6.4: Квадратичні функції та їх графіки

Last updated
Save as PDF

Page ID: 58361

Anonymous
LibreTexts

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$

Цілі навчання

Графік параболи.
Знайдіть перехоплення і вершину параболи.
Знайти максимальне і мінімальне$y$ -значення.
Знайдіть вершину параболи, заповнивши квадрат.

Графік квадратичної функції

Квадратична функція - це поліноміальна функція ступеня,$2$ яку можна записати в загальному вигляді,

$f(x)=a x^{2}+b x+c$

Тут$a, b$ і$c$ представляють дійсні числа де$a ≠ 0$ .Квадратна функція$f (x) = x^{2}$ є квадратичною функцією, графік якої слід.

Ця загальна вигнута форма називається параболою ¹⁰ і ділиться графіками всіх квадратичних функцій. Зауважте, що графік дійсно є функцією, оскільки він проходить тест вертикальної лінії. Крім того, область цієї функції складається з безлічі всіх дійсних чисел,$(−∞, ∞)$ а діапазон складається з безлічі невід'ємних чисел$[0, ∞)$.

При графіку парабол ми хочемо включити певні спеціальні точки в графіку. $y$-intercept - це точка, де графік перетинає$y$ вісь -. $x$-перехоплення - це точки, де графік перетинає$x$ вісь -. Вершина ¹¹ - це точка, яка визначає мінімум або максимум графа. Нарешті, лінія симетрії ¹² (також звана віссю симетрії ¹³) - це вертикальна лінія через вершину, про яку парабола симетрична.

Для будь-якої параболи знайдемо вершину і$y$ -перехоплення. Крім того, якщо$x$ -перехоплення існують, то ми також захочемо визначити їх. Ворожіння на$x$ -значення цих спеціальних точок не є практичним, тому ми розробимо прийоми, які полегшать їх пошук. Багато з цих методів будуть широко використовуватися, коли ми прогресуємо в нашому вивченні алгебри.

Задано квадратичну функцію$f (x) = ax^{2} + bx + c$, знайдіть$y$ -intercept, оцінюючи функцію де$x = 0$. Загалом$f (0) = a(0)^{2} + b (0) + c = c$, і у нас є

$\begin{array}{c}{\color{Cerulean}{y-intercept}} \\ {(0, c)}\end{array}$

Далі нагадаємо, що$x$ -перехоплення, якщо вони існують, можна знайти, встановивши$f (x) = 0$. Роблячи це, ми маємо$a^{2} + bx + c = 0$, який має загальні розв'язки, задані квадратичною формулою,$\(x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$\) .Тому$x$ -перехоплення мають такий загальний вигляд:

$\color{Cerulean}{x-intercepts}$

$\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, 0\right)$і$\left(\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}, 0\right)$

Використовуючи той факт, що парабола симетрична, ми можемо визначити вертикальну лінію симетрії за допомогою$x$ -перехоплення. Для цього ми знаходимо середнє$x$ значення -value між$x$ -перехопленнями, взявши середнє значення наступним чином:

$\begin{aligned} x &=\left(\frac{-b-\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}+\frac{-b+\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}\right) \div 2 \\ &=\left(\frac{-b-\cancel{\sqrt{b^{2}-4 a c}}-b+\cancel{\sqrt{b^{2}-4 a c}}}{2 a}\right) \div\left(\frac{2}{1}\right) \\ &=\frac{-2 b}{2 a} \cdot \frac{1}{2} \\ &=-\frac{b}{2 a} \end{aligned}$

Тому лінією симетрії є вертикальна лінія$x = −\frac{b}{2a}$. Ми можемо використовувати лінію симетрії, щоб знайти вершину.

$\begin{array}{c}{\color{Cerulean} { Line\: of\: symmetry }} \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Vertex} \\ \quad\quad\quad{x=-\frac{b}{2 a} \quad\quad\quad\quad\left(-\frac{b}{2 a}, f\left(-\frac{b}{2 a}\right)\right)}\end{array}$

Як правило, три пункти визначають параболу. Однак у цьому розділі ми знайдемо п'ять пунктів, щоб ми могли отримати краще наближення загальної форми. Етапи побудови графіка параболи описані в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Графік:$f(x)=-x^{2}-2 x+3$.

Рішення

Крок 1: Визначте$y$ -перехоплення. Для цього встановіть$x$ =0 і знайдіть$f(0)$.

$\begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-2 x+3 \\ f(0) &=-(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}+3 \\ &=3 \end{aligned}$

$y$-Перехоплення є$(0,3)$.

Крок 2: Визначте$x$ -перехоплення, якщо такі є. Для цього встановлюйте$f(x)=0$ і вирішуйте для$x$.

$\begin{aligned} f(x)&=-x^{2}-2 x+3 \quad\:\color{Cerulean}{ Set\: f(x)=0. }\\ 0&=-x^{2}-2 x+3 \quad\:\color{Cerulean} { Multiply\: both\: sides\: by\: -1.} \\ 0&=x^{2}+2 x-3 \quad\:\:\:\:\color{Cerulean} { Factor. } \\ 0&=(x+3)(x-1) \:\:\:\color{Cerulean} { Set\: each\: factor\: equal\: to\: zero. }\end{aligned}$

$\begin{array}{rl}{x+3=0} & {\text { or } x-1=0} \\ {x=-3} & \quad\quad\quad{x=1}\end{array}$

Тут де$f (x) = 0$, отримуємо два рішення. Значить, є два$x$ -перехоплення,$(−3, 0)$ і$(1, 0)$.

Крок 3: Визначаємо вершину. Один із способів зробити це - спочатку використати$x = −\frac{b}{2a}$ для пошуку$x$ -значення вершини, а потім підставити це значення у функцію, щоб знайти відповідне$y$ -значення. У цьому прикладі$a = −1$ і$b = −2$.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2}{-2} \\ &=-1 \end{aligned}$

$−1$Підставляємо в вихідну функцію, щоб знайти відповідне$y$ -значення.

$\begin{aligned} f(x) &=-x^{2}-2 x+3 \\ f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=-(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}+3 \\ &=-1+2+3 \\ &=4 \end{aligned}$

Вершина є$(-1,4)$.

Крок 4: Визначте зайві точки так, щоб у нас було принаймні п'ять точок для побудови сюжету. Забезпечити хороший проділ по обидва боки лінії симетрії. У цьому прикладі буде достатньо одного іншого пункту. Вибираємо$x = −2$ і знаходимо відповідне$y$ -значення.

Таблиця$\PageIndex{1}$
$x$	$y$		Точка
\ (x\) ">$-2$	\ (y\) ">$3$	$f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}=-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}+3=-4+4+3=3$	$(-2,3)$

Наш п'ятий пункт -$(−2, 3)$.

Крок 5: Намалюйте точки та намалюйте графік. Нагадаємо, пункти, які ми знайшли, є

$y$-перехоплення:$(0,3)$

$x$-перехоплює:$(-3,0)$ і$(1,0)$

Вершина:$(-1,4)$

Додатковий бал:$(-2,3)$

Відповідь:

Парабола відкривається вниз. Загалом, використовуйте провідний коефіцієнт, щоб визначити, чи відкривається парабола вгору або вниз. Якщо провідний коефіцієнт негативний, як в попередньому прикладі, то парабола відкривається вниз. Якщо провідний коефіцієнт позитивний, то парабола відкривається вгору.

Всі квадратичні функції виду$f(x)=a x^{2}+b x+c$ мають параболічні графіки з$y$ -перехопленням$(0, c)$. Однак не всі параболи мають$x$ -перехоплення.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Графік:$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$.

Рішення

Оскільки провідний$2$ коефіцієнт позитивний, відзначимо, що парабола відкривається вгору. Ось$c = 5$ і$y$ -перехоплення є$(0, 5)$. Щоб знайти$x$ -перехоплення, встановлюємо$f (x) = 0$.

$\begin{aligned}f(x)=2 x^{2}+4 x+5 \\ 0=2 x^{2}+4 x+5\end{aligned}$

В даному випадку$a = 2, b = 4$, і$c = 5$. Використовуйте дискримінант для визначення кількості та типу розв'язків.

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(4)^{2}-4(2)(5) \\ &=16-40 \\ &=-24 \end{aligned}$

Оскільки дискримінант негативний, робимо висновок, що реальних рішень немає. Тому що реальних рішень немає, немає$x$ -перехоплень. Далі визначаємо$x$ -значення вершини.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}} \\ &=\frac{-4}{4} \\ &=-1 \end{aligned}$

Враховуючи, що$x$ -значення вершини є$−1$,$−1$ підставляємо в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне$y$ -значення.

$\begin{aligned} f(x) &=2 x^{2}+4 x+5 \\ f(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)} &=2(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}+5 \\ &=2-4+5 \\ &=3 \end{aligned}$

Вершина є$(−1, 3)$. Поки що у нас всього два пункти. Щоб визначити ще три, виберіть деякі$x$ -значення по обидва боки від лінії симетрії,$x = −1$. Тут вибираємо$x$$−3, −2$ -values, і$1$.

Таблиця$\PageIndex{2}$
$x$	$y$		Окуляри
\ (x\) ">$-3$	\ (y\) ">$11$	$f(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}+5=18-12+5=11$	$(-3,11)$
\ (x\) ">$-2$	\ (y\) ">$5$	$f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}+5=8-8+5=5$	$(-2,5)$
\ (x\) ">$1$	\ (y\) ">$11$	$f(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}+5=2+4+5=11$	$(1,11)$

Підводячи підсумок, ми маємо

$y$-перехоплення:$(0,5)$

$x$-перехоплює: Немає

Вершина:$(-1,3)$

Додаткові бали:$(-3,11), (-2,5), (1,11)$

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Приклад$\PageIndex{3}$:

Графік:$f(x)=x^{2}-2 x-1$.

Рішення

Так$a = 1$ як парабола відкривається вгору. Крім того$c = −1$, так$y$ -перехоплення є$(0, −1)$. Щоб знайти$x$ -перехоплення, встановлюємо$f (x) = 0$.

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}-2 x-1 \\ 0 &=x^{2}-2 x-1 \end{aligned}$

У цьому випадку вирішуйте за допомогою квадратичної формули з$a = 1, b = −2$, і$c = −1$.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2} \\ &= \frac{2(1\pm\sqrt{2})}{2} \\ &=1 \pm \sqrt{2} \end{aligned}$

Тут ми отримуємо два реальних рішення для$x$, і, таким чином, є два$x$ -перехоплення:

$\begin{array}{c}{(1-\sqrt{2}, 0) \text { and }(1+\sqrt{2}, 0)} \quad\color{Cerulean}{Exact\:values} \\ \quad\quad\quad\quad{(-0.41,0) \quad\quad(2.41,0)}\quad\quad\color{Cerulean}{Approximate\:values}\end{array}$

Наближення$x$ -перехоплень за допомогою калькулятора допоможе нам побудувати точки. Однак ми представимо точні$x$ -перехоплення на графіку. Далі знайдіть вершину.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}{2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{2}{2} \\ &=1 \end{aligned}$

Враховуючи, що$x$ -значення вершини є$1$, підставляємо в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне$y$ -значення.

$\begin{aligned} y &=x^{2}-2 x-1 \\ &=(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}-1 \\ &=1-2-1 \\ &=-2 \end{aligned}$

Вершина є$(1,-2)$. Нам потрібен ще один пункт.

Таблиця$\PageIndex{3}$
$x$	$y$		Точка
\ (x\) ">$2$	\ (y\) ">$-1$	$f(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}=(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}^{2}-2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}-1=4-4-1=-1$	$(2,-1)$

Підводячи підсумок, ми маємо

$y$-перехоплює:$(0,1)$

$x$-перехоплює:$(1-\sqrt{2}, 0)$ і$(1+\sqrt{2}, 0)$

Вершина:$(1,-2)$

Додатковий бал:$(2,-1)$

Побудуйте точки і накидайте графік.

Відповідь:

Вправа$\PageIndex{1}$

Графік:$g(x)=-4 x^{2}+12 x-9$.

Відповідь: Малюнок$\PageIndex{7}$

www.youtube.com/В/ДККХН7К

Пошук максимуму або мінімуму

Часто корисно знайти максимальні та/або мінімальні значення функцій, які моделюють реальні програми. Щоб знайти ці важливі значення, задані квадратичною функцією, ми використовуємо вершину. Якщо$a$ провідний коефіцієнт позитивний, то парабола відкривається вгору і там буде мінімальне$y$ -значення. Якщо$a$ провідний коефіцієнт негативний, то парабола відкривається вниз і буде максимальне$y$ -значення.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Визначте максимум або мінімум:$y=-4 x^{2}+24 x-35$.

Рішення

Так як$a = −4$, ми знаємо, що парабола відкривається вниз і буде максимальне$y$ -значення. Щоб знайти його, спочатку знайдіть$x$ -значення вершини.

$\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \quad\:\:\:\quad\color{Cerulean}{x-value\:of\:the\:vertex.} \\ &=-\frac{\color{OliveGreen}{24}}{\color{black}{2}(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)}} \quad\color{Cerulean}{Substitute\:a=-4\:and\:b-24.} \\ &=-\frac{24}{-8} \quad\quad\:\color{Cerulean}{Simplify.}\\ &=3 \end{aligned}$

$x$-значення вершини є$3$. Підставте це значення в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне$y$ -значення.

$\begin{aligned} y &=-4 x^{2}+24 x-35\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Substitute\:x=3.} \\ &=-4(3)^{2}+24(3)-35\quad\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=-36+72-35 \\ &=1 \end{aligned}$

Вершина є$(3, 1)$. Тому максимальне$y$ -значення є$1$, яке відбувається там$x = 3$, як показано нижче:

Примітка: Графік не обов'язковий для відповіді на це питання.

Відповідь:

Максимум - це$1$.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Визначте максимум або мінімум:$y=4 x^{2}-32 x+62$.

Рішення

Так як$a = 4$, парабола відкривається вгору і існує мінімальне$y$ -значення. Почніть з пошуку$x$ -значення вершини.

$\begin{aligned} x &=-\frac{b}{2 a} \\ &=-\frac{\color{OliveGreen}{-32}}{\color{black}{2}(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}} \quad\color{Cerulean}{Substitute\:a=4\:and\:b=-32.}\\ &=-\frac{-32}{8}\:\:\:\:\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=4 \end{aligned}$

$x = 4$Підставляємо в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне$y$ -значення.

$\begin{aligned} y &=4 x^{2}-32 x+62 \\ &=4(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}^{2}-32(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}+62 \\ &=64-128+62 \\ &=-2 \end{aligned}$

Вершина є$(4, −2)$. Тому мінімальне$y$ -значення$−2$ відбувається там$x = 4$, де, як показано нижче:

Відповідь:

Мінімум - це$-2$.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Висота в ногах снаряда задається функцією$h(t)=-16 t^{2}+72 t$, де$t$ позначає час у секундах після запуску. Якої максимальної висоти досягається снарядом?

Рішення

Тут$a = −16$ і парабола відкривається вниз. Тому$y$ -значення вершини визначає максимальну висоту. Почніть з знаходження часу, в яке виникає вершина.

$t=-\frac{b}{2 a}=-\frac{72}{2(-16)}=\frac{72}{32}=\frac{9}{4}$

Максимальна висота буде відбуватися в$\frac{9}{4}$ секундах (або$2 \frac{1}{4}$ секундах). Підставте цей час у функцію, щоб визначити максимальну досягнуту висоту.

$\begin{aligned} h\color{black}{\left(\color{OliveGreen}{\frac{9}{4}}\right)} &=-16\color{black}{\left(\color{OliveGreen}{\frac{9}{4}}\right)^{2}}+72\color{black}{\left(\color{OliveGreen}{\frac{9}{4}}\right)} \\ &=-16\left(\frac{81}{16}\right)+72\left(\frac{9}{4}\right) \\ &=-81+162 \\ &=81 \end{aligned}$

Відповідь:

Максимальна висота снаряда -$81$ ноги.

Пошук вершини шляхом завершення квадрата

У цьому розділі ми продемонструємо альтернативний підхід до знаходження вершини. Будь-яку квадратичну функцію$f (x) = ax^{2} + bx + c$ можна переписати у вигляді вершини ¹⁴,

$f(x)=a(x-h)^{2}+k$

У такому вигляді вершина є$(h, k)$. Щоб побачити, що це так, розгляньте графіки з$f (x) = (x − 2)^{2} + 3$ використанням перетворень.

$\begin{array}{l}{y=x^{2}}\quad\quad\quad\quad\:\quad\color{Cerulean}{Basic\:squaring\:function} \\ {y=(x-2)^{2}}\quad\quad\:\:\:\color{Cerulean}{Horizontal\:shift\:right\:2\:units} \\ {y=(x-2)^{2}+3}\quad\color{Cerulean}{Vertical\:shift\:up\:3\:units}\end{array}$

Використовуйте ці переклади для ескізу графіка,

Тут ми бачимо, що вершина є$(2, 3)$.

$\begin{array}{c}{f(x)=a(x-h)^{2}+k}\\ \color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\downarrow\:\:\:\quad\downarrow} \\ {f(x)=(x-2)^{2}\:+3}\end{array}$

Коли рівняння знаходиться в такому вигляді, ми можемо прочитати вершину прямо з нього.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Визначаємо вершину:$f(x)=2(x+3)^{2}-2$.

Рішення

Перепишіть рівняння наступним чином перед визначенням$h$ і$k$.

$\begin{array}{c}{f(x)=\:\:\:a\:(\:x\:-\:h\:)^{2}\:\:+\:\:k} \\ \color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\:\downarrow\quad\quad\:\:\downarrow} \\{f(x)=2[x-(-3)]^{2}+(-2)}\end{array}$

Ось$h=-3$ і$k=-2$.

Відповідь:

Вершина є$(-3,-2)$.

Часто рівняння дається не в вершинному вигляді. Щоб отримати таку форму, заповніть квадрат.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Перепишіть у вигляді вершин і визначте вершину:$f(x)=x^{2}+4 x+9$.

Рішення

Почніть з звільнення місця для постійного терміну, який завершує квадрат.

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}+4 x+9 \\ &=x^{2}+4 x+\_\_\_+9-\_\_\_\end{aligned}$

Ідея полягає в тому, щоб додати і відняти значення, яке завершує квадрат$\left(\frac{b}{2}\right)^{2}$, а потім коефіцієнт. В цьому випадку додаємо і віднімаємо$\left(\frac{4}{2}\right)^{2}=(2)^{2}=4$.

$\begin{aligned} f(x) &=x^{2}+4 x+9\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:4.} \\ &=x^{2}+4 x\color{Cerulean}{+4}\color{black}{+}9\color{Cerulean}{-4}\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=\left(x^{2}+4 x+4\right)+5 \\ &=(x+3)(x+2)+5 \\ &=(x+2)^{2}+5 \end{aligned}$

Додавання та віднімання одного і того ж значення всередині виразу не змінює його. Робити це еквівалентно додаванню$0$. Як тільки рівняння буде в такому вигляді, ми можемо легко визначити вершину.

$\begin{array}{c}{f(x)=a(x-h)^{2}\:\:+\:\:k}\\\color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:\downarrow\quad\:\:\:\:\:\downarrow} \\ {f(x)=(x-(-2))^{2}+5}\end{array}$

Ось$h=-2$ і$k=5$.

Відповідь:

Вершина є$(-2,5)$.

Якщо є провідний коефіцієнт$1$, крім, то ми повинні спочатку перерахувати провідний коефіцієнт з перших двох членів триноміала.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Перепишіть у вигляді вершин і визначте вершину:$f(x)=2 x^{2}-4 x+8$.

Рішення

Оскільки$a = 2$, враховуйте це з перших двох термінів для того, щоб завершити квадрат. Залиште місце всередині дужок, щоб додати і відняти значення, яке завершує квадрат.

$\begin{aligned} f(x) &=2 x^{2}-4 x+8 \\ &=2\left(x^{2}-2 x\right)+8 \end{aligned}$

Тепер використовуйте$−2$ для визначення значення, яке завершує квадрат. В даному випадку,$\left(\frac{-2}{2}\right)^{2}=(-1)^{2}=1$. Додайте і відніміть$1$ і коефіцієнт наступним чином:

$\begin{aligned} f(x) &=2 x^{2}-4 x+8 \\ &=2\left(x^{2}-2 x+\_\_\_-\_\_\_\right)+8 \quad\color{Cerulean}{Add\:and\:subtract\:1.} \\ &=2\color{black}{\left(x^{2}-2 x\color{Cerulean}{+1-1}\right)}+8\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Factor.} \\ &=2[(x-1)(x-1)-1]+8 \\ &=2\left[(x-1)^{2}-1\right]+8 \quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Distribute\:the\:2.} \\ &=2(x-1)^{2}-2+8 \\ &=2(x-1)^{2}+6 \end{aligned}$

У такому вигляді ми легко можемо визначити вершину.

$\begin{array}{c}{f(x)=a(x-h)^{2}+k}\\\color{Cerulean}{\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\downarrow\quad\:\:\:\downarrow} \\ {f(x)=2(x-1)^{2}+6}\end{array}$

Ось$h=1$ і$k=6$.

Відповідь:

Вершина є$(1,6)$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Перепишіть у вигляді вершин і визначте вершину:$f(x)=-2 x^{2}-12 x+3$.

Відповідь

$f(x)=-2(x+3)^{2}+21$; вершина:$(-3,21)$

www.youtube.com/В/CMWMN6oz2di

Ключові виноси

Графік будь-якої квадратичної функції$f (x) = ax^{2} + bx + c$, де$a, b$, і$c$ є дійсними числами і$a ≠ 0$, називається параболою.
При графіку параболи завжди знаходять вершину і$y$ -перехоплення. Якщо$x$ -перехоплення існують, знайдіть їх, а також. Також обов'язково знайдіть впорядковані парні рішення по обидва боки від лінії симетрії,$x = −\frac{ b}{2a}$.
Використовуйте провідний коефіцієнт$a$, щоб визначити, чи відкривається парабола вгору або вниз. Якщо$a$ позитивний, то відкривається вгору. Якщо$a$ негативний, то відкривається вниз.
Вершина будь-якої параболи має$x$ значення -значення, рівне$−\frac{b}{2a}$. Після знаходження$x$ -значення вершини підставляємо її в вихідне рівняння, щоб знайти відповідне$y$ -значення. Це$y$ -значення є максимумом, якщо парабола відкривається вниз, і це мінімум, якщо парабола відкривається вгору.
Домен параболи, що відкривається вгору або вниз, складається з усіх дійсних чисел. Діапазон обмежується$y$ -значенням вершини.
Альтернативним підходом до знаходження вершини є переписування квадратичної функції в форму$f(x)=a(x-h)^{2}+k$. Коли в такому вигляді, вершина є$(h, k)$ і може бути прочитана безпосередньо з рівняння. Щоб отримати цю форму, візьміть$f (x) = ax^{2} + bx + c$ і заповніть квадрат.

Вправа$\PageIndex{3}$

Парабола відкривається вгору або вниз? Поясніть.

$y=x^{2}-9 x+20$
$y=x^{2}-12 x+32$
$y=-2 x^{2}+5 x+12$
$y=-6 x^{2}+13 x-6$
$y=64-x^{2}$
$y=-3 x+9 x^{2}$

Відповідь

1. Вгору

3. Внизу

5. Внизу

Вправа$\PageIndex{4}$

Визначте$x$ - і$y$ -перехоплює.

$y=x^{2}+4 x-12$
$y=x^{2}-13 x+12$
$y=2 x^{2}+5 x-3$
$y=3 x^{2}-4 x-4$
$y=-5 x^{2}-3 x+2$
$y=-6 x^{2}+11 x-4$
$y=4 x^{2}-27$
$y=9 x^{2}-50$
$y=x^{2}-x+1$
$y=x^{2}-6 x+4$

Відповідь

1. $x$-перехоплює:$(-6,0),(2,0)$;$y$ -перехоплення:$(0,-12)$

3. $x$-перехоплює:$(-3,0),\left(\frac{1}{2}, 0\right)$;$y$ -перехоплення:$(0,-3)$

5. $x$-перехоплює:$(-1,0),\left(\frac{2}{5}, 0\right)$;$y$ -перехоплення:$(0,2)$

7. $x$-перехоплює:$\left(-\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0\right),\left(\frac{3 \sqrt{3}}{2}, 0\right)$;$y$ -перехоплення:$(0,-27)$

9. $x$-перехоплює: немає;$y$ -перехоплення:$(0,1)$

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть вершину і лінію симетрії.

$y=-x^{2}+10 x-34$
$y=-x^{2}-6 x+1$
$y=-4 x^{2}+12 x-7$
$y=-9 x^{2}+6 x+2$
$y=4 x^{2}-1$
$y=x^{2}-16$

Відповідь

1. Вершина:$(5,-9)$; лінія симетрії:$x=5$

3. Вершина:$\left(\frac{3}{2}, 2\right)$; лінія симетрії:$x=\frac{3}{2}$

5. Вершина:$(0,-1)$; лінія симетрії:$x=0$

Вправа$\PageIndex{6}$

Графік. Знайдіть вершину і$y$ -перехоплення. Крім того, знайдіть$x$ -перехоплення, якщо вони існують.

$f(x)=x^{2}-2 x-8$
$f(x)=x^{2}-4 x-5$
$f(x)=-x^{2}+4 x+12$
$f(x)=-x^{2}-2 x+15$
$f(x)=x^{2}-10 x$
$f(x)=x^{2}+8 x$
$f(x)=x^{2}-9$
$f(x)=x^{2}-25$
$f(x)=1-x^{2}$
$f(x)=4-x^{2}$
$f(x)=x^{2}-2 x+1$
$f(x)=x^{2}+4 x+4$
$f(x)=-4 x^{2}+12 x-9$
$f(x)=-4 x^{2}-4 x+3$
$f(x)=x^{2}-2$
$f(x)=x^{2}-3$
$f(x)=-4 x^{2}+4 x-3$
$f(x)=4 x^{2}+4 x+3$
$f(x)=x^{2}-2 x-2$
$f(x)=x^{2}-6 x+6$
$f(x)=-2 x^{2}+6 x-3$
$f(x)=-4 x^{2}+4 x+1$
$f(x)=x^{2}+3 x+4$
$f(x)=-x^{2}+3 x-4$
$f(x)=-2 x^{2}+3$
$f(x)=-2 x^{2}-1$
$f(x)=2 x^{2}+4 x-3$
$f(x)=3 x^{2}+2 x-2$

Відповідь

11.

13.

15.

17.

19.

21.

23.

25.

27.

Вправа$\PageIndex{7}$

Визначте максимальне або мінімальне$y$ -значення.

$y=-x^{2}-6 x+1$
$y=-x^{2}-4 x+8$
$y=25 x^{2}-10 x+5$
$y=16 x^{2}-24 x+7$
$y=-x^{2}$
$y=1-9 x^{2}$
$y=20 x-10 x^{2}$
$y=12 x+4 x^{2}$
$y=3 x^{2}-4 x-2$
$y=6 x^{2}-8 x+5$
$y=x^{2}-5 x+1$
$y=1-x-x^{2}$

Відповідь

1. Максимум:$y = 10$

3. Мінімум:$y = \frac{4}{5}$

5. Максимум:$y = 0$

7. Максимум:$y = 10$

9. Мінімум:$y = −\frac{10}{3}$

11. Мінімум:$y = −\frac{21}{4}$

Вправа$\PageIndex{8}$

З огляду на наступні квадратичні функції, визначають область і діапазон.

$f(x)=3 x^{2}+30 x+50$
$f(x)=5 x^{2}-10 x+1$
$g(x)=-2 x^{2}+4 x+1$
$g(x)=-7 x^{2}-14 x-9$
$f(x)=x^{2}+x-1$
$f(x)=-x^{2}+3 x-2$
Висота в ногах, досягнута бейсболом, кинутим вгору зі швидкістю$48$ футів в секунду від землі, задається функцією$h(t) = −16t^{2} + 48t$, де$t$ представляє час у секундах після того, як м'яч кидається. Що таке бейсбол 's максимальна висота і скільки часу потрібно, щоб досягти цієї висоти?
Висота в ногах снаряда, запущеного прямо з насипу, задається функцією$h(t) = −16t^{2} + 96t + 4$, де відображається$t$ секунди після запуску. Яка максимальна висота?
Прибуток у доларах, що генерується виробництвом та продажем$x$ нестандартних ламп, дається функцією$P(x) = −10x^{2} + 800x − 12,000$. Яка максимальна прибуток?
Прибуток у доларах, отриманий від виробництва та продажу певного товару, моделюється за формулою$P(x) = 100x − 0.0025x^{2}$, де$x$ відображається кількість вироблених та проданих одиниць. Яку кількість одиниць необхідно виробляти та продати, щоб максимізувати дохід?
Середня кількість звернень до веб-сайту радіостанції моделюється за формулою$f(x) = 450t^{2} − 3,600t + 8,000$, де$t$ представляє кількість годин з$8:00$ ранку в якій годині дня кількість звернень до веб-сайту як мінімум?
Значення в доларах нового автомобіля моделюється за формулою$V(t) = 125t^{2} − 3,000t + 22,000$, де$t$ позначає кількість років з моменту його придбання. Визначте мінімальне значення автомобіля.
Щоденна вартість виробництва в доларах текстильної компанії, що виробляє спеціальну уніформу, моделюється за формулою$C(x) = 0.02x^{2} − 20x + 10,000$, де$x$ представлена кількість виробленої уніформи.
1. Скільки уніформи слід виготовити, щоб мінімізувати щоденні витрати на виробництво?
2. Яка мінімальна добова собівартість виробництва?
Площа в квадратних футах певного прямокутного пера задається за формулою$A = 14w − w^{2}$, де$w$ позначає ширину в футах. Визначте ширину, яка виробляє максимальну площу.

Відповідь

1. Домен:$(−∞, ∞)$; діапазон:$[−25, ∞)$

3. Домен:$(−∞, ∞)$; діапазон:$(−∞, 3]$

5. Домен:$(−∞, ∞)$; діапазон:$[−\frac{5}{4}, ∞)$

7. Максимальна висота$36$ ніг настає через$1.5$ секунди.

9. $$4,000$

11. $12:00$вечора

13. (1)$500$ уніформа (2) $$5,000$

Вправа$\PageIndex{9}$

Визначаємо вершину.

$y=-(x-5)^{2}+3$
$y=-2(x-1)^{2}+7$
$y=5(x+1)^{2}+6$
$y=3(x+4)^{2}+10$
$y=-5(x+8)^{2}-1$
$y=(x+2)^{2}-5$

Відповідь

1. $(5, 3)$

3. $(−1, 6)$

5. $(−8, −1)$

Вправа$\PageIndex{10}$

Перепишіть у вигляді вершин$y=a(x-h)^{2}+k$ і визначте вершину.

$y=x^{2}-14 x+24$
$y=x^{2}-12 x+40$
$y=x^{2}+4 x-12$
$y=x^{2}+6 x-1$
$y=2 x^{2}-12 x-3$
$y=3 x^{2}-6 x+5$
$y=-x^{2}+16 x+17$
$y=-x^{2}+10 x$

Відповідь

1. $y=(x-7)^{2}-25$; вершина:$(7, -25)$

3. $y=(x+2)^{2}-16$; вершина:$(-2, -16)$

5. $y=2(x-3)^{2}-21$; вершина:$(3, -21)$

7. $y=-(x-8)^{2}+81$; вершина:$(8, 81)$

Вправа$\PageIndex{11}$

Графік. Знайдіть вершину і$y$ -перехоплення. Крім того, знайдіть$x$ -перехоплення, якщо вони існують.

$f(x)=x^{2}-1$
$f(x)=x^{2}+1$
$f(x)=(x-1)^{2}$
$f(x)=(x+1)^{2}$
$f(x)=(x-4)^{2}-9$
$f(x)=(x-1)^{2}-4$
$f(x)=-2(x+1)^{2}+8$
$f(x)=-3(x+2)^{2}+12$
$f(x)=-5(x-1)^{2}$
$f(x)=-(x+2)^{2}$
$f(x)=-4(x-1)^{2}-2$
$f(x)=9(x+1)^{2}+2$
$f(x)=(x+5)^{2}-15$
$f(x)=2(x-5)^{2}-3$
$f(x)=-2(x-4)^{2}+22$
$f(x)=2(x+3)^{2}-13$

Відповідь

11.

13.

15.

Вправа$\PageIndex{12}$

Запишіть свій план складання параболи на іспиті. Що ви будете шукати і як ви представите свою відповідь? Поділіться своїм планом на дошці обговорень.
Чому будь-яка парабола, яка відкривається вгору або вниз, є функцією? Поясніть однокласнику, як визначити домен і діапазон.
Дослідіть і обговоріть способи знаходження квадратичної функції, яка має графік, що проходить через будь-які три задані точки. Поділіться списком кроків, а також прикладом того, як це зробити.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

¹⁰ П-подібний графік будь-якої квадратичної функції$f (x) = ax^{2} + bx + c$, визначеної, де$a, b$, і$c$ є дійсними числами і$a ≠ 0$.

¹¹ Точка, яка визначає мінімум або максимум параболи.

¹² Вертикальна лінія через вершину$x = −\frac{b}{2a}$, про яку парабола симетрична.

¹³ Термін, який використовується при посиланні на лінію симетрії.

¹⁴ Квадратична функція, записана у формі$f(x)=a(x-h)^{2}+k$.

\(x\)	\(y\)		Окуляри
\ (x\) ">\(-3\)	\ (y\) ">\(11\)	\(f(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-3}\color{black}{)}+5=18-12+5=11\)	\((-3,11)\)
\ (x\) ">\(-2\)	\ (y\) ">\(5\)	\(f(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}+5=8-8+5=5\)	\((-2,5)\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(11\)	\(f(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}=2(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}^{2}+4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}+5=2+4+5=11\)	\((1,11)\)