6.3: Розв'язування квадратних рівнянь у формі

Цілі навчання

• Розробити загальну стратегію розв'язання квадратних рівнянь.
• Розв'яжіть рівняння, які мають квадратичну форму.

Використовуйте коефіцієнти квадратного рівняння, щоб допомогти вирішити, який метод найбільш підходить для його розв'язання. Хоча квадратична формула завжди працює, іноді це не найефективніший метод. Якщо задано будь-яке квадратне рівняння у стандартній формі,

$a x^{2}+b x+c=0$

де$c=0$, то найкраще зарахувати GCF і вирішити шляхом факторингу.

Приклад$\PageIndex{1}$:

Вирішити:$12 x^{2}-3 x=0$

Рішення

У цьому випадку$c=0$ і ми можемо вирішити шляхом факторингу GCF$3x$.

$12 x^{2}-3 x=0$
$3 x(4 x-1)=0$

Потім застосуйте властивість нульового добутку і встановіть кожен коефіцієнт рівним нулю.

$\begin{aligned}&3 x=0\quad \text { or }& 4 x-1=0 \\ &x=0 &4 x=1 \\&& x=\frac{1}{4}\end{aligned}$

Відповідь

Рішення є$0$ і$\frac{1}{4}$.

Якщо$b=0$, то ми можемо вирішити, витягнувши коріння.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Вирішити$5 x^{2}+8=0$

Рішення

У цьому випадку$b = 0$ і можна вирішити шляхом вилучення коренів. Почніть з ізоляції квадрата.

$\begin{aligned} 5 x^{2}+8 &=0 \\ 5 x^{2} &=-8 \\ x^{2} &=-\frac{8}{5} \end{aligned}$

Далі застосовуємо властивість квадратного кореня. Не забудьте включити$±$.

$\begin{aligned} x &=\pm \sqrt{-\frac{8}{5}}\quad\quad\quad\quad\:\:\color{Cerulean}{Rationalize\:the\:denominator.} \\ &=\pm \frac{\sqrt{-4 \cdot 2}}{\sqrt{5}} \cdot \color{Cerulean}{\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}} \quad\color{Cerulean}{Simplify.} \\ &=\pm \frac{2 i \sqrt{2} \cdot \sqrt{5}}{5} \\ &=\pm \frac{2 i \sqrt{10}}{5} \end{aligned}$

Відповідь

Рішення є$\pm \frac{2 i \sqrt{10}}{5}$.

Howto: Загальні рекомендації щодо розв'язання квадратних рівнянь

Якщо задано квадратне рівняння в стандартному вигляді$a$, де$b$, і$c$ всі ненульові, визначають значення дискримінанту за допомогою формули$b^{2} − 4ac$.

1. Якщо дискримінант - ідеальний квадрат, то вирішуйте факторингом.
2. Якщо дискримінант не є досконалим квадратом, то вирішуйте за допомогою квадратичної формули.

Нагадаємо, що якщо дискримінант не є досконалим квадратом, а додатним, квадратне рівняння матиме два ірраціональних рішення. А якщо дискримінант негативний, квадратне рівняння матиме два складних сполучених розв'язку.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Вирішити$(3 x+5)(3 x+7)=6 x+10$.

Рішення

Почніть з перезапису квадратного рівняння в стандартній формі.

$\begin{aligned}(3 x+5)(3 x+7) &=6 x+10 \\ 9 x^{2}+21 x+15 x+35 &=6 x+10 \\ 9 x^{2}+36 x+35 &=6 x+10 \\ 9 x^{2}+30 x+25 &=0 \end{aligned}$

Підставляємо$a=9, b=30$, і$c=25$ в дискримінантну формулу.

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(30)^{2}-4(9)(25) \\ &=900-900 \\ &=0 \end{aligned}$

Оскільки дискримінант є$0$, вирішуйте факторингом і очікуйте одного реального рішення, подвійного кореня.

$\begin{aligned} 9 x^{2}+30 x+25 &=0 \\(3 x+5)(3 x+5) &=0 \end{aligned}$

$\begin{aligned}3 x+5&=0 \quad \text { or } \quad3 x+5=0\\ 3 x&=-5 \quad\quad\quad\quad\: 3 x=-5 \\ x&=-\frac{5}{3} \quad\quad\quad\quad\:\: x=-\frac{5}{3}\end{aligned}$

Відповідь

Рішення є$-\frac{5}{3}$.

Добре знати, що квадратична формула буде працювати, щоб знайти рішення для всіх прикладів у цьому розділі. Однак це не завжди найкраще рішення. Якщо рівняння можна вирішити факторингом або вилученням коренів, слід використовувати цей метод.

Розв'язування квадратних рівнянь у формі

У цьому розділі ми окреслимо алгебраїчну техніку, яка широко використовується в математиці для перетворення рівнянь у звичні форми. Почнемо з визначення квадратичної форми ⁷,

$a u^{2}+b u+c=0$

Тут$u$ являє собою алгебраїчний вираз. Нижче наведено кілька прикладів:

$\begin{aligned}\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}+8\left(\frac{t+2}{t}\right)+7&=0 \stackrel{u=\frac{t+2}{t}}{\color{Cerulean}{\Longrightarrow}} \color{black}{u^{2}}+8 u+7=0 \\ x^{2 / 3}-3 x^{1 / 3}-10&=0 \stackrel{u=x^{1 / 3}}{\color{Cerulean}{\Longrightarrow}}\color{black}{ u^{2}}-3 u-10=0 \\ 3 y^{-2}+7 y^{-1}-6&=0 \stackrel{u=y^{-1}}{\color{Cerulean}{\Longrightarrow}}\color{black}{ 3 u^{2}}+7 u-6=0\end{aligned}$

Якщо ми можемо висловити рівняння в квадратичній формі, то ми можемо використовувати будь-який з методів, що використовуються для вирішення квадратичних рівнянь. Наприклад, розглянемо наступне рівняння полінома четвертого ступеня,

$x^{4}-4 x^{2}-32=0$

Якщо ми дозволимо,$u = x^{2}$ то$u^{2} = \left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}$ і ми можемо написати

$\begin{array}{r}{x^{4}-4 x^{2}-32=0 \color{Cerulean}{\Rightarrow}\left(\color{Cerulean}{x^{2}}\right)^{\color{black}{2}}-4\left(\color{Cerulean}{x^{2}}\right)\color{black}{-}32=0} \\ \color{Cerulean}{\downarrow\quad\quad\:\:\: \downarrow\quad\quad\quad\quad\:\:} \\ {u^{2}\quad-\:\:4 u\:\:-32=0}\end{array}$

Ця заміщення перетворює рівняння в звичне квадратне рівняння,$u$ через яке, в даному випадку, можна вирішити факторингом.

$\begin{aligned} u^{2}-4 u-32 &=0 \\(u-8)(u+4) &=0 \\ u=8 \quad \text { or } \quad u &=-4 \end{aligned}$

Так як$u=x^{2}$ ми можемо назад замінити, а потім вирішити для$x$.

$\begin{aligned} &u=8 \quad \text{or} &u=-4 \\ & \color{Cerulean}{\downarrow}&\color{Cerulean}{ \downarrow} \\ &x^{2}=8 & x^{2}=-4\\ &x=\pm \sqrt{8} &x=\pm\sqrt{-4} \\ &x=\pm 2 \sqrt{2} &x=\pm2i\end{aligned}$

Тому рівняння$x^{4}-4 x^{2}-32=0$ має чотири розв'язки$\{\pm 2 \sqrt{2}, \pm 2 i\}$, два дійсних і два комплексних. Цей метод, який часто називають u-заміщенням ⁸, також може бути використаний для вирішення деяких неполіноміальних рівнянь.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Вирішити:$x-2 \sqrt{x}-8=0$.

Рішення

Це радикальне рівняння, яке можна записати в квадратичному вигляді. Якщо ми дозволимо,$u=\sqrt{x}$ то$u^{2}=(\sqrt{x})^{2}=x$ і ми можемо написати

$\begin{aligned}x-2 \sqrt{x}-8&=0\\ \color{Cerulean}{\downarrow\:\:\quad \downarrow\quad\:\:\:\:} \\ u^{2}\:\:-2 u-8&=0\end{aligned}$

Вирішити для$u$.

$u^{2}-2 u-8=0$
$(u-4)(u+2)=0$
$u=4$або$u=-2$

Назад$u=\sqrt{x}$ замінюємо і вирішуємо для$x$.

$\begin{array}{c}{\sqrt{x}=4 \quad \text { or } \quad \sqrt{x}=-2} \\ {(\sqrt{x})^{2}=(4)^{2} \quad(\sqrt{x})^{2}=(-2)^{2}} \\ {x=16} \quad\quad\quad\quad {x=4}\end{array}$

Нагадаємо, що квадратизація обох сторін рівняння вводить можливість сторонніх розв'язків. Тому ми повинні перевірити наші потенційні рішення.

$\begin{array}{r | l} {\color{OliveGreen}{Check} \:\color{black}{x=16}} & {\color{OliveGreen}{Check}\:\color{black}{x}=4}\\ {x-2\sqrt{x}-8=0} & {x-2\sqrt{x}-8=0} \\ {\color{OliveGreen}{16}\color{black}{-} 2\sqrt{\color{OliveGreen}{16}}\color{black}{-}18=0} & {\color{OliveGreen}{4}\color{black}{-} 2\sqrt{\color{OliveGreen}{4}}\color{black}{-}8=0} \\{16-2 \cdot 4-8=0} & {4-2 \cdot 2-8=0} \\ {16-8-8=0} & {\quad\:4-4-8=0} \\ {0=0 \color{Cerulean}{✓}} & {\quad\quad\quad\:\:-8=0 \color{red}{✗}}\end{array}$

Тому що$x=4$ є стороннім, є тільки одне рішення,$x=16$.

Відповідь

Рішення є$16$.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Вирішити:$x^{2 / 3}-3 x^{1 / 3}-10=0$.

Рішення

Якщо ми дозволимо,$u=x^{1 / 3}$ то$u^{2}=\left(x^{1 / 3}\right)^{2}=x^{2 / 3}$ і ми можемо написати

$\begin{array}{c}{x^{2 / 3}-3 x^{1 / 3}-10=0} \\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\quad\downarrow\:\:\quad\quad\quad\quad\:} \\ {u^{2}\:\:\:-\:3 u-10=0}\end{array}$

Вирішити для$u$.

$u^{2}-3 u-10=0$
$(u-5)(u+2)=0$
$u=5 \quad$або$\quad u=-2$

Назад$u=x^{1 / 3}$ замінюємо і вирішуємо для$x$.

$\begin{aligned} x^{1 / 3} &=5 \quad \text { or } \quad x^{1 / 3}=-2 \\\left(x^{1 / 3}\right)^{3} &=(5)^{3} \quad\left(x^{1 / 3}\right)^{3}=(-2)^{3} \\ x &=125 \quad\quad\quad\:\:\: x=-8 \end{aligned}$

Перевірити

$\begin{array} {r|r} {\color{OliveGreen}{Check}\:\color{black}{x}=125}&{\color{OliveGreen}{Check}\:\color{black}{x}=-8}\\{x^{2/3} - 3x^{1/3} -10=0 }&{x^{2/3}-3x^{1/3}-10=0} \\{(\color{OliveGreen}{125}\color{black}{)}^{2 / 3}-3(\color{OliveGreen}{125}\color{black}{)}^{1 / 3}-10=0} & {(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}^{2 / 3}-3(\color{OliveGreen}{-8}\color{black}{)}^{1 / 3}-10=0} \\ {\left(5^{3}\right)^{2 / 3}-3\left(5^{3}\right)^{1 / 3}-10=0} &{\left[(-2)^{3}\right]^{2 / 3}-3\left[(-2)^{3}\right]^{1 / 3}-10=0} \\ {5^{2}-3 \cdot 5-10=0} &{(-2)^{2}-3 \cdot(-2)-10=0}\\ {25-15-10=0}&{\quad\quad\quad\quad\:\:\:4+6-10=0} \\ {0=0 \color{Cerulean}{✓}}&{\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\:\:\:0=0\color{Cerulean}{✓}} \end{array}$

Відповідь

Рішення є$-8,125$.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Вирішити:$3 y^{-2}+7 y^{-1}-6=0$

Рішення

Якщо ми дозволимо$u=y^{-1}$, то$u^{2}=\left(y^{-1}\right)^{2}=y^{-2}$ і можемо написати

$\begin{array}{c}{3 y^{-2}+7 y^{-1}-6=0} \\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\:\:\:\:\:\downarrow\quad\quad\:\:\:\;\:} \\ {3 u^{2}+7 u-6=0}\end{array}$

Вирішити для$u$.

$3 u^{2}+7 u-6=0$
$(3 u-2)(u+3)=0$
$u=\frac{2}{3} \quad$або$\quad u=-3$

Назад$u=y^{-1}$ замінюємо і вирішуємо для$y$.

$\begin{aligned} y^{-1} &=\frac{2}{3} \text { or } y^{-1}=-3 \\ \frac{1}{y} &=\frac{2}{3} \quad \quad\frac{1}{y}=-3 \\ y &=\frac{3}{2} \quad\quad y=-\frac{1}{3} \end{aligned}$

Вихідне рівняння насправді є раціональним рівнянням де$y ≠ 0$. У цьому випадку розв'язки не є обмеженнями; вони вирішують вихідне рівняння.

Відповідь

Рішення є$-\frac{1}{3}, \frac{3}{2}$.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Вирішити:$\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}+8\left(\frac{t+2}{t}\right)+7=0$

Рішення

Якщо ми дозволимо$u=\frac{t+2}{t}$, то$u^{2}=\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}$ і можемо написати

$\begin{array}{c}{\left(\frac{t+2}{t}\right)^{2}+8\left(\frac{t+2}{t}\right)+7=0}\\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\quad\:\:\;\:\downarrow\quad\quad\quad\quad} \\ {u^{2}+\quad 8 u \quad+7=0}\end{array}$

Вирішити для$u$.

$u^{2}+8 u+7=0$
$(u+1)(u+7)=0$
$u=-1 \quad$або$\quad u=-7$

Назад$u=\frac{t+2}{t}$ замінюємо, і вирішуємо для$t$.

$\begin{array}{rl}{\frac{t+2}{t}} & {=-1 \text { or } \frac{t+2}{t}=-7} \\ {t+2} & {=-t \quad t+2=-7 t} \\ {2 t} & {=-2 \quad \quad 8 t=-2} \\ {t} & {=-1} & {t=-\frac{1}{4}}\end{array}$

Відповідь

Рішення є$-1, -\frac{1}{4}$. Чек залишається на утриманні зчитувача.

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити:$12 x^{-2}-16 x^{-1}+5=0$

Відповідь

Рішення є$\frac{6}{5}, 2$.

www.youtube.com/В/Паур53 НЛНДО

Поки що всі приклади були рівняннями цього фактора. Як ми знаємо, не всі квадратні рівняння фактора. Якщо це так, ми використовуємо квадратичну формулу.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Вирішити$x^{4}-10 x^{2}+23=0$. Приблизно до найближчої сотої.

Рішення

Якщо ми дозволимо$u=x^{2}$, то$u^{2}=\left(x^{2}\right)^{2}=x^{4}$ і можемо написати

$\begin{array}{l}{x^{4}-10 x^{2}+23=0}\\ \color{Cerulean}{\downarrow \quad\:\:\: \downarrow} \\ {u^{2}-10 u+23=0}\end{array}$

Це рівняння не коефіцієнт; тому використовуйте квадратичну формулу, щоб знайти розв'язки для$u$. Ось$a = 1, b = −10$, і$c = 23$.

$\begin{aligned} u &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^{2}-4(1)(23)}}{2(1)} \\ &=\frac{10 \pm \sqrt{8}}{2} \\ &=\frac{10 \pm 2 \sqrt{2}}{2} \\ &=5 \pm \sqrt{2} \end{aligned}$

Тому,$u=5\pm\sqrt{2}$. Тепер повертаємося$u=x^{2}$ підставляємо і вирішуємо для$x$.

$\begin{array}{c}{u=5-\sqrt{2} \quad \text { or } \quad u=5+\sqrt{2}}\\\color{Cerulean}{\downarrow\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad\downarrow\quad\quad\quad\quad} \\ {x^{2}=5-\sqrt{2} \quad\quad\:\:\: x^{2}=5+\sqrt{2}} \\ {x=\pm \sqrt{5-\sqrt{2}} \quad\quad\: x=\pm \sqrt{5+\sqrt{2}}}\end{array}$

Округляйте чотири рішення наступним чином.

$x=-\sqrt{5-\sqrt{2}} \approx-1.89 x=-\sqrt{5+\sqrt{2}} \approx-2.53$
$x=\sqrt{5-\sqrt{2}} \approx 1.89 \quad x=\sqrt{5+\sqrt{2}} \approx 2.53$

Відповідь

Рішення приблизно$\pm 1.89, \pm 2.53$.

Якщо підраховуються множинні корені і складні корені, то фундаментальна теорема алгебри ⁹ має на увазі, що кожен многочлен з однією змінною матиме стільки коренів, скільки і його ступінь. Наприклад, ми очікуємо$f (x) = x^{3} − 8$ мати три корені. Іншими словами, рівняння

$x^{3}-8=0$

повинно мати три рішення. Щоб знайти їх, спочатку можна подумати про те, щоб спробувати витягти кубічні корені так само, як ми це робили з квадратними коренями,

$\begin{aligned} x^{3}-8 &=0 \\ x^{3} &=8 \\ x &=\sqrt[3]{8} \\ x &=2 \end{aligned}$

Як бачите, це призводить до одного рішення, справжнього кореня куба. Має бути два інших; спробуємо їх знайти.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Знайдіть набір всіх коренів:$f(x)=x^{3}-8$.

Рішення

Зверніть увагу, що вираз$x^{3}-8$ є різницею кубиків і нагадайте, що$a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)$. Ось$a=x$$b=2$ і ми можемо написати

$\begin{aligned} x^{3}-8 &=0 \\(x-2)\left(x^{2}+2 x+4\right) &=0 \end{aligned}$

Далі застосуємо властивість нульового добутку і встановлюємо кожен коефіцієнт рівним нулю. Після встановлення коефіцієнтів, рівних нулю, ми можемо вирішити отримане рівняння відповідними методами.

$\begin {array}{l r}{ x-2=0}&{ \:\text{or}\quad\:x^{2}+2x+4=0}\\ {x=2}&{\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(2) \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-2 \pm \sqrt{-12}}{2} \\ &=\frac{-2 \pm 2 i \sqrt{3}}{2} \\ &=-1 \pm i \sqrt{3} \end{aligned}} \end{array}$

Використовуючи цей метод, ми змогли отримати сукупність всіх трьох коренів$\{2,-1 \pm i \sqrt{3}\}$, одного реального і двох складних.

Відповідь

$\{2,-1 \pm i \sqrt{3}\}$

Іноді коріння функції будуть виникати кілька разів. Наприклад,$g (x) = (x − 2)^{3}$ має ступінь три, де коріння можна знайти наступним чином:

$(x-2)^{3}=0$
$(x-2)(x-2)(x-2)=0$

$\begin{array}{c}{x-2=0 \text { or } x-2=0 \text { or } x-2=0} \\ {\quad\quad x=2\quad\quad\quad x=2 \quad\quad\quad x=2}\end{array}$

Незважаючи на те$g$, що ступінь$3$ є тільки один справжній корінь$\{2\}$; це відбувається$3$ раз.

Ключові винос

• Квадратична формула може вирішити будь-яке квадратне рівняння. Однак іноді це не найефективніший метод.
• Якщо квадратне рівняння може бути вирішено факторингом або шляхом вилучення квадратних коренів, вам слід скористатися цим методом.
• Іноді ми можемо перетворити рівняння в рівняння, які є квадратичними за формою, зробивши відповідну$u$ -заміщення. Після вирішення еквівалентного рівняння назад підставляємо і вирішуємо для вихідної змінної.
• Підраховуючи кратні і складні корені, фундаментальна теорема алгебри гарантує стільки коренів, скільки ступінь поліноміального рівняння з однією змінною.

Вправа$\PageIndex{2}$

Вирішити

1. $x^{2}-9 x=0$
2. $x^{2}+10 x=0$
3. $15 x^{2}+6 x=0$
4. $36 x^{2}-18 x=0$
5. $x^{2}-90=0$
6. $x^{2}+48=0$
7. $2 x^{2}+1=0$
8. $7 x^{2}-1=0$
9. $6 x^{2}-11 x+4=0$
10. $9 x^{2}+12 x-5=0$
11. $x^{2}+x+6=0$
12. $x^{2}+2 x+8=0$
13. $4 t^{2}+28 t+49=0$
14. $25 t^{2}-20 t+4=0$
15. $u^{2}-4 u-1=0$
16. $u^{2}-2 u-11=0$
17. $2(x+2)^{2}=11+4 x-2 x^{2}$
18. $(2 x+1)(x-3)+2 x^{2}=3(x-1)$
19. $(3 x+2)^{2}=6(2 x+1)$
20. $(2 x-3)^{2}+5 x^{2}=4(2-3 x)$
21. $4(3 x-1)^{2}-5=0$
22. $9(2 x+3)^{2}-2=0$

Відповідь

1. $0,9$

3. $-\frac{2}{5}, 0$

5. $\pm 3 \sqrt{10}$

7. $\pm \frac{\sqrt{2}}{2} i$

9. $\frac{1}{2}, \frac{4}{3}$

11. $-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{23}}{2} i$

13. $-\frac{7}{2}$

15. $2\pm \sqrt{5}$

17. $-\frac{3}{2}, \frac{1}{2}$

19. $\pm \frac{\sqrt{2}}{3}$

21. $\frac{2 \pm \sqrt{5}}{6}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Знайти всі рішення.

1. $x^{4}+x^{2}-72=0$
2. $x^{4}-17 x^{2}-18=0$
3. $x^{4}-13 x^{2}+36=0$
4. $4 x^{4}-17 x^{2}+4=0$
5. $x+2 \sqrt{x}-3=0$
6. $x-\sqrt{x}-2=0$
7. $x-5 \sqrt{x}+6=0$
8. $x-6 \sqrt{x}+5=0$
9. $x^{2 / 3}+5 x^{1 / 3}+6=0$
10. $x^{2 / 3}-2 x^{1 / 3}-35=0$
11. $4 x^{2 / 3}-4 x^{1 / 3}+1=0$
12. $3 x^{2 / 3}-2 x^{1 / 3}-1=0$
13. $5 x^{-2}+9 x^{-1}-2=0$
14. $3 x^{-2}+8 x^{-1}-3=0$
15. $8 x^{-2}+14 x^{-1}-15=0$
16. $9 x^{-2}-24 x^{-1}+16=0$
17. $\left(\frac{x-3}{x}\right)^{2}-2\left(\frac{x-3}{x}\right)-24=0$
18. $\left(\frac{2 x+1}{x}\right)^{2}+9\left(\frac{2 x+1}{x}\right)-36=0$
19. $2\left(\frac{x}{x+1}\right)^{2}-5\left(\frac{x}{x+1}\right)-3=0$
20. $3\left(\frac{x}{3 x-1}\right)^{2}+13\left(\frac{x}{3 x-1}\right)-10=0$
21. $4 y^{-2}-9=0$
22. $16 y^{-2}+4 y^{-1}=0$
23. $30 y^{2 / 3}-15 y^{1 / 3}=0$
24. $y^{2 / 3}-9=0$
25. $81 y^{4}-1=0$
26. $5\left(\frac{1}{x+2}\right)^{2}-3\left(\frac{1}{x+2}\right)-2=0$
27. $12\left(\frac{x}{2 x-3}\right)^{2}-11\left(\frac{x}{2 x-3}\right)+2=0$
28. $10 x^{-2}-19 x^{-1}-2=0$
29. $x^{1 / 2}-3 x^{1 / 4}+2=0$
30. $x+5 \sqrt{x}-50=0$
31. $8 x^{2 / 3}+7 x^{1 / 3}-1=0$
32. $x^{4 / 3}-13 x^{2 / 3}+36=0$
33. $y^{4}-14 y^{2}+46=0$
34. $x^{4 / 3}-2 x^{2 / 3}+1=0$
35. $2 y^{-2}-y^{-1}-1=0$
36. $2 x^{-2 / 3}-3 x^{-1 / 3}-2=0$
37. $4 x^{-1}-17 x^{-1 / 2}+4=0$
38. $3 x^{-1}-8 x^{-1 / 2}+4=0$
39. $2 x^{1 / 3}-3 x^{1 / 6}+1=0$
40. $x^{1 / 3}-x^{1 / 6}-2=0$

Відповідь

1. $\pm 2 \sqrt{2}, \pm 3 i$

3. $\pm 2, \pm 3$

5. $1$

7. $4,9$

9. $-27, -8$

11. $\frac{1}{8}$

13. $-\frac{1}{2}, 5$

15. $-\frac{2}{5}, \frac{4}{3}$

17. $\pm \frac{3}{5}$

19. $-\frac{3}{2},-\frac{1}{3}$

21. $\pm \frac{2}{3}$

23. $0, \frac{1}{8}$

25. $\pm \frac{1}{3}, \pm \frac{i}{3}$

27. $-\frac{3}{2}, 6$

29. $1, 16$

31. $-1, \frac{1}{512}$

33. $\pm \sqrt{7-\sqrt{3}}, \pm \sqrt{7+\sqrt{3}}$

35. $-2,1$

37. $\frac{1}{16}, 16$

39. $\frac{1}{64}, 1$

Вправа$\PageIndex{4}$

Знайти всі рішення. Округляйте свої відповіді до найближчих сотих.

1. $x^{4}-6 x^{2}+7=0$
2. $x^{4}-6 x^{2}+6=0$
3. $x^{4}-8 x^{2}+14=0$
4. $x^{4}-12 x^{2}+31=0$
5. $4 x^{4}-16 x^{2}+13=0$
6. $9 x^{4}-30 x^{2}+1=0$

Відповідь

1. $\pm 1.26, \pm 2.10$

3. $\pm 1.61, \pm 2.33$

5. $\pm 1.06, \pm 1.69$

Вправа$\PageIndex{5}$

Знайдіть набір всіх коренів.

1. $f(x)=x^{3}-1$
2. $g(x)=x^{3}+1$
3. $f(x)=x^{3}-27$
4. $g(x)=x^{4}-16$
5. $h(x)=x^{4}-1$
6. $h(x)=x^{6}-1$
7. $f(x)=(2 x-1)^{3}$
8. $g(x)=x^{2}(x-4)^{2}$
9. $f(x)=x^{3}-q^{3}, q>0$
10. $f(x)=x^{3}+q^{3}, q>0$

Відповідь

1. $\left\{1,-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i\right\}$

3. $\left\{3,-\frac{3}{2} \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2} i\right\}$

5. $\{\pm 1, \pm i\}$

7. $\left\{\frac{1}{2}\right\}$

9. $\left\{q,-\frac{q}{2} \pm \frac{q \sqrt{3}}{2} i\right\}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Знайти всі рішення.

1. $x^{6}+7 x^{3}-8=0$
2. $x^{6}-7 x^{3}-8=0$
3. $x^{6}+28 x^{3}+27=0$
4. $x^{6}+16 x^{3}+64=0$
5. $\left|x^{2}+2 x-5\right|=1$
6. $\left|x^{2}-2 x-3\right|=3$
7. $\left|2 x^{2}-5\right|=4$
8. $\left|3 x^{2}-9 x\right|=6$

Відповідь

1. $-2,1,1 \pm i \sqrt{3},-\frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$

3. $-3,-1, \frac{3}{2} \pm \frac{3 \sqrt{3}}{2} i, \frac{1}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} i$

5. $-1 \pm \sqrt{7},-1 \pm \sqrt{5}$

7. $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}, \pm \frac{3 \sqrt{2}}{2}$

Вправа$\PageIndex{7}$

Знайти квадратичну функцію з цілими коефіцієнтами та заданою множиною коренів. (Підказка: якщо$r_{1}$ і$r_{2}$ є корінням, то$\left(x-r_{1}\right)\left(x-r_{2}\right)=0$.)

1. $\{\pm 3 i\}$
2. $\{\pm i \sqrt{5}\}$
3. $\{\pm \sqrt{3}\}$
4. $\{\pm 2 \sqrt{6}\}$
5. $\{1 \pm \sqrt{3}\}$
6. $\{2 \pm 3 \sqrt{2}\}$
7. $\{1 \pm 6 i\}$
8. $\{2 \pm 3 i\}$

Відповідь

1. $f(x)=x^{2}+9$

3. $f(x)=x^{2}-3$

5. $f(x)=x^{2}-2 x-2$

7. $f(x)=x^{2}-2 x+37$

Вправа$\PageIndex{8}$

1. На записній карті випишіть свою стратегію вирішення квадратного рівняння. Поділіться своєю стратегією на дошці обговорень.
2. Складіть власне рівняння, яке має квадратичну форму. Поділіться цим і рішенням на дошці обговорень

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁷ Рівняння виду,$au^{2} + bu + c = 0$ де$a, b$ і$c$ є дійсними числами, а u являє собою алгебраїчний вираз.

⁸ Техніка в алгебрі з використанням заміщення для перетворення рівнянь у знайомі форми.

⁹ Якщо підраховуються множинні корені і складні корені, то кожен многочлен з однією змінною матиме стільки коренів, скільки його ступінь.