6.2: Квадратична формула

Цілі навчання

• Розв'яжіть квадратні рівняння, використовуючи квадратичну формулу.
• Використовуйте детермінант для визначення кількості і типу розв'язків квадратичної формули.

Квадратична формула

У цьому розділі ми розробимо формулу, яка дає розв'язки будь-якого квадратного рівняння в стандартній формі. Для цього починаємо з загального квадратного рівняння в стандартному вигляді і вирішуємо для,$x$ заповнивши квадрат. Тут$a, b$ і$c$ знаходяться дійсні числа і$a ≠ 0$:

$\begin{aligned}a x^{2}+b x+c&=0\quad\quad\color{Cerulean}{Standard\:form\:of\:a\:quadratic\:equation.} \\\frac{a x^{2}+b x+c}{\color{Cerulean}{a}}&\color{black}{=}\frac{0}{\color{Cerulean}{a}}\quad\:\:\color{Cerulean}{Divde\:both\:sides\:by\:a.} \\ x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{c}{a}&=0\quad\quad\color{Cerulean}{Subtract\:\frac{c}{a}\:from\:both\:sides.}\\ x^{2}+\frac{b}{a} x&=-\frac{c}{a}\end{aligned}$

Визначте константу, яка завершує квадрат: візьміть коефіцієнт$x$, ділимо його на 2, а потім квадратично.

$$\left(\frac{b / a}{2}\right)^{2}=\left(\frac{b}{2 a}\right)^{2}=\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\nonumber$$

Додайте це до обох сторін рівняння, щоб завершити квадрат, а потім множник.

$\begin{aligned} x^{2}+\frac{b}{a} x+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} &=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\\left(x+\frac{b}{2 a}\right)\left(x+\frac{b}{2 a}\right) &=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2} &=-\frac{4 a c}{4 a^{2}}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}} \\\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2} &=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} \end{aligned}$

Вирішити шляхом вилучення коренів.

$\begin{aligned}\left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2} &=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} \\ x+\frac{b}{2 a} &=\pm \sqrt{\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}}} \\ x+\frac{b}{2 a} &=\pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ x &=-\frac{b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \end{aligned}$

Ця деривація дає нам формулу, яка вирішує будь-яке квадратне рівняння в стандартній формі. Враховуючи$ax^{2} + bx + c = 0$, де$a, b$, і$c$ є дійсними числами і$a ≠ 0$, розв'язки можна обчислити за квадратичною формулою ⁵:

$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \label{quad}$$

Приклад$\PageIndex{1}$:

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:$2 x^{2}-7 x-15=0$

Рішення

Почніть з визначення коефіцієнтів кожного члена:$a, b$, і$c$.

$a=2 \quad b=-7 \quad c=-15$

Підставте ці значення в квадратичну формулу (Equation\ ref {quad}), а потім спростіть.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-7}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-7}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-15}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{2}\color{black}{)}} \\ &=\frac{7 \pm \sqrt{49+120}}{4} \\ &=\frac{7 \pm \sqrt{169}}{4} \\ &=\frac{7 \pm 13}{4} \end{aligned}$

Розділіть «плюс або мінус» на два рівняння і спростіть далі.

$x=\frac{7-13}{4}$або$x=\frac{7+13}{4}$
$x=\frac{-6}{4} \quad x=\frac{20}{4}$
$x=-\frac{3}{2} \quad x=5$

Відповідь:

Рішення є$-\frac{3}{2}$ і$5$.

Попередній приклад можна вирішити факторингом наступним чином:

$2 x^{2}-7 x-15=0$
$(2 x+3)(x-5)=0$

$\begin{aligned} 2 x+3 &=0 \quad \text { or } x-5=0 \\ 2 x &=-3 \quad x=5 \\ x &=-\frac{3}{2} \end{aligned}$

Звичайно, якщо квадратичні коефіцієнти вираження, то краще за все вирішувати рівняння шляхом факторингу. Однак не всі квадратичні многочлени так легко чинять. Квадратична формула (Equation\ ref {quad}) надає нам засіб для розв'язання всіх квадратних рівнянь.

Приклад$\PageIndex{2}$:

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:$3 x^{2}+6 x-2=0$.

Рішення

Почніть з ідентифікації$a,b$, і$c$.

$a=3 \quad b=6 \quad c=-2$

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу (Equation\ ref {quad}).

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{6}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-2}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{3}\color{black}{)}} \\ &=\frac{-6 \pm \sqrt{36+24}}{6} \\ &=\frac{-6 \pm \sqrt{60}}{6} \end{aligned}$

На цьому етапі ми бачимо, що$60 = 4 \times 15$ і таким чином дріб можна спростити далі.

$\begin{aligned} &=\frac{-6 \pm \sqrt{60}}{6} \\ &=\frac{-6 \pm \sqrt{4 \times 15}}{6} \\ &=\frac{-6 \pm 2 \sqrt{15}}{6} \\ &=\frac{\cancel{2}(-3 \pm \sqrt{15})}{\cancel{6}} \\ &=\frac{-3 \pm \sqrt{15}}{3} \end{aligned}$

Важливо зазначити, що тут є два рішення:

$x=\frac{-3-\sqrt{15}}{3} \quad$або$\quad x=\frac{-3+\sqrt{15}}{3}$

Ми можемо використовувати$\pm$ для написання двох рішень у більш компактній формі.

Відповідь:

Рішення є$\frac{-3 \pm \sqrt{15}}{3}$.

Іноді терміни відсутні. Коли це так, використовуйте в$0$ якості коефіцієнта.

Приклад$\PageIndex{3}$:

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:$x^{2}-45=0$

Рішення

Це рівняння еквівалентно

$1 x^{2}+0 x-45=0$

А ми можемо використовувати такі коефіцієнти:

$a=1 \quad b=0 \quad c=-45$

Підставляємо ці значення в квадратичну формулу (Equation\ ref {quad}).

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{0}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-45}\color{black}{)}}}{2 (\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{0 \pm \sqrt{0+180}}{2} \\ &=\frac{\pm \sqrt{36}}{2} \\ &=\frac{\pm \sqrt{36} \sqrt{5}}{2} \\ &=\frac{\pm 6 \sqrt{5}}{2} \\ &=\pm 3 \sqrt{5} \end{aligned}$

Оскільки коефіцієнт$x$ був$0$, ми могли б вирішити це рівняння шляхом вилучення коренів. Як вправу вирішіть його за допомогою цього методу і переконайтеся, що результати однакові.

Відповідь:

Рішення є$\pm 3 \sqrt{5}$.

Часто розв'язки квадратних рівнянь не є реальними.

Приклад$\PageIndex{4}$:

Вирішіть за допомогою квадратичної формули:$x^{2}-4 x+29=0$.

Рішення

Почніть з ідентифікації$a,b$, і$c$. Тут

$a=1 \quad b=-4 \quad c=29$

Підставте ці значення в квадратичну формулу (Equation\ ref {quad}), а потім спростіть.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-4}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{29}\color{black}{)}}}{2 (\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)}} \\ &=\frac{4 \pm \sqrt{16-116}}{2} \\ &=\frac{4 \pm \sqrt{-100}}{2} \quad\quad\color{Cerulean}{Negative\:radicand} \\ &=\frac{4 \pm 10 i}{2} \quad\quad\quad\color{Cerulean}{Two\:complex\:solutions}\\ &=\frac{4}{2} \pm \frac{10 i}{2} \\ &=2 \pm 5 i \end{aligned}$

Перевірте ці розв'язки, підставивши їх у вихідне рівняння.

Таблиця$\PageIndex{1}$

Перевірити$x=2-5 i$	Перевірити$x=2+5 i$
$\begin{aligned} x^{2}-4 x+29 &=0 \\(\color{OliveGreen}{2-5 i}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2-5 i}\color{black}{)}+29 &=0 \\ 4-20 i+25 i^{2}-8+20 i+29 &=0 \\ 25 i^{2}+25 &=0 \\ 25(-1)+25 &=0 \\-25+25 &=0 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$	$\begin{aligned} x^{2}-4 x+29 &=0 \\(\color{OliveGreen}{2+5 i}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{2+5 i}\color{black}{)}+29 &=0 \\ 4+20 i+25 i^{2}-8-20 i+29 &=0 \\ 25 i^{2}+25 &=0 \\ 25(-1)+25 &=0 \\-25+25 &=0 \:\:\color{Cerulean}{✓} \end{aligned}$

Відповідь:

Рішення 2$\pm 5 i$.

Рівняння може бути не дано в стандартній формі. Загальні кроки використання квадратичної формули викладені в наступному прикладі.

Приклад$\PageIndex{5}$:

Вирішити:$(5 x+1)(x-1)=x(x+1)$

Рішення

Крок 1: Напишіть квадратне рівняння в стандартній формі, з нулем на одній стороні знака рівності.

$\begin{aligned}(5 x+1)(x-1) &=x(x+1) \\ 5 x^{2}-5 x+x-1 &=x^{2}+x \\ 5 x^{2}-4 x-1 &=x^{2}+x \\ 4 x^{2}-5 x-1 &=0 \end{aligned}$

Крок 2: Визначте$a, b$ і$c$ для використання в квадратичній формулі (Equation\ ref {quad}). Тут

$a=4 \quad b=-5 \quad c=-1$

Крок 3: Підставте відповідні значення в квадратичну формулу (Equation\ ref {quad}), а потім спростіть.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)} \pm \sqrt{(\color{OliveGreen}{-5}\color{black}{)}^{2}-4(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}(\color{OliveGreen}{-1}\color{black}{)}}}{2(\color{OliveGreen}{4}\color{black}{)}} \\ &=\frac{5 \pm \sqrt{25+16}}{8} \\ &=\frac{5 \pm \sqrt{41}}{8} \end{aligned}$

Відповідь:

Рішення є$\frac{5 \pm \sqrt{41}}{8}$.

Вправа$\PageIndex{1}$

Вирішити:$(x+3)(x-5)=-19$

Відповідь

$1 \pm i \sqrt{3}$

www.youtube.com/В/Р78С_ККСУСОЙ

Дискримінант

Якщо задано квадратне рівняння в стандартному вигляді$ax^{2} + bx + c = 0$, де$a, b$, і$c$ є дійсними числами і$a ≠ 0$, то розв'язки можна обчислити за квадратичною формулою:

$$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \label{discriminant}$$

Як ми бачили, рішення можуть бути раціональними, нераціональними або складними. Число і тип розв'язків ми можемо визначити, вивчивши дискримінант ⁶, вираз всередині радикала,$b^{2} − 4ac$. Якщо значення цього виразу від'ємне, то рівняння має два складних рішення. Якщо дискримінант позитивний, то рівняння має два реальних розв'язку. А якщо дискримінант є$0$, то рівняння має одне реальне рішення, подвійний корінь.

Приклад$\PageIndex{6}$:

Визначаємо тип і кількість рішень:$2 x^{2}+x+3=0$

Рішення

Починаємо з виявлення$a, b$, і$c$. Тут

$a=2 \quad b=1 \quad c=3$

Підставити ці значення в дискримінантні (Equation\ ref {driminant}) і спростити.

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(1)^{2}-4(2)(3) \\ &=1-24 \\ &=-23 \end{aligned}$

Оскільки дискримінант негативний, робимо висновок, що реальних рішень немає. Вони складні.

Відповідь:

Комплексні рішення.

Якщо використовувати квадратичну формулу в попередньому прикладі, то виявимо, що негативний радиканд вводить уявну одиницю і нам залишається два складних рішення.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(\color{OliveGreen}{1}\color{black}{)} \pm \sqrt{\color{OliveGreen}{-23}}}{\color{black}{2(2)}} \\ &=\frac{-1 \pm i \sqrt{23}}{4} \\ &=-\frac{1}{4} \pm \frac{\sqrt{23}}{4} i \quad \color{Cerulean} { Two\: complex\: solutions } \end{aligned}$

Ірраціональні та комплексні розв'язки квадратних рівнянь завжди з'являються у спряжених парах.

Приклад$\PageIndex{7}$:

Визначаємо тип і кількість рішень:$6 x^{2}-5 x-1=0$.

Рішення

У цьому прикладі

$a=6 \quad b=-5 \quad c=-1$

Підставити ці значення в дискримінантні (Equation\ ref {driminant}) і спростити.

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(-5)^{2}-4(6)(-1) \\ &=25+24 \\ &=49 \end{aligned}$

Оскільки дискримінант позитивний, робимо висновок, що рівняння має два реальних розв'язку. Крім того, оскільки дискримінант є ідеальним квадратом, ми отримуємо два раціональних рішення.

Відповідь:

Два раціональних рішення

Оскільки дискримінант є ідеальним квадратом, ми могли б вирішити попереднє квадратне рівняння факторингом або за допомогою квадратичної формули.

Таблиця$\PageIndex{2}$

Вирішити факторингом:	Вирішіть за допомогою квадратичної формули:
$\begin{aligned} 6 x^{2}-5 x-1 &=0 \\(6 x+1)(x-1) &=0 \end{aligned}$ $\begin{array}{rl}{6 x+1} & {=0 \quad \text { or } x-1=0} \\ {6 x=-1} & {x=1} \\ {x=-\frac{1}{6}}\end{array}$	$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(-5) \pm \sqrt{\color{Cerulean}{49}}}{\color{black}{2(6)}} \\ &=\frac{5 \pm 7}{12} \end{aligned}$ $\begin{array}{l}{x=\frac{5-7}{12}} & {\text { or } x=\frac{5+7}{12}} \\ {x=\frac{-2}{12}} & \quad\:\:{x=\frac{12}{12}} \\ {x=-\frac{1}{6}} &\quad\:\: {x=1}\end{array}$

З огляду на особливу умову, де знаходиться дискримінант$0$, отримаємо лише один розчин, подвійний корінь.

Приклад$\PageIndex{8}$:

Визначаємо тип і кількість рішень:$25 x^{2}-20 x+4=0$.

Рішення

Тут$a=25, b=-20$, і$c=4$, і у нас є (через (Рівняння\ ref {дискримінант}))

$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(-20)^{2}-4(25)(4) \\ &=400-400 \\ &=0 \end{aligned}$

Оскільки дискримінант є$0$, то робимо висновок, що рівняння має тільки одне дійсне рішення, подвійний корінь.

Відповідь:

Одне раціональне рішення

Оскільки$0$ це ідеальний квадрат, ми можемо вирішити вищевказане рівняння шляхом факторингу.

$25 x^{2}-20 x+4=0$
$(5 x-2)(5 x-2)=0$

$5 x-2=0$або$5 x-2=0$
$5 x=2 \quad 5 x=2$
$x=\frac{2}{5} \quad x=\frac{2}{5}$

$\frac{2}{5}$Ось рішення, яке зустрічається двічі; це подвійний корінь.

Приклад$\PageIndex{9}$:

Визначаємо тип і кількість рішень:$x^{2}-2 x-4=0$.

Рішення

Ось$a=1, b=-2$, і$c=-4$, і у нас є

$$\begin{aligned} b^{2}-4 a c &=(-2)^{2}-4(1)(-4) \\ &=4+16 \\ &=20 \end{aligned}$$

Так як дискримінант позитивний, можна зробити висновок, що рівняння має два реальних розв'язку. Крім того, оскільки$20$ це не ідеальний квадрат, обидва рішення нераціональні.

Відповідь

Два нераціональних рішення.

Якщо використовувати квадратичну формулу в попередньому прикладі, то виявимо, що позитивний радиканд в квадратичній формулі призводить до двох дійсних розв'язків.

$\begin{aligned} x &=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a} \\ &=\frac{-(-2) \pm \sqrt{\color{OliveGreen}{20}}}{\color{black}{2(1)}} \quad\quad\color{Cerulean}{Positive\:discriminant}\\ &=\frac{2 \pm \sqrt{4 \times 5}}{2} \\ &=\frac{2 \pm 2 \sqrt{5}}{2} \\ &=\frac{\cancel{2}(1\pm\sqrt{5}}{\cancel{2}} \\ &=1 \pm \sqrt{5} \quad\quad\quad\quad\color{Cerulean}{Two\:irrational\:solutions}\end{aligned}$

Два реальних рішення - це$1-\sqrt{5}$ і$1+\sqrt{5}$. Зауважте, що ці рішення нераціональні; ми можемо наблизити значення за допомогою калькулятора.

$1-\sqrt{5} \approx-1.24$і$1+\sqrt{5} \approx 3.24$

Підсумовуючи, якщо задано будь-яке квадратне рівняння в стандартній формі$a x^{2}+b x+c=0$$a,b$, де, і$c$ є дійсними числами і$a \neq 0$, то маємо наступне:

• Позитивний дискримінант:$b^{2}-4 a c>0$ два реальних рішення
• Нульовий дискримінант:$b^{2}-4 a c=0$ одне реальне рішення
• Негативний дискримінант:$b^{2}-4 a c<0$ два комплексних рішення

Крім того, якщо дискримінант невід'ємний і досконалий квадрат, то розв'язки рівняння є раціональними; інакше вони нераціональні. Як ми побачимо, знання кількості та типу розв'язків достроково допомагає нам визначити, який метод найкращий для вирішення квадратного рівняння.

Вправа$\PageIndex{2}$

Визначаємо кількість і тип рішень:$2 x^{2}=x-2$.

Відповідь

Два складних рішення.

www.youtube.com/В/КМ05ХРГ-ВМ

Ключові виноси

• Ми можемо використовувати квадратичну формулу для вирішення будь-якого квадратного рівняння в стандартній формі.
• Для вирішення будь-якого квадратного рівняння спочатку перепишемо його в стандартний вигляд$ax^{2} + bx + c = 0$, підставимо відповідні коефіцієнти в квадратичну формулу$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$, а потім спрощуємо.
• Визначити кількість і тип розв'язків будь-якого квадратного рівняння в стандартній формі можна за допомогою дискримінанту,$b^{2} − 4ac$. Якщо значення цього виразу від'ємне, то рівняння має два складних рішення. Якщо дискримінант позитивний, то рівняння має два реальних розв'язку. А якщо дискримінант є$0$, то рівняння має одне реальне рішення, подвійний корінь.
• Ми можемо додатково класифікувати реальні розв'язки на раціональні або ірраціональні числа. Якщо дискримінант є ідеальним квадратом, коріння раціональні, а рівняння буде коефіцієнтом. Якщо дискримінант не є ідеальним квадратом, коріння нераціональні.

Вправа$\PageIndex{3}$

Визначте коефіцієнти$a, b$, і$c$, використані в квадратичній формулі. Чи не вирішуйте.

1. $x^{2}-x+3=0$
2. $5 x^{2}-2 x-8=0$
3. $4 x^{2}-9=0$
4. $x^{2}+3 x=0$
5. $-x^{2}+2 x-7=0$
6. $-2 x^{2}-5 x+2=0$
7. $p x^{2}-q x-1=0$
8. $p^{2} x^{2}-x+2 q=0$
9. $(x-5)^{2}=49$
10. $(2 x+1)^{2}=2 x-1$

Відповідь

1. $a=1 ; b=-1 ; c=3$

3. $a=4 ; b=0 ; c=-9$

5. $a=-1 ; b=2 ; c=-7$

7. $a=p, b=-q ; c=-1$

9. $a=1 ; b=-10 ; c=-24$

Вправа$\PageIndex{4}$

Вирішіть факторингом, а потім вирішуйте за допомогою квадратичної формули. Перевірте відповіді.

1. $x^{2}-6 x-16=0$
2. $x^{2}-3 x-18=0$
3. $2 x^{2}+7 x-4=0$
4. $3 x^{2}+5 x-2=0$
5. $4 y^{2}-9=0$
6. $9 y^{2}-25=0$
7. $5 t^{2}-6 t=0$
8. $t^{2}+6 t=0$
9. $-x^{2}+9 x-20=0$
10. $-2 x^{2}-3 x+5=0$
11. $16 y^{2}-24 y+9=0$
12. $4 y^{2}-20 y+25=0$

Відповідь

1. $-2,8$

3. $-4, \frac{1}{2}$

5. $\pm \frac{3}{2}$

7. $0, \frac{6}{5}$

9. $4,5$

11. $\frac{3}{4}$

Вправа$\PageIndex{5}$

Вирішіть шляхом вилучення коренів, а потім вирішуйте за допомогою квадратичної формули. Перевірте відповіді.

1. $x^{2}-18=0$
2. $x^{2}-12=0$
3. $x^{2}+12=0$
4. $x^{2}+20=0$
5. $3 x^{2}+2=0$
6. $5 x^{2}+3=0$
7. $(x+2)^{2}+9=0$
8. $(x-4)^{2}+1=0$
9. $(2 x+1)^{2}-2=0$
10. $(3 x+1)^{2}-5=0$

Відповідь

1. $\pm 3 \sqrt{2}$

3. $\pm 2 i \sqrt{3}$

5. $\pm \frac{i \sqrt{6}}{3}$

7. $-2 \pm 3 i$

9. $\frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Вирішіть за допомогою квадратичної формули.

1. $x^{2}-5 x+1=0$
2. $x^{2}-7 x+2=0$
3. $x^{2}+8 x+5=0$
4. $x^{2}-4 x+2=0$
5. $y^{2}-2 y+10=0$
6. $y^{2}-4 y+13=0$
7. $2 x^{2}-10 x-1=0$
8. $2 x^{2}-4 x-3=0$
9. $3 x^{2}-x+2=0$
10. $4 x^{2}-3 x+1=0$
11. $5 u^{2}-2 u+1=0$
12. $8 u^{2}-20 u+13=0$
13. $-y^{2}+16 y-62=0$
14. $-y^{2}+14 y-46=0$
15. $-2 t^{2}+4 t+3=0$
16. $-4 t^{2}+8 t+1=0$
17. $\frac{1}{2} y^{2}+5 y+\frac{3}{2}=0$
18. $3 y^{2}+\frac{1}{2} y-\frac{1}{3}=0$
19. $2 x^{2}-\frac{1}{2} x+\frac{1}{4}=0$
20. $3 x^{2}-\frac{2}{3} x+\frac{1}{3}=0$
21. $1.2 x^{2}-0.5 x-3.2=0$
22. $0.4 x^{2}+2.3 x+1.1=0$
23. $2.5 x^{2}-x+3.6=0$
24. $-0.8 x^{2}+2.2 x-6.1=0$
25. $-2 y^{2}=3(y-1)$
26. $3 y^{2}=5(2 y-1)$
27. $(t+1)^{2}=2 t+7$
28. $(2 t-1)^{2}=73-4 t$
29. $(x+5)(x-1)=2 x+1$
30. $(x+7)(x-2)=3(x+1)$
31. $2 x(x-1)=-1$
32. $x(2 x+5)=3 x-5$
33. $3 t(t-2)+4=0$
34. $5 t(t-1)=t-4$
35. $(2 x+3)^{2}=16 x+4$
36. $(2 y+5)^{2}-12(y+1)=0$

Відповідь

1. $\frac{5 \pm \sqrt{21}}{2}$

3. $-4 \pm \sqrt{11}$

5. $1\pm 3 i$

7. $\frac{5 \pm 3 \sqrt{3}}{2}$

9. $\frac{1}{6} \pm \frac{\sqrt{23}}{6} i$

11. $\frac{1}{5} \pm \frac{2}{5} i$

13. $8\pm \sqrt{2}$

15. $\frac{2 \pm \sqrt{10}}{2}$

17. $-5 \pm \sqrt{22}$

19. $\frac{1}{8} \pm \frac{\sqrt{7}}{8} i$

21. $x \approx-1.4$або$x \approx 1.9$

23. $x \approx 0.2 \pm 1.2 i$

25. $\frac{-3 \pm \sqrt{33}}{4}$

27. $\pm \sqrt{6}$

29. $-1 \pm \sqrt{7}$

31. $\frac{1}{2} \pm \frac{1}{2} i$

33. $1\pm \frac{\sqrt{3}}{3} i$

35. $\frac{1}{2} \pm i$

Вправа$\PageIndex{7}$

Припустімо$p$ і$q$ є ненульовими цілими числами і використовуйте квадратичну формулу для розв'язання$x$.

1. $p x^{2}+x+1=0$
2. $x^{2}+p x+1=0$
3. $x^{2}+x-p=0$
4. $x^{2}+p x+q=0$
5. $p^{2} x^{2}+2 p x+1=0$
6. $x^{2}-2 q x+q^{2}=0$

Відповідь

1. $x=\frac{-1 \pm \sqrt{1-4 p}}{2 p}$

3. $x=\frac{-1 \pm \sqrt{1+4 p}}{2}$

5. $x=-\frac{1}{p}$

Вправа$\PageIndex{8}$

Вирішіть за допомогою алгебри.

1. Висота в футах, досягнута бейсболом, кинутим вгору зі швидкістю$48$ футів в секунду від землі, задається$\(h(t)=-16 t^{2}+48 t$\), де$t$ представляє час у секундах після того, як м'яч кидається. В який час бейсбол досягає$24$ ніг? (Округлити до найближчої десятої частки секунди.)
2. Висота в ногах снаряда, запущеного вгору зі швидкістю$32$ ніг в секунду з висоти$64$ ніг, задається$\(h(t)=-16 t^{2}+32 t+64$\). В який час після запуску снаряд потрапив у землю? (Округлити до найближчої десятої частки секунди.)
3. Прибуток у доларах від запуску конвеєрної лінії, яка виробляє спеціальну форму щодня, дається$\(P(t)=-40 t^{2}+960 t-4,000$\) де$t$ представляє кількість годин роботи лінії. Визначте кількість годин, які повинна пропрацювати конвеєр, щоб отримати прибуток в $$1,760$ в день.
4. Виробнича компанія визначила, що щоденний дохід R в тисячах доларів дається$\(R(n)=12 n-0.6 n^{2}$\) де$n$ представляє кількість піддонів проданого продукту. Визначте кількість піддонів, які необхідно продати, щоб підтримувати доходи в$60$ тисячах доларів на добу.
5. Площа прямокутника -$10$ квадратні дюйми. Якщо довжина в$3$ дюймах більше, ніж в два рази більше ширини, то знайдіть розміри прямокутника. (Округлити до найближчої сотої частки дюйма.)
6. Площа трикутника -$2$ квадратні метри. Якщо цоколь на$2$ метри менше висоти, то знайдіть підставу і висоту. (Округлити до найближчої сотої частки метра.)
7. Щоб безпечно використовувати сходи, основу слід розміщувати приблизно$\frac{1}{4}$ на відстані довжини сходів від стіни. Якщо сходи$32$ -фут використовується безпечно, то наскільки високо до будівлі досягає верхня частина сходів? (Округлити до найближчої десятої частини фута.)
8. Довжина прямокутника в два рази більше ширини. Якщо діагональ прямокутника вимірює$10$ сантиметри, то знайдіть розміри прямокутника. (Округлити до найближчої десятої частки сантиметра.)
9. Припускаючи сухі дорожні умови та середній час реакції, безпечний гальмівний шлях у футах певного автомобіля задається тим,$d(x)=\frac{1}{20} x^{2}+x$ де$x$ представляє швидкість автомобіля в милі на годину. Визначте безпечну швидкість автомобіля, якщо ви очікуєте зупинки в$50$ ногах. (Округлити до найближчої милі на годину.)
10. Ширина прямокутного твердого тіла на$2.2$ сантиметри менше його довжини, а глибина вимірює$10$ сантиметри.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Визначте довжину і ширину, якщо загальний обсяг твердого тіла дорівнює$268.8$ кубічним сантиметрам.

11. Виконавчий проїхав$25$ милі в машині, а потім ще$30$ милі на вертольоті. Якщо вертоліт був$10$ миль на годину менше, ніж в два рази швидше автомобіля і загальна поїздка зайняла$1$ годину, то якою була середня швидкість автомобіля? (Округлити до найближчої милі на годину.)

12. Джо може намалювати типову кімнату$1.5$ за години менше часу, ніж Джеймс. Якщо Джо і Джеймс можуть малювати$2$ кімнати, що працюють разом в$8$ годинну зміну, то скільки часу потрібно Джеймсу, щоб намалювати одну кімнату? (Округлити до найближчої десятої частини години.)

Відповідь

1. $0.6$секунди і$2.4$ секунди

3. $12$годин

5. Довжина:$6.22$ дюйми; ширина;$1.61$ дюйми

7. $31.0$ноги

9. $23$миль на годину

11. $42$миль на годину

Вправа$\PageIndex{9}$

Обчисліть дискримінант і використовуйте його для визначення кількості і типу розв'язків. Чи не вирішуйте.

1. $x^{2}-x+1=0$
2. $x^{2}+2 x+3=0$
3. $x^{2}-2 x-3=0$
4. $x^{2}-5 x-5=0$
5. $3 x^{2}-1 x-2=0$
6. $3 x^{2}-1 x+2=0$
7. $9 y^{2}+2=0$
8. $9 y^{2}-2=0$
9. $2 x^{2}+3 x=0$
10. $4 x^{2}-5 x=0$
11. $\frac{1}{2} x^{2}-2 x+\frac{5}{2}=0$
12. $\frac{1}{2} x^{2}-x-\frac{1}{2}=0$
13. $-x^{2}-3 x+4=0$
14. $-x^{2}-5 x+3=0$
15. $25 t^{2}+30 t+9=0$
16. $9 t^{2}-12 t+4=0$

Відповідь

1. $-3$; два комплексних рішення

3. $16$; два раціональних рішення

5. $25$; два раціональних рішення

7. $−72$; два комплексних рішення

9. $9$; два раціональних рішення

11. $−1$; два комплексних рішення

13. $25$; два раціональних рішення

15. $0$; одне раціональне рішення

Вправа$\PageIndex{10}$

Знайдіть ненульове ціле число$p$ так, щоб наступні рівняння мали одне дійсне рішення. (Підказка: Якщо дискримінант дорівнює нулю, то буде одне реальне рішення.)

1. $p x^{2}-4 x-1=0$
2. $x^{2}-8 x+p=0$
3. $x^{2}+p x+25=0$
4. $x^{2}-2 x+p^{2}=0$

Відповідь

1. $p=-4$

3. $p=\pm 10$

Вправа$\PageIndex{11}$

1. Коли мова йде про квадратне рівняння в стандартній формі$ax^{2} + bx + c = 0$, чому це потрібно констатувати$a ≠ 0$? Що буде, якщо a дорівнює нулю?
2. Дослідити та обговорити історію квадратичної формули та розв'язків квадратних рівнянь.
3. Вирішіть$mx^{2} + nx + p = 0$ для$x$, заповнивши квадрат.

Відповідь

1. Відповідь може відрізнятися

3. Відповідь може відрізнятися

Виноски

⁵ Формула$x=\frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4 a c}}{2 a}$, яка дає розв'язки будь-якого квадратного рівняння в стандартному вигляді$ax^{2} + bx + c = 0$, де$a, b$, і$c$ є дійсними числами і$a ≠ 0$.

⁶ Вираз всередині радикала квадратичної формули,$b^{2} − 4ac$.