7.4: Спеціальні продукти Factor

Цілі навчання

До кінця цього розділу ви зможете:

• Фактор ідеальних квадратних триномів
• Факторні відмінності квадратів
• Факторні суми та відмінності кубів
• Виберіть метод для повного множника

Примітка

Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.

1. Спрощення:$(12 x)^{2}$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.2.22.
2. Multiply:$(m+4)^{2}$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.4.1.
3. Multiply:$(p-9)^{2}$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.4.4.
4. Multiply:$(k+3)(k-3)$
   Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.4.16.

Стратегія факторингу, яку ми розробили в останньому розділі, допоможе вам враховувати більшість біноміалів, триноміалів та поліномів з більш ніж трьома долями. Ми бачили, що деякі біноміали та триноми виникають із спеціальних продуктів - квадратних біноміалів та множення кон'югатів. Якщо ви навчитеся розпізнавати такі види поліномів, ви можете використовувати спеціальні шаблони продуктів, щоб набагато швидше їх враховувати.

Фактор Ідеальні квадратні триноми

Деякі триноми є ідеальними квадратами. Вони виникають в результаті множення біноміальних разів на себе. Ви можете квадратувати біном за допомогою FOIL, але використання шаблону біноміальних квадратів, який ви бачили в попередньому розділі, економить вам крок. Давайте розглянемо візерунок біноміальних квадратів шляхом квадратування біноміального за допомогою FOIL.

Перший член - квадрат першого члена двочлена, а останній - квадрат останнього. Середній термін вдвічі перевищує добуток двох членів біноміала.

$$\begin{array}{c}{(3 x)^{2}+2(3 x \cdot 4)+4^{2}} \\ {9 x^{2}+24 x+16}\end{array}$$

Триноміал$9 x^{2}+24+16$ називають досконалим квадратним тріноміалом. Він являє собою квадрат двочлена 3 х +4.

Ми повторимо шаблон біноміальних квадратів тут, щоб використовувати як посилання в факторингу.

БІНОМІАЛЬНІ КВАДРАТИ ВІЗЕРУНОК

Якщо a і b є дійсними числами,

$$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \qquad(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}$$

Коли ви квадратуєте біноміал, виріб є ідеальним квадратним тріноміалом. У цьому розділі ви вчитеся фактору - тепер ви почнете з ідеального квадратного триноміала і врахуєте його на прості множники.

Ви можете зарахувати цей тріноміал за допомогою методів, описаних в останньому розділі, оскільки він має форму$ax^{2}+bx+c$. Але якщо ви визнаєте, що перший і останній терміни - квадрати, а триноміал відповідає ідеальному шаблону квадратних триномів, ви заощадите собі багато роботи.

Ось візерунок - зворотна частина візерунка біноміальних квадратів.

ІДЕАЛЬНИЙ КВАДРАТНИЙ ВІЗЕРУНОК TRINOMIALS

Якщо a і b є дійсними числами,

$$a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} \qquad a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$$

Щоб скористатися цією схемою, ви повинні визнати, що даний триноміал підходить йому. Перевірте спочатку, щоб побачити, чи провідний коефіцієнт є ідеальним квадратом,$a^2$. Далі перевірте, що останній термін - ідеальний квадрат,$b^2$. Потім перевірте середній термін - це вдвічі більше продукту,$2ab$? Якщо все перевірить, можна легко написати фактори.

Вправа$\PageIndex{1}$: How to Factor Perfect Square Trinomials

Фактор:$9 x^{2}+12 x+4$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{2}$

Фактор:$4 x^{2}+12 x+9$

Відповідь

$(2 x+3)^{2}$

Вправа$\PageIndex{3}$

Фактор:$9 y^{2}+24 y+16$

Відповідь

$(3 y+4)^{2}$

Знак середнього члена визначає, який візерунок ми будемо використовувати. Коли середній термін негативний, ми використовуємо патерн$a^{2}-2 a b+b^{2}$, який чинники для$(a-b)^{2}$.

Кроки підсумовуються тут.

ФАКТОР ІДЕАЛЬНИХ КВАДРАТНИХ ТРИНОМЕЛІВ.

$\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}$

Ми будемо працювати зараз, де середній термін є негативним.

Вправа$\PageIndex{4}$

Фактор:$81 y^{2}-72 y+16$

Відповідь

Перший і останній члени - квадрати. Подивіться, чи відповідає середній термін візерунку ідеального квадратного трінома. Середній термін негативний, тому біноміальний квадрат буде$(a-b)^{2}$.

Перші та останні терміни ідеальні квадрати?
Перевірте середній термін.
Чи відповідає це$(a-b)^{2}$? Так.
Напишіть квадрат двочлена.
Перевірка шляхом множення.
$(9 y-4)^{2}$
$(9 y)^{2}-2 \cdot 9 y \cdot 4+4^{2}$
$81 y^{2}-72 y+16 \checkmark$

Вправа$\PageIndex{5}$

Фактор:$64 y^{2}-80 y+25$

Відповідь

$(8 y-5)^{2}$

Вправа$\PageIndex{6}$

Фактор:$16 z^{2}-72 z+81$

Відповідь

$(4 z-9)^{2}$

Наступним прикладом буде ідеальний квадратний тріноміал з двома змінними.

Вправа$\PageIndex{7}$

Фактор:$36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}$

Відповідь

Перевірте кожен термін, щоб перевірити шаблон.
Фактор.
Перевірка шляхом множення.
$(6 x+7 y)^{2}$
$(6 x)^{2}+2 \cdot 6 x \cdot 7 y+(7 y)^{2}$
$36 x^{2}+84 x y+49 y^{2} \checkmark$

Вправа$\PageIndex{8}$

Фактор:$49 x^{2}+84 x y+36 y^{2}$

Відповідь

$(7 x+6 y)^{2}$

Вправа$\PageIndex{9}$

Фактор:$64 m^{2}+112 m n+49 n^{2}$

Відповідь

$(8 m+7 n)^{2}$

Вправа$\PageIndex{10}$

Фактор:$9 x^{2}+50 x+25$

Відповідь

$\begin{array}{lc} & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \text { Are the first and last terms perfect squares? } & (3 x)^{2} \qquad\quad (5)^2 \\ \text { Check the middle term-is it 2ab? } & (3 x)^{2} \searrow_{2(3 x)(5) }\swarrow (5)^{2}. \\ & \tiny{30x} \\ \text { No! } 30 x \neq 50 x & \text { This does not fit the pattern! } \\ \text { Factor using the "ac" method. } & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \begin{array}{c}{\text { ac }} \\ {\text { Notice: } 9 \cdot 25 \text { and } 5 \cdot 45=225} \\ {225}\end{array} \\ {\text { Split the middle term. }} & \begin{array}{c}{9 x^{2}+5 x+45 x+25} \\ {x(9 x+5)+5(9 x+5)} \\ {(9 x+5)(x+5)}\end{array}\\ {\text { Factor by grouping. }} \\ \text { Check. } & \\ \begin{array}{l}{(9 x+5)(x+5)} \\ {9 x^{2}+45 x+5 x+25} \\ {9 x^{2}+50 x+25}\checkmark\end{array}\end{array}$

Вправа$\PageIndex{11}$

Фактор:$16 r^{2}+30 r s+9 s^{2}$

Відповідь

$(8 r+3 s)(2 r+3 s)$

Вправа$\PageIndex{12}$

Фактор:$9 u^{2}+87 u+100$

Відповідь

$(3 u+4)(3 u+25)$

Пам'ятаєте перший крок у нашій Стратегії факторингу поліномів? Це було запитати «чи є найбільший загальний фактор?» і, якщо було, ви враховуєте GCF, перш ніж йти далі. Ідеальні квадратні триноми можуть мати GCF у всіх трьох термінів, і це повинно бути враховано в першу чергу. І, іноді, як тільки GCF був врахований, ви визнаєте ідеальний квадратний триноміал.

Вправа$\PageIndex{13}$

Фактор:$36 x^{2} y-48 x y+16 y$

Відповідь

	$36 x^{2} y-48 x y+16 y$
Чи є GCF? Так, 4 у, так що фактор його.	4$y\left(9 x^{2}-12 x+4\right)$
Це ідеальний квадратний триноміал?
Перевірте викрійку.
Фактор.	4$y(3 x-2)^{2}$
Пам'ятайте: зберігайте коефіцієнт 4 y в кінцевому продукті.
Перевірка.
$4y(3 x-2)^{2}$
$4y[(3 x)^{2}-2 \cdot 3 x \cdot 2+2^{2}]$
$4 y(9 x)^{2}-12 x+4$
$36 x^{2} y-48 x y+16 y\checkmark$

Вправа$\PageIndex{14}$

Фактор:$8 x^{2} y-24 x y+18 y$

Відповідь

2$y(2 x-3)^{2}$

Вправа$\PageIndex{15}$

Фактор:$27 p^{2} q+90 p q+75 q$

Відповідь

3$q(3 p+5)^{2}$

Факторні відмінності квадратів

Іншим спеціальним продуктом, який ви бачили в попередньому, був візерунок «Продукт кон'югатів». Ви використовували це, щоб помножити два двочлени, які були сполученими. Ось приклад:

$$\begin{array}{c}{(3 x-4)(3 x+4)} \\ {9 x^{2}-16}\end{array}$$

Пам'ятайте, при множенні сполучених двочленів середні добутки додають до 0. Все, що у вас залишилося, це біном, різниця квадратів.

Множення кон'югатів - єдиний спосіб отримати біном з добутку двох біноміалів.

ВИРІБ З КОН'ЮГАТІВ ВІЗЕРУНКОМ

Якщо a і b є дійсними числами

$$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$$

Твір називається різницею квадратів.

Для фактора ми будемо використовувати візерунок виробу «у зворотному напрямку», щоб врахувати різницю квадратів. Різниця квадратів коефіцієнтів на добуток кон'югатів.

РІЗНИЦЯ КВАДРАТІВ ВІЗЕРУНКОМ

Якщо a і b є дійсними числами,

Пам'ятайте, «різниця» відноситься до віднімання. Отже, щоб використовувати цей візерунок, ви повинні переконатися, що у вас є біноміал, в якому віднімаються два квадрати.

Вправа$\PageIndex{16}$: How to Factor Differences of Squares

Фактор:$x^{2}-4$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{17}$

Фактор:$h^{2}-81$

Відповідь

$(h-9)(h+9)$

Вправа$\PageIndex{18}$

Фактор:$k^{2}-121$

Відповідь

$(k-11)(k+11)$

ФАКТОРНІ ВІДМІННОСТІ КВАДРАТІВ.

$\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}$

Важливо пам'ятати, що суми квадратів не враховуються на добуток біноміалів. Не існує біноміальних факторів, які множаться разом, щоб отримати суму квадратів. Після видалення будь-якого GCF вираз$a^{2}+b^{2}$ є простим!

Не забувайте, що 1 - ідеальний квадрат. Ми повинні використовувати цей факт в наступному прикладі.

Вправа$\PageIndex{19}$

Фактор:$64 y^{2}-1$

Відповідь

Це різниця? Так.
Перші та останні терміни ідеальні квадрати?
Так - запишіть їх у вигляді квадратів.
Фактор як добуток кон'югатів.
Перевірка шляхом множення.
$(8 y-1)(8 y+1)$
$64 y^{2}-1 \checkmark$

Вправа$\PageIndex{20}$

Фактор:$m^{2}-1$

Відповідь

$(m-1)(m+1)$

Вправа$\PageIndex{21}$

Фактор:$81 y^{2}-1$

Відповідь

$(9 y-1)(9 y+1)$

Вправа$\PageIndex{22}$

Фактор:$121 x^{2}-49 y^{2}$

Відповідь

$\begin{array}{lc} & 121 x^{2}-49 y^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (11 x)^{2}-(7 y)^{2} \\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (11 x-7 y)(11 x+7 y) \\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(11 x-7 y)(11 x+7 y)} \\ {121 x^{2}-49 y^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{23}$

Фактор:$196 m^{2}-25 n^{2}$

Відповідь

$(16 m-5 n)(16 m+5 n)$

Вправа$\PageIndex{24}$

Фактор:$144 p^{2}-9 q^{2}$

Відповідь

$(12 p-3 q)(12 p+3 q)$

Біноміал у наступному прикладі може виглядати «назад», але це все одно різниця квадратів.

Вправа$\PageIndex{25}$

Фактор:$100-h^{2}$

Відповідь

$\begin{array}{lc} & 100-h^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (10)^{2}-(h)^{2}\\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (10-h)(10+h)\\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(10-h)(10+h)} \\ {100-h^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}$

Будьте обережні, щоб не переписати оригінальний вираз як$h^{2}-100$.

Фактор$h^{2}-100$ на свій розсуд, а потім помітити, чим відрізняється результат від$(10-h)(10+h)$.

Вправа$\PageIndex{26}$

Фактор:$144-x^{2}$

Відповідь

$(12-x)(12+x)$

Вправа$\PageIndex{27}$

Фактор:$169-p^{2}$

Відповідь

$(13-p)(13+p)$

Щоб повністю врахувати біноміальне значення в наступному прикладі, ми розглянемо різницю квадратів двічі!

Вправа$\PageIndex{28}$

Фактор:$x^{4}-y^{4}$

Відповідь

$\begin{array}{lc}\text { Is this a difference of squares? Yes. } & {x^{4}-y^{4}} \\\text { Factor it as the product of conjugates. } & {\left(x^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}} \\ \text { Notice the first binomial is also a difference of squares! } & {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { Factor it as the product of conjugates. The last }& {(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { factor, the sum of squares, cannot be factored. } \\ \\ \text { Check by multiplying. } & \\\begin{array}{l}{(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {[(x-y)(x+y)]\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {x^{4}-y^{4}} \checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{29}$

Фактор:$a^{4}-b^{4}$

Відповідь

$\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)(a-b)$

Вправа$\PageIndex{30}$

Фактор:$x^{4}-16$

Відповідь

$\left(x^{2}+4\right)(x+2)(x-2)$

Як завжди, спочатку слід шукати загальний фактор, коли у вас є вираз для фактора. Іноді загальний фактор може «замаскувати» різницю квадратів, і ви не розпізнаєте ідеальні квадрати, поки не вважатимете GCF.

Вправа$\PageIndex{31}$

Фактор:$8 x^{2} y-98 y$

Відповідь

$\begin{array}{lc}& 8 x^{2} y-98 y \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 2 y-\text { factor it out! } & 2 y\left(4 x^{2}-49\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? Yes. } & 2 y\left((2 x)^{2}-(7)^{2}\right) \\ \text { Factor as a product of conjugates. } & 2 y(2 x-7)(2 x+7) \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{2 y(2 x-7)(2 x+7)} \\ {2 y[(2 x-7)(2 x+7)]} \\ {2 y\left(4 x^{2}-49\right)} \\ {8 x^{2} y-98 y} \checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{31}$

Фактор:$7 x y^{2}-175 x$

Відповідь

7$x(y-5)(y+5)$

Вправа$\PageIndex{32}$

Фактор:$45 a^{2} b-80 b$

Відповідь

5$b(3 a-4)(3 a+4)$

Вправа$\PageIndex{33}$

Фактор:$6 x^{2}+96$

Відповідь

$\begin{array}{lc}&6 x^{2}+96 \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 6-\text { factor it out! } & 6\left(x^{2}+16\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? No, it } & \\ \text { is a sum of squares. Sums of squares do not factor! } & \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{6\left(x^{2}+16\right)} \\ {6 x^{2}+96 }\checkmark \end{array} \end{array}$

Вправа$\PageIndex{34}$

Фактор:$8 a^{2}+200$

Відповідь

8$\left(a^{2}+25\right)$

Вправа$\PageIndex{35}$

Фактор:$36 y^{2}+81$

Відповідь

9$\left(4 y^{2}+9\right)$

Факторні суми та відмінності кубів

Існує ще один спеціальний шаблон факторингу, той, який ми не використовували, коли ми множили многочлени. Це шаблон для суми і різниці кубиків. Ми спочатку напишемо ці формули, а потім перевіримо їх множенням.

$$\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \end{aligned}$$

Перевіримо першу викрійку, а другу залишимо вам.

Розподілити.
Помножити.	$a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}$
Поєднуйте подібні терміни.	$a^{3}+b^{3}$

СУМА І РІЗНИЦЯ ШАБЛОНУ КУБІВ

$$\begin{array}{l}{a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)} \\ {a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)}\end{array}$$

Два візерунки виглядають дуже схожими, чи не так? Але зверніть увагу на ознаки в факторах. Знак біноміального фактора збігається зі знаком в початковому біном. А знак середнього члена триноміального фактора протилежний знаку в початковому біноміальному. Якщо ви розпізнаєте закономірність знаків, це може допомогти вам запам'ятати візерунки.

Триноміальний коефіцієнт у сумі та різниці кубиків не може бути врахований.

Це може бути дуже корисно, якщо ви навчитеся розпізнавати кубики цілих чисел від 1 до 10, так само, як ви навчилися розпізнавати квадрати. Ми перерахували куби цілих чисел від 1 до 10 на малюнку$\PageIndex{1}$.

Малюнок$\PageIndex{1}$

Вправа$\PageIndex{36}$: How to Factor the Sum or Difference of Cubes

Фактор:$x^{3}+64$

Відповідь

Вправа$\PageIndex{37}$

Фактор:$x^{3}+27$

Відповідь

$(x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right)$

Вправа$\PageIndex{38}$

Фактор:$y^{3}+8$

Відповідь

$(y+2)\left(y^{2}-2 y+4\right)$

МНОЖНИК НА СУМУ АБО РІЗНИЦЮ КУБІВ.

Для множення суми або різниці кубів:

1. Чи підходить біноміал до суми чи різниці кубиків?
   • Це сума чи різниця?
   • Перші та останні терміни ідеальні кубики?
2. Запишіть їх у вигляді кубиків.
3. Використовуйте або суму, або різницю кубиків.
4. Спрощення всередині дужок
5. Перевірте, множивши коефіцієнти.

Вправа$\PageIndex{39}$

Фактор:$: x^{3}-1000$

Відповідь

Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики.
Запишіть терміни у вигляді кубиків.
Використовуйте різниця кубиків візерунка.
Спростити.
Перевірка шляхом множення.

Вправа$\PageIndex{40}$

Фактор:$u^{3}-125$

Відповідь

$(u-5)\left(u^{2}+5 u+25\right)$

Вправа$\PageIndex{41}$

Фактор:$v^{3}-343$

Відповідь

$(v-7)\left(v^{2}+7 v+49\right)$

Будьте обережні, використовуйте правильні знаки в факторах суми і різниці кубів.

Вправа$\PageIndex{42}$

Фактор:$512-125 p^{3}$

Відповідь

Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики.
Запишіть терміни у вигляді кубиків.
Використовуйте різниця кубиків візерунка.
Спростити.
Перевірка шляхом множення.	Ми залишимо чек вам.

Вправа$\PageIndex{43}$

Фактор:$64-27 x^{3}$

Відповідь

$(4-3 x)\left(16+12 x+9 x^{2}\right)$

Вправа$\PageIndex{44}$

Фактор:$27-8 y^{3}$

Відповідь

$(3-2 y)\left(9+6 y+4 y^{2}\right)$

Вправа$\PageIndex{45}$

Фактор:$27 u^{3}-125 v^{3}$

Відповідь

Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики.
Запишіть терміни у вигляді кубиків.
Використовуйте різниця кубиків візерунка.
Спростити.
Перевірка шляхом множення.	Ми залишимо чек вам.

Вправа$\PageIndex{46}$

Фактор:$8 x^{3}-27 y^{3}$

Відповідь

$(2 x-3 y)\left(4 x^{2}+6 x y+9 y^{2}\right)$

Вправа$\PageIndex{47}$

Фактор:$1000 m^{3}-125 n^{3}$

Відповідь

$(10 m-5 n)\left(100 m^{2}+50 m n+25 n^{2}\right)$

У наступному прикладі ми спочатку враховуємо GCF. Тоді ми можемо розпізнати суму кубів.

Вправа$\PageIndex{48}$

Фактор:$5 m^{3}+40 n^{3}$

Відповідь

Фактор є загальним фактором.
Цей біноміал є сумою. Перший і останній терміни - ідеальні кубики.
Запишіть терміни у вигляді кубиків.
Використовуйте шаблон суми кубиків.
Спростити.

Перевірка. Щоб перевірити, вам може бути простіше спочатку помножити суму коефіцієнтів кубів, а потім помножити цей твір на 5. Ми залишимо множення для вас.

5$(m+2 n)\left(m^{2}-2 m n+4 n^{2}\right)$

Вправа$\PageIndex{49}$

Фактор:$500 p^{3}+4 q^{3}$

Відповідь

4$(5 p+q)\left(25 p^{2}-5 p q+q^{2}\right)$

Вправа$\PageIndex{50}$

Фактор:$432 c^{3}+686 d^{3}$

Відповідь

2$(6 c+7 d)\left(36 c^{2}-42 c d+49 d^{2}\right)$

Примітка

Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики з факторингом спеціальних продуктів.

• Сума різниці кубів
• Різниця факторингу кубів

Ключові поняття

• Фактор ідеальних квадратних триномів Див. Приклад. $\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}$
  
• Факторні відмінності квадратів Див. Приклад. $\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}$
  
• Сума коефіцієнтів та різниця кубів Фактор суми або різниці кубів: Див. Приклад.
  1. Чи підходить біноміал до суми чи різниці кубиків? Це сума чи різниця? Перші та останні терміни ідеальні кубики?
  2. Запишіть їх у вигляді кубиків.
  3. Використовуйте або суму, або різницю кубиків.
  4. Спрощення всередині дужок
  5. Перевірте, множивши коефіцієнти.

Глосарій

ідеальний квадратний візерунок trinomials

Якщо a і b є дійсними числами,

$$\begin{array}{cc} {a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}&{a^2−2ab+b^2=(a−b)^2}\\ \nonumber \end{array}$$

різниця квадратів візерунка

Якщо a і b є дійсними числами,

сума та різниця кубиків

$$\begin{array}{cc} {a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)}&{a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)}\\ \nonumber \end{array}$$