1.24: Спрощення, множення та поділ раціональних виразів

Last updated
Save as PDF

Page ID: 57985

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)

Нагадаємо, що раціональне число - це одне, яке можна записати як співвідношення,\(\frac{p}{q}\) де\(p\) і\(q\) є цілими числами, а\(q \neq 0 .\) Раціональний вираз (також званий алгебраїчним дробом) - це таке, яке можна записати у вигляді співвідношення,\(\frac{P}{Q}\) де\(P\) і\(Q\) є поліноми і \(Q \neq 0 .\)Так само, як ми можемо написати число в найпростішому (або зменшеному) вигляді, ми можемо зробити те ж саме для раціональних виразів.

Фундаментальний принцип раціональних виразів

Для многочленів\(P, Q\) і\(R\) з\(Q \neq 0\) і\(R \neq 0\)

\[\frac{P}{Q}=\frac{P \cdot R}{Q \cdot R}\nonumber\]

Спрощення раціонального виразу

Крок 1. Знайдіть найбільший загальний коефіцієнт (GCF) як чисельника, так і знаменника, якщо можете.
Крок 2. Фактор повністю як чисельник, так і знаменник.
Крок 3. Використовуйте Фундаментальний принцип раціональних виразів, щоб розділити загальний коефіцієнт від чисельника та знаменника.

Приклад 22.1

Спростіть наступне раціональне вираз\(\dfrac{25 a^{6} b^{3}}{5 a^{3} b^{5}}\).

Почнемо з того, що відзначимо, що GCF чисельника і знаменника є\(5 a^{3} b^{3} .\) Використовуючи це, ми можемо перерахувати чисельник і знаменник, щоб отримати

\[\frac{25 a^{6} b^{3}}{5 a^{3} b^{5}}=\frac{\left(5 a^{3} b^{3}\right)\left(5 a^{3}\right)}{\left(5 a^{3} b^{3}\right)\left(b^{2}\right)}\nonumber\]

Нарешті, ми можемо використовувати Фундаментальний принцип раціональних виразів для спрощення

\[\frac{\left(\not{5 a^{3} b^{3}}\right)\left(5 a^{3}\right)}{\left(\not{5 a^{3} b^{3}}\right)\left(b^{2}\right)}=\frac{5 a^{3}}{b^{2}}\nonumber\]

Інший спосіб підходу до цієї ж проблеми полягає в тому, щоб перерахувати як чисельник, так і знаменник повністю, а потім скасувати, де це доречно.

\[\begin{align*} \frac{25 a^{6} b^{3}}{5 a^{3} b^{5}} &=\frac{\not 5 \cdot 5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot a \cdot a \cdot a \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b}}{\not 5 \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{a} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b} \cdot \cancel{b} \cdot b \cdot b} \\[4pt] &=\frac{5 a^{3}}{b^{2}}\end{align*}\]

Приклад 22.2

Спростити:

\[\frac{2 x+2}{x^{2}-1}\nonumber\]

Спочатку ми обчислюємо як чисельник, так і знаменник, потім, як тільки в факторальній формі, ми можемо використовувати Фундаментальний принцип раціональних виразів для спрощення.

\[\frac{2(x+1)}{(x-1)(x+1)}\nonumber\]

Тепер зверніть увагу, що\((x+1)\) є спільним, так що, ми можемо скасувати його. Нарешті, наш спрощений раціональний вираз:

\[\frac{2}{(x-1)}\nonumber\]

Приклад 22.3

Спростити:

\[\frac{4 x-16}{x^{2}-x-12}=\frac{4(x-4)}{(x-4)(x+3)}=\frac{4}{(x+3)}\nonumber\]

Множення раціональних виразів

\(P, Q, R, S\)Дозволяти поліноми з\(Q \neq 0\) а\(S \neq 0\) потім

\[\frac{P}{Q} \cdot \frac{R}{S}=\frac{P \cdot R}{Q \cdot S}\nonumber\]

Приклад 22.4

Помножте і напишіть свою відповідь в найпростішому вигляді:

\[\frac{10 x^{2}}{2 y^{2}} \cdot \frac{14 y^{5}}{5 x^{3}}\nonumber\]

\[\frac{10 x^{2}}{2 y^{2}} \cdot \frac{14 y^{5}}{5 x^{3}}=\frac{\left(10 x^{2}\right)\left(14 y^{5}\right)}{\left(2 y^{2}\right)\left(5 x^{3}\right)}=\frac{140 x^{2} y^{5}}{10 x^{3} y^{2}}=\frac{14 y^{3}}{x}\nonumber\]

Крім того, ми можемо зробити деяке скасування перед множенням і досягти того ж результату

\[\frac{10 x^{2}}{2 y^{2}} \cdot \frac{14 y^{5}}{5 x^{3}}=\frac{\not 2 \cdot \not 5 \cdot \not {x^{2}}}{\not 2 \cdot \not{y^{2}}} \cdot \frac{14 \cdot \not{y^{2}} \cdot y^{3}}{5 \cdot \not{x^{2}} \cdot x}=\frac{14 y^{3}}{x}\nonumber\]

Приклад 22.5

Множимо і пишемо відповідь в найпростішому вигляді

\[\left(\frac{11 x^{5}}{-7 y^{7} z^{2}}\right)\left(\frac{-10 y^{5}}{33 x^{3} z}\right)\left(\frac{21 z^{5}}{-6 x^{2}}\right)\nonumber\]

Організований спосіб виконання цієї проблеми полягає в тому, щоб переставити так, щоб ми могли обробляти «числову частину» та «змінну частину» окремо. Нам дозволено це робити, тому що множення дійсних чисел є комутативним, тобто ми можемо множити в будь-якому порядку, який ми бажаємо. Перестановка призводить до:

\[\left(\frac{11}{-7} \cdot \frac{-10}{33} \cdot \frac{21}{-6}\right)\left(\frac{x^{5}}{y^{7} z^{2}} \cdot \frac{y^{5}}{x^{3} z} \cdot \frac{z^{5}}{x^{2}}\right)\nonumber\]

Тепер ми можемо піти вперед і зробити деякі скасування, обережно, по одній порції за раз:

\[\frac{\not 11}{-\not 7} \cdot \frac{\not{-2} \cdot 5}{\not 3 \cdot \not{11}} \cdot \frac{\not 3 \cdot \not 7}{\not {-2} \cdot 3}=-\frac{5}{3}\nonumber\]

\[\frac{\not{x^{3}} \cdot \not{x^{2}}}{y^{2} \cdot \not{y^{5}} \not{z^{2}}} \cdot \frac{\not{y^{5}}}{\not{x^{3}} \cdot \not{z}} \cdot \frac{\not{z^{2}} \cdot \not{z} \cdot z^{2}}{\not{x^{2}}}=\frac{z^{2}}{y^{2}}\nonumber\]

Нарешті, ми складаємо наші шматки назад, щоб отримати остаточне рішення нашої проблеми, яка є

\[-\frac{5 z^{2}}{3 y^{2}}\nonumber\]

Приклад 22.6

Помножити і спростити:

\[\frac{4}{27 x+18 y} \cdot \frac{9 x+6 y}{6}=\frac{4}{9(3 x+2 y)} \cdot \frac{3(3 x+2 y)}{6}\nonumber\]

Зверніть увагу, що\((3 x+2 y)\) є спільним як чисельником, так і знаменником і, таким чином, може бути спрощено. Отже:

\[\frac{4}{27 x+18 y} \cdot \frac{9 x+6 y}{6}=\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{6}=\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 6}=\frac{2}{9}\nonumber\]

Ми ділимо раціональні вирази так само, як ділимо дроби. Ділення ми можемо розглядати як множення першого виразу на зворотне другого.

Розподіл раціональних виразів

\(P, Q, U, V\)Дозволяти поліноми з\(Q \neq 0\) а\(V \neq 0\) потім

\[\frac{P}{Q} \div \frac{U}{V}=\frac{P}{Q} \cdot \frac{V}{U}=\frac{P \cdot V}{Q \cdot U}\nonumber\]

Приклад 22.7

Розділіть і напишіть відповідь в найпростішому вигляді:

\[\frac{6 e^{2} f^{3} g}{5 e^{3} g^{3}} \div \frac{24 f^{6} g^{2}}{e f}\nonumber\]

Перше раціональне вираз множимо на зворотне другого:

\[\frac{6 e^{2} f^{3} g}{5 e^{3} g^{3}} \cdot \frac{e f}{24 f^{6} g^{2}}\nonumber\]

Далі ми можемо переставити нашу задачу на числові та змінні частини, щоб отримати

\[\left(\frac{6}{5} \cdot \frac{1}{24}\right)\left(\frac{e^{2} f^{3} g}{e^{3} g^{3}} \cdot \frac{e f}{f^{6} g^{2}}\right)\nonumber\]

Тепер самостійно і ретельно спрощуємо кожну порцію

\[\frac{\not 6}{5 \cdot 4 \cdot \not 6}=\frac{1}{20}\nonumber\]

\[\frac{\not{e^{2}} \cdot \not{f^{3}} \cdot \not g}{\not{e^{2}} \cdot \not e \cdot \not g \cdot g^{2}} \cdot \frac{\not e \cdot \not f}{\not{f^{3}} \cdot \not f \cdot f^{2} \cdot g^{2}}=\frac{1}{f^{2} g^{4}}\nonumber\]

Нарешті, ми складаємо наші шматки разом, щоб сформувати рішення нашої проблеми, яка є

\[\frac{1}{20 f^{2} g^{4}}\nonumber\]

Проблема виходу

\[\text { Simplify: } \frac{35 x^{2} b^{3}}{-21 a^{2} y} \div \frac{15 x^{2} b^{2}}{14 a y}\nonumber\]