Loading [MathJax]/extensions/TeX/boldsymbol.js
Skip to main content
LibreTexts - Ukrayinska

2.4: Формули

Формули науки зазвичай містять змінні літери, крім змінної «Formulae» є множиною для «формули». x. Дійсно, формули в науці зазвичай використовують кілька букв. Наприклад, Загальний закон тяжіння Ісаака Ньютона говорить про те, що величина сили тяжіння між двома небесними тілами задається формулою:

F=\frac{G M m}{r^{2}} \nonumber

деm зазвичай позначається маса меншого тіла,M маса більшого тіла, іr це відстань між двома тілами. БукваG являє собою універсальну гравітаційну константу, що має значення6.67428×10^{-11}N(m/kg)^2.

Змінний випадок

Зверніть увагу на використання верхньої та нижньої літери M у законі гравітації Ньютона. При роботі з науковими формулами ви повинні підтримувати регістр заданих букв. Ви не можете замінювати нижній регістр на верхній регістр або верхній для нижнього регістру у вашій роботі.

У розділі 2.2 ми описали мету, яка повинна бути досягнута, коли нас попросять «вирішити рівняння для"x.

Вирішити дляx

Коли його просять вирішити рівняння дляx, мета полягає в тому, щоб маніпулювати рівнянням у кінцевій формі

x=\text {“Stuff”} \nonumber
де «Stu» є дійсним математичним виразом, яке може містити інші змінні, математичні символи тощо, але воно не повинно містити жодного входження змінноїx.

Таким чином, щоб вирішити рівняння дляx, нам потрібно виділити члени, що містять з одногоx боку рівняння, а всі залишилися члени з іншого боку рівняння.

Приклад\PageIndex{1}

Вирішити дляx : x+a=b.

Рішення

Щоб скасувати ефекти додавання a, відніміть a з обох сторін рівняння.

\begin{aligned} x+a &= b \quad \color{Red} \text { Original equation. } \\ x+a-a &= b-a \quad \color{Red} \text { Subtract } a \text { from both sides. } \\ x &= b-a \quad \color{Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber

Вправа\PageIndex{1}

Вирішити дляx : x-c=d.

Відповідь

x=c+d

У прикладі зверніть увагу\PageIndex{1}, що відповідьx = b−a має необхідну формуx = \text {“Stuff”}, де «Stu» є дійсним математичним виразом, що містить інші змінні, математичні символи тощо, але воно не містить жодного входження змінноїx. Що робити, якщо нас попросять вирішити те саме рівняння дляa, а неx?

Приклад\PageIndex{2}

Вирішити дляa : x+a=b.

Рішення

Нам доручено вирішити рівнянняx+a = b дляa. Це означає, що наша кінцева відповідь повинна мати виглядa = \text {“Stuff”}, де «Stu» є дійсним математичним виразом, що містить інші змінні, математичні символи тощо, але воно не містить жодного входження змінноїa. Це означає, що ми повинні ізолювати всі члени, що містять змінну з одногоa боку рівняння, а всі інші члени на іншій стороні рівняння. Тепер, щоб скасувати ефект додаванняx, віднімітьx з обох сторін рівняння.

\begin{aligned} x+a &= b \quad \color{Red} \text { Original equation. } \\ x+a-x &= b-x \quad \color{Red} \text { Subtract } x \text { from both sides. } \\ a &= b-x \quad \color{Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber

Зауважте, що ми маємоa = \text {“Stuff”}, де «Stu» не містить жодного входження змінноїa, для якої ми вирішуємо.

Вправа\PageIndex{2}

Вирішити дляx : x-c=d.

Відповідь

c=x-d

Приклад\PageIndex{3}

ФормулаF = kx, відома як «Закон Гука», передбачає силу,F необхідну для розтягуванняx пружинних одиниць. Розв'яжіть рівняння дляk.

Рішення

Нам доручено вирішити рівнянняF = kx дляk. Це означає, що наша кінцева відповідь повинна мати виглядk = \text {“Stuff”}, де «Stu» є дійсним математичним виразом, який може містити інші змінні, математичні символи тощо, але він може не містити жодного входження змінноїk. Це означає, що ми повинні ізолювати всі члени, що містять змінну з одногоk боку рівняння, а всі інші члени на іншій стороні рівняння. Однак зауважте, що всі члени, що містятьk змінну, вже ізольовані на одній стороні рівняння. Терміни, що не містять зміннуk, виділяються з іншого боку рівняння. Тепер, щоб «скасувати» ефект множення наx, розділіть обидві сторони рівняння наx.

\begin{aligned} F&= kx \quad \color{Red} \text { Original equation. } \\ \dfrac{F}{x}&= \dfrac{kx}{x} \quad \color{Red} \text { Divide both sides by } x \\ \dfrac{F}{x}&= k \quad \color{Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber

Сказати, щоF/x = k це еквівалентно тому, що сказатиk = F/x. Ми можемо залишити свою відповідь у формі, показаній на останньому кроці, але деякі інструктори наполягають на тому, щоб ми написали відповідь наступним чином:

k=\dfrac{F}{x} \quad \color{Red} \dfrac{F}{x}=k \text { is equivalent to } k=\dfrac{F}{x} \nonumber

Зауважте, що ми маємоk = \text {“Stuff”}, де «Stu» не містить жодного входження змінноїk, для якої ми вирішуємо.

Вправа\PageIndex{3}

Вирішити дляm : E=m c^{2}.

Відповідь

m=\dfrac{E}{c^{2}}

Приклад\PageIndex{4}

ФормулаV = RI називається «Закон Ома». Він допомагає розрахувати падінняV напруги на резисторіR в електричному ланцюзі зі струмомI. Розв'яжіть рівняння дляR.

Рішення

Нам доручено вирішити рівнянняV = RI дляR. Це означає, що наша кінцева відповідь повинна мати виглядR = \text {“Stuff”}, де «Stu» є дійсним математичним виразом, який може містити інші змінні, математичні символи тощо, але він може не містити жодного входження змінноїR. Це означає, що ми повинні ізолювати всі члени, що містять змінну з одногоR боку рівняння, а всі інші члени на іншій стороні рівняння. Однак зауважте, що всі члени, що містятьR змінну, вже ізольовані на одній стороні рівняння. З іншого боку рівняння виділяють члени, що не містять змінну R. Тепер, щоб «скасувати» ефект множення наI, розділіть обидві сторони рівняння наI.

\begin{aligned} V&= R I \quad \color{Red} \text { Original equation. } \\ \dfrac{V}{I}&=\dfrac{R I}{I} \quad \color{Red} \text { Divide both sides by } I \\ \dfrac{V}{I}&= R \quad \color{Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber

Це також може бути написано в наступному вигляді:

R=\dfrac{V}{I} \quad \color{Red} V / I=R \text { is equivalent to } R=V / I \nonumber

Зауважте, що ми маємоR = \text {“Stuff”}, де «Stu» не містить жодного входження змінноїR, для якої ми вирішуємо.

Вправа\PageIndex{4}

Вирішити дляt : d=s t.

Відповідь

t=\dfrac{d}{s}

Очищення дробів

Якщо дроби зустрічаються у формулі, очистіть дроби з формули, множивши обидві сторони формули на загальний знаменник.

Приклад\PageIndex{5}

ФормулаK=\dfrac{1}{2} m v^{2} використовується для розрахункуK кінетичної енергії частинки маси, щоm рухається зі швидкістюv. Розв'яжіть рівняння дляm.

Рішення

Нас просять вирішити рівнянняK = (1 /2)mv^2 дляm. Спочатку очистіть дроби, помноживши обидві сторони на загальний знаменник.

\begin{aligned} K &= \dfrac{1}{2} mv^{2} \quad \color{Red} \text { Original equation. } \\ 2(K) &= 2\left(\dfrac{1}{2} mv^{2}\right) \quad \color{Red} \text { Multiply both sides by } 2 \\ 2K &= mv^{2} \quad \color{Red} \text { Simplify. Cancel } 2^{\prime} \text { s. } \end{aligned} \nonumber

Зверніть увагу, що всі члениm, що містять змінну, для якої ми розв'язуємо, вже ізольовані на одній стороні рівняння. Нам потрібно лише розділити обидві сторони наv^2, щоб завершити рішення.

\begin{aligned} \dfrac{2 K}{v^2}&= \dfrac{m v^{2}}{v^{2}} \quad \color{Red} \text { Divide both sides by } v^{2} \\ \dfrac{2 K}{v^2}&= m \quad \color{Red} \text { Simplify. Cancel } v^{2} \text { for } v^{2} \end{aligned} \nonumber

Зауважте, що кінцева відповідь має виглядm = \text {“Stuff”}, де «Stu» не містить жодного входження змінноїm.

Вправа\PageIndex{5}

Вирішити дляg : s=\dfrac{1}{2} g t^{2}.

Відповідь

g=\dfrac{2 s}{t^{2}}

Приклад\PageIndex{6}

Як уже згадувалося раніше, Універсальний закон тяжіння Ньютона описується формулоюF=\dfrac{G M m}{r^{2}} \nonumber Розв'яжіть це рівняння дляm.

Рішення

Нас просять вирішити рівнянняF = GMm/r^2 дляm. Спочатку очистіть дроби, помноживши обидві сторони на загальний знаменник.

\begin{aligned} F &= \dfrac{G M m}{r^{2}} \quad \color{Red} \text { Original equation. } \\ r^{2}(F) &= r^{2}\left(\dfrac{G M m}{r^{2}}\right) \quad \color{Red} \text { Multiply both sides by } r^{2} \\ r^{2} F &= G M m \quad \color{Red} \text { Simplify. Cancel } r^{2} \text { for } r^{2} \end{aligned} \nonumber

Зверніть увагу, що всі члениm, що містять змінну, для якої ми розв'язуємо, вже ізольовані на одній стороні рівняння. Нам потрібно лише розділити обидві сторони наGM, щоб завершити рішення.

\begin{aligned} \dfrac{r^{2} F}{G M}&= \dfrac{G M m}{G M} \quad \color{Red} \text { Divide both sides by } G M \\ \dfrac{r^{2} F}{G M}&= m \quad \color{Red} \text { Simplify. Cancel } G M \text { for } G M \end{aligned} \nonumber

Зауважте, що кінцева відповідь має виглядm = \text {“Stuff”}, де «Stu» не містить жодного входження змінноїm.

Вправа\PageIndex{6}

Вирішити дляq_{2} : F=\dfrac{k q_{1} q_{2}}{r^{2}}.

Відповідь

q_{2}=\dfrac{F r^{2}}{k q_{1}}

Геометричні формули

Давайте розглянемо кілька часто використовуваних формул з геометрії.

Приклад\PageIndex{7}

WLДозволяти і представляють ширину і довжину прямокутника, відповідно, і нехайP представляють його периметр.

рис. 2.4.1a.png

Периметр (відстань навколо) прямокутника знаходять шляхом підсумовування його чотирьох сторін, а потім об'єднання подібних термінів.

\begin{aligned} P&=L+W+L+W \quad \color{Red} \text { Summing the four sides. } \\ P&=2 W+2L \quad \color{Red} \text { Combine like terms. } \end{aligned} \nonumber

ВирішитиP =2W +2L дляL. Потім, з огляду на, що периметр -300 ноги, а ширина -50 фути, використовуйте свій результат для обчислення довжини.

Рішення

Нас спочатку просять вирішитиP =2W +2LL. Спочатку виділіть всі члени, що містять змінну з одногоL боку рівняння.

\begin{aligned} P&= 2W+2L \quad \color{Red} \text { Original equation. } \\ P-2W&= 2W+2L-2W \quad \color{Red} \text { Subtract } 2W \text { from both sides. } \\ P-2W&= 2L \quad \color{Red} \text { Simplify. } \\ \dfrac{P-2W}{2}&= \dfrac{2L}{2} \quad \color{Red} \text { Divide both sides by } 2 \\ \dfrac{P-2W}{2}&=L \quad \color{Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber

Зауважте, що кінцевий результат маєL = \text {“Stuff"}, де «Stu» не містить жодного входження змінноїL.

Друга частина цього прикладу вимагає знайти довжину прямокутника, враховуючи, що периметр -P = 300 фути, а ширина -W = 50 фути. Щоб розрахувати довжину, підставляємоP = 300 іW = 50 вL =( P - 2W)/2.

\begin{aligned} &L= \dfrac{P-2 W}{2} \quad \color{Red} \text { Perimeter formula solved for } L \\ L&= \dfrac{300-2(50)}{2} \quad \color{Red} 300 \text { for } P, 50 \text { for } W\\ L &= \dfrac{300-100}{2} \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2(50)=100 \\ L &= \dfrac{200}{2} \quad \color{Red} \text { Subtract: } 300-100=200 \\ L &= 100 \quad \color{Red} \text { Divide: } 200 / 2=100 \end{aligned} \nonumber

Отже, довжина прямокутника -100 фути.

Вправа\PageIndex{7}

Периметр прямокутника -160 метри, а його ширина -30 метри. Знаходить свою довжину.

Відповідь

L=50метрів

Приклад\PageIndex{8}

bhДозволяти і представляють довжину підстави і висоту трикутника, відповідно, і нехайA представляють площу трикутника.

рис. 2.4.1b.png

Площа трикутника обчислюється за формулою:A=\dfrac{1}{2} bh Тобто площа трикутника дорівнює «половині підстави на висоту».

Вирішити формулуA=\dfrac{1}{2} bh дляh. По-друге, враховуючи, що площа знаходитьсяA = 90 в 2 (90квадратні дюйми), а довжина основи -15 в (15дюймах), знайдіть висоту трикутника.

Рішення

Нас спочатку просять вирішитиA = (1 /2)bhh. Оскільки рівняння має дроби, першим кроком є очищення дробів шляхом множення обох сторін на найменш спільний знаменник.

\begin{aligned} A &= \dfrac{1}{2} bh \quad \color{Red} \text { Area of a triangle formula. } \\ 2(A) &= 2\left(\dfrac{1}{2} bh\right) \quad \color{Red} \text { Multiply both sides by } 2 \\ 2A &= bh \quad \color{Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber

Тепер у нас вже є всі члени, що містять зміннуh на одній стороні рівняння, тому ми можемо вирішити для,h діливши обидві сторони рівняння наb.

\begin{aligned} \dfrac{2 A}{b}&= \dfrac{b h}{b} \quad \color{Red} \text { Divide both sides by } b \\ \dfrac{2 A}{b}&= h \quad \color{Red} \text { Simplify. } \end{aligned} \nonumber

Зауважте, що кінцевий результат маєh = \text {“Stuff"}, де «Stu» не містить жодного входження змінноїh.

Друга частина цього прикладу вимагає, щоб ми знайшли висоту трикутника, враховуючи, що площа знаходитьсяA = 90 в2 і довжина основи знаходитьсяb = 15 в. Щоб обчислити висоту трикутника, підставляємоA = 90 іb = 15 вh =2A/b.

\begin{aligned} h &= \dfrac{2 A}{b} \quad \color{Red} \text { Area formula solved for } h \\ h &= \dfrac{2(90)}{15} \quad \color{Red} \text {Substitue }90 \text { for } A, 15 \text { for } b\\ h &=\dfrac{180}{15} \quad \color{Red} \text { Multiply: } 2(90)=180 \\ h &= 12 \quad \color{Red} \text {Divide: } 180 / 15=12 \end{aligned} \nonumber

Значить, висота трикутника дорівнює12 дюймам.

Вправа\PageIndex{8}

Площа трикутника -140 см 2, а довжина його підстави -70 см. Знайдіть висоту трикутника.

Відповідь

4см