\quad x=-2}& {x=1}\end{array}\)

Тому критичними числами є\(−2, 1\), і\(4\). Через інклюзивну нерівність\((≥)\) використовуйте замкнуту крапку для коренів\({−2, 4}\) і завжди використовуйте відкриту крапку для обмежень\({1}\). Обмеження ніколи не включаються в набір рішень.

Малюнок\(\PageIndex{11}\)

Використовуйте тестові значення\(x = −4, 0, 2, 6\).

\(\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)} &=\frac{(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{-}4)(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{+}2)}{(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{-}1)}&=\frac{(-)(-)}{(-)}=-\\ f(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)} &=\frac{(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{-}4)(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{+}2)}{(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{-}1)}&=\frac{(-)(+)}{(-)}=+\\ f(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)} &=\frac{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{-}4)(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{+}2)}{(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{-}1)}&=\frac{(-)(+)}{(+)}=-\\ f(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)} &=\frac{(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{-}4)(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{+}2)}{(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{-}1)}&=\frac{(+)(+)}{(+)}=+\end{aligned}\)

А потім заповніть табличку знаків.

Малюнок\(\PageIndex{12}\)

Питання просить нас знайти значення, для яких\(f (x) ≥ 0\), іншими словами, позитивні або нульові. Заштрихуйте у відповідних областях і представте рішення, встановлене в інтервальних позначеннях.

Малюнок\(\PageIndex{13}\)

Відповідь

\([-2,1) \cup[4, \infty)\)

Графік таких раціональних функцій, як у попередньому прикладі, виходить за рамки цього підручника. Однак графік цієї функції наведено нижче. Порівняйте графік з відповідною діаграмою знаків.

Малюнок\(\PageIndex{14}\)

Зверніть увагу, що обмеження\(x = 1\) відповідає вертикальній асимптоті, яка обмежує області, де функція змінюється від позитивного до негативного. Незважаючи на те, що не входить до набору рішень, обмеження є критичним числом. Перед створенням знакової діаграми ми повинні переконатися, що нерівність має нуль з одного боку. Загальні кроки розв'язання раціональної нерівності викладені в наступному прикладі.

Приклад\(\PageIndex{5}\):

Вирішити\(\frac{7}{x+3}<2\).

Рішення

Крок 1: Почніть з отримання нуля з правого боку.

\(\begin{aligned}\frac{7}{x+3}&<2 \\ \frac{7}{x+3}-2&<0\end{aligned}\)

Крок 2: Визначте критичні цифри. Критичні числа - це нулі і обмеження. Почніть зі спрощення до єдиного алгебраїчного дробу.

\(\begin{aligned}\frac{7}{x+3}-\frac{2}{1}&<0 \\ \frac{7-2(x+3)}{x+3}&<0 \\ \frac{7-2 x-6}{x+3}&<0 \\ \frac{-2 x+1}{x+3}&<0\end{aligned}\)

Далі знайдіть критичні цифри. Встановіть чисельник і знаменник рівні нулю і вирішіть.

\(\begin{array}{c|c} {\text{Root}}&{\text{Restriction}}\\ {-2x+1=0}\\{-2x=-1}&{x+3=0}\\{x=\frac{1}{2}}&\quad\quad\:\:{x=-3} \end{array}\)

У цьому випадку сувора нерівність вказує на те, що ми повинні використовувати відкриту крапку для кореня.

Малюнок\(\PageIndex{15}\)

Крок 3: Створіть діаграму знаків. Виберіть тестові значення\(−4, 0\), і\(1\).

\(\begin{aligned} f(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)} &=\frac{-2(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)}+1}{\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{+}3}&=\frac{+}{-}=-\\ f(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)} &=\frac{-2(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}+1}{\color{OliveGreen}{0}\color{black}{+}3}&=\frac{+}{+}=+\\ f(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)} &=\frac{-2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}+1}{\color{OliveGreen}{1}\color{black}{+}3}&=\frac{-}{+}=-\end{aligned}\)

І у нас є

Малюнок\(\PageIndex{16}\)

Крок 4: Використовуйте діаграму знаків, щоб відповісти на питання. У цьому прикладі ми шукаємо значення, для яких функція негативна,\(f (x) < 0\). Затіньте відповідні значення, а потім укажіть свою відповідь за допомогою інтервальних позначень.

Малюнок\(\PageIndex{17}\)

Відповідь:

\((-\infty,-3) \cup\left(\frac{1}{2}, \infty\right)\)

Приклад\(\PageIndex{6}\):

Вирішити:\(\frac{1}{x^{2}-4} \leq \frac{1}{2-x}\).

Рішення

Почніть з отримання нуля з правого боку.

\(\begin{aligned}\frac{1}{x^{2}-4} &\leq \frac{1}{2-x} \\ \frac{1}{x^{2}-4}-\frac{1}{2-x} &\leq 0\end{aligned}\)

Далі спростити ліву частину до єдиного алгебраїчного дробу.

\(\begin{array}{r}{\frac{1}{x^{2}-4}-\frac{1}{2-x} \leq 0} \\ {\frac{1}{(x+2)(x-2)}-\frac{1}{-(x-2)} \leq 0} \\ {\frac{1}{(x+2)(x-2)}+\frac{1\color{Cerulean}{(x+2)}}{\color{black}{(x-2)}\color{Cerulean}{(x+2)}}\color{black}{ \leq} 0} \\ {\frac{1+x+2}{(x+2)(x-2)} \leq 0} \\ {\frac{x+3}{(x+2)(x-2)} \leq 0}\end{array}\)

Критичними числами є\(−3, −2\), і\(2\). Зверніть увагу,\(±2\) що це обмеження, і, таким чином, ми будемо використовувати відкриті точки при побудові їх на числовій лінії. Через інклюзивну нерівність ми будемо використовувати замкнуту крапку в корені\(−3\).

Малюнок\(\PageIndex{18}\)

Виберіть тестові значення\(-4, -2\frac{1}{2} = -\frac{5}{2}, 0\), і\(3\).

\(\begin{aligned}f(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)}&= \frac{\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{+}3}{(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{-}2)}&=\frac{(-)}{(-)(-)}=- \\ f(\color{OliveGreen}{-\frac{5}{2}}\color{black}{)} &= \frac{\color{OliveGreen}{-\frac{5}{2}}\color{black}{+}3}{(\color{OliveGreen}{-\frac{5}{2}}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{-\frac{5}{2}}\color{black}{-}2)}&=\frac{(+)}{(-)(-)}=+\\ f(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}&=\frac{\color{OliveGreen}{0}\color{black}{+}3}{(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{-}2)}&=\frac{(+)}{(+)(-)}=- \\ f(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}&=\frac{\color{OliveGreen}{3}\color{black}{+}3}{(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{+}2)(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{-}2)} &=\frac{(+)}{(+)(+)}=+\end{aligned}\)

Побудувати таблицю знаків.

Малюнок\(\PageIndex{19}\)

Відповісти на питання; в цьому випадку знайдіть\(x\) де\(f(x) \leq 0\).

Малюнок\(\PageIndex{20}\)

Відповідь

\((-\infty,-3] \cup(-2,2)\)

Вправа\(\PageIndex{2}\)

Вирішити:\(\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}+7 x-4} \geq \frac{x}{x+4}\).

Відповідь

\((-4,0] \cup\left(\frac{1}{2}, \infty\right)\)

www.youtube.com/В/3ЛД

Ключові виноси

• Коли поліноміальна нерівність знаходиться в стандартній формі, з нулем на одній стороні, коріння многочлена є критичними числами. Створіть діаграму знаків, яка моделює функцію, а потім використовуйте її для відповіді на запитання.
• Коли раціональна нерівність записується як єдиний алгебраїчний дріб, з нулем на одній стороні, коріння, а також обмеження є критичними числами. Значення, які виробляють нуль в чисельнику, є коренями, а значення, які дають нуль в знаменнику, - обмеження. Завжди використовуйте відкриті точки для обмежень, незалежно від заданої нерівності, оскільки обмеження не є частиною домену. Створіть діаграму знаків, яка моделює функцію, а потім використовуйте її для відповіді на запитання.

Вправа\(\PageIndex{3}\)

Вирішити. Представте відповіді за допомогою інтервальних позначень.

1. \(x(x+1)(x-3)>0\)
2. \(x(x-1)(x+4)<0\)
3. \((x+2)(x-5)^{2}<0\)
4. \((x-4)(x+1)^{2} \geq 0\)
5. \((2 x-1)(x+3)(x+2) \leq 0\)
6. \((3 x+2)(x-4)(x-5) \geq 0\)
7. \(x(x+2)(x-5)^{2}<0\)
8. \(x(2 x-5)(x-1)^{2}>0\)
9. \(x(4 x+3)(x-1)^{2} \geq 0\)
10. \((x-1)(x+1)(x-4)^{2}<0\)
11. \((x+5)(x-10)(x-5)^{2} \geq 0\)
12. \((3 x-1)(x-2)(x+2)^{2} \leq 0\)
13. \(-4 x(4 x+9)(x-8)^{2}>0\)
14. \(-x(x-10)(x+7)^{2}>0\)

Відповідь

1. \((-1,0) \cup(3, \infty)\)

3. \((-\infty,-2)\)

5. \((-\infty,-3] \cup\left[-2, \frac{1}{2}\right]\)

7. \((-2,0)\)

9. \(\left(-\infty,-\frac{3}{4}\right] \cup[0, \infty)\)

11. \((-\infty,-5] \cup[5,5] \cup[10, \infty)\)

13. \(\left(-\frac{9}{4}, 0\right)\)

Вправа\(\PageIndex{4}\)

Вирішити.

1. \(x^{3}+2 x^{2}-24 x \geq 0\)
2. \(x^{3}-3 x^{2}-18 x \leq 0\)
3. \(4 x^{3}-22 x^{2}-12 x<0\)
4. \(9 x^{3}+30 x^{2}-24 x>0\)
5. \(12 x^{4}+44 x^{3}>80 x^{2}\)
6. \(6 x^{4}+12 x^{3}<48 x^{2}\)
7. \(x\left(x^{2}+25\right)<10 x^{2}\)
8. \(x^{3}>12 x(x-3)\)
9. \(x^{4}-5 x^{2}+4 \leq 0\)
10. \(x^{4}-13 x^{2}+36 \geq 0\)
11. \(x^{4}>3 x^{2}+4\)
12. \(4 x^{4}<3-11 x^{2}\)
13. \(9 x^{3}-3 x^{2}-81 x+27 \leq 0\)
14. \(2 x^{3}+x^{2}-50 x-25 \geq 0\)
15. \(x^{3}-3 x^{2}+9 x-27>0\)
16. \(3 x^{3}+5 x^{2}+12 x+20<0\)

Відповідь

1. \([-6,0] \cup[4, \infty)\)

3. \(\left(-\infty,-\frac{1}{2}\right) \cup(0,6)\)

5. \((-\infty,-5) \cup\left(\frac{4}{3}, \infty\right)\)

7. \((-\infty, 0)\)

9. \([-2,-1] \cup[1,2]\)

11. \((-\infty,-2) \cup(2, \infty)\)

13. \((-\infty,-3] \cup\left[\frac{1}{3}, 3\right]\)

15. \((3, \infty)\)

Вправа\(\PageIndex{5}\)

Вирішити.

1. \(\frac{x}{x-3}>0\)
2. \(\frac{x-5}{x}>0\)
3. \(\frac{(x-3)(x+1)}{x}<0\)
4. \(\frac{(x+5)(x+4)}{(x-2)}<0\)
5. \(\frac{(2 x+1)(x+5)}{(x-3)(x-5)} \leq 0\)
6. \(\frac{(3 x-1)(x+6)}{(x-1)(x+9)} \geq 0\)
7. \(\frac{(x-8)(x+8)}{-2 x(x-2)} \geq 0\)
8. \(\frac{(2 x+7)(x+4)}{x(x+5)} \leq 0\)
9. \(\frac{x^{2}}{(2 x+3)(2 x-3)} \leq 0\)
10. \(\frac{(x-4)^{2}}{-x(x+1)}>0\)
11. \(\frac{-5 x(x-2)^{-}}{(x+5)(x-6)} \geq 0\)
12. \(\frac{(3 x-4)(x+5)}{x(x-4)^{2}} \geq 0\)
13. \(\frac{1}{(x-5)^{4}}>0\)
14. \(\frac{1}{(x-5)^{4}}<0\)

Відповідь

1. \((-\infty,-0) \cup(3, \infty)\)

3. \((-\infty,-1) \cup(0,3)\)

5. \(\left[-5,-\frac{1}{2}\right] \cup(3,5)\)

7. \([-8,0) \cup(2,8]\)

9. \(\left(-\frac{3}{2}, \frac{3}{2}\right)\)

11. \((-\infty,-5) \cup[0,6)\)

13. \((-\infty, 5) \cup(5, \infty)\)

Вправа\(\PageIndex{6}\)

Вирішити.

1. \(\frac{x^{2}-11 x-12}{x+4}<0\)
2. \(\frac{x^{2}-10 x+24}{x-2}>0\)
3. \(\frac{x^{2}+x-30}{2 x+1} \geq 0\)
4. \(\frac{2 x^{2}+x-3}{x-3} \leq 0\)
5. \(\frac{3 x^{2}-4 x+1}{x^{2}-9} \leq 0\)
6. \(\frac{x^{2}-16}{2 x^{2}-3 x-2} \geq 0\)
7. \(\frac{x^{2}-12 x+20}{x^{2}-10 x+25}>0\)
8. \(\frac{x^{2}+15 x+36}{x^{2}-8 x+16}<0\)
9. \(\frac{8 x^{2}-2 x-1}{2 x^{2}-3 x-14} \leq 0\)
10. \(\frac{4 x^{2}-4 x-15}{x^{2}+4 x-5} \geq 0\)
11. \(\frac{1}{x+5}+\frac{5}{x-1}>0\)
12. \(\frac{5}{x+4}-\frac{1}{x-4}<0\)
13. \(\frac{1}{x+7}>1\)
14. \(\frac{1}{x-1}<-5\)
15. \(x \geq \frac{30}{x-1}\)
16. \(x \leq \frac{1-2 x}{x-2}\)
17. \(\frac{1}{x-1} \leq \frac{2}{x}\)
18. \(\frac{3}{x+1}>-\frac{1}{x}\)
19. \(\frac{4}{x-3} \leq \frac{1}{x+3}\)
20. \(\frac{2 x-9}{x}+\frac{49}{x-8}<0\)
21. \(\frac{x}{2(x+2)}-\frac{1}{x+2} \leq \frac{12}{x(x+2)}\)
22. \(\frac{1}{2 x+1}-\frac{9}{2 x-1}>2\)
23. \(\frac{3 x}{x^{2}-4}-\frac{2}{x-2}<0\)
24. \(\frac{x}{2 x+1}+\frac{4}{2 x^{2}-7 x-4}<0\)
25. \(\frac{x+1}{2 x^{2}+5 x-3} \geq \frac{x}{4 x^{2}-1}\)
26. \(\frac{x^{2}-14}{2 x^{2}-7 x-4} \leq \frac{5}{1+2 x}\)

Відповідь

1. \((-\infty,-4) \cup(-1,12)\)

3. \(\left[-6,-\frac{1}{2}\right) \cup[5, \infty)\)

5. \(\left(-3, \frac{1}{3}\right] \cup[1,3)\)

7. \((-\infty, 2) \cup(10, \infty)\)

9. \(\left(-2,-\frac{1}{4}\right] \cup\left[\frac{1}{2}, \frac{7}{2}\right)\)

11. \((-5,-4) \cup(1, \infty)\)

13. \((-7,-6)\)

15. \([-5,1) \cup[6, \infty)\)

17. \((0,1) \cup[2, \infty)\)

19. \((-\infty, 5] \cup(-3,3)\)

21. \([-4,-2) \cup(0,6]\)

23. \((-\infty,-2) \cup(2,4)\)

25. \(\left(-3,-\frac{1}{2}\right) \cup\left(\frac{1}{2}, \infty\right)\)

Вправа\(\PageIndex{7}\)

1. Чи завжди чергується таблиця знаків для будь-якого заданого полінома або раціональної функції? Поясніть і проілюструйте свою відповідь деякими прикладами.
2. Запишіть власні кроки для вирішення раціональної нерівності і проілюструйте їх прикладом. Чи працюють ваші кроки для поліноміальної нерівності? Поясніть.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁸ Математичне твердження, яке пов'язує поліноміальний вираз як менший або більший за інший.

¹⁹ Математичне твердження, яке пов'язує раціональний вираз як менший або більший за інший.