7.4: Спеціальні продукти Factor
- Page ID
- 58753
До кінця цього розділу ви зможете:
- Фактор ідеальних квадратних триномів
- Факторні відмінності квадратів
- Факторні суми та відмінності кубів
- Виберіть метод для повного множника
Перш ніж приступити до роботи, пройдіть цю вікторину про готовність.
- Спрощення:\((12 x)^{2}\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.2.22. - Multiply:\((m+4)^{2}\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.4.1. - Multiply:\((p-9)^{2}\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.4.4. - Multiply:\((k+3)(k-3)\)
Якщо ви пропустили цю проблему, перегляньте Вправу 6.4.16.
Стратегія факторингу, яку ми розробили в останньому розділі, допоможе вам враховувати більшість біноміалів, триноміалів та поліномів з більш ніж трьома долями. Ми бачили, що деякі біноміали та триноми виникають із спеціальних продуктів - квадратних біноміалів та множення кон'югатів. Якщо ви навчитеся розпізнавати такі види поліномів, ви можете використовувати спеціальні шаблони продуктів, щоб набагато швидше їх враховувати.
Фактор Ідеальні квадратні триноми
Деякі триноми є ідеальними квадратами. Вони виникають в результаті множення біноміальних разів на себе. Ви можете квадратувати біном за допомогою FOIL, але використання шаблону біноміальних квадратів, який ви бачили в попередньому розділі, економить вам крок. Давайте розглянемо візерунок біноміальних квадратів шляхом квадратування біноміального за допомогою FOIL.
Перший член - квадрат першого члена двочлена, а останній - квадрат останнього. Середній термін вдвічі перевищує добуток двох членів біноміала.
\[\begin{array}{c}{(3 x)^{2}+2(3 x \cdot 4)+4^{2}} \\ {9 x^{2}+24 x+16}\end{array}\]
Триноміал\(9 x^{2}+24+16\) називають досконалим квадратним тріноміалом. Він являє собою квадрат двочлена 3 х +4.
Ми повторимо шаблон біноміальних квадратів тут, щоб використовувати як посилання в факторингу.
Якщо a і b є дійсними числами,
\[(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2} \qquad(a-b)^{2}=a^{2}-2 a b+b^{2}\]
Коли ви квадратуєте біноміал, виріб є ідеальним квадратним тріноміалом. У цьому розділі ви вчитеся фактору - тепер ви почнете з ідеального квадратного триноміала і врахуєте його на прості множники.
Ви можете зарахувати цей тріноміал за допомогою методів, описаних в останньому розділі, оскільки він має форму\(ax^{2}+bx+c\). Але якщо ви визнаєте, що перший і останній терміни - квадрати, а триноміал відповідає ідеальному шаблону квадратних триномів, ви заощадите собі багато роботи.
Ось візерунок - зворотна частина візерунка біноміальних квадратів.
Якщо a і b є дійсними числами,
\[a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2} \qquad a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}\]
Щоб скористатися цією схемою, ви повинні визнати, що даний триноміал підходить йому. Перевірте спочатку, щоб побачити, чи провідний коефіцієнт є ідеальним квадратом,\(a^2\). Далі перевірте, що останній термін - ідеальний квадрат,\(b^2\). Потім перевірте середній термін - це вдвічі більше продукту,\(2ab\)? Якщо все перевірить, можна легко написати фактори.
Фактор:\(9 x^{2}+12 x+4\)
- Відповідь
-
Фактор:\(4 x^{2}+12 x+9\)
- Відповідь
-
\((2 x+3)^{2}\)
Фактор:\(9 y^{2}+24 y+16\)
- Відповідь
-
\((3 y+4)^{2}\)
Знак середнього члена визначає, який візерунок ми будемо використовувати. Коли середній термін негативний, ми використовуємо патерн\(a^{2}-2 a b+b^{2}\), який чинники для\((a-b)^{2}\).
Кроки підсумовуються тут.
\(\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}\)
Ми будемо працювати зараз, де середній термін є негативним.
Фактор:\(81 y^{2}-72 y+16\)
- Відповідь
-
Перший і останній члени - квадрати. Подивіться, чи відповідає середній термін візерунку ідеального квадратного трінома. Середній термін негативний, тому біноміальний квадрат буде\((a-b)^{2}\).
Перші та останні терміни ідеальні квадрати? 
Перевірте середній термін. 
Чи відповідає це\((a-b)^{2}\)? Так. 
Напишіть квадрат двочлена. 
Перевірка шляхом множення. \((9 y-4)^{2}\) \((9 y)^{2}-2 \cdot 9 y \cdot 4+4^{2}\) \(81 y^{2}-72 y+16 \checkmark\)
Фактор:\(64 y^{2}-80 y+25\)
- Відповідь
-
\((8 y-5)^{2}\)
Фактор:\(16 z^{2}-72 z+81\)
- Відповідь
-
\((4 z-9)^{2}\)
Наступним прикладом буде ідеальний квадратний тріноміал з двома змінними.
Фактор:\(36 x^{2}+84 x y+49 y^{2}\)
- Відповідь
-
Перевірте кожен термін, щоб перевірити шаблон. 
Фактор. 
Перевірка шляхом множення. \((6 x+7 y)^{2}\) \((6 x)^{2}+2 \cdot 6 x \cdot 7 y+(7 y)^{2}\) \(36 x^{2}+84 x y+49 y^{2} \checkmark\)
Фактор:\(49 x^{2}+84 x y+36 y^{2}\)
- Відповідь
-
\((7 x+6 y)^{2}\)
Фактор:\(64 m^{2}+112 m n+49 n^{2}\)
- Відповідь
-
\((8 m+7 n)^{2}\)
Фактор:\(9 x^{2}+50 x+25\)
- Відповідь
-
\(\begin{array}{lc} & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \text { Are the first and last terms perfect squares? } & (3 x)^{2} \qquad\quad (5)^2 \\ \text { Check the middle term-is it 2ab? } & (3 x)^{2} \searrow_{2(3 x)(5) }\swarrow (5)^{2}. \\ & \tiny{30x} \\ \text { No! } 30 x \neq 50 x & \text { This does not fit the pattern! } \\ \text { Factor using the "ac" method. } & 9 x^{2}+50 x+25 \\ \begin{array}{c}{\text { ac }} \\ {\text { Notice: } 9 \cdot 25 \text { and } 5 \cdot 45=225} \\ {225}\end{array} \\ {\text { Split the middle term. }} & \begin{array}{c}{9 x^{2}+5 x+45 x+25} \\ {x(9 x+5)+5(9 x+5)} \\ {(9 x+5)(x+5)}\end{array}\\ {\text { Factor by grouping. }} \\ \text { Check. } & \\ \begin{array}{l}{(9 x+5)(x+5)} \\ {9 x^{2}+45 x+5 x+25} \\ {9 x^{2}+50 x+25}\checkmark\end{array}\end{array}\)
Фактор:\(16 r^{2}+30 r s+9 s^{2}\)
- Відповідь
-
\((8 r+3 s)(2 r+3 s)\)
Фактор:\(9 u^{2}+87 u+100\)
- Відповідь
-
\((3 u+4)(3 u+25)\)
Пам'ятаєте перший крок у нашій Стратегії факторингу поліномів? Це було запитати «чи є найбільший загальний фактор?» і, якщо було, ви враховуєте GCF, перш ніж йти далі. Ідеальні квадратні триноми можуть мати GCF у всіх трьох термінів, і це повинно бути враховано в першу чергу. І, іноді, як тільки GCF був врахований, ви визнаєте ідеальний квадратний триноміал.
Фактор:\(36 x^{2} y-48 x y+16 y\)
- Відповідь
-
\(36 x^{2} y-48 x y+16 y\) Чи є GCF? Так, 4 у, так що фактор його. 4\(y\left(9 x^{2}-12 x+4\right)\) Це ідеальний квадратний триноміал? Перевірте викрійку. 
Фактор. 4\(y(3 x-2)^{2}\) Пам'ятайте: зберігайте коефіцієнт 4 y в кінцевому продукті. Перевірка. \(4y(3 x-2)^{2}\) \(4y[(3 x)^{2}-2 \cdot 3 x \cdot 2+2^{2}]\) \(4 y(9 x)^{2}-12 x+4\) \(36 x^{2} y-48 x y+16 y\checkmark\)
Фактор:\(8 x^{2} y-24 x y+18 y\)
- Відповідь
-
2\(y(2 x-3)^{2}\)
Фактор:\(27 p^{2} q+90 p q+75 q\)
- Відповідь
-
3\(q(3 p+5)^{2}\)
Факторні відмінності квадратів
Іншим спеціальним продуктом, який ви бачили в попередньому, був візерунок «Продукт кон'югатів». Ви використовували це, щоб помножити два двочлени, які були сполученими. Ось приклад:
\[\begin{array}{c}{(3 x-4)(3 x+4)} \\ {9 x^{2}-16}\end{array}\]
Пам'ятайте, при множенні сполучених двочленів середні добутки додають до 0. Все, що у вас залишилося, це біном, різниця квадратів.
Множення кон'югатів - єдиний спосіб отримати біном з добутку двох біноміалів.
Якщо a і b є дійсними числами
\[(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}\]
Твір називається різницею квадратів.
Для фактора ми будемо використовувати візерунок виробу «у зворотному напрямку», щоб врахувати різницю квадратів. Різниця квадратів коефіцієнтів на добуток кон'югатів.
Якщо a і b є дійсними числами,
Пам'ятайте, «різниця» відноситься до віднімання. Отже, щоб використовувати цей візерунок, ви повинні переконатися, що у вас є біноміал, в якому віднімаються два квадрати.
Фактор:\(x^{2}-4\)
- Відповідь
-
Фактор:\(h^{2}-81\)
- Відповідь
-
\((h-9)(h+9)\)
Фактор:\(k^{2}-121\)
- Відповідь
-
\((k-11)(k+11)\)
\(\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}\)
Важливо пам'ятати, що суми квадратів не враховуються на добуток біноміалів. Не існує біноміальних факторів, які множаться разом, щоб отримати суму квадратів. Після видалення будь-якого GCF вираз\(a^{2}+b^{2}\) є простим!
Не забувайте, що 1 - ідеальний квадрат. Ми повинні використовувати цей факт в наступному прикладі.
Фактор:\(64 y^{2}-1\)
- Відповідь
-
Це різниця? Так. 
Перші та останні терміни ідеальні квадрати? Так - запишіть їх у вигляді квадратів. 
Фактор як добуток кон'югатів. 
Перевірка шляхом множення. \((8 y-1)(8 y+1)\) \(64 y^{2}-1 \checkmark\)
Фактор:\(m^{2}-1\)
- Відповідь
-
\((m-1)(m+1)\)
Фактор:\(81 y^{2}-1\)
- Відповідь
-
\((9 y-1)(9 y+1)\)
Фактор:\(121 x^{2}-49 y^{2}\)
- Відповідь
-
\(\begin{array}{lc} & 121 x^{2}-49 y^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (11 x)^{2}-(7 y)^{2} \\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (11 x-7 y)(11 x+7 y) \\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(11 x-7 y)(11 x+7 y)} \\ {121 x^{2}-49 y^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Фактор:\(196 m^{2}-25 n^{2}\)
- Відповідь
-
\((16 m-5 n)(16 m+5 n)\)
Фактор:\(144 p^{2}-9 q^{2}\)
- Відповідь
-
\((12 p-3 q)(12 p+3 q)\)
Біноміал у наступному прикладі може виглядати «назад», але це все одно різниця квадратів.
Фактор:\(100-h^{2}\)
- Відповідь
-
\(\begin{array}{lc} & 100-h^{2} \\ \text { Is this a difference of squares? Yes. } & (10)^{2}-(h)^{2}\\ \text { Factor as the product of conjugates. } & (10-h)(10+h)\\ \text { Check by multiplying. } & \\ \begin{array}{l}{(10-h)(10+h)} \\ {100-h^{2}} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Будьте обережні, щоб не переписати оригінальний вираз як\(h^{2}-100\).
Фактор\(h^{2}-100\) на свій розсуд, а потім помітити, чим відрізняється результат від\((10-h)(10+h)\).
Фактор:\(144-x^{2}\)
- Відповідь
-
\((12-x)(12+x)\)
Фактор:\(169-p^{2}\)
- Відповідь
-
\((13-p)(13+p)\)
Щоб повністю врахувати біноміальне значення в наступному прикладі, ми розглянемо різницю квадратів двічі!
Фактор:\(x^{4}-y^{4}\)
- Відповідь
-
\(\begin{array}{lc}\text { Is this a difference of squares? Yes. } & {x^{4}-y^{4}} \\\text { Factor it as the product of conjugates. } & {\left(x^{2}\right)^{2}-\left(y^{2}\right)^{2}} \\ \text { Notice the first binomial is also a difference of squares! } & {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { Factor it as the product of conjugates. The last }& {(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ \text { factor, the sum of squares, cannot be factored. } \\ \\ \text { Check by multiplying. } & \\\begin{array}{l}{(x-y)(x+y)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {[(x-y)(x+y)]\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {\left(x^{2}-y^{2}\right)\left(x^{2}+y^{2}\right)} \\ {x^{4}-y^{4}} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Фактор:\(a^{4}-b^{4}\)
- Відповідь
-
\(\left(a^{2}+b^{2}\right)(a+b)(a-b)\)
Фактор:\(x^{4}-16\)
- Відповідь
-
\(\left(x^{2}+4\right)(x+2)(x-2)\)
Як завжди, спочатку слід шукати загальний фактор, коли у вас є вираз для фактора. Іноді загальний фактор може «замаскувати» різницю квадратів, і ви не розпізнаєте ідеальні квадрати, поки не вважатимете GCF.
Фактор:\(8 x^{2} y-98 y\)
- Відповідь
-
\(\begin{array}{lc}& 8 x^{2} y-98 y \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 2 y-\text { factor it out! } & 2 y\left(4 x^{2}-49\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? Yes. } & 2 y\left((2 x)^{2}-(7)^{2}\right) \\ \text { Factor as a product of conjugates. } & 2 y(2 x-7)(2 x+7) \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{2 y(2 x-7)(2 x+7)} \\ {2 y[(2 x-7)(2 x+7)]} \\ {2 y\left(4 x^{2}-49\right)} \\ {8 x^{2} y-98 y} \checkmark \end{array} \end{array}\)
Фактор:\(7 x y^{2}-175 x\)
- Відповідь
-
7\(x(y-5)(y+5)\)
Фактор:\(45 a^{2} b-80 b\)
- Відповідь
-
5\(b(3 a-4)(3 a+4)\)
Фактор:\(6 x^{2}+96\)
- Відповідь
-
\(\begin{array}{lc}&6 x^{2}+96 \\ \text { Is there a GCF? Yes, } 6-\text { factor it out! } & 6\left(x^{2}+16\right) \\ \text { Is the binomial a difference of squares? No, it } & \\ \text { is a sum of squares. Sums of squares do not factor! } & \\ \text { Check by multiplying. } \\ \\ \begin{array}{l}{6\left(x^{2}+16\right)} \\ {6 x^{2}+96 }\checkmark \end{array} \end{array}\)
Фактор:\(8 a^{2}+200\)
- Відповідь
-
8\(\left(a^{2}+25\right)\)
Фактор:\(36 y^{2}+81\)
- Відповідь
-
9\(\left(4 y^{2}+9\right)\)
Факторні суми та відмінності кубів
Існує ще один спеціальний шаблон факторингу, той, який ми не використовували, коли ми множили многочлени. Це шаблон для суми і різниці кубиків. Ми спочатку напишемо ці формули, а потім перевіримо їх множенням.
\[\begin{aligned} a^{3}+b^{3} &=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right) \\ a^{3}-b^{3} &=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right) \end{aligned}\]
Перевіримо першу викрійку, а другу залишимо вам.
 |
|
| Розподілити. |  |
| Помножити. | \(a^{3}-a^{2} b+a b^{2}+a^{2} b-a b^{2}+b^{3}\) |
| Поєднуйте подібні терміни. | \(a^{3}+b^{3}\) |
\[\begin{array}{l}{a^{3}+b^{3}=(a+b)\left(a^{2}-a b+b^{2}\right)} \\ {a^{3}-b^{3}=(a-b)\left(a^{2}+a b+b^{2}\right)}\end{array}\]
Два візерунки виглядають дуже схожими, чи не так? Але зверніть увагу на ознаки в факторах. Знак біноміального фактора збігається зі знаком в початковому біном. А знак середнього члена триноміального фактора протилежний знаку в початковому біноміальному. Якщо ви розпізнаєте закономірність знаків, це може допомогти вам запам'ятати візерунки.
Триноміальний коефіцієнт у сумі та різниці кубиків не може бути врахований.
Це може бути дуже корисно, якщо ви навчитеся розпізнавати кубики цілих чисел від 1 до 10, так само, як ви навчилися розпізнавати квадрати. Ми перерахували куби цілих чисел від 1 до 10 на малюнку\(\PageIndex{1}\).
Фактор:\(x^{3}+64\)
- Відповідь
-
Фактор:\(x^{3}+27\)
- Відповідь
-
\((x+3)\left(x^{2}-3 x+9\right)\)
Фактор:\(y^{3}+8\)
- Відповідь
-
\((y+2)\left(y^{2}-2 y+4\right)\)
Для множення суми або різниці кубів:
- Чи підходить біноміал до суми чи різниці кубиків?
- Це сума чи різниця?
- Перші та останні терміни ідеальні кубики?
- Запишіть їх у вигляді кубиків.
- Використовуйте або суму, або різницю кубиків.
- Спрощення всередині дужок
- Перевірте, множивши коефіцієнти.
Фактор:\(: x^{3}-1000\)
- Відповідь
-
Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики. Запишіть терміни у вигляді кубиків. 
Використовуйте різниця кубиків візерунка. 
Спростити. 
Перевірка шляхом множення. 
Фактор:\(u^{3}-125\)
- Відповідь
-
\((u-5)\left(u^{2}+5 u+25\right)\)
Фактор:\(v^{3}-343\)
- Відповідь
-
\((v-7)\left(v^{2}+7 v+49\right)\)
Будьте обережні, використовуйте правильні знаки в факторах суми і різниці кубів.
Фактор:\(512-125 p^{3}\)
- Відповідь
-
Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики. Запишіть терміни у вигляді кубиків. 
Використовуйте різниця кубиків візерунка. 
Спростити. 
Перевірка шляхом множення. Ми залишимо чек вам.
Фактор:\(64-27 x^{3}\)
- Відповідь
-
\((4-3 x)\left(16+12 x+9 x^{2}\right)\)
Фактор:\(27-8 y^{3}\)
- Відповідь
-
\((3-2 y)\left(9+6 y+4 y^{2}\right)\)
Фактор:\(27 u^{3}-125 v^{3}\)
- Відповідь
-
Цей біноміал є різницею. Перший і останній терміни - ідеальні кубики. Запишіть терміни у вигляді кубиків. 
Використовуйте різниця кубиків візерунка. 
Спростити. 
Перевірка шляхом множення. Ми залишимо чек вам.
Фактор:\(8 x^{3}-27 y^{3}\)
- Відповідь
-
\((2 x-3 y)\left(4 x^{2}+6 x y+9 y^{2}\right)\)
Фактор:\(1000 m^{3}-125 n^{3}\)
- Відповідь
-
\((10 m-5 n)\left(100 m^{2}+50 m n+25 n^{2}\right)\)
У наступному прикладі ми спочатку враховуємо GCF. Тоді ми можемо розпізнати суму кубів.
Фактор:\(5 m^{3}+40 n^{3}\)
- Відповідь
-
Перевірка. Щоб перевірити, вам може бути простіше спочатку помножити суму коефіцієнтів кубів, а потім помножити цей твір на 5. Ми залишимо множення для вас.
Фактор є загальним фактором. 
Цей біноміал є сумою. Перший і останній терміни - ідеальні кубики. Запишіть терміни у вигляді кубиків. 
Використовуйте шаблон суми кубиків. 
Спростити. 
- 5\((m+2 n)\left(m^{2}-2 m n+4 n^{2}\right)\)
Фактор:\(500 p^{3}+4 q^{3}\)
- Відповідь
-
4\((5 p+q)\left(25 p^{2}-5 p q+q^{2}\right)\)
Фактор:\(432 c^{3}+686 d^{3}\)
- Відповідь
-
2\((6 c+7 d)\left(36 c^{2}-42 c d+49 d^{2}\right)\)
Отримайте доступ до цих онлайн-ресурсів для додаткової інструкції та практики з факторингом спеціальних продуктів.
- Сума різниці кубів
- Різниця факторингу кубів
Ключові поняття
- Фактор ідеальних квадратних триномів Див. Приклад. \(\begin{array} {lcc} \textbf { Step 1} \text { . Does the trinomial fit the pattern? } & a^{2}+2 a b+b^{2} & a^{2}-2 a b+b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is the first term a perfect square? } & (a)^{2} & (a)^{2} \\ \qquad \quad\text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Is the last term a perfect square? } & (a)^{2} \qquad\quad (b)^{2} & (a)^{2} \qquad \quad(b)^{2} \\ \qquad \quad \text { Write it as a square. } \\ \qquad \bullet \text { Check the middle term. Is it } 2 a b ? & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b }\swarrow(b)^{2} & (a)^{2} \searrow_{2 \cdot a \cdot b} \swarrow(b)^{2} \\ \textbf { Step 2} . \text { Write the square of the binomial. } & (a+b)^{2} & (a-b)^{2} \\ \textbf { Step 3} . \text { Check by multiplying. }\end{array}\)
- Факторні відмінності квадратів Див. Приклад. \(\begin{array}{lc} \textbf { Step 1} . \text { Does the binomial fit the pattern? } & a^{2}-b^{2} \\ \qquad \bullet \text { Is this a difference? } & \underline{\quad} - \underline{\quad} \\ \qquad \bullet \text { Are the first and last terms perfect squares? } \\ \textbf { Step 2} . \text { Write them as squares. } & (a)^{2}-(b)^{2} \\ \textbf { Step 3.} \text{ Write the product of conjugates. } & (a-b)(a+b) \\ \textbf { Step 4.} \text{ Check by multiplying. } \end{array}\)
- Сума коефіцієнтів та різниця кубів Фактор суми або різниці кубів: Див. Приклад.
- Чи підходить біноміал до суми чи різниці кубиків? Це сума чи різниця? Перші та останні терміни ідеальні кубики?
- Запишіть їх у вигляді кубиків.
- Використовуйте або суму, або різницю кубиків.
- Спрощення всередині дужок
- Перевірте, множивши коефіцієнти.
Глосарій
- ідеальний квадратний візерунок trinomials
- Якщо a і b є дійсними числами,
\[\begin{array}{cc} {a^2+2ab+b^2=(a+b)^2}&{a^2−2ab+b^2=(a−b)^2}\\ \nonumber \end{array}\]
- різниця квадратів візерунка
- Якщо a і b є дійсними числами,
- сума та різниця кубиків
-
\[\begin{array}{cc} {a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)}&{a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)}\\ \nonumber \end{array}\]