1.25: Додавання та віднімання раціональних виразів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57993

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Згадайте главу про раціональні вирази. Згадаймо, що раціональний вираз (також званий алгебраїчним дробом) - це той, який можна записати як співвідношення\(\dfrac{P}{Q}\) де\(\mathrm{P}\) і\(\mathrm{Q}\) є поліноми, і\(\mathrm{Q} \neq 0 .\) Ми можемо додавати і віднімати раціональні вирази так само, як ми можемо додавати і віднімати фракції.

Раціональні вирази з знаменниками «Like»

Додавання та віднімання раціональних виразів

\(P, Q\)\(R\)Дозволяти і бути многочленами з\(R \neq 0\)

\(\dfrac{P}{R}+\dfrac{Q}{R}=\dfrac{P+Q}{R}\)
\(\dfrac{P}{R}-\dfrac{Q}{R}=\dfrac{P-Q}{R}\)

Приклад 23.1

Додайте і напишіть відповідь в найпростішому вигляді:

\[\dfrac{3 y}{16}+\dfrac{5 y}{16}\nonumber\]

\[\dfrac{3 y}{16}+\dfrac{5 y}{16}=\dfrac{3 y+5 y}{16}=\dfrac{8 y}{16}=\dfrac{y}{2}\nonumber\]

Приклад 23.2

Відніміть і напишіть відповідь в найпростішому вигляді:

\[\dfrac{5 x}{x-3}-\dfrac{15}{x-3}\nonumber\]

Починаємо з віднімання чисельників, щоб отримати

\[\dfrac{5 x}{x-3}-\dfrac{15}{x-3}\nonumber\]

Далі ми спрощуємо раціональний вираз за допомогою методу, який ми дізналися в попередньому розділі. Розмножуємо чисельник, а потім скасовуємо загальний множник від чисельника і знаменника.

\[\dfrac{5 x-15}{x-3}=\dfrac{5\not{(x-3)}}{\not{(x-3)}}=5\nonumber\]

Раціональні вирази з відмінними знаменниками

Нагадаємо, що для того, щоб об'єднати «несхожі» дроби (ті, що мають різні знаменники) нам спочатку довелося переписати їх загальним знаменником. Ми вирішили працювати з найменшим таким спільним знаменником, оскільки це спростило процес. Поєднання на відміну від раціональних виразів вимагає від нас робити те ж саме. Ми можемо знайти РК-дисплей для раціональних виразів точно так само, як ми знайшли РК-дисплей для дробів, зверніться до глави 2 для процедури. Єдина відмінність, яку слід пам'ятати, полягає в тому, що знаменниками раціональних виразів можуть бути поліноми. Але це нам не заважає. Коли ми враховуємо наші знаменники, ми просто враховуємо їх як добуток степенів простих чисел і поліномів. Простий (або нескорочуваний) многочлен - це многочлен, який не може бути врахований далі.

Приклад 23.3

Комбінат\(\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{2 x}{3}\).

Згадайте кроки для пошуку РК-дисплея (Глава 2):

Крок 1 Фактор (знаменники): 6 факторів в\(2 \cdot 3\) і 3 фактори в\(3 \cdot 1\)
Крок 2. Список (прості числа) 2,3
Крок 3. (Форма) РК-дисплей:\(2 \cdot 3=6\)

Тепер, коли ми знайшли РК-дисплей, ми використовуємо його для перезапису кожного раціонального виразу, щоб перетворити нашу проблему з

\[\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{2 x}{3}\nonumber\]

до

\[\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{2 \cdot 2 x}{2 \cdot 3} =\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{4 x}{6}\nonumber\]

Тепер ми можемо об'єднати раціональні вирази, щоб отримати

\[\dfrac{5 x}{6}-\dfrac{4 x}{6}=\dfrac{x}{6}\nonumber\]

Приклад 23.4

Комбінат\(\dfrac{7}{x}+\dfrac{4}{3}\)

Ми зустрічаємо тут наш перший «простий многочлен», який є\(x\). РК-дисплей для цього прикладу є\(3 x\) і тому ми починаємо з перезапису проблеми для читання.

\[\dfrac{7}{x}+\dfrac{4}{3}\nonumber\]

\[=\dfrac{3 \cdot 7}{3 \cdot x}+\dfrac{4 \cdot x}{3 \cdot x}\nonumber\]

\[=\dfrac{21}{3 x}+\dfrac{4 x}{3 x}\nonumber\]

Тепер ми об'єднаємо раціональні вирази «як», щоб отримати рішення

\[\dfrac{21+4 x}{3 x}\nonumber\]

який не може бути спрощений далі.

Приклад 23.5

Комбінат\(\dfrac{5}{4 a}-\dfrac{7 b}{6}\).

Почнемо з обчислення РК-дисплея, маючи на увазі,\(a\) що тут простий поліном.

Крок 1. Фактор:\(4 a\) фактори в\(2^{2} \cdot a\) і 6 факторів в\(2 \cdot 3\)
Крок 2. Список:\(2,3, a\)
Крок 3. ЖК:\(2^{2} \cdot 3 \cdot a=12 a\)

Далі переписуємо кожен дріб за допомогою цього РК-дисплея:

\[\begin{align*} \dfrac{5}{4 a}-\dfrac{7 b}{6} &=\dfrac{3 \cdot 5}{3 \cdot 4 a}-\dfrac{7 b \cdot 2 a}{6 \cdot 2 a} \\[4pt] &=\dfrac{15}{12 a}-\dfrac{14 a b}{12 a}\end{align*}\]

Нарешті, ми можемо об'єднати «як» раціональні вирази, щоб отримати

\[\dfrac{15}{12 a}-\dfrac{14 a b}{12 a}=\dfrac{15-14 a b}{12 a}\nonumber\]

які не можуть бути зменшені далі.

Проблема виходу

Спростити:\(\dfrac{7}{12}-\dfrac{5}{8 b}\)